Módulo Nº 4 Plan de Nivelación Matemática 2008 Introducción a la Geometría
Plan de Nivelación Introducción a la Geometría Introducción Para resolver ejercicios de geometría tipo PSU, es necesario recordar algunos conceptos básicos, los que facilitarán la comprensión y resolución de dichos ejercicios. En esta guía de nivelación, defi niremos conceptos como punto, recta, semirrecta, rayos, ángulo, etc., y los símbolos que se utilizan para referirse a ellos. También encontrarás aquellas fórmulas para cálculos de áreas y perímetros de polígonos, áreas y volúmenes de cuerpos geométricos, como cilindros, cubos, conos, etc. Cabe recordar que ésta es una nivelación y que queda mucho por aprender y reforzar. Esto es sólo una invitación para continuar estudiando junto a tu profesor. Contenidos: Geometría plana, polígonos, circunferencia y círculo, y cuerpos geométricos 2
I. Geometría Plana - Generalidades 1. Punto Un punto geométrico es imaginario, tan pequeño que carece de dimensión. Es el primer objeto geométrico, y origen de todos los demás. Los puntos suelen ser designados por letras mayúsculas,, C, etc. Plan de Nivelación 2. Recta Una línea recta es un conjunto de puntos que se extiende sin límite en dos sentidos. No comienza ni termina. lgunos Postulados: a) Por dos puntos pasa una recta y solamente una. Sólo hay una recta que pasa por y. Notación: Nota: La línea dibujada es una representación, porque las rectas no tienen grosor. 3
Plan de Nivelación b) Dos rectas no pueden tener más de un solo punto común. C E D Las rectas y CD representadas en la fi gura tienen un punto en común. Este punto E es llamado punto de intersección. c) Por un punto del espacio o plano pasan infinitas rectas. 3. Semirrectas y rayos Un punto que pertenece a una recta forma subconjuntos en ella. El punto elegido es llamado origen y queda como frontera de los subconjuntos (es decir, no pertenece a ninguno de ellos). Estos subconjuntos son llamados semirrectas. 4
Si el punto origen pertenece a ambos subconjuntos, se habla de dos rayos. Semirrecta O Semirrecta O O O: Origen Plan de Nivelación Nota: La semirrecta tiene origen, pero no fi n. Las semirrectas, como los rayos, son infi nitos hacia un extremo. 4. Trazo o Segmento Un trazo o segmento es la parte de la recta comprendida entre dos puntos. El segmento determinado por los puntos y de la recta de la fi gura se identifi ca con el símbolo: 5. Rectas Paralelas Se dice que dos rectas de un plano son paralelas cuando al prolongarlas no tienen ningún punto en común. El paralelismo se expresa con el signo: // En la fi gura, las rectas y CD son paralelas, es decir: // CD C D 5
Plan de Nivelación 6. Rectas Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos iguales, cada uno es ángulo recto (90 ). El símbolo de perpendicularidad es:. En la fi gura, las rectas y CD son perpendiculares, es decir: CD. C D Nota: Si dos rectas se cortan y no son perpendiculares se dice que son oblicuas. 7. Ángulo Es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común, llamado vértice. Para nombrarlos, se utilizan las letras del alfabeto griego ( α, β, γ, δ ) o números (1, 2, 3, 4 ) en el interior del ángulo. Su lectura es en sentido antihorario. O α O 1 Otra forma de nombrarlos es usando las letras que corresponden a los rayos (lados) y el vértice, colocando el símbolo de ángulo seguido de las tres letras con el vértice siempre al centro. α = O = 1 Existen tres sistemas de medición de ángulos: sexagesimal, centesimal y circular, pero el sistema de medición de ángulos que solemos utilizar es el sexagesimal. 6
8. Relaciones angulares Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si suman 180. Ej.: 100 y 80, 46 y 134, 20 y 160, etc. Ángulos Complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90. Ej.: 48 y 42, 60 y 30, 20 y 70, etc. Plan de Nivelación Ángulos Opuestos por el vértice: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Nota: Recuerda que este tema se estudiará con mayor detalle en las clases programadas. 9. Clasificación en el Sistema Sexagesimal Los ángulos se clasifican según su medida en: 0º < gudo < 90 Ejemplo: 12, 36, 55, 78, 89, etc. 90º 180º 0º Recto = 90 90º 180º 0º 7
Plan de Nivelación 90º < Obtuso < 180 Ejemplo: 91, 120, 100, 178, etc. 90º 180º 0º Extendido =180 90º 180º 0º 180 < Cóncavo < 360 Ejemplo: 189, 250, 321, etc. 90º 180º 0º 8
Completo = 360 90º 180º 0º Plan de Nivelación 10. Ángulos entre Paralelas Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante, se forman ocho ángulos de los cuales algunos son congruentes (poseen igual medida). Si L 1 // L 2 y L 3 una secante, entonces se forman ocho ángulos, sin embargo, es un ángulo y su suplemento que se repiten. L 3 L 1 L 3 L 1 α β α β 87 93 L 93 2 87 L 2 α β α β 87 93 93 87 9
Plan de Nivelación II. Polígonos 1. Definición y Clasificación Los Polígonos son fi guras planas, cerradas, limitadas por lados rectos y se clasifi can según el número de lados que posean. Por ejemplo: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc. 2. Área o superficie Se llama área o superfi cie a la medida de la región interior de un polígono. La región interior es la parte del plano que queda encerrada por los lados del polígono. El pentágono (polígono de cinco lados) de la fi gura tiene pintada de gris su región interior. D E C 3. Perímetro El Perímetro de una fi gura es la longitud de su frontera. El perímetro de un polígono se calcula sumando las longitudes de sus lados. Por ejemplo, el perímetro del pentágono de la fi gura es igual a la suma de sus cinco lados: + C + CD+ DE + E D E C 10
En la siguiente tabla se resumen las fórmulas para calcular las áreas y perímetros de los polígonos más comunes: triángulo, cuadrado y rectángulo (más adelante estudiaremos otros polígonos, como rombos, trapecios, pentágonos, hexágonos, etc.) c FIGUR ÁRE PERÍMETRO h a = b h 2 P = a + b + c Plan de Nivelación b a a a = a 2 P = 4a a b = a b P = 2a + 2b a Ejemplos: 1. Si la base de un triángulo mide 12,5 cm y la altura que cae sobre ella, h, mide 8 cm, entonces, cuál es su área? El área del triángulo es la mitad del producto entre la base y su altura: = 12,5 8 2 cm 2 = 12,5 4 cm 2 = 50 cm 2 11
Plan de Nivelación 2. Cuál es el perímetro del triángulo de la figura si = 10,7 cm, C = 15,3 cm y C = 8,5 cm? El perímetro del triángulo es la suma de sus lados. Luego: P = (10,7 + 15,3 + 8,5) cm. P = 34,5 cm. C 3. El área y perímetro de un cuadrado de lado 13 cm, son respectivamente: = (13) 2 = 169 cm 2 P = 4 (13) P = 52 cm 4. Cuál es el área y perímetro de un rectángulo de largo 10 cm y ancho 8 cm? = (8 10) cm 2 = 80 cm 2 P = 2(8 +10) cm P = 2 (18) cm P = 36 cm 12
III. Circunferencia y Círculo 1. Definición Circunferencia: Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de un punto fi jo llamado centro. Círculo: Es la porción del plano limitado por una circunferencia. Plan de Nivelación circunferencia O círculo 2. Radio y diámetro Radio (r): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto de ella. Diámetro (d): Segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. r d O Nota: d = 2r 3. Área y Perímetro Área = πr 2 Perímetro = 2πr 13
Plan de Nivelación Ejemplo: Si el diámetro de una circunferencia mide 12 cm, entonces el radio es igual a 6 cm. Su área y perímetro son respectivamente: Área = π 6 2 = 36 π cm 2 Perímetro = 2π 6 = 12π cm Recuerda que estos conceptos son básicos y que junto a tu profesor podrás estudiar otros elementos y teoremas de circunferencia y círculo en las clases programadas. IV. Cuerpos Geométricos 1. Caras, aristas y vértices C R S D Pirámide P Prisma Q Las caras son superfi cies que hacen de frontera entre el interior y el exterior del cuerpo. El triángulo C de la pirámide es una cara y el rectángulo PQRS es una cara del prisma. Las aristas son las líneas de intersección de las caras. C es una arista de la pirámide y SQ es una arista de prisma. Los puntos,, C, D, son los vértices de la pirámide y los puntos P, Q, R y S son cuatro de los ocho vértices del prisma. La base de la pirámide es el polígono en el cual se apoya. En este caso, el triángulo D. Un prisma es un sólido determinado por 2 polígonos paralelos y congruentes llamados bases y las caras restantes se llaman caras laterales. 14
2. Áreas y volúmenes de algunos cuerpos geométricos El área o superfi cie de un prisma se obtiene sumando las áreas de su(s) base(s), más sus caras laterales. Por ejemplo: El área del prisma de base cuadrada de la figura, es: = 2 (a 2 ) + 4 (ah) Plan de Nivelación (a 2 ) h (a h) h (a 2 ) a a a Ejercicio propuesto: El lado de la base cuadrada de la pirámide mide 3 cm. Sus caras laterales son triángulos de altura 5 cm. Cuál será su área total? h 3 cm 15
Plan de Nivelación Cómo se calcula el área de un cilindro? Los cilindros están formados por dos bases circulares y una cara lateral, que al extenderla corresponde a un rectángulo de ancho igual al perímetro de la circunferencia basal (2π r). r o r 2πr h h o r Luego, el área de un cilindro se expresa como: = 2 (π r 2 ) + 2π rh Ejercicio propuesto: Cuál es el área del cilindro cuya base circular tiene un radio de 10 cm y altura 15 cm? Cómo se calcula el volumen de un cilindro? nalicemos el siguiente relato: Platos sin lavar De lunes a sábado, Julieta llega a su casa, saca un plato y come algo mientras mira televisión. l terminar, lleva el plato a la cocina y lo deja sobre el plato que dejó el día anterior. Cada domingo se encuentra con un cilindro de platos por lavar. lunes martes miércoles jueves viernes sábado 16
Si cada plato (redondo) tiene área 144 π cm 2 y altura 1 cm, el volumen del cilindro formado por los 6 platos será: V = (144 π) 6 cm 3 Se puede concluir entonces, que para calcular el volumen de un cilindro, se multiplica el área de la base circular (π r 2 ) por su altura (h). Plan de Nivelación r h V cilindro = π r 2 h Si los platos de Julieta son cuadrados y la altura que alcanza la pila sigue siendo 6 cm, cuál será el volumen que genera la pila si cada plato es de lado 20 cm? 17
Plan de Nivelación Ejercicios propuestos: 1. Cuál es la capacidad (volumen) de una caja cuyas aristas están en razón 2 : 3 : 6 si la arista mayor mide 12 cm? 2. Si las bases triangulares del prisma de la fi gura tienen área igual a 12 cm 2 y su altura h mide 15 cm, entonces, cuál es su volumen? h 12 cm 2 18
Ejercicios 1. Cuál es el área de las siguientes figuras? a) = Plan de Nivelación 3 cm 3,5 cm b) = 1,5 cm 4 cm c) 2 = 24 cm, O: centro de la circunferencia y es diámetro. = O 19
Plan de Nivelación d) O es centro de la circunferencia, OP = 2,5 cm. O P 2. Si el perímetro del polígono de la fi gura es el 10% del perímetro de un cuadrado de lado 20 cm, cuántos centímetros mide x? = ) 1 4 x 2 0,5 x ) 1,75 C) 9 4 x + 1 2 x D) 6 E) 8 3. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, entonces, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Su área aumenta al doble. II) Su perímetro aumenta al doble. III) El área aumenta y es 400% de la inicial. ) Sólo I ) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III 20
4. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Dos puntos en el plano determinan una sola recta. II) Dos rectas distintas no pueden tener más de un punto en común. III) Dos rectas son paralelas si al prolongarlas no tienen ningún punto en común. ) Sólo I ) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III Plan de Nivelación 5. Cuál es el área de un círculo si su perímetro es 12π? ) 6 π ) 36 π C) 122 π D) 144 π 2 E) 6 π 2 6. Cuál es el área de un cuadrado si su perímetro es 23,2 cm? ) 33,64 cm 2 ) 33,46 cm 2 C) 23,64 cm 2 D) 11,6 cm 2 E) 5,8 cm 2 7. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Un ángulo agudo puede medir menos que 90. II) El complemento de 30 es 150. III) El suplemento de 40 es 140. ) Sólo I ) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III 21
Plan de Nivelación 8. En la fi gura, las rectas L 1, L 2 y L 3 se intersectan formando el triángulo C. Si los segmentos C y E miden 10,5 y 12 centímetros respectivamente, entonces, cuál es el área del triángulo C, si L 4 es perpendicular a L 2 en el punto E? ) 630 cm 2 ) 126 cm 2 C) 63 cm 2 D) 6,3 cm 2 E) No se puede determinar. L 4 L 1 E C L 2 L 3 9. El área del círculo de la fi gura es 9 π cm 2 y D su diámetro, entonces el perímetro del cuadrado CD es: ) 9 cm ) 12 cm C) 18 cm D) 24 cm E) 36 cm D C 10. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FLS(S)? I) El ángulo que es igual a la mitad de su complemento es 30. II) El ángulo que es igual al doble de su suplemento es 60. II) El 25% del suplemento de 56 es 31. ) Sólo I ) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III 22
11. Si el área del triángulo C es 24 cm 2, entonces cuál es el área del triángulo EC? ) 6 cm 2 ) 8 cm 2 C) 12 cm 2 D) 24 cm 2 E) 36 cm 2 6 cm C Plan de Nivelación E 12 cm 12. Si la recta CD es perpendicular a la recta D ( CD D ), y los segmentos y DC miden respectivamente 34,2 y 24 centímetros, cuál es el área del triángulo C de la fi gura? ) 29,1 cm 2 ) 41,04 cm 2 C) 401,4 cm 2 D) 410,4 cm 2 E) 820,8 cm 2 C D 125º 13. Si la base de un triángulo mide 10 cm y la altura que cae sobre ella mide 5 cm, en cuántos centímetros cuadrados aumenta su área si la misma base aumenta en un 20% y su altura se mantiene constante? ) 30 ) 25 C) 20 D) 5 E) 2 23
Plan de Nivelación 14. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si dos ángulos suplementarios están en razón 5:4, uno de ellos es 80. II) Si dos ángulos complementarios están en razón 2:7, la diferencia entre ellos es 50. III) Si la razón entre un ángulo y su suplemento es 3:2, entonces el suplemento del ángulo es 72. ) Sólo I ) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III 15. Si los ángulos α y β están en la razón 3:4 y las rectas L 1 y L 2 son paralelas (L 1 // L 2 ), entonces, cuánto mide el ángulo α? (E: punto de intersección de las rectas L 1, L 3 y L 4 ) ) 20 ) 40 C) 60 D) 70 E) 140 E β α L 1 40º L 2 L 3 L 4 24
Solucionario Ejercicios 1. a) 5,25 cm 2 b) 6 cm 2 c) 36 π cm 2 d) 6,25 π cm 2 2. 3. E 4. E 5. 6. 7. E 8. C 9. D 10. 11. C 12. D 13. D 14. E 15. C Ejercicios Propuestos página 18 1. Volumen-caja = 288 cm 3 2. Volumen de prisma = 180 cm 3 Solucionario Plan de Nivelación Ejercicios Propuestos páginas 15 y 16 Área-pirámide = 39 cm 2 Área-cilindro = 500 π Página 17 El volumen de la pila de platos cuadrados es 2.400 cm 3. 25
Plan de Nivelación Mis notas 26
Mis notas Plan de Nivelación 27