Dr. Luis Javier Morales Mendoza Procesamieno Analógico de Señales FIEC - UV Índice.. Inroducción.. La función dela de Dirac.3. Definición de la convolución.3.. propiedades de la convolución.3.. Méodo Gráfico para la convolución.4. Tarea Dr. Luis Javier Morales Mendoza
Inroducción La operación mas imporane denro de los sisemas lineales en iempo coninuo es la operación conocida como convolución. Esa operación abarca múliples áreas para realizar el proceso de mezclado de dos señales denro de un sisema LTI las cuales son: - Procesamieno de Señales - Procesamieno de Imágenes - Ópica - Conrol - ec. () h() () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 3 Dela de Dirac.. La función Dela de Dirac La función dela de Dirac, (), se define a ravés de la siguiene inegral f 0 (.) d f Su enorme uilidad denro de la eoría de sisemas lineales ha jusificado su aplicación. Además, la conroversia de ese aspeco siempre han girado alrededor de que la función dela de Dirac no define una función en el esrico senido de la palabra, sino más bien una relación funcional; de hecho, la dela de Dirac no posee ningún significado sino esá denro de inegrales ales como (.). Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4
Dela de Dirac La definición de (.) es válida para cualquier función f() que sea coninua en = 0. Por lo ano, haciendo el cambio de variable, = + a suponiendo que f() es coninua en = a, la propiedad de desplazamieno de la función dela de Dirac, se esablece como (Figura ): f ad f a (.) más aun, e observa que f g ad f aga (.3) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 Dela de Dirac ( a) = a Figura.. Función dela de Dirac Una de las represenaciones mas comunes de la dela de Dirac es cuando se da en érminos de la derivada de la función escalón uniario u(). Esa relación esablece que du d (.4) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6 3
Dela de Dirac donde, u() esá definida como 0 0 0 u (.5) Tres propiedades elemenales de la dela de Dirac son: Escalonado: a a (.6) Complejo: ep i d (.7) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 Dela de Dirac g n i g' i ' i ' Funciones propias: (.8) Ejemplo. Demuesre que 4 3 3 Facorizando a g() se obiene: ( + )(3 ) enonces las raíces son: = /3 =, Se puede ver que n =. La derivada de la función es: g () = 6 + con g (/3) = 4 g ( ) = 4. Por lo ano, la aplicación direca de la propiedad de funciones propias nos da el resulado. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 4
.3. Definición de la Supongamos que una señal de eciación de banda limiada () se aplica a la erminal de enrada de un sisema lineal. Como () es de banda limiada, () puede ser aproimada a una función de muesreo, al como N n N n en donde, N es el oal de punos de muesreo, () denoa la función dela de Dirac es la disancia de muesreo, conocida como inervalo de muesreo de Nquis. El inervalo de muesreo de Nquis puede obenerse de la frecuencia de muesreo, eso es, (.9) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9 (.0) f s en donde, f s es la frecuencia de muesreo de Shannon. La frecuencia de muesreo saisface la siguiene desigualdad fs f m en donde, f m es la frecuencia mas ala que limia la eciación de enrada (). El concepo de convolución puede ser ilusrado en un diagrama a bloques de la enrada salida de un sisema lineal al como en la Figura.. (.) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 0 5
() h() () h() () () () Figura.. Respuesa de un sisema lineal espacialmene invariane Dr. Luis Javier Morales Mendoza Con respeco a la (.9), se puede observar que el inervalo de muesreo se aproima a cero cuando el oal de punos de muesreo, N, se aproima a infinio. En ese caso, la (.9) converge a la bien conocida inegral de convolución, que es N n N N 0 lim d (.) Así, observamos que la convolución de una función () con una función dela da la misma función. Ya que el diagrama de bloques del sisema es lineal e invariane, la eciación de salida es: Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6
N h n N n (.3) Como se muesra en la Figura., en donde h() es la respuesa espacial al impulso del sisema. De nueva cuena, cuando 0, N, la (.3) convergerá hacia la siguiene inegral de convolución lim h n h N 0 N N d (.4) La función de convolución de las funciones () h(), denoada como ()h(). Dr. Luis Javier Morales Mendoza 3.3.. propiedades de la convolución a) Conmuaiva Demosración: h h h h h d d Al realizar el cambio de variable, =, se observa que, d = d los límies son, cuando, se iene que, cuando, se iene que. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4 h d 7
8 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 Haciendo el cambio de variable. g h g h h d h h g h g b) Asociaiva c) Disribuiva Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6,,, h e) en D c g f d) Corrimieno: si c g f c g f c g f
Ejemplo. Demosrar que h. Se iene que por definición, la convolución esa dada como por lo ano Realizando el cambio de variable como: =, por lo ano se iene que = + el diferencial queda d = d. Los límies de la inegral esán dados como sigue: si enonces si enonces, por lo ano h h d h h h d d Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 Ejemplo 3. Demosrar que un sisema es invariane en el iempo aplicando el principio de la convolución. Por definición se iene que la señal de enrada de cualquier sisema puede esar epresada como: d T d d h T h T Por lo ano, si Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 d se llega a 9
Ejemplo 4. Se iene una señal () = u() que enra en un sisema LTI que posee una respuesa al impulso h() = ep( )u() donde > 0, deermine la señal de salida (). dado que h h por definición, la función escalón esa dado como Por lo ano se llega a u 0 0 0 d ep d ep ep 0 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9 0 d ep ep ep ep ep 0 ep u 0 () h() () =? Dr. Luis Javier Morales Mendoza 0 0
Figura.3. Señal eciadora del sisema () Dr. Luis Javier Morales Mendoza Figura.4. Respuesa impulsional del sisema h() Dr. Luis Javier Morales Mendoza
Figura.5. Salida del sisema () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 3 Ejemplo 5. Un sisema coninuo esa definido por la suma muliplicación de res respuesa, h (), h () h () al como se muesra en la figura, deermine la salida del sisema. u h ep u h ep u () h () () h () Se iene que h Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4
donde h h h por lo ano, la salida del sisema esará definida como h h 3 ep d ep 0 0 d ep ep 0 0 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 ep ep ep ep Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6 3
Figura.7. Señal eciadora del sisema () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 Figura.8. Respuesa impulsional del sisema, h() = h () + h () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 4
Figura.9. Salida del sisema () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9.3.. Méodo Gráfico para la convolución f() * 3 g() - Paso. Remplazar la variable independiene por en f() g() Paso. Inviera raslade la función g() en el sisema de f() Paso 3. recorra a g() hasa que inicie el raslape sobre f() como se muesra en la siguiene imagen. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 30 5
3 g(-) f() - + + Paso 4. La convolución se divide en 5 pares los cuales son: 3 g(-) I. Cuando < : Las dos funciones no se raslapan el área denro del produco es cero. - + + f() II. Cuando < 0: La pare de g() raslapa pare de f() el área denro del produco de las funciones es: Dr. Luis Javier Morales Mendoza - + + 3 3 g(-) f() 0 3( ) d 3 0 3 6 3 6 III. Cuando 0 < : Aquí g() raslapa compleamene a f() el área denro del produco es jusamene: 0 3 d 3 6 IV. Cuando < 4: Pare de g() raslapa a f() en forma similar al paso II. V. Finalmene, cuando 4, g() f() no se raslapan por lo que el área denro del produco es cero. 0 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 3 3 - + + 3 f() - + + g(-) f() g(-) 6
El resulado de la convolución es: 0 3 6 ( ) f ( )* g( ) 6 3 4 0 Para Para Para Para Para 0 0 4 4 6 () - 0 4 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 33 Ejemplo 5. Realice la convolución de: b) Para dos señales cuadradas iguales f 0 c.o.c. b) Para dos señales cuadradas diferenes g 0 c.o.c. f 0 c.o.c. g 0 5 0 c.o.c. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 34 7
Figura.0. Señal f() del sisema Dr. Luis Javier Morales Mendoza 35 Figura.. Señal g() del sisema Dr. Luis Javier Morales Mendoza 36 8
Figura.. Señal de salida del sisema, () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 37 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 38 9
Figura.3. Señal f() del sisema Dr. Luis Javier Morales Mendoza 39 Figura.4. Señal g() del sisema Dr. Luis Javier Morales Mendoza 40 0
Figura.5. Señal de salida del sisema, () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4 Tarea. Realice la invesigación de los siguienes emas a) Señales de Banda Limiada b) El inervalo de muesreo de Nquis c) La frecuencia de muesreo de Shannon d) El fenómeno de Gibbs. Problemas de convolusión a) Si para un sisema elecrópico la función de ransferencia esa definida como h() la eciación de enrada esá dada por () deermine la respuesa de la salida del sisema. u( ) h ep u Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4
Tareas b) Ahora, si la respuesa h() cambia a Deermine la salida del sisema (). u h ep c) Por úlimo, si el sisema mosrado esa compuesa por dos respuesas h () h () en: a) cascada b) paralelo, (Figura.6) encuenre la señal de salida para cada caso. d) Deermine la convolución enre la señal eciadora () la respuesa del sisema h() a ravés del méodo grafico. u u 3 h u u Dr. Luis Javier Morales Mendoza 43 Tareas () h () h () () Sisema en cascada () = () h () h () () h () + () h () + Figura.6 Sisema en paralelo () = () [h () + h ()] Dr. Luis Javier Morales Mendoza 44