Conversión de unidades y vectores

Conversión de unidades y vectores Por: Enrique Hernández Gallardo Equivalencia entre unidades Para convertir unidades de un sistema a otro, o bien a un múltiplo o submúltiplo del mismo, es necesario antes que nada, conocer sus equivalencias. A continuación se muestra una tabla de equivalencia, la cual será necesaria consultar para realizar conversiones entre unidades de distintos sistemas. Tabla de equivalencias 1 m = 100 cm 1 kg = 2.2 libras 1 m = 1000 mm 1 cm 3 = 1 ml 1 cm = 10 mm 1 litro = 1000 cm 3 1 km = 1000m 1 litro = 1 dm 3 1 m = 3.28 pies 1 m 3 = 1000 litros 1 m = 1.093 yarda 1 galón = 3.785 litros 1 pie = 30.48 cm 1 N = 1x10 5 dinas 1 pie = 12 pulgadas 1 kgf = 9.8 N 1 pulg = 2.54 cm 1 lbf = 0.454 kgf 1 milla = 1.609 km 1 tonelada = 1000 kg 1 libra = 454 g Tabla1. Tabla de equivalencias de unidades de longitud. Tabla 2. Tabla de equivalencias de unidades de masa, volumen y fuerza. 1

Para cambiar unidades de temperaturas expresadas en grados centígrados a grados ahrenheit se utiliza la siguiente ecuación: T = 9 TC + 32 5 En donde T es la temperatura expresada en grados ahrenheit y TC es la temperatura expresada en grados centígrados. Procedimiento para la conversión de unidades El siguiente método nos indica los pasos para convertir unidades de un sistema a otro. igura 1. Procedimiento para la conversión de unidades. 2

A continuación se presentan algunos ejemplos: 1. Convertir 40 metros a pies. Solución a. Escribimos la cantidad a transformar: 40 m b. Buscamos la equivalencia entre metros y pies: 1 m = 3.28 pies 3.28 pies c. Realizamos la operación correspondiente: 40 m/ = 131. 2 pies 1m/ En el paso 3, se eliminan las unidades de metros y solamente quedan unidades de pies. Al multiplicar la fracción, ten cuidado de colocar adecuadamente las cantidades del numerador y del denominador. Observa los siguientes casos: uno correcto y el otro incorrecto. 3.28 pies 40 m/ 1m/ m 1 40 3. 28 m pies Correcto Las unidades de metros se pueden cancelar. Incorrecto No se puede cancelar ninguna de las unidades. 2. Convertir 6 kilómetros a metros Solución a. Escribimos la cantidad: 6 km b. Escribimos la equivalencia de kilómetros a metros: 1 km = 1000 m 1000m c. Realizamos la operación correspondiente: 6 km = 6000m 1km 3

Como se desea convertir km a m, entonces km debe quedar en el denominador de la fracción para que se puedan eliminar las unidades y obtener el resultado en metros. 3. Convertir 60 kilómetros/hora en metros/segundo Solución a. Escribimos la cantidad 60 km/h b. Es necesario considerar las equivalencias de las dos unidades: distancia y tiempo. 1 km = 1000 m 1 h = 60 min 1 min = 60 s c. Multiplicamos por los factores de conversión necesarios para obtener las unidades deseadas. km 1000m 1h/ 1min 60 = 16.67 h/ 1km 60 min 60s En este caso fue necesario multiplicar por tres factores de conversión: el primero es para cambiar de kilómetros a metros, el segundo para cambiar de horas a minutos y el tercero para cambiar de minutos a segundos. De esta forma se obtiene el resultado en m/s. m s Cantidades escalares Todos los días utilizamos una serie de cantidades que quedan definidas por una cantidad y una unidad de medida. A continuación se presentan algunos ejemplos: Cuando compramos un litro de leche, la cantidad es un 1 litro y con esto nos queda claro que la magnitud de medida es volumen. igura 2. Skimmed milk (Wikimedia, 2013). 4

igura 3. Current event clock (Wikimedia, 2007). Cuando decimos que son las 9:30 de la mañana, la cantidad está implícita en la unidad, ya que todos entendemos que son 9 horas y 30 minutos. En este caso la magnitud medida es el tiempo. Las situaciones anteriores quedan definidas por una cantidad y una unidad (magnitud), a estas cantidades se les llama cantidades escalares. Cantidades vectoriales Sin embargo, existen otras cantidades en donde es necesario definir además de su magnitud, algunas otras características. A continuación se presentan algunos ejemplos: Si estamos en la central camionera de la ciudad de Salamanca y queremos ir al centro, no basta que nos digan que el centro queda a 750 m, es necesario que nos digan además la orientación, es decir, hacia el Norte-Sur, Este-Oeste, etc. A esta orientación se le llama dirección. Supongamos que nos dicen que la dirección es Este-Oeste, -que corresponde a la avenida Valle de Santiago- con esta información ya estamos mejor orientados. Ahora sólo nos hace falta saber el sentido, es decir hacia el este o hacia el oeste. igura 4. Compass icon matte (Wikimedia, 2010). Como habrás observado, hablar de distancia es hablar de una cantidad vectorial, ya que para que esté bien definida es necesario establecer en dónde comienza, cuánto mide y hacia dónde se dirige. Resumiendo podemos decir que las cantidades vectoriales tienen las siguientes características: 1. Origen o punto de aplicación 2. Magnitud o intensidad 3. Dirección 4. Sentido 5

Representación de un vector Podemos representar los vectores de manera gráfica mediante una flecha, en donde: Punto de aplicación Magnitud Dirección Sentido Clasificación de vectores De acuerdo a su posición, podemos clasificar a un conjunto de vectores de las siguientes formas. a. Vectores colineales. Dos o más vectores son colineales cuando se encuentran en la misma dirección o línea de acción. b. Vectores concurrentes. Se dicen concurrentes a dos o más vectores que tienen en mismo punto de aplicación. Propiedades de los vectores a. Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales cuando su magnitud, dirección y sentido son iguales, no importando su punto de aplicación. Los vectores se escriben mediante una letra con una flecha, o bien con letra negrita. Cuando tenemos dos vectores iguales escribimos: A = B 6

b. Suma de vectores. Sólo es posible hacer sumas de dos vectores si éstos tienen las mismas unidades de medida. De forma gráfica la suma de dos vectores se representa como lo muestra la siguiente figura. El vector C, que es la suma de A y B, comienza en el origen del vector A y termina en la flecha de B. Esta suma se representa como: C = A+ B c. Negativo de un vector. El negativo de un vector tiene la misma magnitud y dirección de dicho vector, pero en su sentido contrario. El negativo del vector A es A, es decir, sólo cambia el sentido del vector. Para este par de vectores siempre se cumple que A + ( A) = 0. Método del paralelogramo Para encontrar la suma o resultante de dos vectores podemos utilizar un método gráfico llamado método del paralelogramo. Este método consiste en: a. Dibujar los dos vectores concurrentes (con el mismo punto de aplicación), utilizando una escala apropiada. b. Trazar líneas paralelas a los vectores como se indica en la figura. 7

c. Trazar una línea desde el punto de origen hasta el punto en donde se intersectan las líneas punteadas. Esta línea es la resultante o suma de los dos vectores. d. Medir la magnitud del vector resultante y el ángulo que forma con eje x. e. Expresar la magnitud del vector resultante en las unidades originales. Este método es muy ilustrativo aunque poco práctico por el error que puede cometerse al hacer los trazos. Para sumar vectores es más común utilizar algún método analítico. A continuación veremos un método que usa los teoremas de senos y cosenos para encontrar la magnitud y dirección del vector resultante de la suma de dos vectores. Método analítico para la suma de dos vectores A partir del método del paralelogramo, podemos encontrar una fórmula para hallar la suma de los dos vectores utilizando el teorema de los cosenos, el cual se representa como: c 2 2 2 = a + b 2abCos (180 θ) Dado que Cos( 180 θ) = Cosθ podemos escribir la expresión como: 2 2 2 c = a + b + 2abCosθ Despejando c tenemos: 2 2 c = a + b + 2abCosθ ----- (1) Donde θ es el ángulo formado entre los vectores a y b. El vector c es el vector resultante. 8

A continuación se presenta un ejemplo: Encontrar la fuerza resultante de las fuerzas: a = 90N a 0 a partir del eje x, y b = 70N, a 60 a partir del eje x. Solución Aplicando la fórmula: 2 2 c = a + b + 2abCosθ 2 2 c = 90 + 70 + 2(90)(70) Cos60 c = 8100 + 4900 + 12600Cos 60 c = c = 8100 + 4900 + 6300 19300 c = 139N Descomposición y composición de vectores Todo vector puede ser expresado como dos vectores perpendiculares. A estos vectores se les llama componentes y a este proceso se le llama descomposición de vectores. En la figura 1 tenemos un vector situado a partir del origen del plano cartesiano. Sus componentes son las proyecciones sobre los ejes x y y. igura 1 igura 2 9

Para calcular el valor de las componentes dibujémoslos formando un triángulo como lo muestra figura 2. El valor de θ es el ángulo del vector con la horizontal. Aplicando las funciones trigonométricas seno y coseno, encontramos la relación entre y sus componentes. Y senθ = despejando Y = senθ -------- (1) X cos θ = despejando X = cosθ -------- (2) Con la función trigonométrica tangente, encontramos una expresión para calcular el valor de θ. tan θ = Y X Y, despejando θ tenemos: θ = arctan ---------- (3) X Aplicando el teorema de Pitágoras encontramos la relación entre y sus componentes y X. Y 2 2 2 = x + y Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad tenemos: x + y 2 2 = ------------ (4) A continuación se presentan algunos ejemplos: 1. Descomposición de vectores Encuentra las componentes ángulo de 30 con el eje x. y X de una fuerza que tiene una magnitud de 40N y forma un Y Recuerda que la fuerza es una magnitud vectorial que se mide en Newton.

Solución Para calcular las componentes utilizamos las expresiones: Sustituyendo los valores de = 40N y θ = 30 X Y = cosθ = senθ X Y = (40N)(cos30) = 20N = (40N)( sen30) = 34.6N 2. Composición de vectores Encuentra la fuerza resultante P, que tiene como componentes muestra en la siguiente figura. P X 30N = y P Y = 40N, como se Solución Aplicando la expresión del teorema de Pitágoras P P x + P y 2 2 =. Sustituyendo valores tenemos: P = P = (40) 2 1600 + 900 P = 2500 P = 50N + (30) 2

Bibilografía Pérez, H. (2008). ísica I. México: Grupo Editorial Patria. Tippens, P. (2007). ísica conceptos y aplicaciones (7ª. ed., Ángel Carlos González Ruiz, Universidad Nacional Autónoma de México, Trad.). México: McGraw-Hill. Referencias de las imágenes Wikimedia. (2013). Skimmed milk. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/ile:skimmed_milk.jpg (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/public_domain). Wikimedia. (2007). Current event clock. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/ile:current_event_clock.svg?uselang=es (Imagen de dominio público, de acuerdo a: http://en.wikipedia.org/wiki/public_domain). Wikimedia. (2010). Compass icon matte. Recuperada de http://commons.wikimedia.org/wiki/ile:compass_icon_matte.svg (Imagen publicada bajo licencia Atribución 2.0 Genérica (CC BY 2.0), de acuerdo a: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/deed.en).