2 Diferencial de funciones vectoriales Definición 2 Una función vectorial es una aplicación f : D R n R m tal que a cada vector x = (x, x 2,, x n D R n le hace corresponder un vector y = (y, y 2,, y m R m con y = f (x, x 2,, x n y 2 = f 2 (x, x 2,, x n y m = f m (x, x 2,, x n La aplicación que a cada x le asocia la coordenada i-ésima de f(x recibe el nombre de función componente i-ésima de f (también reciben el nombre de proyecciones Definición 22 Sea f : D R n R m El dominio de f, D, son los puntos (x, x 2,, x n R n en los que está definida Dom(f = {(x, x 2,, x n R n / f(x, x 2,, x n } Nota El estudio de las funciones vectoriales se realiza a través de sus funciones componentes En particular, una función está definida en los puntos en los que están definidas todas sus funciones componentes (su dominio es la intersección de los dominios de todas sus funciones componentes Una función es continua en x 0 si toma valores muy cercanos a f(x 0 cuando nos aproximamos lo suficiente a x 0 En este caso, cambios pequeños en las variables independientes producen cambios pequeños en los valores de las variables dependientes Definición 23 Sean f : D R n R m, x 0 = (x 0, x 02,, x 0n D f es continua en x 0 si lím f(x = f(x 0 x x 0 donde el límite de f(x cuando x tiende a x 0 es l si ɛ > 0 δ > 0/x D y 0 < d(x, x 0 < δ = d(f(x, l < ɛ f es continua en un conjunto si es continua en todos los puntos del conjunto Observación Consideramos sólo puntos de acumulación del dominio (sus entornos contienen puntos de A distintos del punto y siempre se puede tomar límite La continuidad de una función vectorial depende de la continuidad de las funciones componente ya que el límite de una función vectorial es el límite de cada una de sus funciones componentes ( lím f(x = lím f (x, lím f m (x x c x c x c
Proposición 24 Sean f : D R n R m, x 0 = (x 0, x 02,, x 0n D f es continua en x 0 si y sólo si f i es continua en x 0 i =,, m Nota Una función es continua en los puntos en los que son continuas todas sus funciones componentes Ejemplo 25 Sea f : D R 3 R 2, definida por f(x, y, z = (ln(xz, y 2 4 Sus funciones componentes son f (x, y, z = ln(xz D = {(x, y, z R 3 / xz > 0} f 2 (x, y, z = y 2 4 D 2 = {(x, y, z R 3 / y 2 4 0} Por tanto el dominio de definición de f es D = D D 2 = {(x, y, z R 3 / xz > 0; y 2 4 0} Las funciones componentes son continuas en sus dominios, por tanto, la función f será continua en la intersección de ambos dominios, es decir, será continua en D En una función vectorial vamos a considerar que su diferencial es la aplicación lineal cuyas componentes son las diferenciales de las componentes de la función Esto hace que el estudio de la diferenciabilidad de una función se reduzca al estudio de la diferenciabilidad de las componentes de la función Definición 26 Sea f : D R n R m una función vectorial La diferencial de f en x 0 es la aplicación lineal Df(x 0 [(dx,, dx n ] = (Df (x 0 [(dx,, dx n ],, D n f(x 0 [(dx,, dx n ] Esta aplicación es una aplicación lineal que se puede expresar en forma matricial como (x 0 (x 0 (x 0 x x 2 x n dx f 2 f 2 f 2 (x 0 (x 0 (x 0 dx x x 2 x n 2 Df(x 0 [(dx,, dx n ] = f m f m f m (x 0 (x 0 (x 0 dx n x x 2 x n La matriz recibe el nombre de matriz jacobiana de f en x 0 y se denota por Jf(x 0 La función es diferenciable en x 0 si son diferenciables sus funciones componentes
La función es continuamente diferenciable en x 0 si son continuamente diferenciables sus funciones componentes Nota f es diferenciable siempre y cuando la aproximación que nos da la diferencial sea buena en su conjunto, formalmente, f es diferenciable en x 0 si y sólo si f(x 0 + x f(x 0 Df(x 0 ( x lím x θ x Proposición 27 Sea f : D R n R m una función vectorial Nota Si f es continuamente diferenciable en x 0 entonces f es diferenciable Una función es continuamente diferenciable, y por tanto diferenciable, en los puntos en los que son continuas todas las derivadas parciales de todas sus funciones componentes y no es diferenciable en los puntos en los que no es continua alguna de sus funciones componentes o no existe alguna de sus derivadas parciales ( Ejemplo 28 Sea f : R 2 R 2 definida por: f(x, y = x + y, x + y Determinar el conjunto en el que f es diferenciable, obtener su matriz jacobiana y la diferencial en un punto genérico y en el punto P (, 2 Solución Para estudiar esta función vamos a analizar sus componentes Una vez centrados en las funciones componentes (que son funciones escalares estudiamos donde están definidas y son continuas Por último analizaremos las derivadas parciales de dichas funciones componentes, ya que su continuidad garantiza la diferenciabilidad de la función f : R 2 R; f (x, y = x + y f es continua en todo R 2 Calculamos sus derivadas parciales y vemos donde son continuas Ambas son continuas en R 2 x (x, y = ; (x, y = Por lo tanto f es diferenciable en todo R 2 y su vector gradiente en un punto genérico es: f (x, y = = 0 f 2 : R 2 R; f 2 (x, y = x + y f 2 es continua en el conjunto A 2 = {(x, y/ x + y 0} Calculamos sus derivadas parciales f 2 x (x, y = (x + y 2 ; f 2 (x, y = (x + y 2 ;
Ambas son continuas en el conjunto A 2 Por tanto f 2 es diferenciable en A 2 y su vector gradiente en un punto genérico es f 2 (x, y = (x + y 2 (x + y 2 En resumen, f será diferenciable en la intersección de los conjuntos en que sean diferenciables cada una de sus componentes, en este caso f es diferenciable en A 2 = {(x, y/ x + y 0} La matriz jacobiana de f en un punto genérico (x, y A 2 es Jf(x, y = t f (x, y = t f 2 (x, y (x + y 2 (x + y 2 La diferencial en un punto genérico es Df(x, y(dx, = (x + y 2 (x + y 2 dx La diferencial en el punto c = (, 2 A 2 es Df(, 2(dx, = 9 9 dx Nota La diferencial de una función en cada punto en el que sea diferenciable es una aplicación lineal que aproxima a las funciones componentes en un entorno del punto y cuyas variables son los incrementos La diferencial de y = f(x se denota como = Jf(x dx y es una aplicación lineal de R n en R m cuya expresión analítica es = x (x, x 2,, x n dx + + x n (x, x 2,, x n dx n 2 = f 2 x (x, x 2,, x n dx + + f 2 x n (x, x 2,, x n dx n m = f m x (x, x 2,, x n dx + + f m x n (x, x 2,, x n dx n Ejemplo 29 Sea f : R 3 R 2 definida por f(x, y, z = (e xyz, x 2 + y + 2z Determinar el conjunto en el que f es diferenciable, la matriz jacobiana y la diferencial de f en un punto genérico y en el punto P (,,
Solución Ambas componentes existen siempre, por lo tanto el dominio de la función será todo R 3 Además, la función es continua en todo R 3 ya que las funciones componentes son continuas en todo R 3 Las derivadas parciales son x (x, y, z = yzexyz (x, y, z = xzexyz (x, y, z = yzexyz z f 2 x (x, y, z = 2x f 2 (x, y, z = f 2 (x, y, z = 2 z Como todas las derivadas parciales son continuas, la función es continuamente diferenciable y, por tanto, diferenciable Su matriz jacobiana es Jf(x, y, z = x (x, y, z (x, y, z (x, y, z z f 2 x (x, y, z f 2 (x, y, z f 2 (x, y, z z = yzexyz xze xyz yze xyz 2x 2 Su diferencial es Df(x, y, z[(dx,, dz] = yzexyz xze xyz yze xyz 2x 2 dx dz En el punto P (,, es e Jf(,, = e e 2 2 Df(x, y, z[(dx,, dz] = e e e 2 2 dx dz Si llamamos u = u(x, y, z = e xyz segunda, la expresión analítica de la diferencial queda du = yze xyz dx + xze xyz + yze xyz dz a la primera componente y v = v(x, y, z = x 2 + y + 2z a la dv = 2xdx + + 2dz En el punto P (,, es una aplicación lineal que aproxima a las funciones componentes en un entorno del punto y cuyas variables son los incrementos du = edx + e edz dv = 2dx + + 2dz
22 Extensión de la regla de la cadena Proposición 22 (Regla de la cadena Sean f : [a, b] R R, g : [c, d R R Si f es derivable en x 0 (a, b y g es derivable en f(x 0 (c, d entonces g f es derivable en x 0 (g f (x 0 = g (f(x 0 f (x 0 Proposición 222 (Regla de la cadena para funciones vectoriales Sean f : D R n R m, g : D 2 R m R p y x 0 int(d tal que f(x 0 int(d 2 Si f es diferenciable en x 0 y g es diferenciable en f(x 0 entonces g f es diferenciable en x 0 con D(g f(x 0 = Dg(f(x 0 Df(x 0 Por tanto, J(g f(x 0 = Jg(f(x 0 Jf(x 0 Nota (Regla de la cadena para derivadas parciales Si y = y(u,, u m y a su vez u i = u i (x,, x n se tiene (x,, x n = (u,, u m u (x,, x n + + (u,, u m u m (x,, x n x i u x i u m x i donde sólo falta sustituir u j por f j (x,, x n Nota (Interpretación económica Si una variable depende de un conjunto de variables, y = y(x,, x n, y éstas a su vez dependen de otra variable, x i = x i (t, se tiene que y = y(t y su tasa de variación es suma de los productos de las tasas de variación con respecto a sus variables por la tasa de variación de estas variables dt = x x t + + x n x n t Ejemplo 223 Obtener las derivadas parciales de Solución z(x, y = (ax + by xy Vamos a calcularlas aplicando la regla de la cadena para lo que tomamos z(u, v = u v con u(x, y = ax + by y v(x, y = xy z(x, y z(u, v u(x, y z(u, v v(x, y = + x u x v x z(x, y z(u, v u(x, y z(u, v v(x, y = + u v z(x, y = ( vu v a + (u v ln u y = axy(ax + by xy + y(ax + by xy ln(ax + by x z(x, y = ( vu v b + (u v ln u x = bxy(ax + by xy + x(ax + by xy ln(ax + by x
Como es natural, el resultado coincide con el obtenido mediante reglas de derivación De hecho, la regla de derivación que se usa se obtiene de aplicar la regla de la cadena a la función z(x, y = u(x, y v(x,y Así, si tomamos z = g(u, v = u v y (u, v = f(x, y = (ax + by, xy sus diferenciales son Dg(u, v[du, dv] = dz = ( vu v u v ln u du dv Df(x, y[dx, ] = du = a b dx dv y x Aplicar la regla de la cadena consiste en sustituir u, v y sus diferenciales Dz(x, y[dx, ] = Dg(u(x, y, v(x, y Df(x, y[dx, ] = ( xy(ax + by xy (ax + by xy ln(ax + by a b dx = y x [ axy(ax + by xy + y(ax + by xy ln(ax + by ] dx + [ bxy(ax + by xy + x(ax + by xy ln(ax + by ] En esta diferencial, el coeficiente de dx es su parcial respecto de x y el coeficiente de es su parcial respecto de y Todavía es más cómodo obtener sus parciales si aplicamos la regla de la cadena en su versión matricial J(g f(x, y = J(u(x, y, v(x, yjf(x, y = ( vu v u v ln u a b = ( xy(ax + by xy (ax + by xy ln(ax + by a b = y x y x ( axy(ax + by xy + y(ax + by xy ln(ax + by bxy(ax + by xy + x(ax + by xy ln(ax + by Ejemplo 224 Sean f : A R 2 R 3 y g : B R 3 R 2 dadas por f(x, y = (e x+y, x y, x 2 y g(u, v, w = (u w, sen(v + w Probar que g f es diferenciable en (0, 0 y calcular J(g f(0, 0 Solución Empezamos estudiando la diferenciabilidad de f a través de sus funciones componentes: La función f (x, y = e x+y está definida y es continua en R 2 con derivadas parciales x (x, y = ex+y ; (x, y = ex+y Sus derivadas parciales son continuas en R 2 y, por tanto, f es diferenciable en R 2
La función f 2 (x, y = x y está definida y es continua en R 2 con derivadas parciales f 2 x (x, y = ; f 2 (x, y = Sus derivadas parciales son continuas en R 2 y, por tanto, f 2 es diferenciable en R 2 La función f 3 (x, y = x 2 está definida y es continua en R 2 con derivadas parciales f 3 x (x, y = 2x; f 3 (x, y = 0 Sus derivadas parciales son continuas en R 2 y, por tanto, f 3 es diferenciable en R 2 En consecuencia, f es diferenciable en R 2 y en particular en (0, 0 Su matriz jacobiana es e x+y e x+y Jf(x, y = Jf(0, 0 = 2x 0 0 0 Estudiamos la diferenciabilidad de g a través de sus funciones componentes: g (u, v, w = u w está definida y es continua en B = {(u, v, w R 3 / u > 0} g u (u, v, w = wuw ; g v (u, v, w = 0; g w (u, v, w = uw ln(u Sus parciales son continuas en B, por tanto g es diferenciable en B g 2 (u, v, w = sen(v + w está definida y es continua en R 3 g 2 u (u, v, w = 0; g 2 v (u, v, w = cos(u + w; g 2 (u, v, w = cos(v + w w Sus parciales son continuas en R 3, por tanto g 2 es diferenciable en todo R 3 En consecuencia, g es diferenciable en B y en particular en f(0, 0 = (, 0, 0 Su matriz jacobiana es Jg(u, v, w = wuw 0 u w ln(u 0 cos(v + w cos(v + w = Jg(, 0, 0 = 0 0 0 0 A continuación aplicamos la regla de la cadena en el punto (0, 0: J(g f(0, 0 = Jg(, 0, 0 Jf(0, 0 = 0 0 0 0 0 0 = 0 0 Ejemplo 225 Sean f : R 2 R y g : R R 2 definidas por: f(x, y = xy x 2 + y 2 y g(t = ( t +, et Determinar los conjuntos en los que f y g son diferenciables y calcular, si es posible, D(g f(, 0 y D(f g(0
Solución f es diferenciable si x 2 + y 2 0 y x > 0, es decir, si x > 0 La matriz jacobiana de f es: Jf(x, y = ( f f (x, y x (x, y = ( yx y (x 2 + y 2 x y 2x x y ln x(x 2 + y 2 x y 2y (x 2 + y 2 2 (x 2 + y 2 2 g es diferenciable si t + 0, es decir, si t La matriz jacobiana de g es: f g f : R 2 R R 2 g Jg(t = dg dt (t dg 2 dt (t = (t + 2 Como f es diferenciable en (, 0 (verifica x > 0 y g es diferenciable en f(, 0 = (verifica t se tiene que g f es diferenciable en (, 0 y que podemos aplicar la regla de la cadena para calcular su matriz jacobiana: J(g f(, 0 = Jg[f(, 0]Jf[(, 0] = Jg[]Jf[(, 0] = 4 ( 0 = 0 4 e e 0 e t La diferencial de g f en (, 0 es D(g f(, 0[dx, ] = J(g f(, 0 dx = 4 0 e 0 dx = 4 dx e dx g f g : R R 2 R f Como g es diferenciable en 0 (verifica t y f es diferenciable en g(0 = (, (verifica x > 0 se tiene que f g es diferenciable en 0 y que podemos aplicar la regla de la cadena para calcular su matriz jacobiana: ( J(f g(0 = Jf[g(0]Jg[0] = Jf[(, ]Jg[0] = 0 = 2 2 La diferencial de f g en 0 es D(f g(0[dt] = J(f g(0 (dt = 2 dt
Ejemplo 226 Sean f, g : R 2 R 2 definidas por: f(x, y = ( x + y e x+y, xy g(u, v = ( u v, uv Obtener los conjuntos de R 2 en los que son diferenciables, calcular sus respectivas matrices jacobianas en un punto genérico y la matriz jacobiana de g f en el punto (, 0 mediante la aplicación de la regla de la cadena Solución f es diferenciable si e x+y 0 y x > 0, es decir, si x + y 0 y x > 0 La matriz jacobiana de f es: Jf(x, y = (x, y (x, y x f 2 (x, y f 2 (x, y x = (e x+y (x + ye x+y (e x+y (x + ye x+y (e x+y 2 (e x+y 2 yx y x y ln x g es diferenciable si v 0 La matriz jacobiana de g es: Jg(u, v = g u (u, v g (u, v v g 2 u (u, v g 2 (u, v v = v v u v 2 u Como f es diferenciable en (, 0 (ya que verifica x + y 0 y x > 0 y g es diferenciable en f(, 0 = (, (ya que verifica v 0 se tiene que g f es diferenciable en (, 0 y que podemos e aplicar la regla de la cadena: J(g f(, 0 = Jg[f(, 0]Jf[(, 0] = Jg[(, ]Jf[(, 0] = e e e (e 2 (e 2 0 0 = (e 2 (e 2 (e 2 (e 2 Ejemplo 227 Sea g(x, y = f(xy 2, x 2 y, donde f : R 2 R es diferenciable en el punto (,, con t f(, = (2, 2 Hallar la diferencial en de g el punto (,, comprobando previamente que es diferenciable Solución Considerando la función h : R 2 R 2 dada por h(x, y = (xy 2, x 2 y, se tiene que g(x, y = (f h(x, y
h es diferenciable en el punto (, (como es un polinomio es diferenciable en R 2 y su matriz jacobiana es: h Jh(, = x (, h (, h 2 x (, h = y2 2xy 2 (, 2xy x 2 = 2 2 (, Por hipótesis f es diferenciable en el punto h(, = (, y su matriz jacobiana es: ( Jf(, = t f(, = 2 2 Como h es diferenciable en (, y f es diferenciable en h(, = (, se tiene que g = f h es diferenciable en (, y que podemos aplicar la regla de la cadena: Jg(, = J(f h(, = Jf[h(, 0]Jh[(, ] = Jf[(, ]Jf[(, ] = ( 2 2 2 ( = 6 6 2