3.7. Función de Airy Cuando las fuerzas de cuerpo b son constantes en un sólido con estado de deformación o esfuerzo plano, el problema elástico se simplifica considerablemente mediante el uso de una función llamada función de esfuerzos o función de Airy. Así, el problema del cálculo del tensor de esfuerzos se reduce a la determinación de una función, que sea biarmónica. =0 (3.146) en coordenadas cartesianas: 4 4 + 4 + 4 =0 (3.147) 4 Expresando, las componentes del tensor de esfuerzos en coordenadas cartesianas como: yeldelaspolarescomo = 1 ; ; = + 1 ; ; = µ 1 (3.148) (3.149) Generalmente, para determinar el tensor de esfuerzos con una función de Airy, los esfuerzos se obtienen en función de algunos parámetros que aparecen en la función y que deberá que determinarse imponiendo las condiciones de equilibrio en el contorno: = + (3.150) = + (3.151) donde es la condición de frontera en la dirección x y en y; representa la proyección sobre el eje y sobre. Frecuentemente, se especifica la función analítica de la función y, posteriormente, se determinan los parámetros, tal que satisfagan las condiciones en la frontera y de biarmonicidad. Una vez determinadas las componentes del tensor de esfuerzos, se deducen el tensor de deformaciones mediante las leyes de Hooke generalizadas, y a partir de éstas se pueden determinar las componentes del vector de desplazamiento de cualquier punto, integrando las ecuaciones diferenciales correspondientes. En esta sección se supondrán soluciones polinómicas de la función de Airy y, posteriormente, se ajustarán los parámetros para comprender el significado de la función de esfuerzo que representará en el estado elástico producido en un placa rectangular, considerando las condiciones en la c Gelacio Juárez, UAM 169
frontera. Para funciones polinómicas de grado cuarto, la biarmonicidad está asegurada. Polinomio de segundo grado Si la función de Airy se representa por un polinomio homogéneo de segundo grado ( ) = 1 + + 3 (3.15) la solución del estado de esfuerzos dada en la ec. (3.148), en el caso en que las fuerzas de cuerpo sean nulas, es = 3; = 1; = = (3.153) Obteniéndose una combinación de esfuerzos uniformes de tensión o compresión, según el signo de los coeficientes 1 y 3, en dos direcciones perpendiculares entre sí y un esfuerzo cortante uniforme. Es lo que se le llama estado de esfuerzos homogéneo. En el caso que los ejes son paralelos a los ejes de la placa, el resultado obtenido es independiente de la posición del origen de las coordenadas. Las fuerzas superficiales en el contorno se obtiene de las ecs. (3.150) y (3.151). En la Fig. (3.48) para el caso de los tres coeficientes positivos. Figura 3.48: Placa sujeta: a) tracciones normales y b) fuerzas cortantes. En el caso de la función de Airy polinómica de segundo grado es solución del problema elástico de una placa en los casos: 1. Cuando la placa se somete a una tracción uniforme en la dirección del eje, todoslos coeficientes son nulos, excepto 1.. Cuando la placa se somete a una fuerza cortante uniforme en todo su contorno, todos los coeficientes son nulos, excepto. 3. Cuando la placa se somete a una tracción uniforme en la dirección del eje, todoslos coeficientes son nulos, excepto 3. 4. Cuando la placa se somete a una tracción uniforme en la dirección del eje y a una fuerza cortante uniforme en la dirección del eje, elcoeficiente 1 es nulo. c Gelacio Juárez, UAM 170
5. Cuando la placa se somete a doble tracción en las direcciones e, elcoeficiente es nulo. 6. Cuando la placa se somete a tracción en la dirección y a una fuerza cortante uniforme en todo su contorno, el coeficiente 3 es nulo. El valor de los coeficientes se ha supuesto positivo, si 1 o 3 fueran negativos, las tracciones correspondientes serían compresiones. Si es negativo, cambiaría el sentido de la fuerza cortante en el contorno. Polinomio de tercer grado Si la función de Airy se representa por un polinomio homogéneo de tercer grado ( ) = 3 6 1 + + 3 + 3 6 4 (3.154) también se cumple la condición de armonicidad para valores arbitrarios de los coeficientes. El estado de esfuerzos, de acuerdo con la ec. (3.148), es que son funciones lineales de las coordenadas. = 3 + 4 (3.155) = 1 + (3.156) = = 3 (3.157) Análogamente, se puede estudiar los casos correspondientes cuando son nulos de uno a tres coeficientes, pero entre ellos merece especial atención el caso en que todos los coeficiente son nulos, excepto 4, esto es, cuando la función de Airy tiene la forma: Para este caso, la solución de esfuerzos es: = 3 6 4 (3.158) = 4 ; =0; =0 (3.159) La aplicación de las condiciones en la frontera, ecs. (3.150) y (3.151), proporcionan las fuerzas superficiales mostradas en la fig. (3.49). Se observa del estado de esfuerzos en las ecs. (??) a (3.159) que la distribución de esfuerzos es la misma en cualquier sección recta paralela al eje. El esfuerzo normal es directamente proporcional a la distancia de la fibra neutra, y puesto que en toda la sección recta el sistema de fuerzas generado por los esfuerzos normales se reduce a un momento flexionante constante, por lo que se puede establecer que la placa trabaja a flexión pura. c Gelacio Juárez, UAM 171
Figura 3.49: Placa sujeta: a) tracciones lineales y b) momentos resultantes. Si se conoce el momento por unidad de longitud de la placa, se puede expresar el coeficiente 4 en función de. Por lo que cualquier sección paralela al eje y = sustituyendo el esfuerzo de la ec.(3.159) en (3.160) (3.160) despejando 4 de la ec.(3.161) = 0 4 = 3 3 4 (3.161) 4 = 3 3 (3.16) Por lo que el estado de esfuerzos de las ecs.(??) a (3.159) se puede expresar como: 3.7.1. Flexión de una viga en voladizo = 3 3 ; =0; =0 (3.163) Considere una viga en voladizo de espesor constante, conperalte, con una carga en su extremo libre, como se muestra en la fig. (3.50), de la que se desprecia su peso propio. esta viga trabaja en un estado de esfuerzo plano, con las siguientes condiciones en la frontera: 1. Las caras superior e inferior están libres de tracciones en la superficie tanto normales como cortantes, esto es, para = ± =0; =0 (3.164). No existen esfuerzos normalesalacaraextremalibre,para =0 c Gelacio Juárez, UAM 17
Figura 3.50: Viga en voladizo. =0 (3.165) 3. La distribución de esfuerzos cortantes en la caraextremalibretienequesetalqueresulte a la carga P aplicada, = (3.166) Utilizando el resultado obtenido en la ec. (3.159) cuando la placa trabaja a flexión pura, pero considerando que ahora el momento es proporcional a la abscisa, porloqueelesfuerzo normal será de la forma = 1, donde 1 es una constante. En este problema, conocida la forma de se determinará la función de Airy, tal que la solución de esfuerzos que de ella se determine satisfaga las condiciones de frontera. Puesto que = 1, integrando dos veces, se tiene = 1 6 1 3 + 1 () + () (3.167) donde 1 () y () son funciones arbitrarias de la variable, que se determinan imponiendo las condiciones de biarmonicidad de la función 4 4 + 4 + 4 4 =0 4 1 4 + 4 =0 (3.168) 4 de la ecuación anterior se tiene que satisfacer que para cualquier valor de y: 4 1 4 = 0 1 () = 3 + 3 + 4 + 5 (3.169) 4 4 = 0 () = 6 3 + 7 + 8 + 9 (3.170) Sustituyendo las ecs. (3.169) y (3.170) en la ec. (3.167), se tiene la función de Airy, c Gelacio Juárez, UAM 173
= 1 6 1 3 +( 3 + 3 + 4 + 5 ) +( 6 3 + 7 + 8 + 9 ) (3.171) de la que se obtiene el estado de esfuerzos: = 1 (3.17) =6 + 3 +6 6 + 7 (3.173) = = 1 1 3 3 4 (3.174) De la condición en la frontera de la ec. (3.164) sobre = ±, en la ec. (3.173), quesesatisfacesi: ( +) = 0 = 6 + 3 +6 6 + 7 (3.175) ( ) = 0 = 6 3 +6 6 + 7 (3.176) por lo que de la misma condición, ec. (3.164), en la ec. (3.174), = 3 = 6 = 7 =0 (3.177) ( ±) =0= 1 1 4 4 = 1 1 (3.178) sustituyendo los valores de las constantes de las ecs.(3.177) y (3.178) en la ec. (3.171), se tiene la función de Airy = 1 6 1 3 1 1 + 5 + 8 + 9 (3.179) puesto que los términos lineales no contribuirán a la solución del problema elástico, 5 = 8 = 9 =0, la ecuación anterior se puede reducir a: de la que se obtiene el estado de esfuerzos: = 1 6 1 3 1 1 (3.180) c Gelacio Juárez, UAM 174
= 1 (3.181) =0 (3.18) = = 1 1 (3.183) la única constante no nula, 1, se determina imponiendo la condición en la frontera dada en la ec. (3.166) 1 = = 1 = 3 3 1 (3.184) despejando 1 de la ecuación anterior y considerando que el momento de inercia de la sección transversal respecto a z es = 3 3 : 1 = 3 3 = (3.185) Sustituyendo la ec. (3.185) en las ecs. (3.181) a (3.183) se tiene el estado de esfuerzos: = ; =0; = 1 (3.186) los cuales se muestran en tres secciones de la viaga en la fig. (3.51). Figura 3.51: Esfuerzos: a) y b). c Gelacio Juárez, UAM 175
3.7.. Cuña plana Carga vertical Para el caso de una cuña plana con un semiángulo sujeta a la acción de de una carga a compresión P en el eje de simetría Fig. (3.5) consideremos la función de esfuerzos. donde es una constante = sin (3.187) Figura 3.5: Cuña plana con carga vertical. De la función de Airy se deduce la solución de esfuerzos siguiente: = 1 + 1 cos = (3.188) =0 (3.189) = µ 1 =0 (3.190) La constante se determina expresando la condición de equilibrio de un sector circular del radio sobre el que actúa la carga y las fuerzas generadas por los esfuerzos, proyectadas sobre el eje vertical. + cos =0 (3.191) Sustituyendo el esfuerzo de la ec.(3.188) en la ec.(3.191) se tiene: 1 = cos = + 1 sin 4 despejando de la ecuación anterior = µ + 1 sin (3.19) = +sin (3.193) c Gelacio Juárez, UAM 176
sustituyendo en la ecs.(3.188) a (3.190), se tiene el estado de esfuerzos = cos +sin (3.194) = 0 (3.195) = 0 (3.196) Carga horizontal Análogamente, para el caso de una cuña plana sujeta a la acción de de una carga en dirección horizontal Fig. (3.53) a partir de la función de esfuerzos de airy = cos (3.197) Figura 3.53: Cuña plana con carga horizontal. La solución de esfuerzos de la función de Airy se deduce: = 1 + 1 sin = (3.198) =0 (3.199) = µ 1 =0 (3.00) La condición de equilibrio de un sector circular del radio sobre el que actúa la carga ylas fuerzas generadas por los esfuerzos proyectadas sobre el eje horizontal. + sin =0 (3.01) Sustituyendo el esfuerzo de la ec.(3.198) en la ec.(3.01) se tiene: 1 = sin = 1 4 sin = µ 1 sin (3.0) c Gelacio Juárez, UAM 177
despejando de la ecuación anterior = sin sustituyendo en la ecs.(3.188) a (3.190), se tiene el estado de esfuerzos (3.03) = cos sin (3.04) = 0 (3.05) = 0 (3.06) c Gelacio Juárez, UAM 178