6 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Sea f() c ( ) para, y f () para los demás valores de. Determinar la constante c de manera que f() sea la función de dendad de una variable aleatoria continua, X. Determinar también la función de distribución acumulativa, F(), y representar ambas. Como + f ( ) d c ( ) d se tiene que la función de dendad es c 8 c c 8 a ( f ( ), ), en otro caso. ( ),, en otro caso. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN CON EXCEL Su gráfica, se puede obtener en EXCEL como gue: el trozo cuadrático del intervalo [, ] se obtiene escribiendo en la celda A de una hoja. A continuación movemos el cursor al etremo inferior derecho de la celda, hasta que aparece + y, con el botón derecho pulsado, desplazamos hasta la celda A. Al soltar el botón derecho aparece el menú contetual 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 99
en el que elegimos Series. Aparece el cuadro en el que especificamos un Incremento, que es suficiente aquí. En la celda B insertamos la fórmula de la función para dicho intervalo con argumento A en lugar de ; es decir (/)*A*(-A) por (/)(-). Pinchando con el botón izquierdo en A, propagamos esta fórmula hasta la celda B. Tenemos así las coordenadas de una serie de puntos de la gráfica en [,]. Para representar que fuera de ese intervalo f(), escribimos en la celda A el valor - y en B el valor. En las celdas A y B escribimos y, respectivamente. A continuación construimos el gráfico como ya sabemos: ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez
Paso Tipo de gráfico Seleccionar XY (Disperón) y el cuarto subtipo Disperón con puntos de datos conectados por líneas. Paso Datos del gráfico Rango de datos: definir las celdas de las dos columnas donde están los datos (los valores de X e Y) (en nuestro caso Hoja!$A$:$B$) Series en: escoger Columnas Paso Opciones de gráfico Títulos Escribir Título deseado para el gráfico, así como para el Eje de valores de X y el Eje de valores de Y Líneas de divión Seleccionar sólo Líneas de divión principales en el eje Y Leyenda Desactivar Mostrar leyenda Paso Colocar el gráfico Como objeto en: Hoja Finalizar Finalmente, eliminamos los marcadores, obteniendo: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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Otra forma: También se puede escribir la misma columna de valores de desde A hasta A. Después, en la celda B, escribimos la definición de f() haciendo uso de las funciones lógicas: SI(O(A<;A>); ; (/)*A*(-A)) y la propagamos hasta B incluve. El resultado es el mismo: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
La función de distribución acumulativa es: a F( ) P( X ) f ( ) d, (, ), < > Obtenemos su gráfica igual que antes: Otra forma: También se puede escribir la misma columna de valores de desde A hasta A. Después, en la celda B, escribimos la definición de F() haciendo uso de las funciones lógicas: SI(A<;;SI(Y(A>;A<);(/)*A^*(-A);)). El resultado es el mismo: ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez
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Una variable aleatoria X tiene una función de distribución F:R R definida por,, a F( ) c, < <,,. a) Determinar la constante c y describir la función de dendad f(). b) Calcular las probabilidades P(X /), P(X < /), P( X < /). La función de dendad es: Entonces: a f ( ) +, F' ( ) c,, f ( ) d, < <,. c d c. Se trata de la distribución uniforme en el intervalo [,]. (Ver el ejercicio resuelto del tema 6 pág. del teto-). Así,, a F( ),,, < <,. a f ( ), F' ( ),,, < <,. En toda distribución continua P(Xa), luego P(X/). En las distribuciones continuas, P(X < a) P(X a) F(a) área bajo la gráfica de la función de dendad f() desde hasta a. Por tanto, P( X < ) F( ) / / f ( ) d d P( X < ) P( < X < ) P( < X < ) d., y / Que P(X</) / se deduce inmediatamente por mple observación de una u otra gráfica: Área del triángulo de base [,/] y altura en la gráfica de f Ordenada correspondiente a / en la gráfica de F, ambas /. 6 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez
Sea f() c sen para < / y f () para los demás valores de. Determinar la constante c de manera que f() sea la función de dendad de una variable aleatoria continua, X. Determinar también la función de distribución acumulativa, F(), y representar ambas. Como + f ( ) d + c sen d c se tiene que la función de dendad es sen d c [ cos ] c c. a sen, f ( ), en sen, < < sen, otro caso., en < < < otro caso. La gráfica de la función de dendad, obtenida por el primer método, es: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 7
Para la función de distribución se tiene que: Si /, F(). Si /< <, Si < /, F( ) F( ) + sen d Si /, F(). ( sen + ) d [ cos ] cos [ cos ] + [ cos + ] cos 8 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez
El tiempo, en minutos, que una persona espera un autobús es una variable aleatoria T con función de dendad f(t) definida por /, < t <, t a f ( t ) /, < t <,, en otro caso. Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea a) mayor que un minuto; b) mayor que dos minutos; y c) mayor que tres minutos. El área del rectángulo de base [, ] y altura / es /. Por tanto: P (T > ) P(T > ), y P (T > ). 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 9
5 Una variable aleatoria X tiene una función de distribución continua, F(), y una dendad de probabilidad f definida por las propiedades guientes: f() < /; f(/) ; f() es lineal en el intervalo [/; /]; y, para todo R, es f() f(). a) Representar f. b) Determinar F() y representarla. c) Calcular P(X < ), P(X < /), P(X < /), P(X < /) y P(/ < X < 5/8). a) Se tiene que / + k, la condición f() f() implica f(/k) f(/+k); es decir, f(/k) f(/+k), lo que gnifica que la gráfica de f() es métrica respecto a la recta vertical /. Por tanto, f(/) f(/). Como fuera de [/, /] f() es nula, toda la masa de probabilidad está en dicho intervalo, repartida entre un cuadrado de área / y un triángulo que debe tener también área /. Por tanto, el área del triángulo / / h /, luego la altura es h, y el vértice superior del triángulo se encuentra en el punto de coordenadas (/, ). En el intervalo [/, /], es f() a+b, entonces f(/) implica p/+b ; es decir p+b. También f(/) implica a/+b ; es decir a+b 6. Resolviendo el stema se obtiene a 8 y b. Luego en [/, /], es f() 8. En el intervalo [/, /], por metría, es f() p+q, entonces f(/) implica p/+q ; es decir p+q. También f(/) implica p/+q ; es decir p+q 6. Resolviendo el stema se obtiene p 8 y b 7. Luego en [/, /], es f() 8+7. De este modo la ley de la función de dendad es: y su gráfica: a f (, 8, ) 8 + 7,, < > ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez
b) Integrales inmediatas de f() de hasta (o conderaciones elementales sobre áreas, proporcionan la función de distribución:, <, < a F( ) + 7, <, 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez c) Por mple observación de la gráfica de la función de dendad, se tiene que ) X P( ) X P( ) X P( ) X P( < < < < Por otra parte: 6 5 6 5 F 8 5 F ) 8 5 X ( P < <
6 Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre [, ]. a) Calcular P(X ), P(X < ), P( X < ), P( X <). b) Hallar un valor tal que P(X > ) /. Como el área del rectángulo de base [-,] es, su altura ha de ser /6. Así: a, f ( ) / 6,, <,, >, a F( ) ( + ), 6, <,, >. a) En toda distribución continua P(Xa), luego P(X). En las distribuciones continuas, P(X < a) P(X a) F(a) área bajo la gráfica de la función de dendad f() desde hasta a. Por tanto, P( X ) F( ) < f ( ) d P ( X < ) P( < X < ) 6 P ( X < ) P( < X < ) P( < X < ) P( < X < ) b) P( X ) > P( X ) > P( X ) < d < 6 > 5 6, ( + ) < + < <. 6 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
7 (DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY) Se dice que una variable aleatoria X gue una distribución de CAUCHY su función de distribución es a F( ) + arctg. Determinar f() y representar ambas. Calcular P(X ) y P(X ). f ( ) F' ( ), ( R ) + ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez
P ( X ) F() + arctg + / 5 P ( X ) F( ) + arctg + arctg + / 6. 8 Una variable aleatoria continua, X, tiene por función de dendad a ( R) f(). e + e Determinar el valor del parámetro constante a. Ha de ser + + e a + e d M. Esta es una integral impropia que se calcula como gue: a e d a lím + + d a lím M e e e + e M + + ( e M M M M a lím [ arctg e arctg e ] a a M + Entonces: a a. Así, f ( ) e + e M d a lím ) M + M [ arctg e ] M La función de distribución acumulativa es: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 5
F( ) P( X ) lím M + d lím + d lím M M + e e d + e M e + e M + ( e M [ arctg e ] lím [ arctg e arctg e ] [ arctg e ] arctg e M M + ). 6 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez
9 La función de dendad de una variable aleatoria continua, X, es,, f( ) a cos, <,, >. a) Determinar el valor del parámetro constante a. b) Hallar la función de distribución, F(). c) Representar ambas. + + f a) ( ) d a cos d a cos d a [ sen ] b) Si ], /], entonces F(). Si ]/, /], entonces F( ) P( X ) f ( ) d Por tanto, la ley de F() es:, a F( ) ( sen + ),, c) [ sen ] [ sen + ], <, >. a a.. 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 7
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Una variable aleatoria continua, X, tiene por función de dendad,, f () sen, <,, >. a) Determinar la función de distribución, F(). b) Representar ambas. c) Calcular la probabilidad de que X tome sus valores en el intervalo ;. a) Si ], ], entonces F(). Si ], ], entonces F( ) P( X ) f ( ) d [ cos ] [ cos ] +. Por tanto, la ley de F() es:,, a F( ) ( cos + ), <,, >. b) 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 9
ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez Es de observar que estas dos gráficas se obtienen de las dos anteriores trasladándolas / a la derecha. c) + < < ) cos ( ) F( ) X P( ) X P( ) X P(, X P ) ( +