REPASO ALGEBRA ELEMENTAL OPERACIONES MATEMÁTICAS POR: DRA. KARILUZ DÁVILA DÍAZ
Operaciones matemáticas comunes Operaciones matemáticas comunes que se utilizan en el curso de Química General son: Operación Símbolo Ejemplo Suma a + b 10 + 9 = 19 Resta a - b 10-9 = 1 Multiplicación a b 10 9 = 90 División a b 10 9 = 1.1 Exponentes a b 9 2 = 81 Logaritmo (base 10) log a log 10 = 1 Logaritmo natural ln a ln 10 = 2.30 Antilogaritmo (base 10) 10 a 10 1.5 = 31.6 Antilogaritmo natural e a e 1.5 = 4.48 El orden de operaciones y funciones matemáticas es como sigue: Primero: Evalua la expresión contenida entre los símbolos de agrupación primero. Si hay simbolos de agrupación dentro de otros símbolos, evalue los más internos primero. Los símbolos de agrupación son paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. Segundo: Evalue todos los exponentes y logaritmos que aparecen en la expresión. Tercero: Evalue todas las operaciones de multiplicación y división en el orden que aparecen en la expresión, empezando desde la izquierda hacia la derecha de la ecuación. Cuarto: Evalue todas las sumas y restas en el orden que aparecen en la expresión, moviendose de izquierda a derecha. Ejemplo [(9 5) - 30] [5 2 - (2 5)] [45-30] [25-10] 15 15 = 1
Cuando se suman o restan fracciones con diferentes denominadores se debe buscar un denominador común para poder sumar o restar los numeradores. Si se multiplican o dividen las fracciones se puede multiplicar tanto el numerador como el denominador. Si se puede simplificar los números de la fracción, lo podrá hacer. Ejemplo: 1. 4 5 + 3 2 8 10 + 15 10 = 8 + 15 10 23 10 = 2.3 2. 4 6 27 8 1 2 9 2 = 9 4 = 2.25 Notación científica: La notación científica permite expresar un número que ya sea muy grande o pequeño para que sea convenientemente expresado en una forma estándar. La notación científica tiene la siguiente forma: a 10 b El coeficiente a es un número real, el exponente b es un número entero que puede ser positivo o negativo. Si b es positivo el número que se representa será mayor de uno pero de ser negativo éste será menor de uno. Por regla general si tiene más de un dígito antes del punto sólo se escribe el primer dígito y el resto de los dígitos van después del punto.
Ejemplos: Caso en que b es positivo: Caso en que b es negativo: 3,350 = 3.35 x 10 3 0.00000576 = 5.76 x 10-6 Si va a cambiar la representación de un número expresado en notación científica a decimal dependará del signo del exponente b hacia donde ruede el punto decimal. Si b es positivo rodará el punto hacia la derecha, si es negativo lo rodará hacia la izquierda. Ecuaciones lineales Una ecuación es una expresión matemática que representa una igualdad, es decir, que dos cantidades son iguales. En ocasiones éstas ecuaciones tienen una variable o incognita a la que no se le conoce su valor numérico. En éste caso se debe despejar para la variable. Cuando se desea mover algún componente de la ecuación de un lado a otro de la ecuación habrá que hacer la operación inversa que se muestra en ambos lados de la igualdad. Ejemplo sería que si se está sumando en un lado y lo quiero mover al otro se deberá restar ese mismo valor o variable en ambos lados. Para que se vaya familiarizando con los inversos de cada operación aqui se muestra una tabla con las operaciones y sus respectivos inversos: Operaciones inversas + - y 2 y 4 log 10 y ln y y y 10 y e y y 1/y = y -1
Ejemplo: a) x! 30 = 34, queremos despejar para x Movemos la resta hacia el lado derecho utilizando el inverso de la resta: x! 30 = 34 x! 30 + 30 = 34 + 30 x! = 64 Calculamos la raiz cuadrada en ambos lados de la ecuación para finalmente obtener x.! x! b) ln y!! = 2, queremos despejar para y! = 64 x = 8 Calculamos el antilogaritmo natural en ambos lados para sacar a y del logaritmo natural ln y!! = 2 e!"!!! = e! y!! = 7.39 1 y = 7.39 Multiplicamos por y en ambos lados para subir a y en la ecuacíon. y 1 y = 7.39y 7.39y = 1 Dividimos sobre 7.39 en ambos lados para finalmente tener y. 7.39y 7.39 = 1 7.39 y = 1 7.39 y = 0.135
Recuerde que su meta es despejar para la variable por lo tanto tiene que ir sacando de afuera para adentro las operaciones matemáticas que aparecen hasta dejar sola la variable que deseamos despejar. Cuando hay fracciones en uno o ambos lados de la igualdad se puede "multiplicar cruzado" que no es otra cosa que multiplicar en ambos lados por el denominador pero haciéndolo todo a la misma vez. a b = c d Ejemplo: a d = b c x 10 = 25 5 x = 25(10) 5 = 50 Note que no necesariamente hay que multiplicar en ambos lados, se puede hacer sólo en un lado de la ecuación dependiendo hacia donde se quiera despejar. En ocasiones hay ecuaciones polinomiales que la misma variable tiene diferentes exponentes. Cuando la variable tiene como exponente mayor un dos se puede resolver para el valor de ésta utilizando la fórmula cuadrática. Antes de aplicar la ecuación en la fórmula cuadrática, esta se debe rearreglar tal que todos los componentes estén en un solo lado de la ecuación y al otro un cero: ax 2 + bx + c = 0 Los coeficientes a, b y c mantienen los signos, ejemplo si es una suma el signo del coeficiente es positivo, si es una resta el signo será negativo. La fórmula cuadrática es:
x = b ± b! 4ac 2a Para obtener x, se sustituye en la fórmula cuadrática y resuelve para x. Ejemplo 3x 2-8x = 35 3x! 8x = 35 3x! 8x 35 = 0 x = 8 ± 8! 4 3 35 2 3 x = 8 22 6 x = 8 ± 64 + 420 6 x = 8 ± 22 6 = 2.3 x = 8 + 22 6 = 5 Ecuaciones Simultáneas En muchas ocasiones hay dos o más variables en una ecuación. Cuando esto sucede debe haber igual cantidad de ecuaciones diferentes e independientes que de variables. De esta forma se puede encontrar el valor de cada incognita. Utilicemos el ejemplo de dos variables con dos ecuaciones lineales (de forma y = mx + b) y simples. Para poder conseguir los valores de cada variable hay que empezar resolviendo una de las ecuaciones para una de las variables en término de la otra variable. Esta ecuación se sustituirá en la otra ecuación. Ejemplo: 3x + 2y = 19 y 4x 6 y = 3 Comenzamos despejando para una de las variables en una de las ecuaciones y la utilizamos para sustituir en la otra ecuación.
En el siguiente ejemplo comenzamos despejando para la variable y en la segunda ecuación y sustituimos el valor de y en la primera ecuación: y = 4x 6 + 3 3x + 2 4x 6 + 3 = 19 3x + 4x 3 + 6 = 19 3x + 4x 3 = 19 6 9x + 4x = 13 3 13x 3 = 13 13x = 13 3 x = 13 3 13 = 3 Una vez se consigue el valor de la primera variable se utiliza ese número para sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones originales para conseguir la otra variable. En este ejemplo ya conseguimos el valor de x = 3 y lo sustituimos en la primera ecuación. 3 3 + 2y = 19 9 + 2y = 19 2y = 19 9 2y = 10 y = 10 2 = 5
Razones, Proporciones y Porcentajes Una razón compara dos números. Una razón puede representarse como 1:2 o 1/2. Si se visualiza la razón como 1/2 (fracción) también se puede representar como 0.50, en su forma decimal. Dos razones iguales expresan la misma comparación. Ejemplo 1/2 y 2/4. 1 2 y 2 4 Si dividimos 1/2 = 0.50 y si dividimos 2/4 = 0.50. Como ambas resultan en la misma fracción y comparación son equivalentes y se pueden igualar. 1 2 = 2 4 Una proporción es el nombre que se le da a la aseveración que dos razones son iguales. Por lo tanto la expresión que escribimos antes era un ejemplo de proporciones. Un porcentaje o porciento (%) es una forma de expresar una razón como una fracción de 100. Se compara el número a base de cien. La razón 1/2 que equivale a 0.50 también se puede representar como 50 %, que significa 50 de 100. El porcentaje de cualquier cosa se calcula: % = cantidad de una parte 100 cantidad total
Ejemplo si en la clase hay 26 chicas y 18 chicos, Cuál es el porciento de chicas en el salón de clases? 26 44 100 = 59 % chicas Pero si le dicen que el grupo de 44 personas el 59 % son chicas, Cómo saber cuántas chicas hay? 59 100 = x 44 x = 44(59) = 26 chicas 100 Ejercicios I. Resuelve 1. [(9-3) (5+8)] 3 3. [2+ 4(6)] 4 2. (5/9 + 1/3) 18 4. [7 2 + (5 2) - 4] 5 II. Exprese en notación científica o en decimal según sea el caso 1. 3.97 10-4 3. 0.000219 2. 9.05 10 6 4. 4598 III. Encuentre el valor de la variable. 1. x - 12 = -4 2. 2x + 3 = 0 3. x - (3-2x) = 4 4. 2(x + 3) - 3(1 - x) = -11 5. x +!! =!! 6. x 5 = -10 7. 3x + 5 = 14 8. 3-2x = 5x + 9 9. 2(3x + 1) - 3(4-2x) = -34 10. 2x 2-5x = 4
Resultados I. 1. 26 3. 104 2. 16 4. 11 II. 1. 0.000397 3. 2.19 10-4 2. 9050000 4. 4.598 10 3 III. 1. x = 8 2. x = -1.5 3. x = 2.3 4. x = -4.7 5. x = -0.17 6. x = -50 7. x = 3 8. x = -0.86 9. x = -2 10. x = 3.14, x = -0.64