. Múltiplos de un número MÚLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NÚMERO (Apuntes Tema y parte del Tema ) Un número es múltiplo de otro número cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural Ej.: = es múltiplo de y de Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar el número por los números naturales: 0,,,, 4,, 6,, 8, 9... El número de múltiplos de un número es infinito. El cero (0) es múltiplo de todos los números. M() = 0,, 4, 6, 8, 0,, 4, 6, 8, 0... M () = 0,, 6, 9,,, 8,, 4,, 0.... Divisores de un número Un número es un divisor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta: Ej.: : = El es un divisor de 6 : = 8 El es un divisor de 6. Criterios de divisibilidad Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin efectuar una división, si un número es divisible o no por otro número dado. Divisibilidad por Un número es divisible por si termina en cero o cifra par. Ej. 8, 4, 00 Divisibilidad por Un número es divisible por cuando la suma de sus cifras es múltiplo de. Ej. 4 à + 4 + + = 0 no es múltiplo de Ej. 98 à 9 + 8 + = 8 si es múltiplo de Divisibilidad por 4 Un número es divisible por 4 si el número que forma sus dos últimas cifras es 00 o múltiplo de 4. Ej. 00, 000, 84,, 08 Divisibilidad por Un número es divisible por cuando acaba en cero o en. Ej., 800, 9
Divisibilidad por 6 Un número es divisible por 6 cuando lo es por y por a la vez. Ej. 40 Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ej. à + + + = no es múltiplo de 9 Ej. 846 à 8 + 4 + 6 = 8 si es múltiplo de 9 Divisibilidad por 0 Un número es divisible por 0 cuando termina en 0. Ej. 0, 800, 000, 0000 Divisibilidad por Un número es divisible por cuando la diferencia entre la suma de las cifras de lugar par y la suma de las cifras de lugar impar da 0 o un múltiplo de. Ej. 88 LUGAR à º 4º º º º 8 8 I: lugar impar P: lugar par I P I P I I à 8 + + = = Sí es múltiplo de Pà + 8 = 4. Números primos y números compuestos Un número natural es primo cuando solo tiene divisores, él mismo y la unidad. Ej.,,,, Un número natural es compuesto cuando tiene más de divisores. Ej. 4, 6, 8, 9 El no es ni primo ni compuesto porque solo tiene un divisor, él mismo. - Números primos menores que 00 (Criba de Eratóstenes) Es una tabla para conocer los números primos menores que 00. Se hace así: - Se escriben todos los números desde el (primer número primo), hasta el 00 - Tachamos de dos en dos a partir del para suprimir los números compuestos múltiplos de y de 4. - Tachamos de en a partir del para suprimir los números compuestos múltiplos de (algunos ya estarán tachados por ser múltiplos de ) - Tachamos de en a partir del para suprimir los números compuestos múltiplos de. - Tachamos de en a partir del para suprimir los números compuestos múltiplos de. - El primer número primo a partir del es el y tachando de en a partir del, se eliminan todos sus múltiplos. Al hacer esto, se observa que ya están todos los múltiplos de tachados, por lo que no hace falta continuar.
Los números primos menores que 00 son:,,,,,,, 9,, 9,,, 4, 4, 4,, 9, 6, 6,,, 9, 8, 89 y 9 - Modo de averiguar si un número es primo o compuesto Para averiguar si un número es primo o compuesto se divide por la serie de números primos,,,,,... (o si es posible se aplican los criterios de divisibilidad) hasta llegar a una división exacta o a una cuyo cociente sea igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones son inexactas el número propuesto es primo.. Ej.: Por Porque no acaba en cero ni en cifra par Por + + = 0 que no es múltiplo de Por No, porque no acaba ni en 0, ni en Por No, porque no es exacta la división Por No, porque no es exacta la división No hay que seguir buscando porque el cociente es igual al divisor R / es primo. Ej.: 9 Por Porque no acaba en cero ni en cifra par Por + + 9 = que no es múltiplo de Por No, porque no acaba ni en 0, ni en Por Sí, porque es exacta la división R/ 9 es compuesto
. Descomposición factorial Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos. Ej.: 0 0 40 0 0 0 = 40 = 4 6. Forma de hallar los divisores de un número - Descomponemos el número en sus factores primos: Ej. 0 = - Se escribe el seguido de las potencias sucesivas del primer factor y se halla su valor: A 4 - Se multiplican los divisores de la fila A (,, 4) por el segundo factor (), resultando la fila B: A 4 B 6 - Se multiplican las dos filas de divisores A y B por el último factor (), resultando las filas C y D: A 4 B 6 C 0 0 D 0 Los divisores de son D() =,,, 4,, 6, 0,,, 0, 0, Para saber cuántos divisores tiene un número, sumamos al exponente de cada factor y los resultados se multiplican entre sí. = ( + ) ( + ) ( + ) = = divisores 4
Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Definición: El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes, excepto el cero. Podemos hallar el m.c.m. de dos formas: a) Hallando los múltiplos de cada número. Ej. m.c.m. (6,8) = 4 M(6) = {0, 6,, 8, 4, 0, 6 } M(8) = {0, 8, 6, 4 } b) Se descomponen los números en producto de factores primos. Se cogen los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican entre sí, el resultado será el mínimo común múltiplo. Ej. m.c.m. (6,8) = 4 6 = m.c.m. (6,8) = = 4 8 = Ej. m.c.m. (490, 00, 480) 490 4 49 00 0 480 40 0 0 m.c.m. (490, 00, 480) = =.0 Máximo común divisor (m.c.d.) 490 = 00 = 480 = Definición: El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. Podemos hallar el m.c.d. de dos formas: a) Hallando todos los divisores de cada número y el m.c.d. sería el mayor de los divisores comunes. Ej. m.c.d. (0,8) = 6 0 8 D(0) D(8) 9 D(0) = {,,,, 6, 0,, 0} () 6 () 6 () 0 () 9 8 D(8) = {,,, 6, 9, 8} 0 0 = 8 = b) Se descomponen los números en producto de factores primos, Se cogen los factores comunes elevados al menor exponente y se multiplican entre sí, el resultado será el máximo común divisor. Si no hubiera ningún factor común el m.c.d. es Ej. 0 = m.c.d. (0,8) = = 6 8 = Ej. m.c.d. (490, 00, 480) 490 = 00 = m.c.d. (490, 00, 480) = = 0 480 =