OARI CLASE 19/05/2015. DESCRIPCIÓN CUANTITATIVA DE LOS DATOS. MEDIDAS RESUMEN Licenciatura en Gestión Ambiental 2015
Estimación de estadísticos descriptivos Una descripción cuantitativa de datos incluye: Tendencia central Posición Dispersión Forma de la distribución
Estimación de estadísticos descriptivos Estos estadísticos(*) pueden ser calculados a partir de los datos originales o a partir de un histograma de frecuencias absolutas o relativas. * Estadísticos: valores de un atributo calculado a partir de los datos de una muestra.
Medidas de tendencia central Un modo de resumir un único conjunto de datos numéricos es a través de un número que debería ser típico para el grupo. No debería ser ni demasiado grande, ni demasiado pequeño y debería estar cerca del centro de la distribución. Por lo tanto, es un número que pretende indicar dónde se encuentra el centro de la distribución de un conjunto de datos, razón por la cual se llaman MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL. Pero, dónde se encuentra el centro de una distribución?
Medidas de tendencia central El centro es fácil de identificar si la distribución es simétrica, pero es difícil si es asimétrica. Por esta razón no hay una única medida de posición para resumir una distribución. Si la distribución es simétrica, diferentes medidas conducirán a similares resultados. Si la distribución es claramente asimétrica diferentes propuestas apuntarán a distintos conceptos de centro y por lo tanto los valores serán diferentes.
Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central más importantes son: Media Aritmética o Promedio Mediana Moda A los efectos de resumir los datos debemos preguntarnos: - Qué medida resumen es la más apropiada para la distribución que presentan nuestros datos? - Qué propuesta permite responder mejor a las preguntas sobre el mundo real que pretendemos responder con estos datos?
Media Aritmética Es la medida de posición más frecuentemente usada. Para calcular la media aritmética o promedio de un conjunto de observaciones se suman todos los valores y se divide por el número total de observaciones. Media Muestral
Media Aritmética Media Poblacional
Donde: m i : punto medio de la clase i f i : frecuencia absoluta de la clase i k: número de intervalos de clase Media de datos agrupados Media Aritmética k i i k i i i k k k f f m f f f f m f m f m x 1 1 2 1 2 2 1 1......
Frecuencia absoluta (n) Media Aritmética Ejemplo: Cálculo de Media de datos agrupados Intervalos de Clase Punto Medio Frecuencia m i f i 0,6-0,8 0,7 6 4,2 0,8-1 0,9 9 8,1 1-1,2 1,1 1 1,1 1,2-1,4 1,3 2 2,6 1,4-1,6 1,5 5 7,5 1,6-1,8 1,7 2 3,4 Total 25 26,9 x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 k m i1 26,9 25 i i i1 k f i f Espesor de base de vasijas 1,076 0,6-0,8 0,8-1 1-1,2 1,2-1,4 1,4-1,6 1,6-1,8 Intervalos de clase de espesor (cm)
Propiedades, ventajas y desventajas de la media Ventajas: Emplea en su cálculo toda la información disponible. Se expresa en las mismas unidades que la variable en estudio. Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos los valores observados. Es un valor único.
Propiedades, ventajas y desventajas de la media Se trata de un concepto familiar para la mayoría de las personas. Es útil para llevar a cabo procedimientos estadísticos como la comparación de medias de varios conjuntos de datos.
Propiedades, ventajas y desventajas de la media Desventajas: Se ve adversamente afectada por valores extremos, perdiendo representatividad. No se puede calcular para datos cualitativos.
Media ponderada y geométrica Media Ponderada En ocasiones no todos los valores de la variable tienen el mismo peso. Por lo tanto la media aritmética ponderada se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno de los valores que tenga la variable.
Media ponderada y geométrica Actividad Valor Nota Nota ponderada Prácticos 25% 12 3 Seminarios 25% 10 2,5 Trabajo final 50% 5 2,5 Media Ponderada 8
Media ponderada y geométrica Media Geométrica En una cantidad finita de números (digamos 'n' números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números.
Media ponderada y geométrica Sólo es relevante la media geométrica si todos los números son positivos. Si uno de ellos es 0, entonces el resultado es 0. Si hay un número negativo (o una cantidad impar de ellos) entonces la media geométrica es, o bien negativa o bien inexistente en los números reales. La media geométrica es relevante cuando varias cantidades son multiplicadas para producir un total.
Media ponderada y geométrica Ej. Una población cuya abundancia en años consecutivos es {100,180,210,300} ha crecido a las tasas de 180 210 300 {1.80, 1.167, 1.429} por año.,, 100 180 210 La media aritmética de la tasa de crecimiento es 1.465 (o 46.5%). Comenzando con 100 individuos, en tres años debería haber 100*(1.465)3=314 individuos. 3 1.80*1.167*1. 429 La media geométrica es =1.443. En tres años debería haber 100*(1.443)3=300 individuos.
Mediana Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido ordenados en forma ascendente o descendente. Divide al conjunto de datos en dos partes iguales.
Cálculo de la mediana Para datos no agrupados: Si n es impar: posición donde se ubica la mediana es igual a (n+1)/2. Ej: Si n es par: (n+1)/2 no es entero, por lo tanto la mediana será igual al promedio de las dos posiciones centrales. Ej: Notar que (n+1)/2 NO es la Mediana sino su localización en el conjunto ordenado de datos.
Cálculo de la mediana Datos agrupados: clase mediana es la que contiene a la observación que ocupa la posición n/2. N Fi 1 M Li c 2 f i L i = límite inferior de la clase mediana c= amplitud del intervalo N= número total de datos F i-1 = frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la mediana f i = frecuencia absoluta de la clase mediana
Cálculo de la mediana Ejemplo: Cálculo de Mediana de datos agrupados Intervalos de Clase Frecuencia 10-19 5 5 20-29 19 24 30-39 10 34 40-49 13 47 50-59 4 51 60-69 4 55 70-79 2 57 Total 57 Frecuencia Acumulada M L i c N 2 M 29,5 10 f i F i1 28,5 24 10 4,5 M 29,5 10 10 29,5 4,5 34
Ventajas y desventajas de la mediana Ventajas: Fácil de calcular si el número de observaciones no es muy grande. Fácil de entender. Puede ser usada no sólo para datos numéricos sino además para datos ordinales, ya que para calcularla sólo es necesario establecer un orden en los datos.
Ventajas y desventajas de la mediana Es una medida de posición robusta. No se afecta por la presencia de datos outliers, salvo que modifiquemos casi el 50% de los datos menores o mayores de la muestra. Si hay datos censurados en la muestra no es posible calcular la media, sin embargo, eventualmente puede calcularse la mediana.
Ventajas y desventajas de la mediana Desventajas: No utiliza en su cálculo toda la información disponible. No pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido. Hay que ordenar los datos antes de determinarla. Es insensible a la distancia de las observaciones al centro, ya que solamente depende del orden de los datos.
Ventajas y desventajas de la mediana Comparación de la media y la mediana Ventajas Desventajas Media Usa toda la información que proveen los datos. Es de manejo algebraico simple. Muy sensible a la presencia de datos outliers. Mediana Representa el centro de la distribución. Robusta a la presencia de outliers. Útil para datos ordinales. Usa muy poca información de los datos.
Moda Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones. Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal. Moda
Cálculo de la moda Para datos no agrupados: es simplemente la observación que más se repite. Para datos agrupados: Mo Lim 1 1 2 Cm Donde: Lim: límite inferior de la clase modal. 1 : diferencia entre f i de la clase modal y la anterior. 2 : diferencia entre f i de la clase modal y la posterior. Cm: amplitud de la clase modal (clase de mayor frecuencia).
Cálculo de la moda Ejemplo: Cálculo de Moda de datos agrupados Intervalo de clase Frecuencia 0-10 2 10-20 12 20-30 22 30-40 8 40-50 6 Mo Lim 1 1 2 Cm 10 Mo 20,5 *10 25 (1012)
Ventajas y desventajas de la moda Ventajas: No requiere cálculos. Puede usarse para datos tanto cuantitativos como cualitativos. Fácil de interpretar. No se ve influenciada por valores extremos.
Ventajas y desventajas de la moda Desventajas: Para conjuntos pequeños de datos su valor no tiene casi utilidad. No utiliza toda la información disponible. No siempre existe, si los datos no se repiten. Difícil de interpretar si los datos tiene 3 o más modas.
Relación entre la media, la mediana y la moda Qué medida de tendencia central utilizar? Para distribuciones simétricas: media aritmética. Para distribuciones asimétricas: mediana
Medidas de posición Las medidas de posición dividen un conjunto ordenado de datos en grupo con la misma cantidad de individuos: Percentiles Deciles Cuartiles Quintiles
Medidas de posición Percentiles: Son 99 valores que dividen en cien porciones iguales el conjunto de datos ordenados. Ejemplo, el percentil de orden 15 deja por debajo al 15% de las observaciones y por encima queda el 85%.
Medidas de posición Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula: Li : Límite real inferior de la clase del percentil k. n :Cantidad total de datos. Ni-1: Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del percentil k. ni :Frecuencia de la clase del percentil k. a :Longitud del intervalo de la clase del percentil k.
Medidas de posición Los percentiles más usados son los Cuartiles y Quintiles: Cuartiles: Son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro porciones iguales. Son un caso particular de los percentiles, correspondiendo a los percentiles 25, 50 y 75. Mediana
Medidas de posición Quintiles: Son los cuatro valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cinco porciones iguales, son un caso particular de los percentiles, correspondiendo a los percentiles 20, 40, 60, 80.
Medidas de posición Ejemplo de uso de percentiles de una distribución
Medidas de dispersión, variación o variabilidad. Son valores numéricos que indican o describen la forma en que las observaciones están dispersas o diseminadas, con respecto al valor central. Son importantes debido a que dos muestras de observaciones con el mismo valor central pueden tener una dispersión muy distinta.
Medidas de dispersión, variación o variabilidad. Las medidas de tendencia central sólo dan una caracterización parcial de los datos y no son correctamente interpretables en ausencia de medidas de dispersión.
Medidas de dispersión, variación o variabilidad. Principales medidas de dispersión: Rango. Varianza. Desviación Típica. Coeficiente de variación.
Medidas de dispersión: Rango Rango (amplitud o recorrido): Está determinado por los dos valores extremos de los datos muestrales. Es simplemente la diferencia entre la mayor y menor observación. Es una medida de dispersión absoluta, ya que depende solamente de los datos y permite conocer la máxima dispersión.
Medidas de dispersión: Rango Es fácil de calcular. Es extremadamente sensible a la presencia de datos atípicos. Ignora la mayoría de los datos. En general aumenta cuando aumenta el tamaño de la muestra. Casi no se emplea debido a que depende únicamente de dos valores. No proporciona una medida de variabilidad de las observaciones con respecto al centro de la distribución. Notación: R
Medidas de dispersión: Varianza Es un valor numérico que mide el grado de dispersión relativa porque depende de la posición de los datos x 1,x 2,,x n con respecto a la media. Es el promedio al cuadrado de las desviaciones de cada observación con respecto a la media. Notación: S 2
Medidas de dispersión: Varianza Si la varianza de un conjunto de observaciones es grande se dice que los datos tiene una mayor variabilidad que un conjunto de datos que tenga un varianza menor.
Medidas de dispersión: Varianza Para datos agrupados en una distribución de frecuencias: 2 1 2 2 1 2 2 x n f m s n f x m s k i i i k i i i 2 1 2 2 1 2 2 x n x s n x x s n i i n i i Para datos NO agrupados:
Propiedades, Ventajas y Desventajas de la Varianza Ventajas: Es útil cuando se compara la variabilidad de dos o más conjuntos de datos. Utiliza toda la información disponible. Desventajas: No proporciona ayuda inmediata cuando se estudia la dispersión de un solo conjunto de datos. Difícil de interpretar por tener sus unidades elevadas al cuadrado. No tiene las mismas unidades de la variable original.
Medidas de dispersión: Desviación Estándar o Típica La desviación estándar mide cuan lejos se encuentran los datos de la media muestral. Es la raíz cuadrada de la varianza. Notación: s s s 2
Medidas de dispersión: Desviación Estándar o Típica Nos da idea de la distancia promedio de los datos a la media, pero su interpretación requiere algún conocimiento de la distribución de los datos. Regla empírica: si la distribución de los datos es aproximadamente simétrica y acampanada, entonces - Aproximadamente el 68% de las observaciones caen en el intervalo X s y X + s. - Aproximadamente el 95% de las observaciones caen en el intervalo X 2s y X + 2s. - Prácticamente todas las observaciones caen en el intervalo X 3s y X + 3s.
Medidas de dispersión: Desviación Estándar o Típica Es útil para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos en los que la variable ha sido medida en las mismas unidades.
Ventajas y Desventajas de la Desviación Estándar o Típica Ventajas: Está expresada en las mismas unidades que la variable en estudio. Utiliza todas las observaciones en su cálculo. Fácil de interpretar. Desventajas: Es una medida de dispersión muy sensible a la presencia de datos outliers.
Medidas de dispersión: Coeficiente de Variación Es una medida de dispersión relativa que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables estadísticas diferentes, incluso medidas en diferente escala. No tiene dimensiones. Notación: CV CV x s 100%
Ventajas y Desventajas del Coeficiente de Variación Ventajas: Es la única MD que permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras de variables diferentes. Emplea toda la información disponible en su cálculo. Fácil de calcular.
Ventajas y Desventajas del Coeficiente de Variación Desventaja: No es una MD con respecto al centro de la distribución de los datos.
Medidas de Forma Son medidas numéricas que permiten determinar la forma que tiene la curva de los datos. Por lo tanto, sirven para corroborar lo que los gráficos muestran. Medidas de forma -Asimetría Coeficiente de Pearson Coeficiente de Fisher -Kurtosis o apuntamiento
Medidas de Forma: Asimetría Permite estudiar la forma de la curva, dependiendo de cómo se agrupan los datos.
Medidas de Forma: Asimetría Coeficiente de Asimetría de Pearson: Fácil de calcular e interpretar. Cálculo: ASP 3 X s Md o Interpretación: = 0, X=Md Simétrica ASP > 0, X>Md Asimétrica Positiva < 0, X<Md Asimétrica Negativa
Medidas de Forma: Asimetría Coeficiente de Asimetría de Fisher: No es de fácil cálculo, pero si su interpretación. ASF ASF n i1 k i1 x i ns M X i 3 ns 3 x 3 3 f i Datos NO agrupados Datos Agrupados
Medidas de Forma: Asimetría o Interpretación: = 0, Simétrica ASF > 0, Asimétrica Positiva < 0, Asimétrica Negativa
Medidas de Forma: Kurtosis Mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra (zona central de la distribución). Se definen tres tipos de distribución según su grado de Kurtosis:
Medidas de Forma: Kurtosis Mesocúrtica: grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable. Leptocúrtica: grado de concentración elevado. Platicúrtica: grado de concentración reducido.
Medidas de Forma: Kurtosis CK CK n i1 k i1 x i ns M X i 4 4 X ns 4 3 4 f i 3 Datos No Agrupados Datos Agrupados Interpretación: =0 Mesocúrtica CK >0 Leptocúrtica <0 Platicúrtica
Referencias: Daniel, W.W. 1993. Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Ed. Limusa, México. Guzmán, E. 2011. Conceptos Básicos y Estadística Descriptiva. Universidad de Los Andes, Venezuela. http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/eliana/estad. Inchausti, P. 2011. Técnicas de Análisis Cuantitativo. Material del curso dictado en CURE-Maldonado. Marangunich, L. 2004. Estadística descriptiva. Red de Helmintología de FAO para América Latina y el Caribe. http://cnia.inta.gov.ar/helminto Orellana, L. 2001. Estadística Descriptiva. Apuntes del Curso de Estadística. UBA. http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/2docuat2011/ estadisticaq/ Universidad de Chile. 2008. Nociones Básicas de Estadística Utilizadas en Educación. Departamento de Evaluación, Medición y Registro Educacional.