GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas. Tema: Geometría 7 Triángulos semejantes. Parte B. Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Trabajo individual. Sin libros, ni cuadernos, ni notas. Sin celulares. Es obligatorio mostrar, explícitamente, el procedimiento empleado para resolver cada problema. No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden moverse de su asiento. No pueden hablar, ni pedir borras, ni lápices, ni calculadoras prestadas. MARCO TEORICO: Criterios para identificar triángulos semejantes: 1.- Criterio (A-A). Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes: 2.- Criterio (L-L-L): Si las medidas de los lados correspondientes (homólogos) de dos triángulos son proporcionales, entonces los dos triángulos son semejantes. 3.- Criterio (L-A-L): Si las medidas de dos lados de un triángulo son proporcionales a las de dos lados correspondientes (homólogos) de otro triángulo y los dos ángulos incluidos son congruentes, entonces los dos triángulos son semejantes. Teorema: La semejanza de triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva: ABC ABC reflexiva Si ABC DEF entonces DEF ABC simétrica Si ABC DEF y DEF GHI entonces ABC GHI transitiva Recordatorio: Dado un triángulo de vértices A, B y C, la suma de los ángulos internos de dicho triángulo es siempre igual a 180 ; o sea: A B C 180 FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 1
Ejemplo #1: Dado que AB CD y AB 4; AE 3x 4; CD 8; ED x 12, encontrar AE y DE. Dado que AB CD se cumple que los ángulos alterno-internos son iguales, entonces: BAE CDE; ABE DCE. Luego, por el primer criterio de semejanza los ABE DCE y se cumple que: encuentra: 4x 48 24x 32 x 4 5 AB DC AE ; o sea: DE Ejemplo #2: En la gráfica siguiente se encuentra que: 4 3x 4 y resolviendo se 8 x 12 FG EG; BE 15; CF 20; AE 9; DF 12 Determinar cuales triángulos son semejantes. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 2
Si FG es igual a EG implica que GFE GEF porque si dos lados de un triángulo son congruentes, los ángulos opuestos a esos lados son también congruentes. Si los lados correspondientes (homólogos) que incluyen a los ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes: AE 9 3 DF 12 4 BE 15 3 CF 20 4 Luego, se puede escribir: afirmar que ABE DCF AE DF BE CF por lo que debido al criterio L-A-L se puede PROBLEMAS: 1.- Determinar si cada par de triángulos son semejantes. Si existe la semejanza, escriba una secuencia matemática relacionando cada par de triángulos. (a) m B m D 90 ; m A m E 32 ; m C m F 58 AC AB BC ABC DEF FE DE DF (b) FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 3
No se puede asegurar que son semejantes, ya que parece que los ángulos m G m L 90 ; pero, no hay certeza que así sea. 2.- Identifique cuales son los triángulos semejantes mostrados en la gráfica siguiente. Escriba su razonamiento. Como AE DB los ángulos m E m D; m A m B por correspondientes y el ángulo en C es común a los dos triángulos; entonces: ACE BCD 3.- Explique porque cada par de triángulos son semejantes y encuentre en cada caso el valor de cada dimensión. (a) (b) FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 4
a).-rs VT m R m V m S m T correspondientes ;, y el ángulo en C es común a ambos triángulos; entonces: RS US UR 20 x 12 12 USR UTV 4 VT UT UV y x 3 20 y 5; x 12 4x 12 3x x 4 4 b).- Si son semejantes porque el ángulo en C es común a los dos triángulo, y 4 6 9 9 2 2 x 2 3 x 2 4.- Determine si cada par de triángulos son semejantes y de existir la semejanza, escriba una explicación matemática dando razones para su respuesta. (a) (b) ( c) (d) ( e ) (f) FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 5
a).- Si son semejantes ya que los lados homólogos tienen la misma razón de proporcionalidad, o sea: 3. MO MN NO 45 30 21 3 LLL RP QP RQ 15 10 7 b.- ST TU Si son semejantes, e iguales, porque m T m V; además: 1 LAL XV TW c).- FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 6
No encaja en ninguno de las tres condiciones de semejanza, porque la proporcionalidad tiene que ser de los lados que conforman el ángulo que es igual para ambos triángulos. d.- No son semejantes ya que 9 9 6 7 7 3 e).- Si son semejantes ya que los tres ángulos son iguales, se cumple AA. Entonces: RT RS ST JL KJ KL f).- FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 7
No son semejantes ya que no existe igual razón de proporcionalidad entre sus lados homólogos: 42 30 20 3,36 2,875 3,333 12,6 10,5 6 5.- Identifique los triángulos semejantes en cada gráfica y explique su respuesta. (a) (b) a).- FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 8
Dado el paralelismo entre los diferentes segmentos, podemos asegurar que: ABE EFC AFD. ABE EFC porque el ángulo C es común a los dos triángulos y m C m B; m F m A por correspondientes. La razón de proporcionalidad entre los lados homólogos es 2. AFD EFC porque el ángulo F es común a los dos triángulos y m A m E; m E; m C m D por correspondientes. La razón de proporcionalidad entre los lados homólogos es 3. ABE AFD m B m D por ser ABCD un paralelogramo y m E m A por correspondientes. La razón de proporcionalidad entre los lados homólogos es 3 2. b.- Solución : Los tres triángulos son rectángulos y cada pareja de triángulos tiene entre si un ángulo adicional igual, por lo tanto, por la condición de semejanza AA, podemos escribir: ASQ RTQ RST 6.- Dado que ED AB y además: AB 10; BC 6; AC 8; CD 5; GE 3. Encontrar las dimensiones de EC; GC y EF. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 9
Si AB 10; BC 6; AC 8 m ACB 90 porque se cumple Pitágoras, por lo que GFLC es un rectángulo y los m CGF m FLC 90. También, como AB ED entonces, m CAB m ACE por alterno-internos; luego se puede asegurar que ABC EGC por la condición de semejanza AA. Se puede AB CB AC 10 6 10 2 EC 5; EC GE GC EC 3 2 establecer: AC 6 8 2 2 GC 4 AG AC GC 8 4 4 GC 3 GC Analizando ahora el triángulo FDE la hipotenusa ED EC CD 5 5 10 Luego: los triángulos rectángulos EGC AFG por ser rectángulos y m ACE m CAB por alterno-internos, entonces se aplica la condición de semejanza AA. EC GE GC 4 De donde: 1 EG GF 3 EF 3 3 6 AF GF AG 4 7.- Dado que EF AB y además: AD 9; DB 16; EC 2 AE ; m CB 90º; encontrar las dimensiones de AE; AC; CF; CB; CD y EF. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 10
2 2 2 Notar que 90º ; ; m ACB AC AB AD CB AB DB CD AD DB por Euclides, fácilmente demostrables por triángulos semejantes. AB AD DB 9 16 25 AC 3 AE 3 AC AE EC 2 AE AE 3 AE EC 2 AE 2 AC CB 2 2 9 25 225 AC 225 15 16 25 CB 20 Luego, en primer lugar: Por ser EF AB m CEH m CAD, m CFH m CBD y además, el ángulo en C es común a los dos triángulos por lo que: AC AB BC 3 25 50 ABC EFC EF EC EF CF 2 EF 3 Considerando los triángulos ADC y EHC éstos también son semejantes porque tienen un ángulo común en C y además m CAD m CEH ; m CDA m CHE por ser correspondientes, entonces: AC AD CD 3 9 ADC EHC EH 6 EC EH CH 2 EH 50 50 18 32 HF EF EH 6 3 3 3 AC 3 15 3 EC 10 AE AC EC 15 10 5 EC 2 EC 2 De la semejanza de los triángulos ADC y CDB se demuestra que: CD 2 AD DB 916 144 CD 144 12 De la semejanza de los triángulos ABC y ADC se demuestra que: AC 2 AD AB 925 225 AC 225 15 De la semejanza de los triángulos ABC y CDB se demuestra que: FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 11
CB 2 DB AB 16 25 400 CB 20 CD 3 También ya sabemos de la relación anterior que CH 2 y además 32 HF ; DB 16; 3 entonces, se pueden considerar ahora los triángulos CDB y CHF, donde el ángulo en C es común ambos triángulos y m CDB m CHF; m CBD m CFH por DB 3 CB 2 40 correspondientes, por lo que: CF CB HF 2 CF 3 3 FG KG 8.- Si se dan los siguientes datos: ; ABG 130 ; ADJ 20 BG CG Encontrar los valores de los ángulos: CFD; GFK; G; GKJ. Los triángulos BCG y KFG son semejantes ya que G es común y sus lados homólogos que forman el ángulo G en ambos triángulos son proporcionales. Lados homólogos se oponen a ángulos iguales, entonces: GBC 189º 130º 50º GBC KFG 50º DFC FCD 180º 20º 50º 110º por lo que el ángulo Luego en el triángulo FCD, el GCB del triángulo BCG es igual a: BCG 180º 110º 70º. Ahora, en el triángulo BCG el ángulo G es igual a: G 180º 70º 50º 60º Como BCG KFG GKF BCG 70º GKJ 180º 70º 110º FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 12
9.- Si el ángulo ABC es un ángulo recto, y BD AC, DE BC y además: ACB 47; encontrar las dimensiones de los siguientes ángulos: CDE; A; ABD; BDE. Al ser ABC 90º y DE BC DE AB Del CED CDE 180º 90º 47º 43º CDE CAB correspondientes ABD ABD BDE 47º alterno int ernos 43º 180º 90º 43º 47º 10.- Escribir la prueba de que en cada caso se cumple: (a) Dado que LP MN entonces es verdad que LJ JN PJ JM LJ MPL PMN; PLN MNL JPL MNJ JN PJ JM (b) Dado que EB AC ; BH AE y CJ AE, entonces es verdad que ABH DCB FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 13
AHB ABE por ser triángulos rectángulos y tener al ángulo en A común a ambos triángulos, se cumple la condición de semejanza AA. ABE ACJ por ser rectángulos y tener al ángulo en A común a ambos triángulos, se cumple la condición de semejanza AA. ACJ DBC por ser rectángulos y tener al ángulo en C común a ambos triángulos, se cumple la condición de semejanza AA. Luego por la propiedad transitiva de la semejanza AHB DBC 11.- Si ABC A B C ; A A ; B B, encontrar x e y: m A m A ; m B m B ; m C m C ; entonces: 32 26 20 4 323 263 39 x 24; y x y 15 3 4 4 2 12.- En cada una de las siguientes figuras indicar cuales ángulos son congruentes de manera tal que se compruebe la semejanza de los triángulos indicados: FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 14
(a) ACD ACB m CAB común a ambos triángulos y los dos triángulos son rectángulos en D y C. Se cumple AA. (b) AEC CDB; AB AC Si AB = AC el triángulo ABC es isósceles, por lo tanto la el segmento AE es altura y también bisectriz por lo que, que partiendo de: BC AE; CD AB m BCD m EAB m EAC se puede escribir que: m BCD m EAC; m AEC m CDB 90º por lo que los triángulos AEC CDB por la condición de semejanza AA. ADE ABC; AB diam. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 15
Si AB es diámetro entonces m ACB 90º. Los ángulos ADC y el ABC son mac inscritos y sustentan el mismo arco AC ; por lo tanto m ADC m ABC y 2 como m AED m ACB 90º AED ABC por la condición de semejanza AA. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 16