Matemáticas Curso 011/1 º E.S.O. TEMA : Trigonometría. 1.- Calcula las restantes razones trigonométricas de cada ángulo, si son conocidas: a) = ¼ está situado en el primer cuadrante b) cotg = - π/ π c) tg = π/ 3π/ d) sec = 1 70º 360º e) cosec = - 180º 70º f) cosec = 5 está situado en el segundo cuadrante.- Calcula: a) cos 135º c) tg 10º e) sen 55º b) sen 0º d) cos 15º f) tg 15º 3.- Calcula las razones trigonométricas de 10º y de 0º, sabiendo que: sen 0º = 0,6; cos 0º = 0,77.- Sabiendo que sen 5 = 0,, cos 5 = 0,91 las razones trigonométricas de 155 y de 05. 5.- Sabiendo que sen 10º = 0,173 calcula el coseno y la tangente del ángulo 5º. 6.- Simplifica las siguientes expresiones: a) cot g sec (Sol: cosec ) b) cos ( cot cos ) + g (Sol: cotg ) h) sec cos ec tg c) cos + cos (Sol: cos ) i) cos : (Sol: 1) j) d) ( cos ec ) 1 cos tg (Sol: 1 + cos ) e) tg k) cos 1 f) sec 1+ tg cos ec g) tg 1+ cot g 1 (Sol: cos ) l) cos tg cos (S: 0) cos ( 1 cos ) ( 1+ cos ) m) (Sol: ) 1
7.- Demuestra las siguientes identidades trigonométricas: + a) = tg 1+ cos + cos 1 cos b) = tg 1+ cos c) + = sec + sec cos + cos d) = tg cos cos + tg e) = tg sen sen f) + cot g = sec cos ec 8.- Desde una orilla de un río se ve la copa de un árbol que está enfrente en la orilla opuesta bajo un ángulo de 30º. Calcula la altura del árbol sabiendo también que la distancia desde el punto de mira a la prolongación del pie del árbol hasta la otra orilla es 30 m. 9.- Una escalera de bomberos que está apoyada en un piso que se encuentra a 5 15 m de altura y forma con el suelo un ángulo de 75º. Cuál es la longitud de la escalera? 10.- Desde la torreta de un faro que está a 50 m sobre el nivel del mar, se ve un barco, bajando el teodolito 0º. A qué distancia está el faro del barco? 11.- Una escalera de m está apoyada contra la pared. Cuál será su inclinación si su base dista m de la pared? (Sol: 60º) 1.- Una antena de televisión que mide 15 m proyecta una sombra de 7 m. Halla el ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra con la punta más alta de la antena. 13.- Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 metros, que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura de la cometa. (Sol: 50 3 m) 1.- A 30 metros del pie de una chimenea de fábrica se ve la punta de esta bajo un ángulo de 68º. Calcula la altura de la chimenea. (Sol: 7,1 m) 15.- Un faro de 9 m de altura proyecta una sombra de 50 m. Calcula el ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra con la parte más alta del faro. (Sol: 30,11º)
16.- Una escalera de bomberos que mide 5 m está apoyada sobre la fachada de un hotel y forma con el suelo un ángulo de 75º. A qué altura llegará la escalera? 17.- Un árbol y su sombra forman un ángulo recto. La sombra mide 7,8 m y el ángulo con el que se ve la parte superior del árbol desde el extremo de la sombra mide 7º. Calcula la altura del árbol. 18.- A cierta hora del día, un poste vertical de 0 m de altura proyecta una sombra de 15 m. Qué ángulo formarán a dicha hora los rayos solares con la horizontal? 19.- Desde cierto punto del suelo se ve el punto más alto de una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si nos acercamos 75 cm hacia el pie de la torre, ese ángulo mide 60º. Halla la altura de la torre. 0.- Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol de 10 m de altura bajo un ángulo de º. Bajo qué ángulo se verá colocándose a distancia doble? 1.- Dos personas distan entre sí 10 km y ven a un avión que está en el mismo plano vertical que ellos bajo un ángulo de 5º y 75º respectivamente. Hallar a qué altura se encuentra el avión..- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes, para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B obteniendo como ángulos de elevación 30º y 5º respectivamente. La distancia entre A y B es de 30 m. Halla la altura de la torre. 3.- María y Juan ven desde los portales de sus casas una torre de televisión bajo ángulos de 5º y 60º. La distancia entre sus casas es de 16 m y la antena está situada entre sus casas. Halla la altura de la torre..- La anchura de una calle es de 0 m y colocándonos en el centro de la misma, podemos ver los edificios de ambos lados. Si medimos los ángulos que forman las visuales con los puntos más altos de los edificios y la horizontal resultan ser de 0º y de 60º respectivamente. Cuánto miden los edificios? 5.- Un campo rectangular está vallado y tiene estacas para enrollar en ellas el alambre en los vértices del rectángulo y en los puntos medios de los lados mayores. Desde uno de los vértices, el ángulo que determinan el lado mayor y la diagonal del rectángulo es de 5º, y el que determinan el mismo lado mayor y el punto medio del lado opuesto es de 5º. Hallar las dimensiones del rectángulo. 6.- Si las dos ramas de un compás forman un ángulo de 60º y la rama tiene 1 cm de longitud, halla el radio de la circunferencia que puede trazarse. 7.- Dos amigos parten de un mismo punto A y siguen direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º. Tras caminar 50 m y 75 m, respectivamente, se sitúan en dos puntos B y C. Calcula la distancia que les separa y los ángulos B y C del triángulo ABC. (Sol:,51 m) 8.- Tres pueblos, A, B y C están formando un triángulo. Si la distancia AB = 5 km, la distancia AC = 3 km y el ángulo que se forma en A es de 75º, calcula la distancia que hay entre los pueblos C y B. 3
9.- Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Desde A el ángulo que forma la antena con AB es de π/3 y desde B de 5π/1. a) A qué distancia se encuentra el receptor A de la emisora? b) A qué altura se encuentra la emisora? 30.- Jorge, desde su casa, ve la fuente que está en el centro de la plaza Mayor y el castillo. Ha preparado un teodolito casero para calcular el ángulo formado por dichas visuales y ha dado 0º. La distancia de su casa a la fuente es dam y la distancia de la fuente al castillo es 3 dam. Si hubiera un camino directo desde la casa de Jorge hasta el castillo, cuánto mediría? 31.- Un entrenador de un equipo de fútbol indica a tres jugadores A, B y C que se sitúen en el campo formando un triángulo. A debe situarse a 0 m de B, B a 15 m de C y C a 3 m de A. Bajo qué ángulo observa el jugador A los otros jugadores? 3.- Se desea hallar la distancia que hay entre dos torres de alta tensión A y B separadas por un lago. Se toma un punto auxiliar C y se miden las distancias AC = 33 m, BC = 5 m y el ángulo C = 73º. Halla la distancia que hay entre las torres A y B. 33.- Un solar tiene forma triangular. Se han podido determinar dos lados que miden 10 y 7 dam respectivamente, y el ángulo comprendido se ha medido con un teodolito y resultó ser igual a 30º. Para poder replantear una posible construcción se necesita conocer la longitud del otro lado. Calcúlala. (Sol: 5,7 dam) 3.- En un parque hay tres estatuas, A, B y C. A dista 50 m de B y 60 m de C. Si el ángulo que forman los segmentos AB y AC es de 10º, cuánto dista la estatua B de la estatua C? 35.- Un buceador desciende al fondo de un lago para recoger un objeto siguiendo una trayectoria rectilínea de inclinación 30º. Cumple su objetivo y regresa saliendo a la superficie en otro punto del mismo plano vertical siguiendo otra trayectoria rectilínea de inclinación 35º. Si la distancia en la superficie entre el punto de entrada y el de salida es de 100 m, averigua la profundidad del lago. (Sol: 31,6 m) 36.- Calcula x e y en la siguiente figura 37.- Calcula la altura h y los lados b y c del triángulo no rectángulo siguiente:
38.- La pirámide de Kefrén de Egipto proyecta una sombra de 13,7 m y el ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra con la parte más alta de la pirámide es de 5º. Halla la altura de la pirámide Kefrén. 39.- Halla la altura de una torre eléctrica sabiendo que a una distancia de 1 m de la base se ve la parte superior con un ángulo de 55º. 0.- Carmen está volando una cometa a una altura de 9,6 m. Si el hilo que ha soltado mide 10 m, calcula el ángulo que forma la cometa con la horizontal. 1.- Para calcular la altura de una antena en una emisora de radio, se hacen dos medidas de ángulos, de 5º y 30º, en dos puntos separados 30 m y alineados a un lado de la antena. Hallar la altura de la antena..- Hallar la altura de un edificio sabiendo que desde dos puntos alineados con la base y distantes entre sí 80 m, se ve bajo ángulos de 60º y 5º, respectivamente. A qué distancia nos encontrábamos del edificio al hacer la medida de 60º? 3.- Desde un punto A se ve un árbol bajo un ángulo de 70º. Si nos alejamos 10 m hasta otro punto B el ángulo es de 50º. Averiguar la altura de dicho árbol..- Un río tiene dos orillas paralelas. Desde dos puntos A y B de la orilla se observa un punto P de la orilla opuesta, las visuales forman con la dirección de la orilla unos ángulos de º y 56º respectivamente. Calcula la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es 31 5 m. 5.- Dos personas separadas 1000 m están calculando la altura de un globo que está entre ellos. Los ángulos de elevación que miden son de 5º y 70º. Cuál es la altura del globo? 6.- Sobre una de las orillas paralelas de un río se han tomado dos puntos A y B a 60 m de distancia. Desde estos puntos se ha mirado un objeto C sobre la otra orilla. Las visuales desde los puntos A y B a C forman con la línea AB unos ángulos de 50º y 80 º respectivamente. Calcula la anchura del río. 7.- A qué distancia del refugio situado en A se halla un observador situado en B, distante 100 m de otro punto C, si se han medido los ángulos B = 0º y C = 60º? (Sol: 87,9 m) 8.- Una señal de socorro de un teléfono móvil A se escucha desde antenas B y C separadas entre sí 5 km, el ángulo B mide 5º y el ángulo C mide 66º. a) Qué distancia hay desde el teléfono a la antena B? b) Y desde el teléfono hasta la antena C? 9.- Un barco mercante A se encuentra a 50 m de un faro y a 300 m de una lancha pesquera B. Si ambos son observados desde dicho faro bajo un ángulo de 3º, a qué distancia se encuentra la lancha B del faro? 50.- Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas formando un triángulo. La distancia de A hasta B es de 1 km, de A hasta C de 15 km y el ángulo B mide 60º. Calcula la distancia del pueblo B al C. 51.- Las puntas de las ramas de un compás distan 7 cm, y cada rama tiene 1 cm. Halla el ángulo que forman las ramas del compás. 5