APROXIMACIÓN DE FILTROS

Análisis y Síntesis de Circuitos TEMA 3 Labels E: 3 Labels F: 3 Labels L: 3 Labels T: 3 APROXIMACIÓN DE FILTROS 3. Teoría de la aproximación Tal como se ha visto anteriormente normalmente se imponen especificaciones de las bandas pasante, de rechazo o transición en magnitud o fase. La primera tarea del diseñador es obtener una función racional realizable H(s) que satisfaga estas especificaciones. Idealmente se querría realizar una transmisión perfecta, sin pérdidas en la banda pasante, atenuación infinita (ganancia 0) en la/s banda/s de rechazo y banda/s de transición de ancho nulo, tal como se muestra en el filtro paso de baja de la Fig. 3.(a). Esta característica de transferencia ideal no es realizable, siendo Hs ( ) una función racional continua de ω con un número finito de polos y ceros, y sólo puede aproximarse dentro de unos ciertos márgenes de tolerancia, tal como se muestra en la Fig. 3.(b). C_P. Nos limitaremos aquí a las aproximaciones clásicas, que son especialmente adecuadas en el caso de especificaciones de atenuación constantes en la banda de rechazo. C_P.. Suponemos que la frecuencia se haya normalizada de forma que ω en el borde de la banda pasante y max Hjω ( ) en 0 ω. F.V. Fernández, S. Espejo, R. Carmona, Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Fig.. Schaumann Figura 3.: Especificaciones paso de baja: (a) paso de baja ideal no realizables; (b) paso de baja realizables con tolerancia banda pasante ε< y tolerancias banda de rechazo δ>; (c) paso de baja con especificaciones no constantes en la banda de rechazo. 3. Aproximación en magnitud paso de baja La magnitud de la función de sistema Hjω ( ) se obtiene de: Hjω ( ) Hjω ( ) Njω ( )N ( jω ---------------------------------- ) Djω ( )D( jω) Njω ( ) P( ω ) -------------------- Djω ( ) -------------- E( ω ) (3.) es una función racional par que de acuerdo con la Fig. 3. debe 3- Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3. Aproximación en magnitud paso de baja aproximarse a en la banda pasante, 0 ω, y a 0 en la banda de rechazo, ω ω s. A fin de facilitar el tratamiento matemático es conveniente introducir una función racional real Ks ( ) tal que, Hjω ( ) ----------------------------- + Kjω ( ) (3.) Ks ( ), que se denomina función característica. Esta se obtiene de la función de sistema Hs ( ) mediante la ecuación de Feldtkeller: Kjω ( ) -------------------- Hjω ( ) (3.3) Teniendo en cuenta (3.) podemos escribir, Kjω ( ) Djω ( ) Njω ( ) ----------------------------------------------- Njω ( ) ε Fjω ( ) -------------------- Njω ( ) (3.4) Por conveniencia se ha introducido el parámetro ε. Una representación de Kjω ( ) se muestra en la Fig. 3.. Ks ( ) se define de tal forma que Kjω ( ) se aproxime a 0 en la banda pasante con un error de atenuación o rizado en la banda pasante ε. Si la atenuación máxima en la banda pasante de la ganancia es A p db entonces: ε 0 0,A p C_P.3 (3.5) De forma similar Kjω ( ) debe ser mayor de δ en la banda de rechazo. Para una atenuación mínima en la banda de rechazo de A s db, δ viene de: δ 0 0,A s (3.6) Se ha introducido un nuevo polinomio, Fs ( ), llamado polinomio de reflexión cero. Sus raíces, llamadas ceros de reflexión, son los ceros de Kjω ( ). Luego en s jω ri se tiene transmisión perfecta: Hjω ( ri ). ω ri Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-3

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Fig.. Schauman Figura 3.: Especificaciones paso de baja que deben ser satisfechas por K(jω). Las raíces ω zi del polinomio Ns ( ) son los ceros de transmisión, es decir, Hjω ( zi ) 0. ω zi se denominan también polos de atenuación, donde Kjω ( zi ). En conclusión, el problema general de aproximación paso de baja consiste en encontrar una función racional real Ks ( ) εfs ( ) Ns ( ) tal que: ) Fs ( ) tenga todas las raíces en el eje jω en la banda pasante. ) Ns ( ) tenga todas las raíces en el eje jω en la banda de rechazo. C_P.4 3) Fjω ( ) Njω ( ) en 0 ω. 4) Kjω ( ) δ en ω ω s. Después de encontrar Kjω ( ) se utiliza (3.) para obtener el cociente de dos polinomios pares P( ω ) y E( ω ). Como paso final se utiliza continuación analítica, es decir, se sustituye ω por s j (ó ω por s ) y se factoriza P( s ) y E( s ) en Ns ( )N( s) y Ds ( )D( s) respectivamente. E( s ) al ser par tendrá raíces simétricas respecto al origen del plano s. Ya que D( s) debe ser un polinomio de Hurwitz, solo contendrá las raíces 3-4 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.3 Aproximación máximamente plana del semiplano izquierdo de E( s ). Por otra parte, Ns ( ) es conocido puesto que se ha obtenido explícitamente en el cálculo de Kjω ( ) : Ns ( ) k ( s + ω zi ) m i i (3.7) donde k es una constante y son los ceros de transmisión de multiplicidad ω zi m i 0. Si todos los m i 0 no hay ceros de transmisión finitos, Ns ( ) k y Hs ( ) k D( s) es una función paso de baja todo polo. Si tenemos un cero en s 0, este contribuye con un factor s a N( s). C_P.5 3.3 Aproximación máximamente plana Un filtro paso de baja con magnitud máximamente plana requiere que la magnitud (al cuadrado) de la función de transferencia sea en ω 0, es decir, transmisión ideal en dc, y que todas las derivadas posibles del error de transmisión sean cero en Las especificaciones son pues:. El error de transmisión se define como: (3.8) C_P.6 (3.9) Kjω ( ) es un cociente de polinomios en ω y puede demostrarse que, debido a las condiciones en (3.9), tiene todos los ceros de reflexión en el origen, o sea, es de la forma ω 0 Δω ( ) Hjω ( ) d i --------------- ( dω ) i Kjω ( ) ----------------------------- + Kjω ( ) Kjω ( ) a n ω n -------------------- Njω ( ) Kj0 ( ) 0 ω 0 0 i,, (3.0) Por tanto la función de transferencia paso de baja de orden n que es Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-5

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC máximamente plana en el origen ( ω 0 ) es, Hjω ( ) ----------------------------- + Kjω ( ) Njω ( ) ------------------------------------------ Njω ( ) + a n ω n (3.) Luego, para un polinomio Ns ( ) dado, es decir, para un conjunto de ceros de transmisión, se puede encontrar siempre una función de transferencia paso de baja con banda pasante máximamente plana. El parámetro a n determina la máxima atenuación en la banda pasante, que se produce para ω : ε a n ------------------- Nj ( ) 0 0,A p (3.) a n A p que permite determinar dado y los ceros de transmisión. El grado de la función de transferencia, n, viene dado por la atenuación requerida a altas frecuencias. Si m es el orden de N( s) la magnitud Hjω ( ) decae a alta frecuencia como ω n m, es decir, la atenuación crece 0( n m)db/déc. C_P.8 Esta es la aproximación máximamente plana genérica. Dentro de los casos particulares veremos dos: la aproximación Butterworth y la aproximación Chebyshev inversa. 3.4 Aproximación Butterworth Un caso particular muy importante es aquel en que todos los ceros de transmisión están en s, es decir, Ns ( ). Entonces, la magnitud de la función de transferencia es, Hjω ( ) ----------------------- + ε ω n (3.3) 3-6 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.4 Aproximación Butterworth Puede verse que en esta función la atenuación aumenta monotónicamente con ω. El grado n se determina de las especificaciones para la banda de rechazo: δ 0 0,A s ε n ω s (3.4) o sea n ε 0 0,A s log[ ( ) ] --------------------------------------------------- logω s C_P.9 (3.5) Ejemplo.- Encontrar el orden de una función paso de baja máximamente plana todo polo que tenga una banda pasante en 0 f,khz con A p 0,5dB de atenuación máxima y una banda de rechazo en f,9khz con una atenuación mínima A s 3dB. Solución detallada Normalizamos la frecuencia por Ω o π,khz de forma que ω en el borde de la banda pasante y ω s,9khz,khz,6. El rizado es: ε 0 0,05 0,0 0,3493 (3.6) luego el orden del filtro saldrá: n log[ 8,96( 0,3 ) ] ---------------------------------------------------- 7,87 log,6 (3.7) de modo que n 8. La Fig. 3.3 muestra el diagrama de Bode de magnitud del filtro resultante que se puede observar que cumple las especificaciones. La Fig. 3.4 muestra ampliaciones de dicho diagrama en los bordes de la banda pasante y de rechazo. Puede observarse que el filtro pasa por el borde de la banda pasante. Sin embargo, las especificaciones se cumplen por exceso en Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-7

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC 0-0 Magnitud (db) -0-30 -40-50.00E+00.00E+0.00E+0.00E+03.00E+04 Frecuencia (Hz) Figura 3.3: Diagrama de Bode de magnitud del filtro Butterworth. la banda de rechazo. Esto es debido a que el orden del filtro ha de ser entero por lo que se ha escogido un orden mayor que el estrictamente necesario para cumplir las especificaciones. Podríamos haber invertido el exceso de orden en una menor atenuación en la banda pasante. Para hallar la localización de los polos de una función paso de baja máximamente plana todo polo, se sustituye ω por s y resolvemos + ( ) n ε s n 0, s n ---- ε ( ) n + ----e ε jn ( + + k )π (3.8) Seleccionando únicamente los polos del semiplano izquierdo se obtienen los polos deseados: s k ε n j k ------------------------ + n + π n e k 0,,,, n (3.9) Puede observarse que los polos se distribuyen uniformemente en un círculo de radio ε n ejemplo anterior.. La Fig. 3.5 muestra los polos del filtro Butterworth del 3-8 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.4 Aproximación Butterworth.0 0.0 Magnitud (db) -.0 -.0-3.0-4.0.00E+03 -.5.0E+03.30E+03.40E+03.50E+03 Frecuencia (Hz) -3.0 Magnitud (db) -3.5-4.0-4.5.88E+03.90E+03.9E+03.94E+03.96E+03 Frecuencia (Hz) Figura 3.4: Ampliación del diagrama de Bode de magnitud en el borde de la banda pasante y el borde de la banda de rechazo. Si ε la atenuación en ω, A p, es 3dB. El filtro paso de baja todo polo máximamente plano tiene la forma, Hs ( ) ------------------------------------------------------------------------ s n + b n s n + + b s + (3.0) y se denominan filtros Butterworth. Los denominadores de estos filtros se encuentran tabulados por lo que tan pronto se conoce el orden n del filtro la función está completamente determinada. Normalmente en la literatura también se denominan filtros Butterworth a aquellos que no tienen ε. Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-9

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Im(s).5 5 5 5 0.5 5 0 Re(s) - -.5 5 - -0.5 0 0.5-0.5 5 5 5 - -.5 - Figura 3.5: Polos del filtro Butterworth (normalizados). 3.5 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev En la aproximación máximamente plana se concentra toda la aproximación en ω 0 y se acepta un error creciente de forma monotónica en el intervalo 0 < ω. Una alternativa más eficiente podría ser distribuir el error uniformemente en toda la banda pasante. Para ello: Kjω ( ) ε C n( ω) que es un polinomio que oscila uniformemente entre 0 y de Chebyshev de orden n son: C n ( ω) cos( nacosω) ω ε (3.). Los polinomios (3.) Es fácil demostrar (apéndice A.) que si C n ( ω) cosh ( nacoshω) ω -- ( ω + ω ) n + ( ω + ω ) n entonces, (3.3) que aumenta monótonamente con ω. 3-0 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.5 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev Los primeros polinomios de Chebyshev son: C 0 ( ω) C ( ω) ω C ( ω) ω (3.4) C 3 ( ω) 4ω 3 3ω Estos polinomios son válidos para todo valor de ω. La relación trigonométrica recursiva, cos[ ( n + )x] cosnxcosx cos[ ( n )x] (3.5) puede usarse para obtener una fórmula recursiva de los polinomios de Chebyshev: C n + ( ω) ωc n ( ω) C n ( ω) n,, (3.6) De (3.4) y (3.6) se deduce que C n ( ) para todo n; C n ( 0) 0 para n impar y ± para n par; y que C n ( ω) es par para n par, e impar para n impar. Por ejemplo la Fig. 3.6 muestra una representación de los polinomios de Chebyshev de orden más bajo. C ( x) C 3 ( x) Fig. 3.3 Daniels C 4 ( x) C 5 ( x) Figura 3.6: Polinomios de Chebyshev Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC La función de transferencia paso de baja todo-polo de igual rizado Chebyshev Hs ( ) es, Hjω ( ) ------------------------------ (3.7) ε + C n( ω) Los ceros de C n ( ω), que son los ceros de reflexión del filtro de Chebyshev vienen dados por, cos( nacosω) 0 (3.8) luego nacosω ( k + ) π -- (3.9) Por tanto, k + ω rk cos -------------- π n -- k 0,,,, n ----------- si n es impar (3.30) k 0,,,, n -- si n es par Los polinomios de Chebyshev pueden entonces expresarse en términos de sus raíces como ( n ) C n ( ω) n ω ω ω ( ) si n es impar rk k n C n ( ω) n ω ω ( ) si n es par rk k (3.3) ya que las raíces son simétricas respecto del origen. De las ecuaciones (3.) y (3.7) se deduce que Hjω ( ) oscila con igual rizado en toda la banda pasante 0 ω, que Hj0 ( ) para n impar pero Hj0 ( ) ------------------ + ε (3.3) para n par y que, 3- Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.5 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev Hj ( ) ------------------ + ε (3.33) para todo n. Además H( jω) decrece monotónicamente a 0 para ω >, tal como se muestra en la Fig. 3.7 para n, 3 y 4. Fig..5 Schaumann Figura 3.7: Funciones de transferencia paso de baja Chebyshev Las posiciones de los polos del filtro Chebyshev vendrán dadas igualando a 0 el denominador de (3.7) con ω s j: s C n - j cos s nacos - ---- j ε (3.34) obteniendose: s k -- -- + ε j -- + -- + ε ---- ε + ---- ε + n n ε n -- + ---- + sen k --------------π + + ε n + -- + ε ---- ε + n cos k + --------------π n (3.35) Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-3

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Si conocemos los polos, la función de transferencia es: Hs ( ) -------------------------------------------- ε ( s s k ) n n k ( n ε) --------------------------------------------------------------------------- s n + b n s n + + b s + b 0 Los denominadores de estas funciones de transferencia, para un determinado, se encuentran tabulados (normalmente hasta orden 0). (3.36) Determinación de n Para determinar n se evalúa la función de transferencia en la banda de rechazo y debe dar la atenuación mínima: ε 0log 0 -------------------------------- ε A s db + C n ( ωs ) (3.37) Sustituyendo (3.3) ya que ω s > y despejando n se obtiene: n 0 0,A s ( ) ε acosh ---------------------------------------------------------- acoshω s (3.38) Una fórmula aproximada muy conveniente n log 4 0 0,A s ( ) ε ------------------------------------------------------- log ω s + ω s C_P.9 (3.39) se obtiene a partir de (3.3) y (3.38). Ejemplo.- Encontrar la función de transferencia de un filtro Chebyshev paso de baja que satisfaga las misma especificaciones del ejemplo del filtro máximamente plano (banda pasante en 0 f,khz con 0,5dB de atenuación máxima y una banda de rechazo en A p 3-4 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.5 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev f,9khz con una atenuación mínima A s 3dB). Solución detallada De la ecuación (3.5) se obtiene ε 0,3493. Aplicando entonces (3.39) se obtiene n 4,9. Por tanto, se necesita un filtro de quinto orden. Finalmente usando la tabla IIIa se obtiene la función: Hs ( ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,789 s 5 +,75s 4 +,9374s 3 +,3096s + 0,755s + 0,789 (3.40) Notar que H( 0). Si n hubiera sido par, habría salido 0,5dB. La Fig. 3.8 muestra el diagrama de magnitud de dicho filtro. La Fig. 3.9 muestra una ampliación del diagrama de Bode de magnitud en la banda pasante y en el entorno del borde de la banda de rechazo. En el primero de los diagramas se aprecia la distribución no uniforme de los ceros de reflexión. El segundo de los diagramas muestra cómo las especificaciones de atenuación en la banda de rechazo se cumplen por exceso debido al orden no entero requerido para cumplir exactamente las especificaciones. La Fig. 3.0 muestra la distribución de los polos. Podemos comprobar pues que el filtro Chebyshev es mas eficiente que el máximamente plano para realizar las mismas especificaciones. Puede demostrarse que esto siempre es así. 0.0-5.0-0.0 Magnitud (db) -5.0-0.0-5.0-30.0.00E+00.00E+0.00E+0.00E+03 Frecuencia (Hz) Figura 3.8: Diagrama de Bode de magnitud del filtro Chebyshev. Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-5

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC.5.0 0.5 Magnitud (db) 0.0-0.5 -.0 -.5.00E+0.00E+0.00E+03 Frecuencia (Hz) -8.5-9.0-9.5 Magnitud (db) -30.0-30.5-3.0-3.5-3.0.88E+03.90E+03.9E+03 Frecuencia (Hz).94E+03.96E+03 Figura 3.9: Ampliación del diagrama de Bode de magnitud en el borde de la banda pasante y en el borde de la banda de rechazo. Alternativamente se puede recurrir a diagramas de tolerancias. Para ello consideremos (3.37). Si A s > 0dB, es decir, ε C n ( ωs ) > 0, se puede aproximar, A s 0log 0 ε C n ( ωs ) (3.4) Por tanto, A s + 0log 0 -- 0log ε 0 C n ( ω s ) (3.4) Para n y ω s fijos aumentar la atenuación en la banda de rechazo significa aumentar el rizado ε y por tanto la atenuación en la banda de paso A p. 3-6 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.5 Aproximación de igual rizado. Aproximación Chebyshev.5 Im(s) 5 5 0.5 5 Re(s) 0 - -0.5 0 0.5 5-0.5 5 - Figura 3.0: Polos del filtro Chebyshev (normalizados). -.5 Esta relación puede utilizarse para determinar el orden n del filtro. Para ello, la Fig. 3. muestra representaciones gráficas de 0log 0 C n ( ω s ) para ω s y para 3 n 0. Por tanto, dados A p, A s y ω s se pueden utilizar para determinar el orden del filtro. A ( ω s ) + 0log 0 ( ε ), db Fig. 4. Sedra ω s Figura 3.: Carta de diseño Chebyshev Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-7

APROXIMACIÓN DE FILTROS 3.6 Filtros Chebyshev inversos ASC Si se requiere una banda pasante monotónica y una banda de rechazo de igual rizado puede hacerse con la aproximación Chebyshev inversa que puede deducirse a partir de la aproximación Chebyshev convencional mediante las transformaciones que se muestran en la Fig. 3.. Fig. 4.3 Sedra Figura 3.: Proceso de obtención teórica de los filtros Chebyshev inversos a partir de los Chebyshev convencionales. La magnitud de los filtros Chebyshev inversos está descrita por: HjΩ ( ) ε C n( Ω) ------------------------------------- ε + C n( Ω) (3.43) 3-8 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.6 Filtros Chebyshev inversos Basta comparar (3.43) con (3.) para comprender que los filtros Chebyshev inversos tienen una banda pasante máximamente plana y tienen ceros de transmisión finitos localizados en C n ( Ω). Los ceros de transmisión de los filtros Chebyshev inversos son por tanto los inversos de los ceros de reflexión del Chebyshev convencional del mismo orden. En cuanto a los polos vendrán dados por la soluciones de la ecuación ε + C n( Ω) 0 para Ω s j (3.44) pero una ecuación similar ya se ha resuelto para la aproximación Chebyshev convencional por lo cual sin más que comparar las ecuaciones puede deducirse que los polos de la aproximación Chebyshev inversa son los inversos de los polos de la aproximación Chebyshev convencional. Obviamente el rizado ε habrá de escogerse adecuadamente. Para ello podemos fijarnos en la correspondencia en la Fig. 3. en el comportamiento en el borde de la banda pasante de la aproximación Chebyshev inversa con su procedencia del Chebyshev normal: ε ----------------------- ε C n ( Ωs ) (3.45) No hay que olvidar que debido al método utilizado para la derivación de la aproximación Chebyshev inversa, las funciones obtenidas están normalizadas respecto al borde de la banda de rechazo. Puede demostrarse que los filtros Chebyshev inversos son tan eficientes como los filtros Chebyshev en el sentido de obtenerse filtros del mismo orden para aproximar un conjunto dado de especificaciones. Por ejemplo, para el mismo conjunto de especificaciones utilizadas en la aproximación Chebyshev se obtiene también orden 5. El diagrama de Bode de magnitud resultante se muestra en la Fig. 3.3 y una ampliación del mismo en el entorno de la frecuencia de corte en la Fig. 3.4. La distribución de polos y ceros se muestra en la Fig. 3.5 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-9

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC 5.0 0.0-5.0-0.0 Magnitud (db) -5.0-0.0-5.0-30.0-35.0-40.0-45.0.00E+00.00E+0.00E+0.00E+03.00E+04.00E+05 Frecuencia (Hz) Figura 3.3: Diagrama de Bode de magnitud del filtro Chebyshev inverso. Sin embargo, su comportamiento en fase y retraso es muy diferente. Los filtros Chebyshev tienen mayores valores del factor de calidad de los polos que los filtros de Chebyshev inversos lo que se traduce en curvas de retraso con mayores picos, tal como se ilustra en la Fig. 3.6. Por tanto, los filtros de Chebyshev inversos son preferibles en aplicaciones donde son importantes pequeñas variaciones de retraso como en video o transmisión de datos. 0.0 -.0 Magnitud (db) -.0-3.0-4.0-5.0.00E+03.0E+03.30E+03.40E+03.50E+03 Frecuencia (Hz) Figura 3.4: Ampliación del comportamiento en la banda pasante. 3-0 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.6 Filtros Chebyshev inversos.5 m Im(s) m 5 5 0.5 Re(s) 5 0 - -.5 - -0.5 0 0.5.5 5-0.5 5 - m -.5 - m Figura 3.5: Polos y ceros del filtro Chebyshev inverso (normalizados respecto del borde de la banda de rechazo). Fig..6 Schauman Figura 3.6: Comparación del retraso de filtros Chebyshev y Chebyshev inversos Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-

APROXIMACIÓN DE FILTROS 3.7 Aproximación elíptica ASC Los filtros Butterworth y Chebyshev proporcionan aproximaciones fáciles de realizar. Sin embargo, son ineficientes en lo concerniente a la banda de rechazo. Proporcionan normalmente más atenuación de la necesaria. Si se mueven algunos polos de atenuación (o ceros de transmisión) desde el infinito a posiciones cercanas al borde de la banda de rechazo se aumentará la pendiente de la caída en la banda de transición. Esto se ha hecho en el filtro Chebyshev inverso pero la banda pasante máximamente plana impide una caída más pronunciada. Luego, si las especificaciones de atenuación en la banda de rechazo son constantes una aproximación óptima será aquella que tenga un igual rizado en la banda de paso y en la de rechazo. La función característica debe aproximarse a 0 en la banda de paso y a en la banda de rechazo con igual rizado. Esta aproximación se denomina elíptica porque se utilizan las funciones elípticas doblemente periódicas para obtener la función característica. La Fig. 3.7 muestra las funciones características de filtros elípticos de orden 5 y 6, que son representativos de filtros de orden impar y par, respectivamente. Podemos observar las siguientes propiedades: ) La aproximación del filtro elíptico se caracteriza por 4 parámetros: A p (ó ε), ω s, A s y el orden n. Cualquier conjunto de tres de estos lo describen completamente. ) El orden n y el factor de selectividad determinan de forma única los ceros de reflexión y los polos de la atenuación. Por tanto, se puede buscar un compromiso entre y ; cuando una aumenta la otra también. ω ri 3) Para n impar el filtro elíptico tiene un cero de reflexión en el origen y un polo de atenuación en el. Esto no ocurre para n par. Los otros ceros de reflexión y transmisión están en el eje jω. Luego la función A s ω s A p ω zi 3- Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Fig. 4.6 Sedra Figura 3.7: Características de atenuación de filtros elípticos de orden par e impar característica es: ( ) s ( s + ω ri ) i Ks ( ) k--------------------------------------------- para n impar ( n ) i n i n s ( + ) s ω zi ω ri Ks ( ) k--------------------------------- para n par ( + ) s ( + ) ω zi (3.46) 4) Como en los filtros de Chebyshev, para n par la atenuación en ω 0 determina el máximo rizado en la banda de paso. Para cualquier n el número total de picos y valles en la banda de paso es el orden del filtro n. Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-3

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Extrayendo ε de Ks ( ) se obtiene la función que caracteriza las aproximaciones elípticas, denominadas funciones racionales de Chebyshev: ( ) ω ( ω ω ri ) i ( n ) R n ( ω) r------------------------------------------------ para n impar i n i n ω ω zi ( ) ω ω ri R n ( ω) r---------------------------------- para n par ( ) ω ( ) ω zi (3.47) y lógicamente la función de transferencia es: Hjω ( ) ----------------------------- ε + R n( ω) (3.48) En la aproximación elíptica los ceros de reflexión y los polos de atenuación exhiben simetría geométrica alrededor de una frecuencia de la banda de transición, ω s, es decir, ω zz ω r ω z ω r ω s (3.49) Determinación del orden del filtro n Tal como se ha hecho para las otras aproximaciones se puede derivar una ecuación para el orden del filtro elíptico necesario para cumplir unas especificaciones dadas. Sin embargo, tal expresión incluye integrales elípticas para las cuales se necesitan tablas. Pero es fácil observar que en la banda de rechazo ε R n ( ω)». Por tanto, si A s es la atenuación en db para ω : ω s A s + 0log 0 -- 0log ε 0 R n ( ω s ) (3.50) Dibujando 0log 0 R n ( ω s ) frente a ω s permite obtener familias de curvas 3-4 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica con las que se puede obtener el orden n dado A s, ε y ω s tal como las que se muestran en la Fig. 3.8. Por ejemplo, si 0,5dB ( ε 0,3493), A s 50dB y ω s,5 entonces el orden del filtro es n 5. A p Fig..7 Schauman Figura 3.8: Carta de diseño de filtros elípticos La obtención de polos y ceros requiere normalmente el uso de un ordenador. Se pueden encontrar tablas de polos y ceros para un gran número de casos. La forma de la función de transferencia de un filtro elíptico es: Hs ( ) m H ( s + a i ) i ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- s n + b n s n + b n s n + + b s + b 0 (3.5) Estas funciones se encuentran tabuladas y de ganancia sea la unidad. H se escoge de forma que el pico Ejemplo 3.- Encontrar la función de transferencia de un filtro elíptico que satisface las mismas especificaciones de los ejemplos anteriores (banda pasante en 0 f,khz con A p 0,5dB de atenuación máxima y una banda de rechazo en f,9khz con una atenuación mínima A s 3dB). Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-5

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Solución detallada Tenemos que ω s,6 y ε 0,0. Para usar las tablas de filtros elípticos necesitamos los números A mín Hjω ( ) en ω y A máx Hjω ( ) en ω ω s. Tenemos que A ------------------ 0,944 + ε A ------------------ 0 0,A s 0,0708 + δ (3.5) En las tablas se comprueba que un filtro elíptico de segundo orden no cumple las especificaciones. Para ω s,6 y A 0,95, se tiene A 0,35099. Con un filtro de tercer orden se tiene A 0,066 < 0,0708. Por tanto: Hs ( ) 0,86( s + 3,36) ---------------------------------------------------------------------------------------- ( s + 0,773) ( s + 0,496s +,74) (3.53) con H( 0) ya que el orden es impar. El diagrama de Bode de magnitud resultante y una ampliación del mismo en el entorno del borde la banda pasante se muestran en la Fig. 3.9. A modo de resumen, la Fig. 3.0 muestra el diagrama de magnitud obtenido con todas las aproximaciones con las especificaciones dadas. Estas diferencias son aún mayores si las especificaciones son más estrictas. Por ejemplo, para A p 0,05dB, A s 80dB y ω s, se obtiene n elíptico 0, n Chebyshev 0 y n Butterworth 63. Hemos visto que para unas especificaciones de magnitud dadas la aproximación elíptica es la más eficiente (de las aproximaciones clásicas), seguida por la Chebyshev y la máximamente plana. El motivo principal es la distribución de igual rizado del error en la banda pasante junto con la presencia de ceros de transmisión finitos que permiten a la función de transferencia elíptica tener una transición muy brusca (la anchura de la 3-6 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica 0.0-5.0-0.0 Magnitud (db) -5.0-0.0-5.0-30.0-35.0.00E+00.00E+0.00E+0.00E+03.00E+04 Frecuencia (Hz).5.0 0.5 Magnitud (db) 0.0-0.5 -.0 -.5.00E+0 Frecuencia (Hz).00E+03 Figura 3.9: Diagrama de magnitud del filtro elíptico y ampliación de la banda pasante. región de transición es la especificación más exigente). Para las mismas especificaciones que los ejemplos anteriores pero con ω s, se obtiene n elíptico 4, n Chebyshev 0 y n Butterworth 39. Es interesante comparar las tres aproximaciones desde el punto de vista del retraso. Ya que los filtros Chebyshev y elípticos tienen polos con mayores factores de calidad, sus curvas de retraso para el mismo orden tienen más pico. Sin embargo, esta aproximación no es muy correcta puesto que estamos comparando curvas de retraso de igual orden y la comparación debe efectuarse para filtros que cumplen las mismas especificaciones. En Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-7

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC 0.0-5.0 Butterworth (n8) Chebyshev (n5) Chebyshev inverso (n5) Elíptico (n3) -0.0 Magnitud (db) -5.0-0.0-5.0-30.0-35.0-40.0.00E+00.00E+0.00E+0.00E+03.00E+04.00E+05 Frecuencia (Hz) Figura 3.0: Diagrama de Bode de magnitud para todas las aproximaciones. este caso, la Fig. 3. muestra una comparación de los retrasos para las especificaciones: A p 0,5dB, A s 3dB y ω s,5. Sin embargo, a medida que las especificaciones son más relajadas y los órdenes necesarios en cada aproximación son iguales o no difieren mucho, las diferencias de comportamiento en retraso vienen dominadas por los factores de calidad de los polos correspondientes, como aparece en la Fig. 3. Figura 3.: Comparación de retrasos para igual orden. 3-8 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Figura 3.: Comparación de retrasos y ampliación. Problemas resueltos 4.- Un filtro paso de baja tiene la función característica Ks ( ) dada por Kjω ( ) ---------------------------------------------- 0,48807ω0 ( ω ) ( 3 ω ) Determinar los ceros de transmisión, el parámetro ε, la atenuación de la banda pasante en db y Hs ( ). Solución detallada En primer lugar tenemos, por la ecuación de Feldtkeller, que: Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-9

APROXIMACIÓN DE FILTROS Hjω ( ) ----------------------------- + Kjω ( ) ASC (3.54) y como Kjω ( ) ε Fjω ( ) ------------------------- Njω ( ) (3.55) tenemos que: Hjω ( ) Njω ( ) ---------------------------------------------------- Njω ( ) + ε Fjω ( ) (3.56) así que los ceros de transmisión son los polos de la atenuación, de modo que tendremos ceros de transmisión en: ω ± y ω ± 3 (3.57) o sea s ± j y s ± j 3 (3.58) Por otra parte, ε 0,3493 ε Kj ( ), de modo que: (3.59) Asímismo, como si hacemos ω s j llegamos a: ε 0 0,A p A p 0log 0 ( + ε ) 0,5dB, tenemos que La forma de la ecuación característica es la siguiente: Para obtener Hs ( ) partimos de: Hjω ( ) ( ω ) ( 3 ω ) --------------------------------------------------------------------------------- ( ω ) ( 3 ω ) + 0,48807ω 0 Hs ( )H( s) ( s + ) ( s + 3) ---------------------------------------------------------------------------- ( s + ) ( s + 3) 0,48807s 0 (3.60) (3.6) (3.6) 3-30 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Kjω ( ) δ ε 3 ω seguimos operando y: ( s + ) ( s + 3) Hs ( )H( s) ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 36 + 60s + 37s 4 + 0s 6 + s 8 0,48807s 0 (3.63) Las raíces del denominador (que es ayuda de un ordenador): s 35 s 79 s,6376 s,6376 Ds ( )D( s) ) son (calculadas con, 0,7876 ± j,339 s 46, 0,7876 ± j,339, 0,845 ± j,468 s 80, 0,845 ± j,468 (3.64) de modo que para Ds ( ) nos quedamos sólo con las que están en el semiplano izquierdo del plano s, o sea: s, s 3, s 5, s 7 y s 9. Así que: Hs ( ) ( s + ) ( s + 3) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,48807( s +,6376) ( s + 0,3690s +,349) ( s + 0,3690s +,349) (3.65) o sea: Hs ( ),434( s + ) ( s + 3) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s 5 + 4,587s 4 + 9,477s 3 + 4,473s +,0s + 8,5883 (3.66) Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-3

APROXIMACIÓN DE FILTROS que tiene aproximadamente esta forma (representamos Hjω ( ) ): ASC Hjω ( ) -------------- + ε -------------- + δ 3 ω 5.- Obtener la función de transferencia Hs ( ) de un filtro paso de baja de segundo orden con una ganancia en dc de 0 y una ganancia máxima de 0 para ω rad/s. Especificar los valores de ω p y Q. Solución detallada Partimos de Hs ( ) kω p --------------------------------- Hjω ( ) s ω ----- p + s + ω Q p ----------------------------------- k ω ω ----- + j---------- ω p Q ω p (3.67) de modo que la magnitud de la función del sistema para s jω será: Hjω ( ) k ----------------------------------------------------- ω ----- ω + ---------- ω p Q ω p (3.68) y puesto que k 0 Hj0 ( ) 0 tendremos que: (3.69) 3-3 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Vamos a ver ahora cuanto tienen que valer y Q para que el valor máximo de la ganancia sea 0 y ocurra para ω ω p rad/s. Para ello hacemos: d dω ------ ( Hjω ( máx ) ) 0 -------------- ω p ω máx ------ + 0 Q (3.70) lo que nos lleva a: ω máx ω p ( Q ) (3.7) de modo que Hjω ( máx ) k --------------------------- ------ --------- 4Q 4 Q (3.7) y de aquí, puesto que k 0 : Q 4 4Q + 0 Q 3,730 0,679 (3.73) de estos dos valores seleccionamos el mayor, ya que Q 0,679 no nos llevaría a un máximo en ω máx. Por tanto Q,938. Finalmente, de (3.7) extraemos el valor de ω p, dado que ω máx tiene que ser rad/s: ω p ω máx -----------------------------,0746rad/s Q (3.74) 6.- Determinar el mínimo orden n requerido para una función de transferencia de igual rizado con una atenuación máxima de db en la banda pasante, que se extiende entre 0 y rad/s, y la frecuencia de caída de 3,0dB no puede ser mayor de,rad/s. Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-33

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Solución detallada Antes de nada vamos a extraer convenientemente las especificaciones a partir del enunciado: ω p ω s,0rad/s A p 0,5dB,rad/s A s 3,0dB Primero vamos a obtener el rizado ε : (3.75) ε 0,0 0,3493 0 0,A p (3.76) así que el orden saldrá de: n 0 0,A s ( ) ε acosh ---------------------------------------------------------- 3,868 acoshω s (3.77) log 4 0 0,A s ( ) ε o bien, n ------------------------------------------------------- 3,9337 (3.78) log ω s + ω s de modo que el orden mínimo requerido para que se cumplan las especificaciones citadas es n 4. 7.- Dado un filtro con un polo de atenuación en infinito, un polo de atenuación en 0 y dos ceros de reflexión en s ± jω r (donde ω r > ) y con un rizado ε, hallar el orden del filtro, su función de transferencia y los polos o modos naturales del filtro. Solución detallada Ns ( ) Partimos de que Hs ( ) ----------- εf( s) y Ks ( ) -------------. Si contabilizamos los Ds ( ) Ns ( ) polos y ceros en 0 y en infinito, el número de polos de Hs ( ) es igual al número de ceros de Hs ( ) y también al número de polos de la atenuación. Como el enunciado nos dice que la atenuación tiene dos polos: n. 3-34 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Tenemos polo de la atenuación en 0, y tenemos polo de la atenuación en. Para ello necesitaremos que Ns ( ) s y que el orden de Fs ( ) sea. Puesto que tenemos ceros de reflexión en s ± jω r, podemos suponer que Ks ( ) tiene la forma: Ks ( ) ks ( + ω r ) ------------------------- s (3.79) o sea que Kjω ( ) k ( ω r ω ) ------------------------------- (3.80) ω Mediante la ecuación de Feldtkeller: Hjω ( ) ----------------------------- + Kjω ( ) ω --------------------------------------------- ω k + ( ω r ω ) (3.8) y ahora, haciendo Hs ( )H( s) ω s j s --------------------------------------------- s k + ( ω r + s ) s ---------------------------------------------------------------- k s 4 ( ω r )s k 4 + + ω r (3.8) Las raíces del denominador Ds ( )D( s) k s 4 ( ω r )s k 4 + + ω r son: ----- j----- 4k ± ω k k r s 34 s,, ----- j----- 4k ± ω (3.83) k k r de modo que para Ds ( ) me quedo con s y s que tienen parte real negativa y por tanto hacen que este sistema tenga los polos en el semiplano izquierdo del plano s, por lo que será estable. Finalmente, si llamamos ω r Q a k tendremos: Hs ( ) ω r -----s -------------------------------- Q s ω r + -----s + ω Q r (3.84) Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-35

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC con modos naturales: s, ω r ± jω r --------- 4Q (3.85) 8.- Considerar una aproximación de filtro paso de baja normalizada con ε ( A p 3dB). El filtro tiene tres ceros de reflexión en 0, un polo de atenuación en y un par de polos de atenuación en ω ω l. Para ω s 3, hallar ω l y A s. Solución detallada Puesto que Kjω ( ) ε Fjω ( ) ------------------------- (3.86) Njω ( ) si tenemos tres ceros de reflexión en 0, entonces Fs ( ) s 3. Asímismo, por tener dos polos de atenuación en s ± jω l, tenemos que Ns ( ) s + ω l. Así que: Hjω ( ) Njω ( ) ---------------------------------------------------- Njω ( ) + ε Fjω ( ) ( ω l ω ) --------------------------------------------- ( ω l ω ) + ε ω 6 (3.87) como por otro lado, para ω, Hj ( ) ------ (ya que A p 3dB), igualamos Hj ( ) ( ω l ) ------------------------------- ( ω l ) + -- (3.88) de donde sale que ω l ±. Por otro lado, para ω s 3 tenemos Hjω ( s ) ( ω l ω s ) ( 3) --------------------------------------------- ( ω l ω s ) ------------------------------- ε 6 + ω ( 3) + 7 s ----- 8 (3.89) 3-36 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica o sea que: A s 0log 0 Hjω ( s ) 0log 0 8 4,47dB (3.90) 9.- Convencionalmente se estudian las funciones de transferencia todo polo máximamente planas alrededor de ω 0. Podría pensarse en una frecuencia ω o en la banda pasante 0 < ω o < como frecuencia a la que la función fuera máximamente plana. Determinar la función característica para este caso Ks ( ). Para esta función obtener y dibujar Kjω ( ) y Hjω ( ). Cuál es el efecto de n y ω o? Qué restricciones debe cumplir ω o si Hj0 ( ) Hj ( ) y mín( Hjω ( ) ) ( + ε ) para 0 ω? Solución detallada En el caso en que ω o 0 teníamos que Kjω ( ) ε ω n. En esta ocasión queremos trasladar el comportamiento que observavamos en ω 0 a una ω ω o. Para ello vamos a realizar un cambio de variable. Por ejemplo ω ω ω o. El problema es que para que los coeficientes sean reales la función Kjω ( ) ε ω n debe seguir siendo par, y esta transformación no nos asegura que Kjω ( ) sea par en ω. Otro cambio posible sería ω ω ω o. Ahora el problema estaría en el valor del rizado para ω, tendríamos: Kj ( ) ε ( ω o ) n Si redefinimos la transformación como (3.9) ω ω ω ------------------ o ω o (3.9) la función característica pasa a ser: Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-37

APROXIMACIÓN DE FILTROS Kjω ( ) ε ω ω o ------------------ ω o Si hacemos ω s j: tenemos la forma de la función característica. Vemos que para pueden darse diferentes situaciones: Veamos la forma de n Ks ( )K( s) ε s + ω n o ----------------- Ks ( ) ε s + ω o ----------------- ω o ω o Kj0 ( ) ε ω o -------------- ω o n Kjω ( ) n si ω o Kj0 ( ) ε si ω o < Kj0 ( ) < ε ASC (3.93) (3.94) ω 0 (3.95) Kjω ( ) ω o > ------ ω o < ------ δ ε Por otro lado Hjω ( ) ω o ------ vale: ω 3-38 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Hjω ( ) -------------------------------------------- ε ω ω n ------------------ o + ω o (3.96) que tiene la siguiente forma: Hjω ( ) -------------- + ε ------ ω o de modo que el valor de fija el máximo rizado en la banda pasante. Si ω o, éste será ε, mientras que si ω o >, el máximo rizado será εω [ o ( ω o )], que ocurre para ω 0. Mientras tanto, n nos da el grado de planitud de la función de transferencia en ω o. Podemos comprobar que Kjω ( o ) 0 y que las n derivadas del error de transmisión también son cero en ω ω o. Tenemos que el error de transmisión es Δω ( ) Hjω ( ) así que por la regla de la cadena: dδ( ω ) ------------------ d( ω ) ------ dδ -------------- dk dk d( ω ) ----------------------------- + Kjω ( ) (3.97) (3.98) lo que significa que si dk d( ω ) 0 para ω ω o, se anulará también dδ d( ω ) 0. Si esto ocurre para las n derivadas sucesivas de ω Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-39

APROXIMACIÓN DE FILTROS Kjω ( ) respecto de ( ω ), también se anularán las n derivadas sucesivas de Δω ( ) respecto de ( ω ). De modo que veamos cuanto valen esas n derivadas de Kjω ( ) respecto de ( ω ): dk( jω) ----------------------- d( ω ) d Kjω ( ) -------------------------- d( ω ) d i Kjω ( ) ------------------------- d( ω ) i ω ω ω ω o ω o ω o ASC (3.99) así que n nos da el grado de planitud de la función de transferencia en ω o. Finalmente, para responder a la última pregunta, igualamos esta expresiones: de donde llegamos a que antes, y el valor mínimo de Hj ( ), o sea, ( + ε ). nε ------------------------- ( ω o ) n ω ( ω o ) n ω ω o 0 n( n )ε ω ( ω o ) n --------------------------------------------------------------------- ( ω o ) n ω (3.00), como ya habíamos identificado en la banda pasante es precisamente 0.- Obtener una función de transferencia paso de baja Hs ( ) que cumpla las siguientes condiciones: a) La banda pasante es máximamente plana con A p db en 0 f 6kHz. b) Tiene ceros de transmisión en f khz y f 4kHz. c) Para altas frecuencias, la atenuación aumenta al menos 40dB/déc. ω o n! ε ω ( ω -------------------- o ) n i ---------------------------------------- ( n i)! ( ω o ) n ω Hj0 ( ) ---------------------------------------- y Hj ( ) ------------- 4n ε ω ------------------------- o + ε + ( ω o ) n ω o Hjω ( ) ω o 0 0 3-40 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Solución detallada En primer lugar normalizamos respecto del borde de la banda pasante. De modo que como frecuencia de normalización tomamos Ω o π 6kHz o sea Ω o π rad/s. De modo que: ω p π 6kHz π 6kHz ω π khz π 6kHz ω π 4kHz π 6kHz 4 (3.0) Como ya sabemos cual es la posición de los ceros de transmisión en la frecuencia normalizada, de esta función máximamente plana en al banda pasante, tenemos que: Ns ( ) ( s + 4) ( s + 6) (3.0) o sea Njω ( ) ( 4 ω )( 6 ω ) (3.03) Por otro lado, de la atenuación en la banda pasante extraemos el rizado: ε y puesto que pasante, 0,5849 0 0,A p Kjω ( ) a n ω n Njω ( ) Kj ( ) a n -------------------------------------------- ( 4 ) ( 6 ) ε (3.04), en el borde de la banda (3.05) de donde sale que a n 84,4. Para completar la función característica, nos dicen que a altas frecuencias la atenuación crece con al menos 40dB/déc de pendiente, o sea, el numerador de Ks ( ) debe tener un orden superior en al menos al orden de Ns ( ), esto es, n 6, ya que orden[ Ns ( )] 4. Así que ya tenemos completada Kjω ( ) : Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-4

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC Kjω ( ) ------------------------------------------------- 84,4ω ( 4 ω ) ( 6 ω ) Ahora vamos a obtener Hs ( ). En primer lugar tenemos Hjω ( ) ( 4 ω ) ( 6 ω ) ------------------------------------------------------------------------------------ ( 4 ω ) ( 6 ω ) + 84,4ω (3.06) (3.07) ( s + 4) ( s + 6) así que: Hs ( )H( s) -------------------------------------------------------------------------------- (3.08) 84,4s + ( s + 4) ( s + 6) o sea: Hs ( )H( s) ( s + 4) ( s + 6) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 84,4s + s 8 + 40s 6 + 58s 4 + 560s + 4096 (3.09) Para encontrar los modos naturales de Hs ( ) hace falta resolver la ecuación 84,4s + s 8 + 40s 6 + 58s 4 + 560s + 4096 0. Con ayuda de un programa de ordenador obtenemos: s s 5 6 s 90,,9± j0,3393 s 34,,9± j0,3393, 0,735 ± j0,839 s 7, 8 0,735 ± j0,839, 0,388 ± j,05 s, 0,388 ± j,05 (3.0) y de estas sólo nos quedamos con las que están en el semiplano izquierdo del plano s, las que tienen parte real negativa, o sea s,, s 5, 6 y s 9, 0. Así: Hs ( ) ( s + 4) ( s + 6) ---------------------------------------------------------------------------------- 84,4[ ( s +,9) + 0,3393 ] ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- [( s + 0,735) + 0,839 ][( s + 0,388) +,05 ] (3.) o bien: 3-4 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Hs ( ) s 4 + 0s + 64 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 84,4( s 6 + 4,864s 5 + 8,763s 4 +,6683s 3 + (3.) + 0,453s + 6,0600s +,8599 ) Para terminar tendríamos que desnormalizar en frecuencia. Esta operación la indicamos. Así tendriamos una Hs' ( ), donde s' es la frecuencia normalizada, que se obtiene de hacer: Hs' ( ) Hs ( ) s s' ------ Ω o (3.3) con el Ω o calculado al principio..- a) Hallar la función característica, los modos naturales y la función de transferencia de un filtro Chebyshev que cumpla las siguientes especificaciones: f p 0KHz, f s 5KHz, A p 0.5dB y A s 50dB. b) Hallar los mismos parámetros de un filtro Chebyshev inverso que satisfaga las mismas especificaciones. Solución detallada Parte (a) En primer lugar obtenemos el rizado ε 0,3493 0 0,A p (3.4) y normalizamos la frecuencia con respecto al borde de la banda pasante: Ω o π 0 4 rad/s ω p ω s 0kHz --------------- 0kHz 5kHz ---------------,5 0kHz (3.5) Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-43

APROXIMACIÓN DE FILTROS ASC A continuación evaluamos el orden del filtro Chebyshev que cumple estas especificaciones: n 40 0,A s ln ( ) ε ---------------------------------------------------- 7,7945 n 8 ln ω s + ω s (3.6) Tambin puede calcularse el orden basándonos en el diagrama de tolerancias: 0log 0 -- + A ε s 0log 0 C n ( ω s ) (3.7) que por un lado nos ofrece 0log 0 -- + A ε s 59,36dB (3.8) y por otro: C 6 ( ω s ) 6 4 3ω s 48ω s + 8ω s 6,0 7 5 3 C 7 ( ω s ) 64ω s ω s + 56ω s 7ω s 4,5 (3.9) 8 6 4 C 8 ( ω s ) 8ω s 56ω s + 60ω s 3ω s + 6 0log 0 C 6 ( ω s ) 44,4dB o sea 0log 0 C 7 ( ω s ) 5,50dB (3.0) 0log 0 C 8 ( ω s ) 60,86dB de modo que es n 8 el orden necesario para cumplir las especificaciones. De modo que tenemos: 0log 0 -- + A ε s 60,86dB (3.) y por tanto cumplimos las especificaciones en exceso. Usualmente se prefiere ajustar la aproximaxción a las especificaciones en banda de paso e 3-44 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica invertir el exceso en la atenuación en la banda de rechazo. Esto significaría que 0,5dB, por tanto ε 0,3493 y nos queda A s 5,7dB, que A p es más de lo que nos piden. Sin embargo, podríamos haber disminuido la atenuación máxima en la banda pasante alustando la aproximación a las especificaciones en la banda de rechazo. O sea, mantenemos y por lo tanto A p A s 50dB, lo que nos lleva a ε 0,864 0,34dB. La siguiente figura ilustra este punto: A s 5,7dB Kjω ( ) A s 50dB δ A p ε 0,5dB A p 0,34dB ω De modo que nos vamos a quedar con la solución más habitual, mantenemos 0,5dB, lo que resulta en A s 5,7dB. A p De todas maneras, independientemente del valor que asignemos al rizado, ε, las posiciones de los ceros de reflexión son las mismas en un filtro de Chebyshev, y vienen indicadas por, en un filtro de orden par: k + ω rk ±cos -------------- π (3.) n -- con k 0,,,, n -- o sea: Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-45

APROXIMACIÓN DE FILTROS de modo que y si hacemos ω s : queda: Por otro lado, los modos naturales salen de: s k -- + j -- o sea que: ω r07 ω r6 ω r5 ω r34 ± 0,9808, ± 0,835, ± 0,5556, ± 0,950, Kjω ( ) Kjω ( ) ε n ω ω ( ) rk 3 k 0 Kjω ( ) 44,704( ω 0,960) ( ω 0,694) ω ( 0,3087) ( ω 0,0380) Ks ( ) 44,704( s + 0,960) ( s + 0,694) -- + ε -- + ε s 0 7 s 6 ( s + 0,3087) ( s + 0,0380) ---- ε + ---- ε + n n ε n -- + ---- + sen k --------------π + + ε n + -- + ε, 0,0436± j,0050, 0,4 ± j0,850 s 5, 0,859 ± j0,5693, 0,93 ± j0,999 s 3 4 ---- ε + n cos k + --------------π n ASC (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) 3-46 Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI

ASC 3.7 Aproximación elíptica Podemos calcular la frecuencia de polo y el factor de calidad para cada una de estas parejas de polos: ω o0, 7,0059 Q 07,,54 ω o, 6 0,860 Q 6, 3,466 ω o, 5 0,5989 Q 5,,6 ω o34, 0,967 Q 3, 4 0,6766 (3.9) La función de transferencia vendrá dada por: Hs ( ) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 44,704 [( s + 0,0436) +,0050 ][( s + 0,4) + 0,850 ] [( s + 0,859) + 0,5693 ][( s + 0,93) + 0,999 ] (3.30) También podríamos haberla buscado en la tabla de filtros Chebyshev para ε 0,3493 y n 8 : Hs ( ) 0,04 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- s 8 +,46s 7 +,6567s 6 +,49s 5 +,840s 4 + +,486s 3 + 0,5736s + 0,55s + 0,037 (3.3) Finalmente tendríamos que desnormalizar: Hs' ( ) Hs ( ) s s' ------ Ω o (3.3) Parte (b) Para calcular un filtro Chebyshev inverso, partimos de un filtro Chebyshev convencional, el cual estará calculado para un ε diferente del que nos marcan las especificaciones. Veamos, en nuestro caso necesitamos un filtro Chebyshev inverso que cumpla ε 0,3493 y A s 50dB. Puesto que la transformación nos lleva a: Área de Electrónica, Dpto. de Electrónica y Electromagnetismo, ESI 3-47