ANEXO 5: HORIZONTE MATEMÁTICO Organizaremos este documento en torno a tres puntos: - Conceptualización - Guión de análisis para la identificación de trayectorias hipotéticas de aprendizaje - Trayectoria hipotética de la proporcionalidad y la escala 1. Conceptualización El horizonte matemático hace referencia al límite, jamás alcanzado, del conocimiento relativo a un objeto matemático. Por un lado, por más que profundicemos y extendamos nuestro conocimiento sobre un concepto, un método, un proceso o un procedimiento matemático, siempre será posible encontrar conexiones nuevas con objetos existentes y nuevos objetos relacionados con los anteriores. Por otro lado, también podremos conocer mejor los orígenes de conocimientos que guardan relación, aunque sea tangencial, con los objetos estudiados. En nuestro estudio, acotamos el origen a la etapa de Educación Infantil, y el horizonte, al 6º curso de Educación Primaria. Al hablar del horizonte matemático desde la perspectiva del conocimiento, lo entendemos desde el foco del aprendizaje del alumnado y del conocimiento que debe poseer el profesorado para guiar dicho aprendizaje (conocimiento profesional). De hecho, el término horizonte procede de la obra de Ball y colaboradores sobre el conocimiento matemático para la enseñanza, donde distinguen el conocimiento matemático común, el especializado, el de matemáticas y de la enseñanza, el de matemáticas y de los alumnos, el conocimiento curricular y el conocimiento sobre el horizonte matemático (Ball y Bass, 2003 1 ; Ball et al, 2008 2 ). En paralelo al horizonte matemático, situándonos en la perspectiva del alumnado, consideramos el proceso a través del cual dicho alumnado progresa hasta construir los significados correspondientes a los distintos niveles o etapas de ese horizonte matemático. Nos referimos a las trayectorias hipotéticas de aprendizaje (THA), término acuñado por Simon (1995 3 ) para describir las asunciones realizadas por un profesor al planificar una lección, una especie de ruta posible anticipada del aprendizaje de un objeto matemático. 1 Ball, D., & Bass, H. (2003). Toward a practice-based theory of mathematical knowledge for teaching. In B. Davis & E. Simmt (Eds.), Proceedings of the 2002 Annual Meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group. Edmonton, AB: CMESG/GCEDM. 2 Ball, D., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: what makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 389-407. 3 Simon, M. A. (1995). Reconstructing Mathematics Pedagogy from a Constructivist Perspective. Journal for Research in Mathematics Education, 26(2), 114-145. Simon, M. A. & Tzur, R. (1999). Explicating the Teacher's Perspective From the Researcher's Perspectives: Generating Accounts of mathematics teachers' practice. Journal for Research in Mathematics Education, 30(3), 252-264. Simon, M.A. & Tzur, R. (2004). Explicating the role of mathematical tasks in conceptual learning: an elaboration of the hypothetical learning trajectory. Mathematical Thinking and Learning, 6(2), 91-104.
De este modo, usaremos la idea de horizonte matemático en sintonía con la metáfora del catalejo, en el sentido de ver el conocimiento matemático con la perspectiva de la evolución a lo largo de los diferentes cursos. Al mismo tiempo, usaremos la noción de THA como una de las posibles rutas o caminos por los que puede transitar un aprendiz, desde la Educación Infantil hasta acabar la Educación Primaria, en relación con el aprendizaje de un objeto matemático particular, y guiado por sus maestros y las correspondientes secuencias didácticas diseñadas por éstos.
2. Guión de análisis Hemos seguido un proceso para obtener THA desde la perspectiva del análisis detallado de los elementos conceptuales y herramientas procedimentales inherentes a los contenidos (conocimientos) matemáticos. Tal proceso lo hemos llamado Guión para el análisis y la reflexión sobre el horizonte matemático relativo a la orientación espacial desde EI a ESO. Conviene aclarar que, aunque lo que a continuación se describe hace referencia a EI y EP, es nuestro propósito continuar el trabajo hasta ESO. Identificación del contenido matemático en 6º EP Análisis de conceptos y procedimientos inherentes Identificación de (pre)conceptos y (pre)procedimientos Análisis del reflejo de esos precursores en 4º EP, 2º EP, EI (3, 4, 5 años) Elaboración de THA Ajuste teórico de las THA Propuesta final de THA Repetición del proceso para los contenidos no incluidos en ninguna THA
Con el ajuste teórico nos referimos a analizar de qué modo el marco teórico del estudio sustenta la THA. En este sentido, nuestra propuesta de THA debe ser coherente con las teorías de Piaget (tipos de relaciones espaciales, estadios en la construcción del espacio, etapas en el desarrollo de las perspectivas, noción de horizontalidad), del conocimiento ambiental (sistemas de referencia), de la orientación, organización, estructuración y memoria espacial, y de las dificultades en el desarrollo de la orientación espacial (ver documento 1). No obstante, en el presente trabajo no hemos alcanzado esa etapa del guión. 3. El caso de la proporcionalidad y la escala Se presenta a continuación el estudio sobre el horizonte matemático y THA en relación con la noción de proporcionalidad y la de escala. El razonamiento proporcional (NCTM, 2000 4 ) es de tal importancia que merece el tiempo y el esfuerzo que sea necesario para asegurar su desarrollo cuidadoso (p. 82). Muchos investigadores (Lamon, 2007 5 ) comparten la visión de que el razonamiento proporcional es un proceso de desarrollo a largo plazo en el que la comprensión en un nivel forma una base para niveles más elevados de comprensión (entre otros: Inhelder & Piaget, 1958 6 ; Lesh et al, 1988 7 ). El razonamiento proporcional está presente en multitud de contenidos matemáticos de la ESO y de etapas superiores (funciones, ecuaciones lineales, espacios vectoriales ). La derivada, por ejemplo, cuyo cálculo se realiza a través de la tangente de un ángulo, necesita la idea de proporción y de razón para acudir a dicha tangente. Sin embargo, para los propósitos de este trabajo, siguiendo a Lamon (2007), conviene caracterizar la noción de proporcionalidad de acuerdo con la etapa educativa de referencia: propongo que el razonamiento proporcional signifique aportar razones que apoyen las afirmaciones sobre las relaciones estructurales entre cuatro cantidades (digamos a, b, c, d) en un contexto que involucre simultáneamente covarianza de cantidades e invarianza de razones o productos; esto consistiría en la habilidad para discernir una relación multiplicativa entre dos cantidades, así como la habilidad de extender esa relación a otros pares de cantidades (p. 637-638). Obsérvese que esta caracterización del razonamiento proporcional se refiere exclusivamente a cantidades, situándose en el contexto numérico, contexto básico para la caracterización de la proporcionalidad en el contexto geométrico como propiedad matemática que hace referencia a la relación que guardan objetos matemáticos de la misma forma y que mantienen el cociente entre partes correspondientes (pudiendo estos objetos matemáticos ser modelos de objetos reales). En cualquier caso, ante una relación del tipo a/b = c/d, conocidas 3 cantidades, el alumnado debe saber obtener la cuarta cantidad. Asimismo, ante los números 2 y 4, por ejemplo, los alumnos deben ver la relación multiplicativa existente y poder extenderla a 4 National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM. 5 Lamon, S.J. (2007). Rational numbers and proportional reasoning: toward a theoretical framework for research. En F.K. Lester, Jr. (ed.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 629-668). Charlotte, NC: NCTM & Information Age Publishing. 6 Inhelder, B. & Piaget, J. (1958). The growth of logical thinking from childhood to adolescence. New York: Basic Books. 7 Lesh, R., Post, T.R. & Behr, M. (1988). Proportional reasoning. En J. Hiebert & M. Behr (eds.) Number concepts and operations in the middle grades (pp. 93-118). Reston, VA: NCTM.
otras cantidades: entre 2 y 4 existe la misma relación que entre 3 y 6 o 4 y 8; o bien 4/2 = 6/3 = 8/4. Las nociones de cuota, razón, fracción y número racional están, por tanto, en el centro de las ideas de proporción, razonamiento proporcional y proporcionalidad. A continuación se presenta una THA sobre la construcción de la idea de proporcionalidad y su uso en situaciones que supongan la aplicación de una escala. 1º (EI): Comparación de objetos por su forma y tamaño Los alumnos de EI no pueden aún reconocer relaciones multiplicativas, pero sí podemos plantearles situaciones en las que hayan de organizar conjuntos de objetos según forma y tamaño. Solicitar comparaciones del tipo mayor que o menor que, incluyendo mucho mayor que o mucho menor que, posibilita que el alumnado trabaje criterios comparativos adicionales. No bastará ser mayor que, sino que necesitarán encontrar un objeto que sea mucho mayor que otro. Se trata de una relación de desigualdad que, posteriormente, dará lugar a relaciones del tipo doble, triple, etc. 2º (2º EP): El doble y el triple Es la primera base clara de la proporcionalidad. Ahora existe una relación de igualdad clara entre objetos (cantidades). No queremos decir que los objetos sean iguales, sino que una igualdad permite expresar la relación existente entre los objetos. Aparece el signo igual, que es esencial en la expresión de la proporcionalidad. No puede expresarse una proporción sin el signo igual. La proporción no entiende de aproximaciones. Aquí, a través de la suma de dos o tres objetos iguales, obtenemos la relación del doble o el triple, respectivamente. La relación de desigualdad de EI se ha concretado en una relación de igualdad que aporta precisión. 3º (3º EP): Relaciones multiplicativas Como cálculo, la multiplicación es una herramienta imprescindible para entender las relaciones multiplicativas. El doble y el triple pueden calcularse como sumas reiteradas. Sin embargo, la visión de las relaciones multiplicativas se hará a partir de los problemas de división. Estamos hablando de ver las relaciones multiplicativas, no de calcular el producto de dos números. Entender que para obtener 6 a partir de 3 debes multiplicar por 2, y que lo mismo ocurre entre el 4 y el 2 o el 8 y el 4, equivale al cálculo de 6:3, o a la obtención de la razón 6/3. Para poder ver estas relaciones los niños deben dominar las tablas de multiplicar. 4º (5º EP): Fracciones equivalentes Las fracciones equivalentes son un juego de cálculo de ampliaciones y reducciones o la variedad de expresión de una relación (multiplicativa) entre dos cantidades (números). En las fracciones equivalentes se trabaja la idea de igualdad con toda la carga de significado del signo igual (propiedades simétrica y transitiva), así como la idea de razón (la constante del cociente, la idea de fracción como división) y la de la relación inversa (si 4/2 = 6/3, entonces 2/4 = 3/6), algo que será importante cuando se estudie la proporcionalidad y semejanza de figuras. 5º (6º EP): Proporcionalidad geométrica y escalas Las escalas (empleadas en mapas, planos, maquetas) son un modo de expresar la relación existente entre un objeto real y su representación, entendiendo que las figuras o cuerpos reales y sus representaciones son semejantes. La interpretación y diseño de mapas, planos y maquetas sencillas es un aprendizaje incluido en el contenido de la
orientación espacial, pues requiere competencia del alumnado en la localización de objetos y el desplazamiento entre ellos. Podemos decir, pues, que las escalas son un caso particular de la proporcionalidad geométrica. El trabajo con figuras semejantes cercanas (dos triángulos, por ejemplo), será básico para entender luego que un rectángulo del plano es semejante a una habitación de una casa, o que usando la escala de ese plano se pueden obtener las dimensiones de dicha habitación. Al usar una escala (por ejemplo, E: 1:500), ponemos en juego la noción de proporcionalidad geométrica entre dos objetos (rectángulo del plano y habitación), es decir, la semejanza de figuras, que se basa en la conservación de la forma y la existencia de una proporcionalidad numérica entre las longitudes de los lados homólogos, lo cual supone una extensión del concepto de fracción equivalente (numerador y denominador son números enteros) a través de la noción de razón, que es una expresión de una relación multiplicativa entre cantidades, como el doble o el triple, relaciones que significan una precisión de estimaciones en las que un objeto es ostensiblemente mayor que otro.