CÁLCULO DIFERENCIAL-175 PRIMER CUATRIMESTRE DEL 01 PRÁCTICA DE RAZONES DE CAMBIO RELACIONADAS Recomendación para realizar está práctica: Estudie la materia correspondiente a razones de cambio relacionadas (capítulo 6 del libro de texto) Comience resolviendo los ejercicios sin ver el solucionario. Si por algún motivo no pudiese continuar con la solución de algún ejercicio después de varios intentos observe el solucionario y tere el ejercicio que dejo incompleto. Pasos sugeridos para la solución de estos ejercicios: Lea muy bien el ejercicio y anote los datos suistrados. Establezca una ecuación que relacione la variable sobre la cual se solicita la razón de cambio y los datos de la variable o variables suistrados. En el caso de que una o más variables se encuentren relacionadas, trate de escribirlas en téros de la variable de su conveniencia. Luego derive ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo(recuerde que es una derivación implícita) y evalúe en el instante o condiciones que se le indica el problema. 1. Al rodar montaña abajo una esfera de nieve, el radio de la esfera crece a razón de centímetros por uto. Hallar la razón de cambio del área cuando: a) r = 6cm y b) r = 4cm (r: radio) R/ 96 cm 384cm. Un depósito cónico (con vértice abajo) tiene 10 pies de ancho arriba y 1 pies de hondo. Si el agua fluye en él a razón de 10 pies cúbicos por uto, hallar la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 8 pies. R/ 3 pies 10π
3. Un globo meteorológico que se eleva verticalmente es observado desde un punto en el piso a 30 pies del punto que queda directamente debajo del globo. Si el ángulo entre el piso y la línea de visión del observador, aumente a razón de ( 180) rad s, con qué razón sube el globo cuando = π 4 rad? R/π 3 pies s 4. Dado un filtro cónico gotea café a razón de 5cm 3 /s. La altura del filtro es de 15cm y el radio de la parte superior es de 7,5cm, tal y como se ilustra en la figura adjunta. Calcule la rapidez con la que está descendiendo el nivel del café cuando la altura en el filtro sea de 7,5cm. R/ 16 cm 45π s 7,5cm 7,5cm 15cm
Soluciones 1. Los datos dados son: dr = cm (es la rapidez con la que está cambiando el radio de la esfera) La ecuación que relaciona las variables en estudio es: A r = 4πr (área de la esfera en téros del radio) Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo: Evaluando los datos suistrados: da = 8πr dr a) da b) da = 8π 6cm cm = 8π 4cm cm = 96π cm = 384π cm. Los datos dados son: r = 10 pies = 5 pies. h = 1 pies. dv = 10 pies 3 cónico) (es la rapidez con la que está cambiando el volumen del recipiente La ecuación que relaciona las variables en estudio es: V r, h = πr h(volumendel recipiente cónico en téros del radio y la altura) Pero como el radio y la altura se encuentran relacionados:
Dibujando un corte transversal del recipiente se obtiene, 5 pies Por la semejanza de triángulos tenemos que, r h 5 h h = r 5 1cm r 1 1 h Remplazando en la ecuación del volumen tenemos, V h = π 5h 1 h = 5 144 πh3 (volumen del recipiente cónico en téros dela altura) Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo: dv = 75 πh 144 = 5 48 Despejando la razón de cambio solicitada cuando, = 48 dv 5πh πh Evaluando los datos suistrados en el instante en queh = 8 pies: = 48 5π 8 pies 10 pies3 = 3 pies 10
3. Los datosdados son: h: altura del globo : ángulo de elevación del observador. d rad 180 s 30 pies es la distancia a la que se encuentra el observador. h Observador 30 pies Fórmula que relaciona a las variables: tan h 100 Derivando ambos lados de la ecuación con respecto al tiempo t. d 1 sec 30 30 d (*) cos Condiciones del instante en que rad. 4 30 d rad 180 s Sustituyendo en la fórmula (*) 30 rad pies. 180 s 3 s cos 4
La razón de cambio delaaltura a la que se encuentra el globo en el instante pies 3 s. rad es 4 4. Dibujando un corte transversal del filtro se obtiene, 7,5cm Por la semejanza de triángulos tenemos que, x y y 15cm x x 7,5 15 y Ahora obtenemos el volumen en téros de y así, V= x y y y y 3 3 4 1 3 por lo que el volumen en téros de y es, y V( y) = 1 3 después derivamos el volumen con respecto al tiempot y despejamos dy, que es lo que andamos buscando. dv 3 y dy = 1 dy 4 dv y por último sustituyendo los datos suistrados obtenemos, y dy 3 4 cm 16 cm 5 (7,5cm) s 45 s y esta es la rapidez con la que desciende el café cuando la altura es de 7,5 cm, el signo negativo se debe a que la rapidez está descendiendo.