ENCUENTRO # 9 TEMA:Operaciones con polinomios CONTENIDOS: 1. Polinomios. Clasificación.. Valor numérico de un polinomio 3. Operaciones con polinomios. 4. Signos de agrupación. DESARROLLO Ejercicio reto 1. El resultado de a 3 a a es: A) 3 a B) 4 a 3 C)a D)a 3. Al realizar la siguiente operación y simplificar 4 16y 5 + 3 4 81y 13 4y 4 y se obtiene:(examen DE INGRESO UNI 01) A)4y 4 3y B)5y 3 4 y C)9y 3 4 y D)y(4 + 5y ) 4 y E) y 4 y Polinomios Expresiones algebraicas Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación. Ejemplo 1.1. 3a + b 5 en esta expresión son constantes 3,, 5y las variables son a y b. (z +8)(5z 4 7), en esta expresión son constantes 8, 5, 7, variable "z" y, 4 exponente. Portal de Matemática 1 portaldematematica.com
Término algebraico Es un sumando de un expresión algebraica y representa una cantidad. A todo término algebraico se le denomina monomio y consta de coeficiente,parte literal (base y exponente). Ejemplo 1.. Término Coeficiente Base(s) Exponente(s) 8y 3 8 y 3 1 3 mnx 1 3 m, n 1, x 3(x + 4 1) 3 4 x + 1 Clasificación de polinomios Clasificación de los polinomios según la cantidad de términos Monomio: es la mínima expresión algebraica que tiene un sólo término algebraico. Ejemplo 1.3. 5 x a 5x 3 y 4x 7 Binomio: es un polinomio que consta de dos términos. Ejemplo 1.4. x + a 9 m 3 + 1 x + y Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos. Ejemplo 1.5. x + y + z b 9b 10 m 3 + m + 4 z 4 5z m 6m Polinomio: es un polinomio que consta de más de tres términos. Ejemplo 1.6. a x + y + z b 9b 10 5d m 3 + m m + 4 z 4 + 3z 3 5z m 6m Grado Absoluto de un Polinomio (GA) Está dado por el término que tiene mayor grado absoluto. Grado Relativo de un Polinomio (GR) Está dado por el término de mayor exponente de la letra referida en dicho polinomio. Portal de Matemática portaldematematica.com
Ejemplo 1.7. Determinar los grados del siguiente polinomio. P = 4x 4 y 3 z 5 + 8x 5 y 4 z 6 + 9x 6 y z 8 Como no se especifica qué grado debe darse, se obtendrán los dos grados: absoluto y relativo. Grado absoluto de P GA de 4x 4 y 3 z 5...es 1 GA de 8x 5 y 4 z 6...es 15 GA de 9x 6 y z 8...es 16 Luego el GA de P es 16. Grado Relativo de P Grado Relativo con respecto a x = 6 (por ser el mayor exponente) Grado Relativo con respecto a y = 4 (por ser el mayor exponente) Grado Relativo con respecto a z = 8 (por ser el mayor exponente) Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando tiene la misma parte literal, o sea cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases. Ejemplo 1.8. Los siguientes términos tienen las mismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por lo consiguiente son semejantes. 7b con 4b 8x y 3 con 7x y 3 1 6 abc con abc Reducción de términos semejantes Para simplificar expresiones que involucren términos semejantes, se suman o restan los coeficientes, manteniéndose la parte literal. Ejemplo 1.9. Simplifica la expresión 7a + 3a Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación que da como resultado: 7a + 3a = ( 7 + 3)a = 4a Ejemplo 1.10. Cuál es el resultado de simplificar 6xy + 9xy xy? Portal de Matemática 3 portaldematematica.com
Se agrupan los coeficientes y se realiza la operación para obtener el resultado: 6xy + 9xy xy = ( 6 + 9 1)xy = xy Ejemplo 1.11. Reduce la expresión 10x a y b 5x a y b + 6x a y b 11x a y b. Se efectúa el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores y se obtiene: 10x a y b 5x a y b + 6x a y b 11x a y b = (10 5 + 6 11)x a y b = 0x a y b = 0 Ejemplo 1.1. Simplifica la expresión 7x 3y + 4z 1x + 5y + z 8y 3z Se agrupan los términos semejantes: 7x 3y + 4z 1x + 5y + z 8y 3z = 7x 1x 3y + 5y 8y + 4z + z 3z Se realiza la reducción: = (7 1)x + ( 3 + 5 8)y + (4 + 3)z = 5x 6y + 3z Ejemplo 1.13. Simplifica 0.5a 3 b 3ab 3 5a 3 b + 0.75ab 3 3 a3 b Se expresan los decimales en fracciones, se agrupan y simplifican los términos semejantes. 0.5a 3 b 3ab 3 5a 3 b + 0.75ab 3 3 a3 b = 1 a3 b 3ab 3 5a 3 b + 3 4 ab3 3 a3 b = 1 a3 b 5a 3 b 3 a3 b 3ab 3 + 3 4 ab3 = ( 1 5 3 )a3 b + ( 3 + 3 4 )ab3 = 31 6 a3 b 9 4 ab3 Ejercicios Propuestos Simplifica: 1. 3x 8x. 6a b + 7a b 3. 4xy 4 z 3 4xy 4 z 3 Portal de Matemática 4 portaldematematica.com
4. a b + 1a b 5. 3a + 5a 10a 6. 4x 3x x 7. 7ab + 4ab 3ab 8. 5a 7a + 3a a 9. m + n + m + n 10. 1 4 a3 b 3 5 a3 b + 1 6 a3 b 11. 3a x+1 + a x+1 a x+1 + a x+1 1. 0.5b 0.4b + 0.b 13. 1 ab3 c 3 ab3 c ab 3 c 14. 4m x 10m x + 3m x 15. 1a b + 3ab 8a b 10ab 3a b + 6ab 16. 9a 3 b c 5a bc 1a 3 b c + 3a bc + 4a 3 b c 17. 3x + y 7 + 10x 1y + 15 18. 81m 17mn + 15n + 0m + 3mn 17n + 53m + 18mn + 7n 19. x a+1 3x 3a 7x a+1 4x 3a + 8x a+1 + 1x 3a 0. 3a m+5 + 10x m+ + a m+5 3x m+ 8a m+5 1. 5 4 a 3 ab + 1 a + 5ab 3a 1 ab. 3 xm 1 1 10 bm + 1 xm 1 3 4 bm 4x m 1 Portal de Matemática 5 portaldematematica.com
Valor numérico El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores numéricos y entonces se realizan las operaciones indicadas. Ejemplo 3.1. Determina el valor numérico de la expresión:x 4 y z 3 ; si x = 4, y = 3, z = 1 Se sustituyen los respectivos valores dex, y, z y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico de la expresión: x 4 y z 3 = (4) 4 (3) ( 1 )3 = (56)(9)( 1 8 ) = 304 8 = 88 Ejemplo 3.. Cuál es el valor numérico de 5x xy y, si x =, y = 1? 3 5 3x 4 Se sustituyen los respectivos valores de x, y y se efectúan las operaciones indicadas para obtener el valor numérico de la expresión: 5x 3 xy 5 y 3x = 5() ()( 1) 1 4 4 3 5 3() = 5(4) 4 1 3 4 5 4 6 = 0 3 1 5 1 800 4 5 = = 771 4 10 10 = 57 40 Ejercicios Propuestos Encuentra el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones si: m =, n = 3, p = 1 4, x = 1 3, y = 10, z = 1 1. m + n. m n + y 3. 8p + 3x 8. ( z x m+n ) 9. p + px + x 10. m 3mn + n 4. z+6x n 11. p x y z + 3 5. 5m n + 3y m 1. + n + y 3 4 6. m n ( y z + m + 6) 13. mn z + mp x np m 7. m +n +1 p+x 14. 9x 3 8z + 3 Portal de Matemática 6 portaldematematica.com
15. p 3 x + 4 5 xy 18. (p x) m +n z p 16. 8p z n 1x m z + x 19. 3(p x) m 17. m n 3 pn + z n 0. 5 m n + 3 6+y 4 3 p Lenguaje algebraico Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos. Ejemplo 4.1. Expresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Lenguaje común lenguaje algebraico Un número cualquiera m. Un número cualquiera aumentado en siete. j + 7 La diferencia de dos números cualesquiera. f q El doble de un número excedido en cinco. x + 5 x La división de un número entero entre su antecesor. x 1 d La mitad de un número. El cuadrado de un número. y b+c La semisuma de dos números. Las dos terceras partes de un número disminuido en (x 5) = 1 3 cinco es igual a 1. Tres números naturales consecutivos. x, x + 1, x + Las tres quintas partes de un número más la mitad de su consecutivo equivalen a 3. La raíz cuadrada de la diferencia de dos cantidades. Ejercicios Propuestos Expresa en lenguaje algebraico las siguientes oraciones: 1. Un número disminuido en tres.. El triple de un número excedido en ocho. 3. El cociente de dos números cualesquiera. 4. Tres números enteros pares consecutivos. 5. El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera. 3 p + 1 (p + 1) = 3 5 a b Portal de Matemática 7 portaldematematica.com
6. La suma de los cuadrados de dos números cualesquiera. 7. El recíproco de un número. 8. La raíz cúbica de la diferencia de dos números cualesquiera. 9. La suma de las raíces cuadradas de dos números cualesquiera. 10. El precio de un artículo disminuido en su 15%. 11. El exceso de 50 sobre el doble de un número. 1. Tres números impares consecutivos. 13. El área de un rectángulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que el triple de su ancho. 14. La edad de una persona hace 10 años. 15. El exceso del cubo de un número sobre la mitad del mismo. 16. Los ángulos de un triángulo, si el primero es el doble del segundo. 17. La cantidad de alcohol en un recipiente de x litros de una mezcla si la concentración de alcohol es 30%. 18. La edad de Alberto si tiene cuatro años más que el doble de la edad de Patricia. 19. Las dos terceras partes de un número, más el triple de su consecutivo, menos su recíproco equivale a 10. 0. El doble de un número equivale al triple de su antecesor excedido en siete. Operaciones con polinomios Suma y Resta de polinomios Suma los polinomios Se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes. Ejemplo 5.1. Suma los siguientes polinomios: 5x 3 3x 6x 4; 8x 3 + x 3; 7x 9x + 1 Portal de Matemática 8 portaldematematica.com
Los polinomios se escriben de la siguiente forma y se realiza la reducción de términos semejantes: (5x 3 3x 6x 4) + ( 8x 3 + x 3) + (7x 9x + 1) = 3x + 6x 15x 6 Ejemplo 5.. Efectúa la siguiente operación: (x 7y 3z + 6) + ( 9x + 4z) + ( x + 4y + z 8) Con un fin más práctico, se ordenan los polinomios haciendo coincidir los términos semejantes en columnas; asimismo, se reducen los coeficientes término a término. x 7y 3z +6 9x +4z + x +4y +z 8 8x 3y +z Ejemplo 5.3. Realiza la siguiente operación:( 1 xa+1 3 4 yb 1 1 6 ) + ( 3 xa+1 1 3 yb 1 1 4 ) Se acomodan en forma vertical los términos semejantes y se realiza la operación columna por columna: 1 xa+1 3 4 yb 1 1 6 + 3 xa+1 1 3 yb 1 1 4 x a+1 13 1 yb 1 5 1 Por consiguiente, el resultado es: x a+1 13 1 yb 1 5 1 Resta de polinomios Es importante identificar el minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reducción de términos semejantes. Nota: El minuendo aparece después de la frase "de" y el sustraendo aparece después de la palabra "restar". Ejemplo 5.4. Realiza la siguiente operación:(4a b 5c) (3a 5b 7c). En este ejemplo 4a b 5c representa al minuendo y 3a 5b 7c al sustraendo. Se suprimen los paréntesis y se procede a efectuar la reducción de términos semejantes. (4a b 5c) (3a 5b 7c) = 4a 3a b + 5b 5c + 7c = a + 3b + c Portal de Matemática 9 portaldematematica.com
Ejemplo 5.5. De 16x 7x 8 restar 6x 3x + 6. El minuendo es 16x 7x 8 y el sustraendo es 6x 3x + 6, entonces al sustraendo se le cambia el signo (6x 3x + 6) = 6x + 3x 6 y se acomodan los polinomios en forma vertical para realizar las operaciones entre los términos semejantes: Por tanto, el resultado es: 10x 4x 14 16x 7x 8 6x +3x 6 10x 4x 14 Ejemplo 5.6. Resta 3 4 a b 6b 3 + a 3 1 ab de 1 3 a3 b 3 + 1 3 a b ab. En este caso el minuendo es 1 3 a3 b 3 + 1 3 a b ab y el polinomio sustraendo al cual se cambia el signo y se ordenan respecto a los exponentes es: 3 4 a b 6b 3 + a 3 1 ab ( 3 4 a b 6b 3 + a 3 1 ab ) = a 3 + 3 4 a b + 1 ab + 6b 3 Se acomodan los polinomios y se reducen los términos semejantes: 1 3 a3 + 1 3 a b ab b 3 a 3 + 3 4 a b + 1 ab +6b 3 5 3 a3 + 13 1 a b 1 ab +4b 3 Finalmente, el resultado es: 5 3 a3 + 13 1 a b 1 ab + 4b 3 Ejercicios Propuestos Realiza lo siguiente. 1. Suma los polinomios 3x 8y z; 7x + 3y + z. Efectúa (5x 5x + 6) + (x 7x + 4) + ( 6x + 10x 10) 3. Suma y 3 y; y 5y + 7; 4y 3 5y + 3y 8 4. Suma los polinomios 5 x 5xy + 3 y ; 1 3 x + 3 xy 1 4 y ; x + 1 xy 3 4 y 5. Efectúa ( 1 6 a + 1 8 b 1 ab) + ( 1 3 a + 1 4 b + 5 6 ab) + ( 3 b + 3 4 ab + 5 6 a ) 6. Cuál es el resultado de sumar 3 8 bx 5 6 bx + b; 1 4 bx + b x 3 b; bx + b x? Portal de Matemática 10 portaldematematica.com
7. ( 1 3 x1 y 5 4 x1 y x 1 3y ) + ( 1 6 x1 y + 3 x1 3y + x 1 y ) + ( 1 x1 y + 1 3 x1 y ) 8. Cuál es el resultado de (3x 3 5x 6x + 3) (x 3 + 4x 8) 9. Efectúa (4x 3 y x y 3 + 6x 4 y 8xy 4 ) (1x y 3 3xy 4 + 4x 3 y 9x 4 y) 10. Realizar (3x a+ 7x a+1 8x a + 3x a 1 ) (4x a+ + 6x a+1 7x a 9x a 1 ) 11. Cuál es el resultado de ( 3 x3 1 4 x + ) ( 1 3 x3 5 x x 1) 3 1. Resta 16x 6 y 4 3x 3 y + 8x 7 y 5 de 4x 7 y 5 + 9x 3 y + 10x 6 y 4 13. Resta 3m x 6 7m x 5 + 8m x 9 1m x+1 de 4m x 9 6m x 5 + m x 8m x+1 14. Resta 1 a5 b 3 4 a3 b 3 6a 4 b de 3a 3 b 3 8a 5 b 1 4 a4 b + 1 a b 4 Signos de agrupación Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben considerar como una sola. Los signos son: a)corchetes [ ] b)paréntesis ( ) c)llaves { } d)barras Reglas para suprimir los signos de agrupación Si el signo de agrupación está precedido por el signo +, éste se suprime y las cantidades que están dentro de él conservan su signo. +( a + b c) = a + b c Si el signo de agrupación está precedido por el signo "-", este se suprime y cambia el signo de cada una de las cantidades que se encuentren dentro de él. (x y + 3z) = x + y 3z x 3y = (x 3y) = x + 3y Si en una expresión existen varios signos de agrupación se suprimen aquellos que no contengan otros. Este proceso se repite hasta llegar a una expresión que carezca de signos de agrupación. Ejemplo 5.7. Simplifica x + { [5y + (3x z) + ( x + y z + 4 )] ( x + y)} Portal de Matemática 11 portaldematematica.com
Se suprime las barras x + { [5y + (3x z) + ( x + y z 4)] ( x + y)} Se suprimen los paréntesis: Se suprimen los corchetes: Se suprimen las llaves: x + { [5y + 3x z + + x y + z + 4] + x y} x + { 5y 3x + z x + y z 4 + x y} x 5y 3x + z x + y z 4 + x y Se agrupan y reducen los términos semejantes: x 5y 3x + z x + y z 4 + x y = x 5y 6 Ejemplo 5.8. Simplifica 1 x { 3 x y + (x y [ x + 1 y x y ])} 4 3 4 = 1x { 3x y + (x y [ x + 1 y x y ])} 4 3 4 = 1x { 3x y + (x y [ x + 1y x + y])} 4 3 4 = 1x { 3x y + (x y + x 1y + x y)} 4 3 4 = 1x { 3x y + x y + x 1y + x y} 4 3 4 = 1x 3x + y x + y x + 1y x + y 4 3 4 = 17 x + 47 y 4 1 Ejercicios Propuestos Simplifica 1. 3x {y (5x + 3y)}. (6a 3b) {5a 9b (c 9b)} 3. 10x (8x 4y + z) + (5x 4y z) (10x 3y 4z) 4. a {7a (3a 7b) + (10a 9b)} Portal de Matemática 1 portaldematematica.com
5. (x + y) + [3x y + { 8x 5y (6x 8y 7y)} 6x] 6. 8x {3x 6y x 3y [9x 6y 4x] (x 9y + 6x) 3x } 7. { 6x + 3y (8x [y 4x x 6y + 10x] 9y) + 1x} 8. 9y + 3z {5x 10y 8z (x 6y + 7z [x 3y])} 9. 6x + 8{8y (x [4x 9y 6z] 7x) 6y} (8x [3y z] 9y) 10. 3 a { 1 5 b (a 3 5 b) + 3 a} 1 b 11. 4x 5 x (3x y) + { 1 x 1 5 y ( 1 6 x 1 3 y)} Portal de Matemática 13 portaldematematica.com