Pueden funciones-ζ solucionar ecuaciones Diofanticas?

Pueden funciones-ζ solucionar ecuaciones Diofanticas? Una introducion a la teoria de Iwasawa (no-conmutativa) Mathematical Institute University of Heidelberg Pasto, 13 Agosto 2014

Leibniz (1673) Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 1 11 + = π 4 (antes ya conocido por GREGORY y MADHAVA)

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Valores especiales de funciones-l

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases N 1, (Z/NZ) unidades del anillo Z/NZ. caracter de Dirichlet (modulo N) : se extiende a N χ(n) := χ : (Z/NZ) C { χ(n mod N), (n, N) = 1; 0, en el otro caso.

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases funcion-l de Dirichlet con respecto a χ : L(s, χ) = satisface: - producto de Euler n=1 χ(n), s ɛ C, R(s) > 1. ns L(s, χ) = p 1 1 χ(p)p s, - continuacion meromorfica a C, - ecuacion funcional.

Ejemplos Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases χ 1 : funcion-ζ de Riemann 1 ζ(s) = n s = p n=1 1 1 p s, χ 1 : (Z/4Z) = {1, 3} C, χ 1 (1) = 1, χ 1 (3) = 1 L(1, χ 1 ) = 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 1 11 + = π 4

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Ecuaciones Diofanticas

Conjeturas de Catalan y Fermat p, q numero primo Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Catalan(1844), Teorema(MIHǍILESCU, 2002): tiene como solucion unica en Z con x, y > 0. x p y q = 1, 3 2 2 3 = 1 Fermat(1665), Teorema(WILES et al., 1994): x p + y p = z p, p > 2, no tiene ninguna solucion en Z con xyz 0.

Conjeturas de Catalan y Fermat p, q numero primo Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Catalan(1844), Teorema(MIHǍILESCU, 2002): tiene como solucion unica en Z con x, y > 0. x p y q = 1, 3 2 2 3 = 1 Fermat(1665), Theorem(WILES et al., 1994): x p + y p = z p, p > 2, no tiene ninguna solucion en Z con xyz 0.

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Factorizacion sobre anillos enteros mas grandes ζ m raiz m-esima de unidad Z[ζ m ] anillo entero de Q(ζ m ), por ejemplo para m = 4 con i 2 = 1 tenemos en Z[i] = {a + bi a, b ɛ Z} : x 3 y 2 = 1 x 3 = (y + i)(y i) y para m = p n tenemos en Z[ζ p n] : x pn +y pn = (x + y)(x + ζ p ny)(x + ζ 2 p ny)... (x + ζpn 1 p n y) = z pn.

La estrategia Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Expectativa: Utiliza factorizacion unica en primos para concluir una contradicion de la presuposicion que la ecuacion de Catalan o Fermat tiene una solucion non-trivial. Problema: en general, Z[ζ m ] no es un dominio con factorizacion unica (UFD), por ejemplo Z[ζ 23 ]!

Ideales Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Kummer: Remplace numeros por numeros ideales : Para ideales(=z[ζ m ]-submodulos) 0 a Z[ζ m ] tenemos factorizacion unica en ideales primos P i 0 : a = n i=1 P n i i Ideales principales: (a) = Z[ζ m ]a

Grupo de clases de ideales Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Cl(Q(ζ m )) : = { ideales de Z[ζ m ]}/{ ideales principales de Z[ζ m ]} = Pic(Z[ζ m ])

Grupo de clases de ideales Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Cl(Q(ζ m )) : = { ideales de Z[ζ m ]}/{ ideales principales de Z[ζ m ]} = Pic(Z[ζ m ]) Teorema Fundamental de la teoria algebraica de numeros: #Cl(Q(ζ m )) < y h Q(ζm) := #Cl(Q(ζ m )) = 1 Z[ζ m ] admite factorizacion unica.

Grupo de clases de ideales Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Cl(Q(ζ m )) : = { ideales de Z[ζ m ]}/{ ideales principales de Z[ζ m ]} = Pic(Z[ζ m ]) Teorema Fundamental de la teoria algebraica de numeros: #Cl(Q(ζ m )) < y h Q(ζm) := #Cl(Q(ζ m )) = 1 Z[ζ m ] admite factorizacion unica. Sin embargo es dificil determinarlo Cl(Q(ζ m )), demasiadas relaciones!

La funcion-l soluciona el problema Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Como podemos calcular h Q(i)? Es un misterio que L(s, χ 1 ) conoce la respuesta!

El caracter ciclotomico Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Gauß: G(Q(ζ N )/Q) κ N = (Z/NZ) con g(ζ N ) = ζ κ N(g) N para todos los g ɛ G(Q(ζ N )/Q)

El caracter ciclotomico Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Gauß: G(Q(ζ N )/Q) κ N = (Z/NZ) con g(ζ N ) = ζ κ N(g) N N = 4 : para todos los g ɛ G(Q(ζ N )/Q) χ 1 es un caracter del grupo de Galois G(Q(i)/Q) L(s, χ 1 ) invariante (analitico) de Q(i).

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Formula analitica de numeros de clases para campos de numeros cuadraticos imaginarios: h Q(i) = #µ(q(i)) N L(1, χ 1 ) 2π

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Formula analitica de numeros de clases para campos de numeros cuadraticos imaginarios: h Q(i) = #µ(q(i)) N L(1, χ 1 ) 2π = 4 2 2π L(1, χ 1)

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Formula analitica de numeros de clases para campos de numeros cuadraticos imaginarios: h Q(i) = #µ(q(i)) N L(1, χ 1 ) 2π = 4 2 2π L(1, χ 1) = 4 π L(1, χ 1) = 1 (por la formula de Leibniz)

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Formula analitica de numeros de clases para campos de numeros cuadraticos imaginarios: h Q(i) = #µ(q(i)) N L(1, χ 1 ) 2π = 4 2 2π L(1, χ 1) = 4 π L(1, χ 1) = 1 (por la formula de Leibniz) Z[i] admite factorizacion unica.

Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Un caso especial de la ecuacion de Catalan Como L(s, χ 1 ) sabe la aritmetica de Q(i), es capaz de solucionar nuestro problema: Claim: x 3 y 2 = 1 no tiene solucion en Z. En la decomposicion x 3 = (y + i)(y i) los factores (y + i) y (y i) son coprimos (facil!) y + i = (a + bi) 3 para algunos a, b ɛ Z Considerando Re( ) y Im( ) resulta en: y = 0, una contradiccion!

Primos regulares Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Funciones-L Ecuaciones Diofanticas La formula analitica de numeros de clases Similarmente ζ(s) sabe para cuales p Cl(Q(ζ p ))(p) = 1 es valido! En este caso la ecuacion de Fermat no tiene ninguna solucion non-trivial. Pero 37 h Cl(Q(ζ37 ))! Iwasawa: Cl(Q(ζ p n))(p) =? para n 1.

El caso de campos de funciones

Campos de numeros versus campos defunciones Q F l (X) = K (P 1 F l ) K /Q campo de numeros K (C)/F l (X) campo de funciones C P n F l K (C)/F l (X) curva liza, projectiva, i.e. una extension finita

Contando puntos en C N r := #C(F l r ) φ : C C x i xi l cardinalidad de puntos F l r -racionales Frobenius-automorfismo Lefschetz-Trace-Formula N r = #{Puntos fijos de C(F l ) bajo φ r } = 2 ( 1) n Tr ( φ r H n (C) ) n=0

Funcion-ζ de C, WEIL (1948) ζ C (s) : = x ɛ C 1, s ɛ C, R(s) > 1, 1 (#k(x)) s ( t r ) = exp N r, t = l s r = r=1 2 det(1 φt H n (C)) ( 1)n+1 n=0 = det(1 φt Pic0 (C) ) (1 t)(1 lt) ɛ Q(t)

Hipotesis de Riemann para C ζ C es a funcion racional en t y tiene polos en: s = 0, s = 1 ceros en especificos s = α satisfaciendo R(α) = 1 2.

Hipotesis de Riemann para C ζ C es a funcion racional en t y tiene polos en: s = 0, s = 1 ceros en especificos s = α satisfaciendo R(α) = 1 2. Puede la funcion-ζ de Riemann ser expresada como funcion racional?

Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal

Torres de campos de numeros Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal Estudiando la formula de clases de numeros en una torre entera de campos de numeros al mismo tiempo: Q F 1... F n F n+1... F := n 0 F n. con F n := Q(ζ p n), 1 n, F Z p = lim n Z/p n Z Q p := Quot(Z p ), κ : G := G(F /Q) = Z p, F n G g(ζ p n) = ζ κ(g) p n para todos los g ɛ G, n 0 Q

Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal Z p = Z/(p 1)Z Z p, i.e. G = Γ con = G(F 1 /Q) = Z/(p 1)Z y Γ = G(F /F 1 ) = < γ > = Z p. Algebra de Iwasawa Λ(G) := con T := γ 1. lim Z p [G/G ] = Z p [ ][[T ]] G G abierta

Funciones p-adicas Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal Anillo maximo de cuocientes de Λ(G) : Q(G) = p 1 i=1 Q(Z p [[T ]]). Z = (Z 1 (T ),..., Z p 1 (T )) ɛ Q(G) son funciones en Z p : para n ɛ N Z (n) := Z i(n) (κ(γ) n 1) ɛ Q p { }, i(n) n mod (p 1)

Funcion-ζ p-adica analitica Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal KUBOTA, LEOPOLDT y IWASAWA: ζ p ɛ Q(G) tal que para k < 0 ζ p (k) = (1 p k )ζ(k), i.e. ζ p interpola - bajo el factor de Euler en p - la funcion-ζ de Riemann p-adicamente.

Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal Grupo de clases de ideales sobre F IWASAWA: #Cl(F n )(p) = p nrk Zp (X)+const donde X := X(F ) = lim n Cl(F n )(p) con actuacion de G,

Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal Grupo de clases de ideales sobre F IWASAWA: #Cl(F n )(p) = p nrk Zp (X)+const donde X := X(F ) = lim n Cl(F n )(p) con actuacion de G, Z p (1) := lim n µ p n con actuacion de G, X Zp Q p, Q p (1) := Z p (1) Zp Q p espacio vectorial sobre Q p de dimension finita con operacion por γ.

Conjetura Principal de Iwasawa Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal MAZUR y WILES (1986): ζ p det(1 γt X Zp Q p ) det(1 γt Q p (1)) mod Λ(G) i det(1 γt H i ) ( 1)i+1 mod Λ(G) funcion-ζ p-adic analitica algebraica formula de trace

La analogia Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Funcion-ζ p-adica Conjetura Principal campo de funciones campo de numeros F l = F l (µ) F = Q(µ(p)) φ γ C ζ C G m ζ p Pic 0 (C) X = Pic(F )

Teoria de Iwasawa no-conmutativa

Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas De G m a representaciones arbitrarias hasta ahora: G m, µ(p) coeficientes en cohomologia: Z p (1) torre de campos de numeros: F = Q(µ(p))

Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Generalizaciones ρ : G Q GL(V ) representacion (continua) con V = Q n p y recteo Galois-estable T = Z n p. ρ coeficientes en cohomologia: T torre de campos de numeros: K = Q ker(ρ) Ejemplo: E curva elliptica sobre Q, T = T p E = lim E[p n ] = Z 2 p, V := T Zp Q p. n

Extensiones de Lie p-adicas F K tal que G := G(K /Q) GL n (Z p ) H K es un grupo de Lie p-adico con subgrupo H tal que Γ := G/H = Z p F Γ Q G

Philosofia Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Adhiera a (ρ, V ) funcion-l p-adica analitica L(V, K ) con propiedad de interpolacion L(V, K ) L(1, V χ) para χ : G GL n (Z p ) con imagen finito. funcion-l p-adica algebraica F(V, K ).

Philosofia Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Adhiera a (ρ, V ) funcion-l p-adica analitica L(V, K ) con propiedad de interpolacion L(V, K ) L(1, V χ) para χ : G GL n (Z p ) con imagen finito. funcion-l p-adica algebraica F(V, K ). Problema: Λ(G) en general no es conmutativa! Determinantes non-conmutativas?

Conjetura Principal de Iwasawa no-conmutativa COATES, FUKAYA, KATO, SUJATHA, V.: Existe una localisacion canonica Λ(G) S de Λ(G), tal que F(V, K ) existe en K 1 (Λ(G) S ). Tambien L(V, K ) deberia vivir en este grupo de K.

Conjetura Principal de Iwasawa no-conmutativa COATES, FUKAYA, KATO, SUJATHA, V.: Existe una localisacion canonica Λ(G) S de Λ(G), tal que F(V, K ) existe en K 1 (Λ(G) S ). Tambien L(V, K ) deberia vivir en este grupo de K. Conjetura Principal: L(V, K ) F(V, K ) mod K 1 (Λ(G)).

Polinomiales caracteristicas non-conmutativos M Λ(G)-modulo, finitamente generado sobre Λ(H)-module BURNS, SCHNEIDER, V.: Λ(G) S Λ(H) M 1 γ Λ(G) = S Λ(H) M induce det(1 γt M) ɛ K 1 (Λ(G) S ).

Polinomiales caracteristicas non-conmutativos M Λ(G)-modulo, finitamente generado sobre Λ(H)-module BURNS, SCHNEIDER, V.: Λ(G) S Λ(H) M 1 γ Λ(G) = S Λ(H) M induce det(1 γt M) ɛ K 1 (Λ(G) S ). Conjetura Principal sobre K : formula de trace" en K 1 (Λ(G) S ) mod K 1 (Λ(G)): L(K, Z p (1)) det(1 γt H (K, Z p (1)))

Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Congruencias nuevas Para coeficientes Z p (1): KATO, BURNS, KAKDE: K 1 (Λ(G)) i O[[Uab i ]] K 1 (Λ(G) S ) i Quot(O[[Uab i ]]) L(K /Q) (L p (F i, )) i

Funciones-ζ y ecuaciones Diofanticas Congruencias nuevas Para coeficientes Z p (1): KATO, BURNS, KAKDE: K 1 (Λ(G)) i O[[Uab i ]] K 1 (Λ(G) S ) i Quot(O[[Uab i ]]) L(K /Q) (L p (F i, )) i Existencia de L(K /Q) congruencias entre L p (χ i, F ) Main Conjecture /K Conjetura Principal /F para todos lo Resultados parecidos por RITTER, WEISS para H finito.

La Conjetura Prinicipal para campos totalmente reales F totalmente real, F cyc K totalmente real, Teorema (2010, Ritter-Weiss (dimension 1), Kakde (dimension arbitraria)) Si µ = 0 para F /F, entonces la Conjetura Principal no-conmutativa para el motivo de Tate (i.e. para G m ) vale sobre K /F.

Muchas gracias por su atencion!