Escuela Técnica Superior de Ingeniería Informática Curso 2015/2016 Boletín de Problemas de Geometría Computacional Dpto. de Matemática Aplicada I
1) Sean u(u 1,u 2 ) y v (v 1,v 2 ) dos vectores del plano. Se define el producto cruz como u u v = 1 u 2 v 1 v 2 a) Probar que el producto cruz de dos vectores coincide con el área (con signo) del paralelogramo cuyos lados son dichos vectores. b) Comprobar con un ejemplo que el signo del producto cruz es el mismo que el del ángulo formado por los vectores. Es decir es negativo (alternativamente, positivo) si, situados los vectores con un mismo punto origen, el desplazamiento desde u hasta v se hace en sentido de las agujas del reloj (alternativamente, contrario a las agujas del reloj). c) Qué ocurre si el producto cruz vale 0? 2) Dados tres puntos p(p 1,p 2 ), q(q 1,q 2 ) y r(r 1,r 2 ), probar que al realizar la trayectoria p q r hacemos un giro a la izquierda (alternativamente, derecha) si el siguiente determinante es positivo (alternativamente, negativo): 1 p 1 p 2 1 q 1 q 2 1 r 1 r 2 3) Diseñar un método, utilizando el producto cruz, para saber si dos segmentos pq y rs se cortan. En caso afirmativo, indicar cómo se obtiene el punto de corte. 4) Diseñar un algoritmo que resuelva el siguiente problema: dada una colección P de n puntos en el plano, encontrar un valor l > 0 tal que si transformamos cada punto (x,y) de P en el (x+ly,y), el orden de los puntos de P no cambia en la dirección del eje de las X. 5) Probar que dado un conjunto de puntos en el plano, se puede encontrar en tiempo O(nlogn) un polígono simple que tenga a dicho conjunto como sus vértices. 6) Sea P un polígono monótono (existe una recta tal que toda perpendicular a dicha recta a lo más corta en dos puntos al polígono). Diseñar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo lineal. 7) Dado un conjunto de puntos ordenados según su coordenada x, dar un algoritmo que calcule su envolvente convexa en tiempo O(n). 8) Dado un conjunto S, un semiplano soporte de S es todo semiplano cerrado que contenga a S. r es una recta soporte de S si uno de los semiplanos que genera es soporte de S y no contiene a ningún semiplano soporte de S. a) Dado un polígono convexo P de n vértices y un punto q exterior a él, dar un procedimiento que permita hallar las rectas soporte a P pasando por q en tiempo O(log(n)). b) Dados dos polígonos convexos P y Q, dar un procedimiento para calcular las rectas soporte de ambos polígonos en tiempo O(n). 9) Dado un conjunto de puntos en el plano S, demostrar que las siguientes dos definiciones de envolvente convexa son equivalentes: a) La envolvente convexa es la intersección de todos los convexos que contienen a S. b) La envolvente convexa es el conjunto convexo de menor perímetro que contiene a S. Para ello probar que: i. La intersección de dos convexos en es un convexo. Esto implica que la intersección de una familia finita de convexos es a su vez un convexo. ii. El polígono de menor perímetro P que contiene a S es convexo. iii. Cualquier conjunto convexo que contenga a S también debe contener a P. 10) Dos conjuntos de puntos A y B se dicen que son linealmente separables si existe una recta r de forma que cada uno de los conjuntos está contenido en uno distinto de los dos semiplanos abiertos (es decir, excluyendo la recta) que define dicha recta. E.T.S.I.Informática Página 1
a) Demostrar que dos conjuntos son linealmente separables si y sólo si lo son sus envolventes. b) Demostrar que dos convexos son linealmente separables si y sólo si son disjuntos. c) Diseñar un algoritmo que decida cuando dos conjuntos son linealmente separables. 11) Probar que todo polígono convexo tiene cuatro vértices N, S, E, O (que pueden coincidir entre ellos) y cuatro cadenas monótonas entre ellos que son de N a W descendente hacia la izquierda, de W a S descendente hacia la derecha, de S a E ascendente hacia la derecha y de E a N ascendente hacia la izquierda. 12) Un polígono se dice ortogonal si todas sus aristas son verticales u horizontales. Y un polígono ortogonal se dice ortogonalmente convexo si al intersectar dicho polígono con una línea vertical u horizontal resulta un segmento (pudiendo reducirse a un punto o ser vacío). a) Encontrar una caracterización similar a la del Problema 11 para polígonos ortogonales ortogonalmente convexos. b) Diseñar un algoritmo que decida cuando un polígono ortogonal es ortogonalmente convexo. c) Diseñar un algoritmo que encuentre el menor polígono ortogonalmente convexo que contiene a un polígono ortogonal dado. 13) Sea S un conjunto de n círculos con el mismo radio que pueden cortarse entre sí. Se pide: a) Demostrar que la envolvente convexa de S está formada por arcos de círculos de S y segmentos. b) Demostrar que cada círculo de S aparece a lo más una vez en la frontera de la envolvente convexa, salvo casos degenerados de discos alineados, es decir sus centros están en la misma recta. c) Sea S el conjunto de los centros de los círculos de S. Demostrar que un círculo de S aparece en la frontera de la envolvente convexa si y sólo si su centro aparece en la envolvente convexa de S. d) Dar un algoritmo O(nlogn) que calcule la envolvente convexa de S. 14) Sea E un conjunto no ordenado de n segmentos que forman los lados de un conjunto convexo. Dar un algoritmo O(n log n) que calcule, a partir de E, la lista de vértices del polígono ordenados angularmente. 15) Dar un algoritmo que, con un preprocesamiento lineal, determine en tiempo O(log(n)) si un punto está en el interior o exterior de un polígono de vértices y-monótonos. 16) Dar ejemplos de PSLG para los que el método de la banda requiera un preprocesamientode O(n) y O(n 2 ). 17) Seaun conjunto S de n segmentosdisjuntos dosados. Diremosque dospuntos se ven si existe un segmento que los tiene como extremos y que no corta a ningún elemento de S. Dar un algoritmo tal que, dado un punto p del plano que no esté sobre ningún segmento: a) Calcule los segmentos de S que son visibles desde p (p ve a algún punto del segmento). b) Calcule los segmentos totalmente visibles desde p (p ve a todos los puntos del segmento). 18) Describir las mediatrices (el conjunto de puntos que equidistan) de: a) Un punto y una recta. b) Dos rectas. c) Un punto y un segmento. d) Dos segmentos. 19) Construir el diagrama de Voronoi de tres puntos con las siguientes métricas: a) d 1 ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = x 1 x 2 + y 1 y 2. b) d ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = máx{ x 1 x 2, y 1 y 2 }. 20) Diseñar un algoritmo, indicando su complejidad, para dados dos conjuntos de puntos A y B, cada uno de ellos con n puntos, encontrar el mínimo de la distancia de un punto de A a uno de B. E.T.S.I.Informática Página 2
21) Cuál es la complejidad (número de vértices + aristas + caras) de un diagrama de Voronoi de n puntos (lineal, cuadrático...)? Cuántos vecinos tiene, de media, cada generador? 22) Dados n puntos en el plano, dar un algoritmo que encuentre el círculo de menor radio que los contenga. 23) Queremos construir dos centros que den servicio a un conjunto de n ciudades. Su localización debe estar dentro de la envolvente convexa que delimitan, cumpliendo en cada caso que: a) Minimicen la mayor distancia a las ciudades (localización de un recurso deseado, como un hospital). b) Maximice la menor distancia a las ciudades (localización de un recurso no deseado, como un vertedero). Dar algoritmos que resuelvan los problemas de localización en tiempo O(nlogn). 24) Preprocesar un conjunto S de n puntos en el plano de tal forma que se pueda responder en tiempo logarítmico a la siguiente pregunta: dado un punto q encontrar el radio del mayor círculo centrado en q que no contenga puntos de S. 25) Encontrar un algoritmo tal que dado un conjunto S de n puntos en el plano encuentre el círculo centrado en algún punto del interior de su envolvente convexa que no contenga puntos de S y que tenga el mayor radio posible. 26) Dados dos triángulos que comparten una arista formando un cuadrilátero convexo, un flip diagonal consiste en sustituir la arista que tienen en común por la otra diagonal del cuadrilátero. Demostrar que dadas dos triangulaciones distintas de un conjunto de puntos siempre es posible pasar de una a otra mediante una secuencia de flips diagonales. 27) Es cierto que todo árbol binario es el dual de la triangulación de un polígono? Demostrarlo en caso afirmativo o dar un contraejemplo en caso negativo. 28) Sea P un polígono de n vértices {P 1,P 2,...,P n }. Diremos que tres vértices consecutivos P i 1 P i P i+1 constituyen una oreja del polígono si el segmento P i 1 P i+1 es una diagonal. a) Probar que el dual de una triangulación es un árbol con vértices de valencia máxima 3. b) Probar que toda triangulación de un polígono tiene al menos dos orejas. c) Describir un algoritmo de triangulación de un polígono, basado en la eliminación de orejas. Indicar su complejidad. 29) El Teorema de las dos orejas(teorema de Meister) dice: Excepto los triángulos, todo polígono tiene al menos dos orejas no superpuestas (o sólo comparten un lado o la intersección es vacía). Probar que dadas dos triangulaciones distintas de un mismo polígono siempre es posible pasar de una a otra mediante flips (Indicación: fijar una oreja y utilizar inducción en el resto del polígono). 30) Dado un polígono de n vértices, se pide: a) Demostrar que todas las triángulaciones de dicho polígono tienen el mismo número de triángulos. b) Cuántos triángulos y diagonales tiene cualquier triangulación del polígono?. c) Calcular la suma de los ángulos internos del polígono. d) Cuánto suman los ángulos exteriores del polígono? 31) Dadas dos triangulaciones de una nube de puntos, diseñar un algoritmo cuadrático que lleve una triangulación a la otra mediante flips. 32) El grafo de Gabriel de un conjunto S de n puntos en el plano se define como sigue: dos puntos p y q están unidos mediante una arista del grafo de Gabriel si y sólo si el círculo de diámetro pq no contiene ningún otro punto de S. a) Probar que el grafo de Gabriel de S está contenido en la triangulación de Delaunay de S. b) Probar que p y q son adyacentes en el grafo de Gabriel de S si y sólo si la arista de Delaunay que une p y q corta su arista de Voronoi dual. E.T.S.I.Informática Página 3
c) Dar un algoritmo O(nlogn) que calcule el grafo de Gabriel de un conjunto de n puntos. 33) Sea S un conjunto de n puntos. Una triangulación voraz (o greedy) de S se obtiene ordenando por su longitud todas las posibles aristas entre puntos de S y añadiéndolas a la triangulación de menor a mayor, siempre y cuando la nueva arista no corte a ninguna que se haya añadido anteriormente. a) Estudiar los tiempos de ejecución asociados a cada paso en la construcción de una triangulación voraz, así como orden de ejecución del algoritmo. b) Dados los siguientes enunciados probar si son ciertos o dar un contraejemplo si son falsos (donde d(x,y) representa la distancia euclídea entre dos puntos x e y): i. Supongamos que estamos en un paso intermedio de la construcción de la triangulación, y tenemos ya dos triángulos abc y bcd (que comparten la arista bc) sin puntos en su interior, formando un cuadrilátero convexo, entonces d(b, c) = d(a, d). ii. Consideramos dos puntos p y q de S y sea C el círculo centrado en el punto medio entre p y q y de diámetro d(p,q). El segmento pq divide a C en dos semicírculos. Si ambos semicírculos contienen al menos un punto de S, entonces pq no puede formar parte de la triangulación voraz de S. c) Dar un conjunto cuyas triangulaciones voraz y Delaunay sean distintas. 34) Una triangulación de una nube S de puntos en el plano se dice que es una triangulación de Pitteway si para cada triángulo (a,b,c), cualquier punto en su interior tiene a uno de los tres puntos a, b o c como el punto más cercano de la nube. Probar: a) Toda triangulación de Pitteway es una triangulación de Delaunay. b) No toda triangulación de Delaunay es de Pitteway y por tanto existen nubes de puntos que no admiten triangulación de Pitteway. c) Caracterizar las triangulaciones de Delaunay que son de Pitteway. 35) Un corte en un rectánguloes en guillotina si esparaleloauno de loslados y es maximalen el subrectángulo en el que es dado. Esto es: el primer corte ha de ir de lado a lado y divide el rectángulo en dos subrectángulos, el siguiente corte también ha de ir de lado a lado en alguno de los subrectángulos obtenidos en el paso anterior y así sucesivamente. a) Diseñar un algoritmo que determine si un rectángulo está dividido por cortes en guillotina. b) Diseñar un algoritmo que determine, dado un rectángulo dividido por cortes en guillotina, un orden en el que se han producido dichos cortes. c) Diseñar un algoritmo que localice un punto en un rectángulo dividido por cortes en guillotina. 36) Dado un conjunto con n puntos rojos y n puntos azules, dar un algoritmo que construya una poligonal que separe ambos conjuntos. 37) (Policías y ladrones) Dados dos conjuntos de n puntos en el plano P y L. Un punto en el plano se dice a salvo si está en el interior de un triángulo formado por puntos de P, en peligro si no está a salvo y está en el interior de un triángulo formado por puntos de L y sospechoso si no está a salvo ni en peligro. Determinar un preprocesamiento que permita decidir en tiempo logarítmico si un punto dado está a salvo, en peligro o es sospechoso. 38) Dado un conjunto con n puntos rojos y n puntos azules, dar un algoritmo que una cada punto rojo con un único punto azul mediante segmentos que no se corten entre sí (emparejamiento geométrico bicromático perfecto). Indicación: Utilizar el Teorema del corte ham-sandwich (Lo, Matousek y Steiger, 1997) 39) Preprocesar un conjunto S de n segmentos disjuntos de tal forma que se pueda responder en tiempo logarítmico a la siguiente pregunta: dado una semirecta horizontal en el sentido positivo r determinar el primer segmento de S que intersecta r. 40) Dado un conjunto de puntos S y un objeto geométrico G, decimos que G recubre a S si S está incluido en G. Diseñar algoritmos que dado S encuentren: E.T.S.I.Informática Página 4
a) El mínimo cuadrado recubridor paralelo a los ejes. b) El rectángulo recubridor paralelo a los ejes de mínima área. c) El rectángulo recubridor de mínima área. d) El polígono convexo recubridor de mínima área. e) El mínimo círculo recubridor. 41) Se considera un conjunto de n rectángulos en el plano, de lados paralelos a los ejes coordinados y cuyo lado inferior se encuentra sobre el eje OX. Se pide: a) Dar un algoritmo que calcule el contorno de su unión en tiempo O(nlogn). b) Describir un preprocesamiento en tiempo O(nlogn) tal que, dado un punto sobre el eje OX, nos permita encontrar, en tiempo O(log n), a cuántos rectángulos pertenece. 42) Se considera un conjunto de n intervalos en la recta. Se pide: a) Dar un algoritmo que obtenga su unión en tiempo O(nlogn). b) Describir un preprocesamiento en tiempo O(nlogn) tal que, dado un punto sobre el eje OX, nos permita encontrar, en tiempo O(log n), a cuántos intervalos pertenece. 43) Dada una nube de n puntos en el plano, en posición general (no existen ni tres puntos alineados ni cuatro cocirculares), a) Cuántos triángulos distintos se pueden formar? b) Un triángulo se dice vacío si no contiene a ningún otro punto de la nube. Existen siempre triángulos vacíos? c) Cuántos triángulos vacíos pueden formarse simultáneamente sin que se corten sus lados?, depende este número únicamente de n? d) Existen nubes de puntos en las que todos los triángulos son vacíos? e) Diseñar un algoritmo que encuentre un triángulo vacío, indicando su complejidad computacional. 44) Sea S un conjunto de n puntos rojos y n puntos azules en el plano. Añadimos un nuevo punto p: a) Supongamos que p no tiene color, y le asignaremos el color del punto de S más cercano. Diseñar un algoritmo que calcule la frontera entre las regiones en las que los nuevos puntos tomarán el color azul y en las que tomarán el color rojo. b) Si p es un punto rojo, se pide: 1. Qué condición debe cumplir p para que la frontera entre los puntos rojos y azules no varíe? 2. En el caso en que sí varíe la frontera, indicar un procedimiento para actualizarla. (En cada apartado se debe indicar el algoritmo empleado y justificar su complejidad) 45) Dada una nube S de n puntos en el plano, a) Demostrar que el punto más cercano a cada punto es un vecino suyo en el diagrama de Voronoi (sus regiones son limítrofes). b) Diseñar un algoritmo, que corra en tiempo O(nlogn), para obtener la pareja de puntos de S más cercanos. 46) Sea S una nube de puntos en el plano. Se define el grafo EMSP(S) como el árbol recubridor de los puntos de S, de forma que la suma de las longitudes de sus aristas es mínima. Se pide: a) Probar que el grafo EMSP(S) es un subgrafo del grafo de Delaunay, D(S), que no es otro que el grafo cuyos vértices son los puntos de la nube y las aristas son las aristas de la triangulación de Delaunay. b) Diseñar un algoritmo para encontrar el grafo EM SP(S), indicando su complejidad. E.T.S.I.Informática Página 5