Unidad 3 Combinatoria
CONTEO La enumeración no termina con la aritmética. Tiene aplicaciones en áreas como álgebra, la probabilidad y estadística (matemáticas) y el análisis de algoritmos (en ciencias de la computación). A medida que vayamos entrando en este fascinante campo de las matemáticas, nos encontraremos con muchos problemas que se pueden enunciar en forma sencilla pero que son duros de resolver.
Conteo Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Ejemplo : Cuántas maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de licuadoras?. Se les denomina técnicas de conteo a las: Combinaciones permutaciones Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio aditivo y el multiplicativo.
Principio Aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde: la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras, Entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de : M + N +...+ W maneras
Ejemplo La biblioteca de la FCC tiene 40 libros de texto de programación y 50 de matemáticas. Por la regla de la suma, un estudiante de esta facultad puede elegir entre 40+50=90 libros de texto para aprender acerca de alguno de estos dos temas.
Ejercicio Un estudiante puede elegir un proyecto de computación desde una de tres listas. Las tres listas contienen 23, 15, y 19 posibles proyectos, respectivamente. Ningún proyecto esta en más de una lista. Cuántos posibles proyectos son posibles de elegir?
Solución 23+15+19=57 formas de elegir un proyecto
Ejercicio Cuál es el valor de k, dado el siguiente código?
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras, el segundo paso de N2 maneras y el r-ésimo paso de Nr maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de: N1 x N2 x...x Nr maneras El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO Ejemplo : Una persona desea armar una computadora, para lo cuál considera que puede seleccionar la Motherboard de entre las dos disponibles, mientras que el procesador puede ser seleccionado de un Pentium IV, un Celeron o un Athlon, la tarjeta de video puede ser una ATI Radeon o una GForce y por último hay disponible un solo modelo de gabinete (Tower). Cuantas maneras tiene esta persona de armar su PC? Respuesta 2*3*2*1=12
Ejercicio Una compañía con dos empleados, Sanchez y Perez, rentan un piso de un edificio con 12 oficinas. Cuántas formas se pueden usar para asignar diferentes oficinas a estos dos empleados?
Solución 12*11=132 formas
Ejercicio Las sillas de un auditorio son etiquetadas con una letra del alfabeto seguida por un número positivo (hasta 100). Cuántas etiquetas pueden asignarse a una silla?
Solución 26*100=2600 formas diferentes
Ejercicio Existen 32 computadoras en un centro de computación. Cada computadora tiene 24 puertos. Cuántos puertos diferentes para una computadora existen en el centro?
El procedimiento de elegir un puerto consiste de dos tareas, primero seleccionamos una computadora y entonces seleccionamos un puerto para esa computadora. Debido a que existen 32 formas de elegir la computadora y 24 formas de elegir un puerto. Por la regla del producto existen 32*24= 768 puertos.
Ejercicio Cuántas cadenas de bits diferentes existen de longitud siete?
Cada uno de los siete bits se puede elegir de dos formas, porque cada bit es o 0 o 1. Por lo tanto, por la regla del producto existen en total 2 7 =128 cadenas diferentes de bits de longitud siete.
Ejercicio Cuántas placas de circulación diferentes pueden formarse si cada placa contiene una secuencia de tres letras del alfabeto del Ingles seguida por tres dígitos (y ninguna secuencia de letras esta prohibida)?
Solución Existen 26 elecciones para cada una de las tres letras del alfabeto Ingles y 10 elecciones para cada uno de los tres dígitos. Por lo tanto, por la regla del producto existen un total de 26*26*26*10*10*10=17,576,000 posibles placas de circulación.
Contando funciones Cuántas funciones existen desde un conjunto con m elementos a un conjunto con n elementos?
Solución Una función corresponde a elegir de uno de los n elementos en el codominio para cada uno de los m elementos en el dominio. Por lo tanto, por la regla del producto existen n*n* *n=n m funciones desde un conjunto con m elementos a uno con n elementos. Por ejemplo, existen 5 3 =125 funciones diferentes desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.
Contando funciones uno-a-uno Cuántas funciones uno-a-uno existen desde un conjunto con m elementos a una con n elementos? Primero nota que cuando m>n no existen funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a un conjunto con n elementos. Ahora sea m<=n. Suponga que los elementos en el dominio son a1, a2,, am. Existen n formas de elegir el valor de la función para a1. Como la función es uno a uno, el valor de la función en a2 puede elegirse de n-1 formas (porque el valor usado para a1 no puede volverse a usar de nuevo). En general, el valor de la función en ak se puede elegir de n-k+1 formas. Por la regla del producto, existen n(n-1)(n-2) (n-m+1) funciones uno-a-uno desde un conjunto con m elementos a una con n elementos. Por ejemplo, existen 5*4*3=60 funciones uno a uno desde un conjunto con tres elementos a un conjunto con cinco elementos.
Ejercicio Cuál es el valor de k al termino del siguiente código, donde n1, n2,,nm son número positivos?
Solución n 1 *n 2 * *n m.
Contando subconjuntos de un conjunto finito Usa la regla del producto para demostrar que el número de diferentes subconjuntos de un conjunto finito S es 2 S. Sea S un conjunto finito. Lista los elementos de S en un orden arbitrario. Existe una correspondencia uno-a-uno entre los subconjuntos de S y una cadena de bit s de longitud S. Un subconjunto de S es asociado con una cadena de bits con un 1 en la i-esima posición si el i-esimo elemento en la lista esta en el subconjunto, y un 0 en otro caso. Por la regla del producto, existen 2 S cadenas de bits de longitud S. Por lo tanto, P(S) =2 S.
PRINCIPIO ADITIVO Y MULTIPLICATIVO Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo? Cuando se trata de una sola actividad la cual requiere para ser llevada a cabo de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
Ejercicio En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles. Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos. Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic?
Propuesta de solución - análisis En una versión del lenguaje de programación BASIC, el nombre de una variable es una cadena de uno o dos caracteres alfanuméricos, donde las letras mayúsculas y minúsculas no son distinguibles. V = v_1 + v_2 V_1 : variables de longitud 1 V_2 : variables de longitud 2 Un carácter alfanumérico es o uno de los 26 letras en Ingles o uno de los 10 dígitos. (26+10=36) V_1 = 26 V_2 = 26*36 Más aún, el nombre de una variable debe iniciar con una letra y deben ser diferentes de las cinco cadenas de dos caracteres que están reservadas para usos de programación. V_2 = 26*36 5 =931 Cuántas nombres de variable diferentes existen en esta versión de Basic? V= v_1 + v_2 = 26 + 931 = 957
Ejercicio Cada usuario de un sistema de computo tiene un password, el cual es de seis a ocho caracteres de longitud, donde cada carácter es una letra o un digito. Cada password debe contener al menos un digito. Cuántos posibles passwords existen?
Solución P número de posibles passwords P = P_6 + P_7 + P_8 (longitud 6 + longitud 7 + longitud 8) P_6 debe contener al menos un digito P_7 debe contener al menos un digito P_8 debe contener al menos un digito
Solución P número de posibles passwords P = P_6 + P_7 + P_8 = 2,684,483,063,360 (longitud 6 + longitud 7 + longitud 8) Quitamos a cada cadena, las cadenas que sólo tienen letras P_6 = 36 6 26 6 = 2,176,782,336 308,915,776 = 1,867,866,560 P_7 = 36 7 26 7 = 78,364,164,096 8,031,810,176 = 70,332,353,920 P_8 = 36 8 26 8 = 2,821,109,907,456 208,827,064,576 = 2,612,282,842,880
Regla de substracción (Inclusión-exclusión para dos conjuntos) Si una tarea se realiza de n1 formas o n2 formas, entonces el número de formas para hacer la tarea es n1 + n2 menos el número de formar para hacer la tarea que es común en las dos formas diferentes. Principio de Inclusión - exclusión
Ejemplo Cuántas cadenas de bits de longitud 8 o inician con un 1 o terminan con dos bits 00? 128 + 64 32 = 160
Ejercicio Una compañía de computación recibe 350 aplicaciones de graduados de computación para un trabajo de servicios Web. Suponga que 220 de estas aplicaciones están especializadas en ciencias de la computación, 147 están especializadas en negocios, y 51 en ambos. Cuántas de estas aplicaciones no están especializadas en ciencias de la computación ni en negocios?
Solución A1 U A2 = A1 + A2 - A1 A2 = 220 + 147 51 = 316 Conclusión 350 316 = 34