Funciones reales de varias variables.

Tema 4 Funciones reales de varias variables. 4.1. El espacio euclídeo R n. Definición 4.1.1. Se define el producto escalar entre vectores de R n como la aplicación: ( ) : R n R n R : x y = (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n. Propiedades 4.1.2. x, y, z R n y α R se verifica: a) ( x + y) z = x z + y z. x ( y + z) = x y + x z. x (α y) = (α x) y = α( x y). b) ( x y) = ( y x). c) ( x x) 0 ( x x) = 0 x = 0. d) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) ( x y) 2 ( x x) ( y y). 43

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Definición 4.1.3. Llamamos espacio euclídeo R n al espacio vectorial (R n, +, R) dotado del producto escalar ( ). Definición 4.1.4. Definimos la norma euclídea en R n como la aplicación : R n R, x = x x = x 2 1 + x2 2 + + x2 n. Propiedades 4.1.5. x, y, R n y α R se tiene: a) x 0. b) x = 0 x = 0. c) α x = α x. d) x + y x + y. A partir de esta norma podemos definir la distancia euclídea. Definición 4.1.6. Se llama distancia euclídea a la aplicación: d : R n R n [0, + ), d( x, y) = y x = (y 1 x 1 ) 2 + + (y n x n ) 2. Propiedades 4.1.7. x, y, z R se verifica: a) d( x, y) = 0 si y sólo si x = y. b) d( x, y) = d( y, x). c) Desigualdad triangular: d( x, z) d( x, y) + d( y, z). Definición 4.1.8. Se llama bola abierta (o simplemente bola) de centro a R n y radio r > 0, al conjunto B( a, r) = { x R n : d( a, x) < r}. Se llama bola cerrada de centro a R n y radio r > 0, al conjunto B( a, r) = { x R n : d( a, x) r}. 44

Grupos A y D Curso 2014/2015 Se llama bola reducida de centro a R n y radio r > 0, al conjunto B ( a, r) = B( a, r) \ { a}. Se llama entorno de un punto a R n a todo conjunto que contenga alguna bola abierta de centro a. 4.2. Funciones de varias variables. Límites y continuidad. Las funciones que van a ser objeto de estudio son las de la familia F(D, R) con D R n, es decir las aplicaciones x R n f( x) R. Como x = (x 1, x 2,..., x n ), se dice que f es una función de n variables. Ahora nos fijaremos en la función real de dos variables, es decir, el caso n = 2. A este tipo de funciones las llamaremos funciones reales de dos variables. El conjunto D es el dominio de la función. Si éste no se especifica, consideraremos D como el dominio natural, es decir, como el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano para los que la regla de la función tiene sentido y proporciona un valor numérico real. El rango de una función es su conjunto de valores. Si z = f(x, y), decimos que x e y son las variables independientes, mientras que z es la variable dependiente. Todo lo dicho se extiende normalmente a funciones reales de tres o más variables. Las usaremos a veces, sobre todo las de tres variables. Por la gráfica de una función f de dos variables entenderemos la gráfica de la ecuación z = f(x, y). Esta gráfica será por lo general una superficie y, como a cada punto (x, y) le corresponde únicamente un valor z, cada recta perpendicular al plano XY corta a la superficie en, a lo más, un punto. 45

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 4.2.1. Límite de una función. Recordemos previamente la definición de límite de una función real de variable real, y ponemos de manifiesto que formalmente son iguales, de hecho, intuitivamente se trata de ver que los valores de la función están cerca de l R cuando x está próximo a a. En lo sucesivo, por x notaremos el punto (x, y) y por a, el punto (a, b). Definición 4.2.1. Sea f F(D, R) una función definida en D R 2, y sea a R 2 un punto de D. Se dice que l R es el límite de f en el punto a si se verifica: ε > 0, δ > 0 tal que: ( x D \ { a}, x a < δ) = f( x) l < ε. La condición anterior se puede expresar, recurriendo a las bolas de R 2 y R, diciendo: ε > 0, δ > 0 tal que: si x B ( a, δ) D f( x) B(l, ε). Vemos ahora la definición de límite infinito Definición 4.2.2. Sea f F(D, R) una función definida en D R 2, y sea a R 2 un punto de D. Se dice que f tiene límite infinito en a, si para cada K > 0 existe un δ > 0 tal que, para todo x B ( a, δ) D, se verifica f( x) > K. Cuando así ocurre, se escribe: lím f( x) =. x a Definición 4.2.3 (Límites direccionales). Sea f : D R una función definida en D R 2, y sea a R 2 un punto de D. Si r es una recta de R 2 que pasa por el punto a, consideremos la restricción de f a r, es decir, la función f r : D r R definida por f r ( x) = f( x) para todo x D r, y supongamos que a es un punto de D r. Se dice que f tiene límite l en a según la dirección r, si f r tiene límite l en a. Nota 4.2.4. Es evidente que si f tiene límite l en a, entonces f tiene límite l en a según toda recta r que pase por a, sin embargo, no es suficiente que f tenga límite l en a en todas direcciones para poder garantizar que f tenga límite l en a; lo que sólo se puede 46

Grupos A y D Curso 2014/2015 asegurar, con carácter general, es que si f tuviera límite en a, dicho límite sería l. Señalemos también que si no existiera el límite de f en a según una cierta recta r, entonces f no tendría límite en a; a esta misma conclusión llegaríamos en el caso de que f tuviera en a límites direccionales distintos según dos rectas diferentes. Esto puede extenderse a otros tipos de conjuntos r, no necesariamente rectas. Definición 4.2.5 (Límites reiterados). Sea f : D R una función definida en D R 2, y sea (a, b) R 2 un punto de D. Las expresiones ( ) ( ) l 1 = lím lím f(x, y), l 2 = lím lím f(x, y) y b x a x a y b significan: a) Para cada y de un cierto entorno reducido de b, se considera la función x f(x, y). b) Se supone que esta función tiene límite cuando x a, al que llamaremos (por depender de y), ϕ(y) = lím x a f(x, y). c) La función y ϕ(y) tiene límite l 1 cuando y b. En tal caso, a l 1 se le llama límite reiterado de f cuando x tiende primero a a e y tiende, después, al punto b. Análogamente con l 2. Teorema 4.2.6. Sea f : D R una función definida en C R 2, y sea (a, b) R 2 un punto de D. Si existe y vale l el límite de f en (a, b), y si, para cada y de un entorno reducido de b, existe el límite de la función x f(x, y), cuando x a, entonces existe y vale l el límite reiterado ( ) lím lím f(x, y). y b x a Para el otro límite reiterado se verifica un teorema análogo. Notas 4.2.7. Puede ocurrir: 1) La función tiene límite en un punto, pero no existe, en dicho punto, ninguno (o alguno) de los límites reiterados (por ejemplo, f(x, y) = x sen(1/y) + y sen(1/x) en el origen). 47

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 2) La función tiene en un punto sus dos límites reiterados y son iguales, pero no existe su límite en el punto (por ejemplo, f(x, y) = xy x 2 +y 2 en el origen). 3) La función tiene, en un punto, sus dos límites reiterados y son distintos (por ejemplo, f(x, y) = x2 y 2 x 2 +y 2 en el origen). En ocasiones, el anterior teorema permitirá asegurar que una función no tiene límite en un punto. 4.2.2. Funciones continuas. Definición 4.2.8. Sea f : D R una función definida en un conjunto C R 2, y sea a D. Se dice que f es continua en a si se verifica : ε > 0, existe un δ > 0 tal que: [ x D, x a < δ] f( x) f( a) < ε. Nota 4.2.9. La función f es continua en a, si y sólo si f tiene límite en a y dicho limite es f( a). Definición 4.2.10. Si la función f no es continua en un punto a de D, se dice que f es discontinua en a. En tal caso la discontinuidad será evitable o esencial según exista o no el límite de f en a. Proposición 4.2.11. Si f, g son dos funciones reales definidas en un mismo conjunto D R 2, que son continuas en un punto a D, entonces también son continuas en a su suma f + g, su producto f g y su cociente f/g (siempre que g( a) 0). 4.3. Diferenciabilidad. 4.3.1. Derivadas parciales Definición 4.3.1. Sea f : S R 2 R y a = (a, b) S. 48

Grupos A y D Curso 2014/2015 Se llama derivada parcial primera de f respecto de la variable x en el punto a = (a, b) y se denota por f x( a), ( a) [D 1 f] ( a), al límite (si existe y es finito) f(a + h, b) f(a, b) (a, b) = lím h 0 h Se llama derivada parcial primera de f respecto de la variable y en el punto a = (a, b) y se denota por f y( a), ( a) [D 2 f] ( a), al límite (si existe y es finito) f(a, b + h) f(a, b) (a, b) = lím h 0 h Definición 4.3.2. Si la función f : S R 2 R tiene derivadas parciales en todos los puntos del abierto S, se llama función derivada (parcial) de f respecto de x (respecto de y) a la aplicación f x, D 1 [f],, de S en R, (f y, D 2 [f],, de S en R) definida por: : (x, y) (x, y) (x, y) =. ( ) (x, y) : (x, y) (x, y) = En la práctica, para calcular la derivada parcial respecto de x de una función f(x, y), consideraremos que la variable y es constante y se procede como en el caso de una variable. Para derivar parcialmente respecto de y, se procede de igual forma considerando constante la variable x. Definición 4.3.3. Sea la función f : S R 2 R. Si existen las derivadas parciales de f en un punto (a, b) S, se llama vector gradiente de f en (a, b) al vector: f(a, b) = ( ) (a, b), (a, b). La existencia de derivadas parciales en un punto, no garantiza la continuidad de la función en dicho punto, como se puede comprobar con la función: f(x, y) = xy x 2, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0, + y2 que no es continua en el origen y sin embargo, f(0, 0) = (0, 0). 49

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 4.3.2. Derivadas direccionales Definición 4.3.4. Sea f : S R 2 R una función definida en un abierto S R 2. Consideremos un punto (a, b) S y un vector unitario u = (cos α, sen α). Se llama derivada direccional de f en el punto (a, b) y en la dirección del vector u y se denota por f u (a, b), [D (a, b) uf] (a, b), al límite (si existe y es finito) u f(a + h cos α, b + h sen α) f(a, b) (a, b) = lím u h 0 h Es claro que y que (a, b) = (a, b), con u = (1, 0) u (a, b) = (a, b), con v = (0, 1). v La existencia de todas las derivadas direccionales de una función en un punto tampoco garantiza la continuidad de la función en dicho punto, como se puede comprobar con: f(x, y) = xy2 x 2, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0. + y4 4.3.3. Diferenciabilidad Definición 4.3.5. Sea f : S R 2 R y (a, b) S. Se dice que f es diferenciable en (a, b) cuando existen y son finitas las derivadas parciales de f en (a, b) y se verifica: f[(a, b) + (x, y)] f(a, b) f(a, b) (x, y) lím = 0. (x,y) (0,0) (x, y) Si la función f : S R es diferenciable en todos los puntos de S, se dice entonces que f es diferenciable en S y a la aplicación df definida (en S) mediante df : (x, y) df(x, y) = dx + dy se le llama diferencial de la función f. Se puede interpretar la diferencial de f como el incremento que experimenta la función cuando incrementamos las variables x e y en una cantidad dx y dy. Veamos, a continuación unas propiedades de las funciones diferenciables 50

Grupos A y D Curso 2014/2015 Proposición 4.3.6. 1. Si f es diferenciable en (a, b), entonces f es continua en (a, b). El recíproco, en general, no es cierto. 2. Si f es diferenciable en (a, b) y u es un vector unitario de R 2, entonces existe la derivada direccional (a, b) y se verifica: u (a, b) = f(a, b) u. u 3. Si existen y son continuas las derivadas parciales, en (a, b), entonces f es diferenciable en (a, b). El recíproco, generalmente, es falso, como lo prueba la función: f(x, y) = x 2 sen 1 x + y2 sen 1, (x 0, y 0), f(x, 0) = f(0, y) = 0. y Si f es diferenciable en (a, b) y f(a, b) = c, el plano de ecuación: z c = (a, b)(x a) + (a, b)(y b) Se llama plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, c). 4.3.4. Regla de la cadena a) Una variable independiente. Sea z = f(x, y) una función diferenciable y supongamos que x, y son funciones diferenciables de una única variable t. En este caso z = z(t) = f(x(t), y(t)) y existe la diferencial dz y viene dada por: dt dz dt (t) = z (x(t), y(t)) dx dt z dy (t) + (x(t), y(t)) dt (t). b) Dos variables independientes Sea z = f(x, y) una función diferenciable y supongamos que x, y son funciones diferenciables de u y v, es decir, x = x(u, v), y = y(u, v). Entonces, z es función de u y v, 51

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) z = z(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) y existen las derivadas parciales u y v dadas por: que vienen u v (u, v) = (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) u (x(u, v), y(u, v)) v (u, v) + (u, v) + (x(u, v), y(u, v)) (u, v), u (x(u, v), y(u, v)) (u, v). v 4.3.5. Derivadas parciales de orden superior Al igual que sucede con las funciones de una variable, es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables y de órdenes superiores a uno. En concreto, para una función f(x, y) hay cuatro posibilidades de obtener la derivada parcial segunda: a) Dos veces respecto de x: b) Dos veces respecto de y: c) Respecto de x y respecto de y: d) Respecto de y y respecto de x: ( ) = 2 f 2 = f xx = D 11 f. ( ) = 2 f 2 = f yy = D 22 f. ( ) = 2 f = f xy = D 12 f. ( ) = 2 f = f yx = D 21 f. La matriz hessiana de f es la matriz formada por las derivadas parciales de segundo 2 f 2 f orden y se denota por Hf( x). En R 2 : Hf( x) = 2 2 f 2 f. 2 Teorema 4.3.7. Teorema de Schwartz. Si las derivadas parciales,, continuas en un entorno de a, entonces existe 2 f y se verifica: 2 f son 2 f ( a) = 2 f ( a). 52

Grupos A y D Curso 2014/2015 4.3.6. Fórmula de Taylor En este apartado veremos el desarrollo de Taylor de funciones de 2 variables. Sea f : D R 2 R tal que f y sus derivadas parciales hasta de segundo orden son diferenciables en D. Sean los puntos x, a D, tales que el segmento que los une está contenido en D, L[ x, a] D, entonces, existe un punto c L[ x, a] tal que: f( x) = f( a) + f( a) t ( x a) + 1 2! ( x a)t Hf( a)( x a) + R( c) Donde R( c) es el término complementario o resto. Desarrollando la expresión anterior, podemos escribir: + 1 2! f(x, y) = f(a, b) + (a, b)(x a) + (y b)+ ( 2 ) f 2 (a, b)(x a)2 + 2 f 2 (a, b)(y b)2 + 2 2 f (a, b)(x a)(y b) + R(c 1, c 2 ). Si (a, b) = (0, 0) se tiene la fórmula de McLaurin. 4.3.7. Funciones homogéneas. Definición 4.3.8. Sea f : D R n R, se dice que f es homogénea de grado r (r R) si: x D, t > 0 (t R) : t x D = f(t x) = t r f( x) Proposición 4.3.9. Sean f, g : D R n R homogéneas de grados r 1 y r 2 respectivamente: 1. Si r 1 = r 2 = r, f ± g es homogénea de grado r. 2. f g es homogénea de grado r 1 + r 2. 3. f/g, si está definida, es homogénea de grado r 1 r 2. Teorema 4.3.10. Teorema de Euler. Sea f : D R n R diferenciable en D. f es homogénea de grado r rf( x) = f( x) x. 53

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 4.3.8. Funciones implícitas. Estudiaremos sólo el caso de la función implícita definida por una ecuación de dos o tres variables. Teorema 4.3.11. Sea F : D R 3 R, (x 0, y 0, z 0 ) D y la ecuación F (x, y, z) = 0. Si se verifican las condiciones: 1. F es de clase C 1 ( Tiene derivadas parciales de primer orden continuas). 2. F (x 0, y 0, z 0 ) = 0. 3. F z (x 0, y 0, z 0 ) 0 La ecuación define a z como función implícita de (x, y) en un entorno de (x 0, y 0, z 0 ). Si fuese F (x, y) = 0 y la ecuación define a y como función implícita de x, podemos calcular dy dx (x 0) utilizando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que y = y(x). Si fuese F (x, y, z) = 0 y la ecuación define a z como función implícita de (x, y), podemos calcular z (x 0, y 0 ) y z (x 0, y 0 ) teniendo en cuenta que z = z(x 0, y 0 ). 4.4. Ejercicios resueltos 1.- Dada la función f(x, y) = xy2 x 2, calcule los límites reiterados de la función en el + y4 punto (0, 0) y los límites direccionales en dicho punto según la dirección L = {(x, y) R 2 : x = my 2, m 0}. Existe el límite doble de la función en el origen? : xy 2 φ 1 (x) = lím y 0 x 2 + y 4 = 0 = 0, lím x2 φ 1(x) = lím 0 = 0 x 0 x 0 xy 2 φ 2 (y) = lím x 0 x 2 + y 4 = 0 = 0, lím y4 φ 2(y) = lím 0 = 0 y 0 y 0 lím (x,y) (0,0) x=my 2 xy 2 x 2 + y 4 = lím y 0 mx 4 m 2 y 4 + y 4 = m m 2 + 1 54

Grupos A y D Curso 2014/2015 Aunque los límites reiterados de la función en el origen existen y coinciden, podemos asegurar que no existe el límite doble, dado que los límites direccionales dependen de la dirección. 2.- Dada la función f(x, y) = xy2 x 2, calcule los límites reiterados de la función en el + y2 punto (0, 0) y los límites direccionales en dicho punto según la dirección L = {(x, y) R 2 : y = mx, m 0}. Existe el límite doble de la función en el origen? xy 2 φ 1 (x) = lím y 0 x 2 + y 2 = 0 = 0, lím x2 φ 1(x) = lím 0 = 0 x 0 x 0 xy 2 φ 2 (y) = lím x 0 x 2 + y 2 = 0 = 0, lím y2 φ 2(y) = lím 0 = 0 y 0 y 0 lím (x,y) (0,0) y=mx xy 2 x 2 + y 2 = lím x 0 m 2 x 3 x 2 + m 2 x 2 = lím x 0 m 2 x 3 x 2 (1 + m 2 ) = lím x 0 m 2 x 1 + m 2 = 0 Dado que los límites reiterados existen y coinciden y los direccionales según rectas también coinciden con los reiterados, podemos sospechar que ese es el límite doble, por lo que descompondremos la función en el producto de otras dos, una acotada y la otra tendiendo a 0, por lo que, de ser así, el límite doble valdría 0. f(x, y) = xy2 x 2 + y 2 = x y 2 x 2 + y 2. Dado que lím x = 0 y que 0 y2 (x,y) (0,0) x 2 1, podemos asegurar que + y2 lím (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y 2 = 0. 3.- Hallar la derivada direccional de f(x, y) = x + y 3 x 2 en el punto (1, 1) en la dirección que forma un ángulo de π con el semieje OX positivo. En qué dirección es máxima 3 la derivada direccional en el punto (1, 1)? Cuál es el valor de esta derivada direccional máxima? 55

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) En primer lugar calcularemos las parciales de f(x, y). = 1 + 2xy3, = 3y2 x 2. Como las parciales son funciones polinómicas, son continuas en todo R 2, luego en el punto (1, 1). Así pues, para calcular la derivada direccional, podemos usar la fórmula: D u f(1, 1) = f(1, 1) u. ( ) Pero f(1, 1) = (1, 1), (1, 1) = (1 + 2, 3) = (3, 3); y el vector de dirección es u = (cos(π/3), sen(π/3)) = (1/2, 3/2). Por lo tanto: D u f(1, 1) = (3, 3) (1/2, 3/2) = 3 2 + 3 3 2 = 3(1 + 3). 2 Por otro lado, la derivada direccional siempre es máxima en la dirección del gradiente, en este caso en la dirección f(1, 1) = (3, 3); y el valor de esta derivada direccional coincide con el módulo del vector gradiente, en este caso f(1, 1) = (3, 3) = 32 + 3 2 = 3 2. 4.- Se considera la función f(x, y) = x 3 + 4xy 2y 2 + 1 a) Hallar el gradiente en el punto (1, 1) y la derivada direccional en dicho punto en la dirección que forma un ángulo de 45 o con el semieje OX positivo. f(1, 1) = ( ) (1, 1), (1, 1) = ( 3 + 4, 4 4) = (1, 0). Para la derivada direcciona, el vector de dirección unitario será u = (cos(45 ), sen(45 )) = (1/ 2, 1/ 2). Por lo tanto D u f(1, 1) = f(1, 1) u = (1, 0) (1/ 2, 1/ 2) = 1/ 2. b) En qué dirección es máxima la derivada direccional en el punto (1, 1)? Cuál es el valor de esta derivada direccional máxima? La derivada direccional SIEMPRE es máxima en la dirección del gradiente. En este caso la dirección será v = (1, 0). Y el valor de dicha derivada direccional es D v f(1, 1) = f(1, 1) = (1, 0) = 1. 56

Grupos A y D Curso 2014/2015 c) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (1, 1, 2). Comprobemos, antes de comenzar, que el punto está en la superficie, es decir, que 2 = f(1, 1). En efecto, f(1, 1) = 1 + 4 2 + 1 = 2. La fórmula del plano tangente será: z 2 = (1, 1)(x 1) + (1, 1)(y 1). En nuestro caso, (1, 1) = 1 y (1, 1) = 0, luego la ecuación quedará z 2 = x 1. 5.- Dada la función f(x, y) = (x + y) ln(x 2 y 2 ) se pide: a.- Obtener el gradiente de f(x, y) en el punto (e, e). Para calcular el gradiente, hay que calcular las parciales: = ln(x2 y 2 1 ) + (x + y) x 2 y 2 2xy2 = ln(x 2 y 2 ) + 2 x + y x, = ln(x2 y 2 1 ) + (x + y) x 2 y 2 2yx2 = ln(x 2 y 2 ) + 2 x + y. y Si particularizamos ( en el caso x = y = e, resulta que f(e, e) = ln(e 4 ) + 2 e + e, ln(e 4 ) + 2 e + e ) = (8, 8). e e b.- Calcular la derivada direccional de f(x, y) en el punto (e, e) según la dirección del vector u = (3, 4). En primer lugar, veamos si el vector de dirección es unitario: u 2 = 9 + 16 = 25, luego u = 5. Así que trabajaremos con u 0 = (3/5, 4/5). En segundo lugar, vemos que las derivadas parciales son continuas en el punto (e, e), por lo tanto podemos utilizar la fórmula D u f(e, e) = f(e, e) u 0. En nuestro caso, D u f(e, e) = (8, 8) (3/5, 4/5) = 8 3 5 8 4 5 = 8 5. 57

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) c.- En qué dirección es máxima dicha derivada direccional? Encuentra una dirección v el la que D v f(e, e) = 0. La derivada direccional siempre es máxima en la dirección del gradiente, en nuestro caso, en la dirección u = (8, 8). Para que la derivada direccional se anule, hace falta que, tomando v = (cos α, sen α), ocurra lo siguiente: D v f(e, e) = f(e, e) v = (8, 8) (cos α, sen α) = 8(cos α + sen α). Por tanto, para que la derivada direccional se anule, hace falta que cos α + sen α = 0, es decir, cos α = sen α y esto último ocurre, por ejemplo, si α = 3π/4. Entonces la dirección sería la del vector v = ( 2/2, 2/2). NOTA: También se anula la derivada direccional si α = π/4, en cuyo caso tendríamos el vector v = ( 2/2, 2/2) 6.- La ecuación F (x, y) = 3xy 1+x 2 +y = 0 define implícitamente a x como función de y (x = f(y)) en un entorno del punto (0, 1)?. Calcule, si es posible, f (1) = dx dy (1). Hay que comprobar que se cumplen las hipótesis del teorema de la función implícita: 1) F es de clase uno en R 2, es decir, es continua con derivadas parciales continuas F F (x, y) = 3y + 2x, (x, y) = 3x + 1 Tanto F como sus derivadas parciales son polinomios. 2) F (0, 1) = 1 + 0 + 1 = 0. 3) F (0, 1) = 3y + 2x (0,1) = 3 0. Como se verifican las tres hipótesis del teorema de la función implícita, F (x, y) define a x como función implícita de y, x = f(y). Para obtener f (1) = dx (1), derivamos la ecuación teniendo en cuenta que x = f(y). dy 3f (y)y + 3x + 2xf (y) + 1 (0,1) = 0, 3f (1) + 1 = 0, f (1) = 1 3. 58

Grupos A y D Curso 2014/2015 7.- La ecuación F (x, y, z) = xe z y 2 z + 5y + z 1 = 0 define implícitamente a z como función de x, y (z = f(x, y)) en un entorno del punto (1, 0, 0)?. Calcule, si es posible, z = z (1, 0), = (1, 0). Al igual que en el problema anterior, hay que comprobar que se cumplen las hipótesis del teorema de la función implícita: 1) F es de clase uno en R 3, es decir, es continua con derivadas parciales continuas F (x, y, x) = ez, F F (x, y, z) = 2yz + 5, z (x, y, z) = xez y 2 + 1 Tanto F como sus derivadas parciales son continuas. 2) F (1, 0, 0) = e 0 0 + 0 1 = 0. 3) F z (1, 0, 0) = xez y 2 + 1 (0,1) = 2 0. Como se verifican las tres hipótesis del teorema de la función implícita, F (x, y, z) define a z como función implícita de x, y, z = f(x, y). Para obtener las derivadas parciales pedidas, derivamos respecto de x e y en la ecuación F (x, y, f(x, y)) = xe f(x,y) y 2 f(x, y) + 5y + f(x, y) 1 = 0. Derivando respecto de x: e f(x,y) f(x,y) + xe y2 + = 1+ (1, 0)+ (1, 0) = 0 (1,0,0) (1, 0) = 1 2 Derivando respecto de y: f(x,y) xe 2yf(x, y) y2 + 5 + = (1, 0)+5+ (1, 0) = 0 (1,0,0) (1, 0) = 5 2. 8.- Dada la función f(x, y) = 2x 3 + 3xy 2 comprobar que es homogénea y que verifica el teorema de Euler. La funciónf(x, y) es homogénea de grado 3 ya que: f(tx, ty) = 2(tx) 3 + 3(tx)(ty) 2 = 2t 3 x 3 + 3txt 2 y 2 = t 3 (2x 3 + 3xy 2 ) = t 3 f(x, y). 59

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) Como la función es diferenciable en R 2 (es un polinomio) y homogénea de grado 3, vamos a ver que verifica el Teorema de Euler: = 6x2 + 3y 2, = 6xy. Por tanto, f(x, y) = (6x2 + 3y 2, 6xy) Debe verificarse rf(x, y) = f(x, y) (x, y), en efecto: f(x, y) (x, y) = (6x 2 + 3y 2, 6xy) (x, y) = 6x 3 + 9xy 2 = 3(2x 3 + 3xy 2 ) = 3f(x, y) 4.5. Ejercicios propuestos 1.- Calcula las derivadas parciales de las funciones: a) f(x, y) = x 2 + y 2 cos(xy) c) f(x, y) = log x + y x y e) f(x, y) = cos(3x) sen(3y) b) f(x, y) = x x2 + y 2 d) f(x, y) = arctan x + y x y f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 ). 2.- Comprobar que cada una de las funciones siguientes verifica la ecuación indicada: f(x, y) = e xy + sen (x + y) xd 1 f(x, y) yd 2 f(x, y) = (x y) cos(x + y) ( ) x + y g(x, y, z) = cos 2z xd 1 g(x, y, z) + yd 2 g(x, y, z) + zd 3 g(x, y, z) = 0. 3.- Hallar la derivada de la función f(x, y) = x 2 y 2 en el punto (1, 1) según la dirección que forma un ángulo de 60 con el semieje OX positivo. 4.- Hallar la derivada de la función f(x, y) = x 2 xy + y 2 en el punto (1, 1) según la dirección que forma un ángulo α con el semieje OX positivo. En qué dirección es máxima?. Y mínima?. Y nula? 5.- Hallar el gradiente de la función f(x, y, z) = x 3 y 3 3xy(x y) + e z en el punto (0, 0, 0). 60

Grupos A y D Curso 2014/2015 6.- La temperatura en cada punto (x, y) de una placa circular delgada de radio 10 centímetros viene dada por T (x, y) = 100 (x 2 + y 2 ). Se sabe que en el punto (4,3) la temperatura es de 75 o. a) Encontrar la dirección en la que la velocidad de variación de la temperatura en el punto (4,3) sea lo más grande posible. b) Cuánto vale dicha velocidad? 7.- La cantidad de calor Q desprendida cuando x moléculas de SO 4 H 2 se mezclan con y moléculas de H 2 O es Q = ay (a, b constantes positivas). Hallar el incremento de bx + y calor por molécula de agua añadida si la cantidad de ácido es constante. b) Idem por molécula de ácido añadida si la cantidad de agua es constante. c) Si en un momento dado el número de moléculas de ácido es diez veces mayor que el de agua, hallar la variación de calor si x aumenta en un 5 por 100, e y aumenta en un 10 por 100. 8.- Demostrar que una función de la forma f(x, t) = f 1 (x + at) + f 2 (x at), donde f 1 y f 2 son derivables dos veces y a es una constante, es solución de la ecuación unidimensional de ondas, D 22 f(x, t) = a 2 D 11 f(x, t). 9.- Demostrar que la función f(x, y) = a log(x 2 +y 2 )+b cumple la ecuación de Laplace, es decir, f = D 11 f(x, y) + D 22 f(x, y) = 0. 10.- Dadas las funciones: f(x, y) = x 3 y xy 3, g(x, y) = x 2 + y 2 x, h(x, y, z) = xyz 3 4x 2 y 2 z Estudiar si son homogéneas y, en su caso, determinar el grado de homogeneidad y comprobar que se verifica el Teorema de Euler. 11.- Dada la función F (x, y) = x 2 y xy 2, estudiar si la ecuación F (x, y) = 0 define a y como función implícita de x en un entorno del punto (1, 1), y calcular la derivada de y = y(x). 12.- Dada la función F (x, y, z) = x 3 + 2y 2 z 2, estudiar si la ecuación F (x, y, z) = 0 define a z como función implícita de x, y en un entorno del punto (1, 0, 1), y calcular las derivadas parciales de z = z(x, y). 61

Curso 2014/2015 Matemáticas (Grado en Química) 13.- Estudiar si F (x, y, z) = C defina a z como función implícita de x y y en un entorno del punto P (x 0, y 0, z 0 ) y, en caso afirmativo, determinar C y calcular las derivadas parciales de z = z(x, y) en (x 0, y 0 ) en los casos: a) F (x, y, z) = ln z x2 y, P (1, 1, 1) z ( ) 10x b) F (x, y, z) = ln + z, P (10, 2, 200) y 100 62