Vectores Autorregresivos (VAR)

Econometria de Series Temporales Vectores Autorregresivos (VAR) Walter Sosa Escudero Universidad de San Andr es y UNLP 1

Procesos estocasticos multivariados Y t =[Y 1t ;Y 2t ; ;Y Nt ] 0 ; t =1; 2;:::;T Estamos interesados en el comportamiento temporal de N variables simultaneamente. ² E(Y t )=¹ (vector de esperanzas) ² E(Y t ¹)(Y t ¹) 0 = ( ) (matriz de autocovarianzas) El elemento i; j es: i;j = E(Y it ¹ it )(Y j;t ¹ j;t ) Los elementos de la diagonal son las autocovarianzas y los de fuera de la diagonal las autocovarianzas cruzadas. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 2

Y t es estacionario si: 1. E(Y t )=¹<1. 2. E(Y t ¹)(Y t ¹) 0 = ( ) < 1; =0; 1; 2;::: Estacionariedad de Y t implica estacionariedad de Y it ;i=1;:::;n. El converso NO es cierto (porque?) Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 3

RuidoBlancoMultivariado " t es N 1. Es RBM si: 1. E(" t )=0 2. E(" t " 0 s)= 8 < : N N si t = s 0 si t 6= s Cuidado: los elementos de " t pueden estar correlacionados contemporaneamente pero no en distintos periodos!! Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 4

Vectores Autorregresivos (VAR) VAR(1) con media cero Y t = Y t 1 + " t ; " t» RBM Y t es N 1, es N N. Ejemplo: X t = Á 11 X t 1 + Á 12 Z t 1 + " 1t Z t = Á 12 X t 1 + Á 12 Z t 1 + " 2t Relacion entre el presente de una variable y el pasado de todas las variables del sistema. ² " 1t y " 2t pueden estar correlacionados. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 5

Motivacion historica y metodologica del uso de VAR's ² Motivacion: Sims (1980). ² Discusion metodologica: Pagan (1987) Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 6

Algunos resultados utiles de algebra ² Si A es cuadrada y diagonal con elemento carateristico a ii, A K es una matriz diagonal con elemento i; i igual a a K ii. ² A m m. Cualquier escalar que satisfaga Ax = x para un vector m 1;x6= 0 es un autovalor de A. x es un autovector de A correspondiente al autovalor. ² Si es un autovalor de A, entonces ja Ij =0. ² La ecuacion caracteristica ja Ij =0es una ecuacion de grado m. Entonces, A mm tiene m autovalores. ² A m m con autovalores 1; 2;:::; m, entonces: (a) tr(a) = P m i=1 i (b) jaj = Q m i=1 i Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 7

² Si A m m tiene m autovalores diferentes, entonces los autovectores asociados son todos linealmente independientes. ² Si A m m tiene m autovalores diferentes y diag( 1;:::; m) y X (x 1 ;x 2 ; ;x m ), entonces: A = X X 1 ² Bajo las condiciones del resultado anterior: A K = AA A = (X X 1 )(X X 1 ) (X K X 1 ) = X K X 1 con K = diag( K1 ;:::; Km ) Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 8

Estacionariedad de VAR(1) Recordar caso AR(1): Y t = ÁY t 1 + " t. Estacionario si jáj < 1. Reemplazando recursivamente en VAR(1): Y t = k 1 X j=0 j " t j + k Y t k En forma similar a AR(1) requeriremos que k! 0, o, equivalentemente, j j < 1. De acuerdo al resultado anterior =X X 1 en donde X es la matriz de autovectores y la matriz diagonal con los autovalores 1;:::; N. Entonces, k = X k X 1 de modo que K! 0 si y solo si j ij < 1;i=1;:::;N Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 9

Resumiendo: Y t = Y t 1 + " t es estacionario si y solo si todos los autovalores de son<1envalorabsoluto,o, equivalentemente, si todas las raices de la ecuacion caracteristica j I N j son menores a uno en valor absoluto. Si VAR(1) es estacionario: Y t = 1X j " t j j=0 es la representacion VMA(1) estacionaria del VAR(1). Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 10

VAR(p) Y t = 1 Y t 1 + 2 Y t 2 + + p Y t p + " t ; " t» RBM Estacionariedad de VAR(p): todas las raices de j pi p 1 1 p j =0 son mayores que uno en valor absoluto. Si VAR(p) es estacionario, tiene una representacion VMA(1) estacionaria. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 11

Estimacion de VAR Consideremos VAR(1): X t = Á 11 X t 1 + Á 12 Z t 1 + " 1t Z t = Á 12 X t 1 + Á 12 Z t 1 + " 2t ² Notar que los supuestos de Gauss-Markov se veri can ecuacion por ecuacion. MCO es insesgado, consistente y e ciente, ecuacion por ecuacion. ² MCO ecuacion-por-ecuacion es tambien e ciente en terminos del sistema. Idea: es un caso particular de SUR con las mismas variables explicativas en cada ecuacion: MCG coincide con MCO. Explica gran parte de la popularidad de VAR. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 12

Interpretacion de VAR ² No es una forma estructural. Los coe cientes no tienen una interpretacion clara ya que solo se busca una representacion de los datos. ² En la practica es comun basar la interpretacion en tests agregados y ejercicios de simulacion. ² Simulacion: a) Funciones impulso-respuesta, b) Descomposicion de la varianza. ² Tests: a) Relevancia de variables, b) Signi catividad de rezagos, c) Relaciones entre ecuaciones, d) Causalidad de Granger. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 13

Funciones impulso-respuesta Investigar que sucede con el sistema VAR ante variaciones exogenas. Consideremos la representacion VMA(1) de VAR(p): Y t = 1X ª s " t s ; ª 0 = I m ; " t» RBM s=0 @Y t @" t j = @Y t+s @" t =ª s ª ij (s) :Efecto sobre Y i;t+s de cambiar " jt en una unidad. ª ij (s)= p V (" jt ): Efecto sobre Y i;t+s de cambiar " jt en un desvio estandar: Funcion de impulso-respuesta simple. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 14

Ejemplo: VAR(1) con N =2, hay 4 funciones de impulso respuesta simple. Problema: " it no son independientes. N =2 V (" t )= = 2 4 ¾ 11 ¾ 12 ¾ 21 ¾ 22 3 5 No es intuitivo hablar de cambios en " 1t dejando " 2t. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 15

Masresultadosdealgebra 1. Si es simetrica y positiva de nida, existe H no singular, tal que = HH 0. H es una `raiz cuadrada' de. H no es unica. 2. Si " t es un vector aleatorio con E(" t )=0y V (" t )=E(" t " 0 t )=, existe H tal que " t = Hv t, en donde v t es un vector aleatorio con E(v t )=0y V (v t )=I. v t son las innovaciones ortogonales de " t. La idea es: v t! Hv t! " t! Y t Entonces, lo que realmente nos interesa es @Y t+s =@v t. ² Problema: H no es unica. Si es simetrica y positiva de nida, existe una unica matrix P no-singular y triangular inferior tal que PP 0 =. P es la matriz de Choleski de. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 16

La idea, entonces, es utilizar: " t = Pv t. Reemplazando: Y t = 1X ª s Pv t s = i=1 1X s v t s ; ª s P i=1 @Y t @v t s = @Y t+s @v t = s Elemento caracteristico: Á (s) ij = cambio en Y i;t+s resultante de cambios en v j;t en una unidad. Á (s) ij = funcion de impulso-respuesta con respecto a las innovaciones ortogonales. Notar que como V (v j;t =1)tambien mide el efecto de cambios en 1 desvio estandar. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 17

Cuestion importante: el uso de P (la descomposicion de Choleski) implica cierta arbitrariedad. Ejemplo: N =2 Ã " 1t " 2t! = Ã P 11 0 P 21 P 22!Ã v 1t v 2t! " 1t depende solo de v 1t " 2t depende de v 1t y v 2t La dependencia entre " 1t y " 2t es generada por esta estructura recursiva. Que implicaciones tiene, por ejemplo, si Y 1 es la tasa de crecimiento de la cantidad nominal de dinero y Y 2 es la tasa de in acion? Entonces, el orden de las variables en la matriz de Choleski es muy importante. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 18

Notar que si = 2 4 ¾ 11 0 0 ¾ 22 3 5 =) P = 2 4 p ¾11 0 0 p ¾22 3 5 ² Si es diagonal el orden de la descomposicion de Choleski no importa. ² Trivialmente, las innovaciones originales son tambien las innovaciones ortogonales. ² En la practica, entonces, es importante evaluar empiricamente la diagonalidad de. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 19

Seguimos con el algebra... ² Si es simetrica y pd, existe una unica matriz H triangular inferior con 1's en la diagonal principal, y una unica matriz diagonal D con todos sus elementos positivos, tal que = HDH 0. ² Si " t es un vector aleatorio con E(" t )=0 y V (" t )=, entonces " t puede escribirse com " t = Hu t,cone(u t )=0 y V (u t )=D, en donde H y D satisfacen = HDH 0. Notar que V (u jt )=d j,elj esimo elemento de la diagonal principal de D. La idea, en este caso, es permitir que cada una de las innovaciones ortogonales tenga su propia varianza. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 20

Disgresion notacional X = 2 4 A 1 B 1 A 2 B 2 3 5 h A B i Chequear que: 2 XX 0 = 4 A 1 A 2 3 5 h A 1 A 2 i + 2 4 B 1 B 2 3 5 h B 1 B 2 i En general, si x i es la i-esima columna de X, XX 0 = P x i x 0 i. Es facil veri car que si D es diagonal con elemento caracteristico d i, XDX 0 = P d i x i x 0 i Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 21

Descomposicion de la varianza ² Supongamos un VAR con N variables. Cuanto de la variabilidad total de una variable es atribuible a movimientos en cada una de las otras variables? ² R 2 en el modelo lineal: proporcion de la varianza de Y que es explicada por movimientos en X. Laideaes proporcionar una idea similar para descomponer la variabilidad total de una variable del VAR en terminos de las variabilidades exogenas de cada una de las variables del sistema. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 22

Partimos de la representacion MA(1) de VAR: Y t = 1X ª s " t s ; ª 0 = I m ; " t» RBM s=0 que implica que: V (Y t ) = = = = 1X ª s ª 0 s s=0 1X ª s HDH 0 ª 0 s s=0 ( 1X N ) X ª s d i h i h 0 i s=0 i=1 ª 0 s ( NX 1 ) X d i ª s h i h 0 iª 0 s i=1 s=0 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 23

V (Y t ) = = ( NX 1 ) X V (u i ) ª s h i h 0 iª 0 s i=1 s=0 NX V (u i ) B (i) i=1 En particular, la j-esima varianza: 1= V (Y tj )= NX i=1 NX i=1 V (u i )B (i) jj V (Y tj ) V (u i )B (i) jj = NX i=1 z ji z ji = proporcion de la varianza de la j esima variable que es explicada por el componente exogeno de cada una de las i =1; 2;:::;N variables del sistema. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 24

En la practica: no podemos computar 1 rezagos! Partimos de la representacion VMA(1) de VAR en t +1: Y t+1 = " t+1 +ª 1 " t +ª 2 " t 1 + La prediccion de Y t+1 con la informacion disponible en t es la esperanza de Y t+1 condicional en toda la informacion disponible en t: E t (Y t+1 )=ª 1 " t +ª 2 " t 1 + El error de pronostico de predecir Y t+1 en t sera: Y t+1 E t (Y t+1 )=" t+1 Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 25

Analogamente, el error de pronostico de predecir Y t+s en t sera: e t+2 Y t+s E t (Y t+s )=" t+s +ª 1 " t+s 1 +ª 2 " t+s 2 + +ª s 1 " t+1 El valor esperado de e t+s es cero y su varianza es: V (e t+s )= +ª 0 1 ª 1 +ª 0 2 ª 2 + +ª 0 s 1 ª s 1 ² Da una idea de la magnitud del error de prediccion (es el error cuadratico medio ya que la esperanza es cero!). ² Notar que cuando s!1, V (e t+s )! V (Y t ). En la practica: computar la descomposicion para s =1; 2; 3;::: Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 26

Tests de hipotesis basicas en VAR Supongamos que nos interesa evaluar si cierta restriccion sobre los parametros del VAR es correcta, H 0 : h(µ) =0 versus h(µ) =0 en donde µ sontodoslosparametrosdel VAR y h es cualquier funcion continua. Si " t» RBN(0; ) (T c) ³ ln j^ r j ln j^ u j» Â 2 (m) asintoticamente bajo H 0, en donde ^ r y u son las matrices de varianzas estimadas bajo el modelo restringido y sin restringir, respectivamente, m es el numero de restricciones, c es el numero de parametros estimados en cada ecuacion en el modelo sin restringir, y T es el numero de observaciones utilizables. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 27

Ejemplos 1. Relevancia de rezagos: Ejemplo, si en con series trimestrales los rezagos del 9 al 12 son relevantes. Modelo sin restringir: incluye los 12 rezagos, sin restringir: solo los primeros 8. 2. Relevancia de variables: todos los rezagos de una variable son irrelevantes en todas las ecuaciones. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 28

Causalidad de Granger Consideremos la primera ecuacion de la representacion VAR(p) para x t y y t : x t = c + px i x t i + i=1 px i=1 iy t i y t no causa a x t en el sentido de Granger si 1 = 2 = = p =0 La hipotesis puede ser facilmente evaluada con un test F de signi catividad conjunta (existen varias alternativas). En forma similar se puede de nir ausencia de causalidad de Granger de x t. Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 29

² Es uno de los resultados mas abusados en econometria. ² En realidad evalua si el pasado de y t contribuye a predecir x t. Es mas un test que tiene que ver con precedencia temporal y no con causalidad. Ejemplo 1: Forward-looking behavior y precios de acciones. Ejemplo 2: Shocks en los precios de petroleo y recesiones. Ejemplo 3: Efectos reales del dinero (Stock y Watson (1989), Christiano y Ljungqvist (1988)). Walter Sosa Escudero. Econometria de Series Temporales 30