CONJUTOS NÚMERICOS NÚMEROS NATURALES

CONJUTOS NÚMERICOS NÚMEROS NATURALES El conjunto de números naturales tiene gran importancia en la vida práctica ya que con sus elementos se pueden encontrar elementos u objetos de otros conjuntos. El conjunto de los números naturales se presenta con el siguiente símbolo la siguiente manera: y se determina de = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } Teniendo en cuenta este conjunto que contiene a los números naturales y 0, se pueden ubicar los números naturales en la semirrecta numérica. Para ello, se ubica a 0en el origen seguido de 1, y así sucesivamente cada número, manteniendo la misma distancia que se escogió entre 1 y 0. Orden en Se pueden comparar dos números naturales mediante las relaciones menor que o mayor que. La expresión: se lee es menor que, y la expresión a > b se lee es mayor que. Subconjuntos de Se puede definir subconjunto del conjunto de los números naturales. Para ello, se utiliza la notación de conjuntos. Por ejemplo, este determinado por comprensión, y se lee el conjunto de los números tales que pertenece al conjunto de numero naturales y es mayor que 5, representa un subconjunto de números naturales cuyos elementos son mayores que 5, y está determinado por extensión como {6,7,8,9 }. NÚMEROS ENTEROS En la vida cotidiana se presenta algunas situaciones relacionada con la pérdida o ganancia del dinero, temperaturas bajo cero, alturas sobre el nivel del mar o profundidades. Los números que nos permiten representar estas situaciones se denominan números enteros. El conjunto de nueros enteros son una extensión del conjunto de números naturales, ya que los naturales junto con sus opuestos (números negativos) forman el conjunto de números enteros. El conjunto de números enteros se representa con el símbolo, y se determina así: = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }

Los números enteros se representan en la recta numérica ubicando el número 0 como referente, a su derecha se colocan los números positivos y a su izquierda los números negativos. La distancia de 1 a0 determina la escala. Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un numero entero es la distancia que hay entre un numero entero al cero. Si es un número entero, el valor absoluto de se representa mediante el símbolo Por ejemplo, el valor absoluto de -3 e 3, ya que hay 3 unidades de distancia entre -3 y 0. Se simboliza -3 =3. -3 3-3 -2-1 0 1 2 3 Operaciones entre número enteros Adicción: la suma de dos enteros se realiza teniendo en cuenta lo siguiente: Si los dos números tiene signos iguales, se suman sus valores absolutos y al resultado de le asigna el signo de los números dados. Si los signos tienen signos diferentes, se restan sus valores absolutos y al resultado se le asigna el signo del número que tiene mayor valor. Por ejemplo, - 3 + 2 = - 1 porque 3 y 2 tienen signos diferentes, entonces se debe restar el valor absoluto de los números 3-2 = 1. El resultado tiene signo negativo, porque3 es el número de mayor valor absoluto y el signo de 3 es negativo. Sustracción: la resta de dos números enteros es la suma del primer entero con el opuesto del segundo número. Es decir, si son números enteros, entonces ( ) Por ejemplo, en la resta 5-9, el opuesto de 9 es -9 así, 5 9 = 5 + (-9), entonces, 5 + (-9) = -4. Multiplicación y división: el producto y el cociente de dos números enteros con signos iguales es un mero positivo. El producto y el cociente de dos números enteros con signos diferentes es un número negativo. Polinomio aritmético en Un polinomio aritmético es una expresión que involucra varias operaciones con números. Para resolver polinomios sin signos de agrupación: se resuelven primero las potencias, las raíces y/o los logaritmos, luego, las multiplicaciones o las divisiones y finalmente, se resuelven las sumas las restas de izquierda a derecha. Para resolver polinomio con signos de agrupación: se resuelven primero las operaciones que se encuentran dentro del paréntesis para eliminar signos de agrupación de adentro hacia afuera.

Ejemplos 1 Realizar las siguientes operaciones entre números enteros. a) (-15) + (-28) (-15) + (-28) = -43, se suman los valores absolutos de 15 y de 28, ya que tienen el signo igual (-). Y se escribe el signo porque es el signo que tienen los dos números. b) (-4) -6 (-4) -6 = (-4) + (-6) = -10, se escribe como suma de -4 con el opuesto de 6 que es (-6) y luego, se realiza la suma, teniendo en cuenta que son dos números de igual signo. 2. Resolver los polinomios aritméticos: 2 + {3 [(5 + 6) x (3 7)]} = 2 + {3 [11 x (-4)]} Se realizan las opresiones suma y resta de los paréntesis. = 2 + {3 (- 44)} Se realizan las multiplicaciones de los corchetes. = 2 + 47 =49 Se realizan las restas de las llaves y luego la suma. NÚMEROS RACIONALES En algunos casos la división o cociente entre números enteros no es exacta. Sin embargo, las divisiones entre números generan elementos del conjunto de números racionales. El conjunto de números racionales se simbólica como y está formado por el cociente entre dos enteros. El conjunto de los racionales se determina así: { } El conjunto de números racionales es infinito y cada número racional está representado por uno y solo un punto en la recta numérica, donde lo números racionales positivos se colocan a la derecha del cero y los negativos, a la izquierda del cero. Orden del conjunto de los números racionales Dados los números racionales se pueden comparar mediante las relaciones: para determinar la relación de orden entre dos racionales se convierten los números en fracciones equivalentes de igual denominador y se comparan los numeradores de las fracciones equivalentes. Ejemplo Ordenar de menor a mayor el siguiente grupo de números. Luego, ubicarlos en la recta numérica.

Primero, se convierte los números racionales dados en fracciones equivalentes con igual denominaros. Luego, se ordenan las fracciones equivalentes de mayor a menor, así: Por lo tanto, Para ubicar los números dados en la recta, se coloca cada fracción equivalente en su punto correspondiente. 0 1 2 Operaciones con los números racionales Suma y resta: la suma o resta de dos racionales homogéneos, es un racional que corresponde a la suma o resta de los numeradores con el mismo denominador. La suma o resta de dos racionales heterogéneos equivale a la suma o resta de dos racionales equivalente con igual denominador. Multiplicación: la multiplicación entre los números racionales equivale a un racional cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. División: la división entre dos racionales equivale a la multiplicación de la primera fracción con el reciproco de la segunda fracción. Ejemplos: 1. Realizar las siguientes operaciones. a. ( ) Se complifican los números para obtener fracciones equivalentes. Se suma los numeradores. b.

Se plantea una multiplicación por el inverso de la segunda fracción. Se multiplica y se simplifica. 2. Resolver el siguiente polinomio aritmético: [ ( ) ] [ ] Se realiza la operación del paréntesis. Se realiza la multiplicación del corchete. Se transforma la fracción a fracciones equivalentes. Se realiza la suma de los numeradores. Se simplifica el resultado. Expresión decimal de un numero racional Los números racionales se pueden representar en forma de números decimal dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo para expresar el número como numero decimal, se realiza la división de 7 entre 4 así: 7 3 0 2 0 0 4 1,75 Se debe dividir hasta que el residuo sea0 o cuando se empiece a repetir. En este caso = 1,75 Los números decimales que se obtiene al realizar la división del numerador entre el denominador se clasifican como decimales finitos y decimales infinitos. Los números decimales finitos tiene un número exacto de cifra decimales y los números decimales infinitos tienen una o varias cifras decimales que se repiten infinitamente las cuales se denomina periodo. Por ejemplo, el número 0,37 es un numero decimal finito porque tiene exactamente dos cifras decimales y se lee 37 décimas. El número 0, 3333333 es un número infinito, la cifra que se repite indefinidamente es 3, en este caso 3 es el periodo. Los números decimales infinito de clasifican periódicos puro o periódicos mixtos. En un numero decimal periódico puro, el periodo se repite después de la como, en un numero decimal periódico mixto, hay una o varias cifras que no se repiten después de la como y el periodo de repite después. Por ejemplo, 23,1515151515 es número decimal periódico puro, su periódico es 15, y el numero - 24,2383838 es un numero decimal periódico mixto ya que, después de la como hay un 2 y luego se

repite el periodo que es 28. El número 23,151515 se puede escribir como 23, y el número - 24,2383838 se puede escribir como -24,2. Representación fraccionaria de número decimales Para escribir un número decimal en forma de fracción, es necesario tener en cuenta lo siguiente: Si el número es decimal finito, se plante una fracción cuyo numerador corresponde al número decimal sin la coma y el denominador es una potencia de 10 con tantos ceros como indica la parte decimal del número dado. Por ejemplo, -14,73 =. Todos los decimales finitos son fracciones de decimales. Si el número es decimal periódico, se plantean ecuaciones de tal manera que se elimina el periodo y se encuentre la fracción requerida. Todos los decimales periodos son números racionales. Ejemplo Escribir el número 0,3333 = 0,3 de la forma. Si x representa el número procedimiento: 0,3333 es decir, x = 0,3333 entonces se realiza el siguiente X = 0,3333 Se plantean una ecuación en la que la variable es el número decimal. 10x x = 3,3333 Se multiplica por 10 ambos lados de la ecuación, ya que el periodo solo tiene una cifra. 10x x = 3,3333-0,3333 Se plantea una resta de los dos ecuaciones anteriores para eliminar las cifras decimales. 9x =3 Se realiza la resta a los dos lados de la ecuación. Se despeja la x y se simplifica. Luego, 0,3333 se = 0,3 =. NÚMEROS IRRACIONALES Los números decimales que son infinitos pero no periódicos no se pueden expresar como fracción. Luego no pertenecen al conjunto de números racionales. Sin embargo, hacen parte de otro conjunto numérico llamado número irracionales. El conjunto de los números irracionales se simboliza con la letra y está formado por todos los números decimales infinitos no periódicos.

Los números son algunos numeros irracionales cuya representación decimal tiene infinitas cifras no periódicas. = 0,414213, = 1,173205, = 2,23606, π = 3,1415 Representación en la recta numérica de los números irracionales En la recta numérica, a los puntos que no le corresponde un número racional, les corresponde un número irracional. A cada número irracional le corresponde un punto sobre la recta numérica, a la derecha de cero de ubican los irracionales positivos y a la izquierda, los negativos. Para ubicar en la recta numérica, el número irracional se realizan los siguientes pasos: Primero, se señala con A en 0 y B en 1. Segundo, se construye el segmento perpendicular a de longitud 1. Tercero, se une A con C para formar. La longitud de se halla aplicando el teorema de Pitágoras. ( ) ( ) ( ) Se plantea el teorema. ( ) Se suma los cuadrados de la medida de cada cateto. Se halla la raíz cuadrada de la suma de las longitudes. Se realiza la suma. Cuarto, con ayuda de un compás, se hace centro de A y se toma la distancia de AB, luego, con esta distancia, se traza un arco que corta la recta numérica. Este punto corresponde a. C 1 A B Representación de Para ubicar, se continúa con la construcción anterior, así: Primero, se señala con A en 0 y F en. Segundo, se construye el segmento perpendicular a de longitud 1.

Tercero, se une A con E para formar. La longitud de se halla aplicando el teorema de Pitágoras. ( ) ( ) ( ) C E ( ) ( ) 1 A B E Cuarto, con ayuda de un compás, se hace centro de A y se toma la distancia AE, luego, con esta distancia, se traza un arco que corta la recta numérica. Este punto corresponde a. NÚMEROS REALES Con los números racionales y los números irracionales es posible completar todos los números de la recta numérica. La unión de estos dos conjuntos numéricos forma el conjunto de números reales. Por lo tanto, números reales son todos los números que se pueden expresar como un decimal, en algunos casos como decimal finito o periódico y en otros decimales infinitos no periódicos. El conjunto de números reales se representa con el símbolo. El siguiente diagrama de Venn muestra la representación de conjuntos numéricos y la relación de inclusión entre ellos. I I

Representación de números reales en la recta numérica Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta numérica, de tal forma que a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde solamente un punto en la recta numérica. Por ello, a la recta numérica se le denomina recta real. Ejemplos Para determinar qué conjunto de números reales pertenece cada número dado. a. 3, Porque es un número decimal infinito periódico. b. 0,050160219 0,050160219 porque es decimal infinito no periódico. c. d. π Porque tiene raíz cuadrada exacta. π porque al efectuar la división se obtiene un decimal infinito no periódico. Operaciones y propiedades en los reales Las propiedades de adición y multiplicación con números reales cumplen las siguientes propiedades: Propiedad Adicción Multiplicación Clausurativa Conmutativa Asociativa ( ) ( ) ( ) ( ) Modilativa Del inverso adictivo ( ) Del inverso multiplicativo Distributiva ( ) Orden en el conjunto de números reales Cuando se comparan dos nueros reales a y b, se pueden presentar una y solo una de las siguientes situaciones:

, a es menor que b,, a es mayor que b o a = b, a es igual que b. Desigualdades Una desigualdad es una expresión de la forma número real. Por ejemplo, las expresiones en la x es una variable y a es un son desiguales. Propiedades de las desigualdades Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: 1.. 2. 3. (la desigualdad cambia cuando se multiplique por una cantidad negativa). 4. Ejemplos 1. Escribir el signo < o > para que se conviertan en una expresión verdadera. a. 2 +y Por la propiedad 1 la desigualdad se conserva. b. ( ) ( ) ( ) ( ) Por la propiedad 3 al multiplicar ambos lados de la desigualdad por un numero negativo, la desigualdad cambia de sentido. 2. Encontrar las soluciones que hacen verdaderas la siguiente desigualdad: Se escribe la desigualdad. (( ) ) ( ) Se aplica la propiedad 1 de desigualdades, por ello, se suma (- 4) a ambos lados de la desigualdad. Se realizan las sumas a ambos lados de desigualdad. Se aplica la propiedad modulativa de la suma. Las soluciones de las desigualdades se pueden representar en una recta numérica como subconjuntos numéricos infinitos. A estos subconjuntos se les denomina intervalos. Por ejemplo, la desigualdad se representa en la recta numérica así: -5-4 -3-2 -1 0 La desigualdad se representa en la recta numérica como: -5-4 -3-2 -1 0 1 2 Ejemplos Escribir en forma de desigualdad, el intervalo numérico que está representado en cada recta numérica.

a.... -1 0 1 2 3 4 5... En esta recta están representados todos los números reales menores o iguales que 5. Por ellos si x es la variable, entonces, la desigualdad correspondiente es b. -1 0 1 2 En esta recta están representados todos los números reales mayores que que representa este conjunto de números es. Por ello, la desigualdad POTENCIACION Y SUS PROPIEDADES La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada). En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo: En general: Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente. Propiedades de la potenciación. Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son: Potencia de exponente 0 Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1. si se cumple que

Potencia de exponente 1 Toda potencia de exponente 1 es igual a la base Ejemplo: Producto de potencias de igual base Para el producto de dos o más potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes. Ejemplo: División de potencias de igual base En la división de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes. Potencia de un producto La potencia de un producto de base (a b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente. Potencia de una división En la potencia de una división de base "a/b" y exponente "n" se procede a elevar cada uno de los componentes de la base a "n".

Potencia de una potencia Para resolver la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Distributiva con respecto a la multiplicación y división: No es distributiva con respecto a la adición y sustracción: Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general: Propiedad asociativa La propiedad asociativa no se cumple para la potenciación. Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 y que tiene como exponente un número natural es igual a la unidad seguida de la cantidad de ceros que indica el exponente.

Potencia de exponente fraccionario Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción, y en la que se cumple que Potencia de exponente negativo Una potencia que tenga exponente negativo se cambia de lugar y de este modo su exponente automáticamente cambiara a ser positivo