INSTITUT DE FÍSIC ECÁNIC NEWTNIN Cuso 009 Páctico V Sistemas de Patículas y Sistemas ígidos Pate : Sistemas de patículas Ejecicio N o 1 Halla geométicamente, es deci, aplicando popiedades de simetía o analíticamente el cento de masa de las siguientes figuas homogéneas (densidad de masa constante) a) Paalelogamo, paalelepípedo, tiángulo. b) Secto de cículo de ángulo al cento α. c) co de cicunfeencia de ángulo al cento α d) Cono de evolución de adio y altua h. Ejecicio N o Halla el cento de masa de un disco de adio a que tiene un agujeo cicula de adio b. Este agujeo está centado en un punto C que dista d del cento del disco. Supondemos se veifica que 0 < d < a b. C Ejecicio N o 3 a) Demosta que el conjunto de ecuaciones dado po una pimea cadinal (vaiación de la cantidad de movimiento) y una segunda cadinal (vaiación del momento angula) aplicada en un punto es equivalente independientemente de cuál sea el punto si se usan las fómulas de cambio de momento, es deci que paa cualquie punto vale P = a G ( ext) = ( ext) + debido a que po la fómula de cambio de momentos ( P = a G = + = ( ext) = ext) + P ( ext) ( ) ( ext) ( ext) + ( ) b) Demosta análogamente que el conjunto de ecuaciones dado po una pimea cadinal (vaiación de la cantidad de movimiento) y una segunda cadinal (vaiación del momento angula) en un punto es equivalente al que nos dan tes ecuaciones cadinales (de vaiación de momentos angulaes) aplicadas en tes puntos no alineados cualesquiea, po ejemplo,,, S. V-1/6
INSTITUT DE FÍSIC - FCUTD DE INGENIEÍ ECÁNIC NEWTNIN Cuso 009 P = a G ( ext) = ( ext) + Pate : Cinemática del ígido Ejecicio N o 4 a baa, de longitud l, se mueve de foma que su extemo ecoe el eje x con velocidad v constante, mientas que su oto extemo se mueve sobe el eje y. En el instante inicial (t = 0) el punto coincide con el oigen de coodenadas. a) Halla la velocidad del punto paa todo tiempo. ( ext) + b) Halla la velocidad angula de la baa, ( t) ( ext) + ( ext) S S+ S ω. c) Si llamamos a un punto genéico de la baa que dista d < l del extemo, halla v de ese punto, su aceleación a( ) y su tayectoia. la velocidad ( ) V = cte a Ejecicio N o 5 El disco de la figua, de adio a, ueda sin desliza sobe una guía ectilínea, y su cento tiene velocidad v 0. Halla a) a tayectoia de un punto de la peifeia. b) a distibución de velocidades y aceleaciones de los puntos de la peifeia. Caso Paticula: halla la velocidad y aceleación del punto más alto. v 0 Ejecicio N o 6 Dos discos concénticos ciculaes S 1 y S, de adios 1, con 1 >, gian alededo de su cento con velocidades angulaes ω 1 y ω, espectivamente. Un disco cicula S, de adio 1 a = ueda sin desliza sobe S 1 y S. a) Halla la velocidad angula de S. b) Halla la velocidad del cento de S. c) Estudia los difeentes casos paa el movimiento de S según sea la elación ente los paámetos. S 1 S S V-/6
Páctico V Sistemas de Patículas y Sistemas ígidos. Ejecicio N o 7 Considee un cuepo ígido. a) Suponiendo que el ígido se mueve de foma que un punto del mismo está fijo, calcule la velocidad de un punto P tal que P es colineal con la velocidad angula ω del ígido. b) Suponiendo que el ígido se mueve de foma que dos de sus puntos y son fijos, demueste que y la velocidad angula ω del ígido son colineales. c) Suponiendo que el ígido se mueve de foma que tes puntos no alineados, y C son fijos, demueste que la velocidad angula ω del ígido es nula. Ejecicio N o 8 Un cono cicula ecto, de vétice y ángulo α, ueda sin desliza sobe un plano π. a ecta de contacto ente el cono y el plano se compota como un eje instantáneo de otación, poque, debido a la odadua, los puntos del cono que están en esa posición tienen velocidad instantánea nula. Detemina la velocidad angula del cono en téminos de la velocidad angula de la ecta de contacto con el plano. SUGEENCI: Este poblema puede hacese de dos fomas 1) Halla la velocidad del cento de la base del cono y aplica la distibución de velocidades ente tes puntos no alineados. ) Descompone el movimiento del cono en otaciones simples y utiliza el teoema de adición de velocidades angulaes paa halla una expesión de la velocidad angula. Posteiomente aplica la odadua paa llega al esultado final. z π α Ejecicio N o 9 Un cilindo cicula de adio está fijo veticalmente sobe un plano hoizontal. Una esfea, también de adio, se mueve de modo que ueda sin desliza simultáneamente sobe el plano hoizontal y sobe la supeficie del cilindo. lamaemos a su cento, al punto de contacto ente esfea y cilindo, C al punto de contacto ente la esfea y el plano y a un punto que ϕ( t) se ubica en el extemo del adio vecto pependicula a y C, como muesta la x figua. En coodenadas cilíndicas con eje en el eje del cilindo y oigen en la intesección de éste con el plano hoizontal, C y C = + e ρ = C + k = e ρ = + e ϕ V-3/6
INSTITUT DE FÍSIC - FCUTD DE INGENIEÍ ECÁNIC NEWTNIN Cuso 009 a) Halla el vecto ω, velocidad angula de la esfea, en función del ángulo ϕ. b) Detemina la ecuación difeencial que debe veifica el ángulo ( t) punto tenga su velocidad y aceleación pependiculaes en todo instante. ϕ paa que el c) Expesa la aceleación del punto en función de la velocidad inicial del cento de la esfea y del tiempo. Ejecicio N o 10 Una placa tiangula es isósceles ( = = a) y ecta en. Esta placa se mueve de foma tal que es fijo, petenece al plano xy, descibe un movimiento cicula unifome en tono a, y petenece al plano yz. a) Halla la velocidad de en función del módulo de la velocidad del punto, v. b) Halla la velocidad angula de la placa. c) Si en el instante inicial la placa se encuenta contenida en el plano vetical, duante qué intevalo de tiempo podá mantenese este estado de movimiento? x z y ϕ( t) Pate C: Cinética del ígido Ejecicio N o 11 Consideemos una molécula de agua, fomada po un átomo de oxígeno y dos átomos de hidógeno. Supondemos que el átomo de oxígeno se encuenta ubicado en el oigen de coodenadas, y que los átomos de hidógeno v están a una distancia a de él, ubicados en ectas que pasan po el oigen y foman un ángulo α ente sí. Uno de los átomos de hidógeno estaá ubicado sobe el eje j. Paa una molécula eal α = 104,5 0 y a = 0,96 Å, peo paa simplifica el cálculo asumiemos α = 10 0 y a = 1 Å. El átomo de oxígeno es 16 veces más masivo que el de hidógeno y éste tiene una masa de 1,67 10-7 kg. a) Halla la posición del cento de masa G. b) Halla las componentes del tenso de inecia de la molécula de agua en los casos que se indican: 1. especto al oigen en la base ( i, j, k ). j H a a 10º H i u V-4/6
Páctico V Sistemas de Patículas y Sistemas ígidos.. especto al oigen en la base (u, v, k ). 3. especto al oigen en una base que contenga al veso colineal a la ecta G y el veso pependicula al plano de la molécula. 4. especto al baicento en esta última base. Ejecicio N o 1 Halla el tenso de inecia en el cento de masa G de los siguientes sistemas ígidos homogéneos. a) Disco de adio. b) Placa ectangula de lados a y b. c) Esfea de adio. d) Supeficie esféica de adio. Ejecicio N o 13 Se considean las dos baas iguales y C de la figua. as baas tienen masa m y longitud l y están aticuladas en y, con fijo, siendo ambas aticulaciones cilíndicas y lisas, de foma que las baas se mueven manteniéndose siempe contenidas en el mismo plano. a) Calcula la enegía cinética total T del sistema fomado po las dos baas. b) Calcula el momento angula especto del punto de la baa C. c) Calcula el momento angula especto al punto del sistema total. C V-5/6
INSTITUT DE FÍSIC - FCUTD DE INGENIEÍ ECÁNIC NEWTNIN Cuso 009 Pate D: esultado de algunos ejecicios seleccionados Ejecicio N o 1: b) = senα senα c) =. 3α α b d Ejecicio N o : de según C. a b Ejecicio N o 4: ω( t) = l v v t ( l v t ) k, d d v t v ( t) = 1 vi j, l l l v t v dl a ( t) = j. Tayectoia: 3 / x ( l d) y + = 1 (elipse). d Ejecicio N o 5: a) x ( t ) P vt sen( vt / ) y ( t ) = P 1 + cos( vt / ) (cicloide). v v b) v P = v( 1 + cos ϕ )i v senϕj, a P = senϕi cos ϕj. Punto más alto: v = P vi y v a = j P. Ejecicio N o 1ω 1 ω 1ω 1 + ω 6: ω = es la velocidad angula de S y &ϕ = la 1 1 + velocidad angula del cento de S en tono de. Ejecicio N o 8: ω = ( ϕ& cot gα ) u con &ϕ la velocidad angula de la ecta de contacto en tono de y u en la diección de la misma. Ejecicio N o 9: b) ϕ = ln 1 & ϕ t, v 0 & & 0 ϕ 0 = ϕ( 0) c) a = ( e + 3eϕ + K ) ( v0t) tg ϕ Ejecicio N o 10: a) v = aϕ& eθ b) ω = & θi & ϕtgθj & ϕk cos ϕ 1 = +, [ ] 8 Ejecicio N o 13: a) T = ml & ϕ + ml ψ& + ml & ϕψ& cos( ϕ ψ ) donde ϕ es el ángulo que 3 3 foma la baa con una ecta fija y ψ es el ángulo que foma la baa C con la misma ecta. b) ml & & = ϕ cos( ϕ ψ ) + ψ k 3 16ml 4ml c) = & ϕ + ψ& + ml (& ϕ + ψ& ) cos( ϕ ψ ) k 3 3 V-6/6