METODOS NUMERICOS PARA RESOLVER ECUACIONES NO LINEALES A. METODO SECANTE En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Uno de los objetivos de este método es eliminar el problema de la derivada de la función, ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja. El método de la secante es muy similar al de Newton con la diferencia principal que en este método de la secante no requiere de la segunda derivada. El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn-1), f(xn-1) y (xn, f(xn-1)). A dicha recta se le llama secante por cortar la grafica de la función. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el jefe de abscisas obteniendo la formula. El método se la secante parte de dos puntos (y no solo uno como el método de newton), consiste en aproximar la raíz de la función f(x) con el cero de una recta secante 1 trazada entre dos puntos sobre la gráfica de f(x) y el proceso se repite hasta que la raíz es encontrada. Se pueden presentar dos casos: Caso (1) Caso (2) Figura: Representación geométrica del método de la secante Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración. Dados los puntos de Intersección A y B puede calcularse la ecuación de la recta secante empleando para saber la respuesta de esta operación se emplea en matemáticas la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: 1 La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. Conforme a estos puntos de corte se acercan, dicha recta se aproxima a un punto y, cuando solo existe un punto que toca la circunferencia, se le llama tangente. 1 P ágina
y = y A y B x A x B X + x Ay B x B y A x A x B Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el jefe de las X para ver si es la raíz que se busca APLICACIÓN 1 Encuentre la raíz de f(x) = cos(x) + x + 1 en el intervalo [-2,-1], aplicando el Método de la Secante. Esto es, encontrar un valor de c tal que f(c) ε = 0,01. Solución n a b f(a) f(b) c f(c) 1-2 -1-1.4161 0.5403-1.2762 0.0142 2-1 -1.2762 0.5403 0.0142-1.2836 0.0004<ε Por lo tanto, se asume c= -1,2836 como la raíz buscada. APLICACIÓN 2 La ecuación de una ola estacionaria reflejada en un puerto está dada por: h = h 0 sen 2πx λ cos 2πtv λ + e x Para λ=16, t=12, v=48, h=0.4h 0, (40% de la altura inicial) Movimiento de las moléculas de agua, en la zona superficial del mar, provocado por la acción del viento. En este movimiento, que es originariamente circular, no hay desplazamiento horizontal de dichas moléculas ni dela masa de agua por ellas constituida, aunque sí lo hay del movimiento ondulatorio generado por ese movimiento molecular. Este tipo de olas, que se originan en alta mar, se conocen con el nombre de 'olas libres' u 'olas estacionarias'. Cuando una ola se aproxima a la costa, el movimiento típico del mar libre, movimiento circular, se transforma, por rozamiento con el fondo, en un movimiento elíptico; la cresta de la ola avanza por este motivo más deprisa que su punto opuesto en la vertical y se produce un desplazamiento horizontal de la masa de agua que provoca la ruptura de la ola al llegar a la costa. Para nuestro caso nos dan la ecuación respectiva de la ola junto con varios parámetros de esta tales como la longitud de onda, las alturas respectivas, la velocidad, el tiempo y nos piden hallar la distancia donde rompe la ola dada por x. Debido a la presencia de por ejemplo la función logarítmica estamos en presencia de una ecuación no lineal y se procederá a hallar las soluciones mediante los métodos anteriormente descritos. Para hallar la solución dada se pueden aplicar varios métodos enseñados en el curso de Análisis Numérico, Solución tales como de Aproximaciones Sucesivas, El método de Newton, Método de la secante, etc. Para hallar nuestra solución se uso el método de Newton debido a su rápida convergencia en hallar la solución así 2 P ágina
como el más fácil de entender y aplicar, se comprobaron dichos resultados con el método de la secante obteniéndose los mismos valores de x. Determinando la solución positiva más pequeña La solución más pequeña positiva se encuentra en el intervalo [5,10]. a=05 b=10, x 0 a+b 2 Se halla la solución positiva más pequeña. Usando el método secante Se escogen otras variables y se expresa la correspondiente expresión para el método de la secante modificado desarrollado en clase: a + b t 0 2 h=0.001 k=1.n donde n=10 t k = t k 1 f(t k 1 ) f(t k 1 + h) f(t k 1 ) h 0 0 6.5 1 6.978791373048833 2 6.954780929582512 3 6.9547312942513555 4 6.954731289881872 5 6.854731289881505 6 6.854731289881505 7 6.854731289881505 8 6.854731289881505 9 6.854731289881505 10 6.854731289881505 Resultados En el problema de la onda estacionaria se tiene una ecuación periódica debido a la presencia de la variable independiente x dentro de una función seno, por lo tanto vamos a tener múltiples respuestas debido a la periodicidad de esta función. 3 P ágina
f2(x) = sen 2πx cos 2πtv λ λ + e x 0.4 La solución a la ecuación de la ola estacionaria estará dada en los puntos donde f(x) tienen a cero. Para valores de x donde la función periódica f(x) es igual a cero se tendrán las soluciones para x. De la gráfica se observa para valores negativos o pequeños de x e-x tiene un efecto considerable mientras que cuando x tiende a valores mayores e-x tiende a cero por lo que no influye mayor en la solución, mientras que por lo tanto la función quedaría de la forma: f(x) = A*sin(K*x) - 0.4 Donde se ve claramente que van haber infinitas soluciones de x para lo cual f(x) = 0. Se tendrán infinitas soluciones de x para f(x) = 0, ya que la función seno desplazada 0.4 hacia abajo corta al eje horizontal cada π radianes, donde 2π es el período de la onda. En matemática, una función es periódica si los valores de la función se repiten conforme se añade a la variable independiente un determinado período, o sea: f(x) = f(x + P), donde P es el período. Las funciones trigonométricas, tales como la función seno o coseno, son casos típicos de funciones periódicas, en las que su período es de 360 grados. Al tener la función periódica K seno(2πx/λ) todos los valores donde sea x=x' el valor donde la función tiende a cero y nos da la solución, para valores de π/λ)(x'+λ*n), (2 se tendrán nuevos valores de x''= x'+λ*n donde n=0,1,2,3,4...n. ALGORITMO: 1. Si no se conoce el intervalo, defina [a,b] donde se presuma la existencia de la raíz 2. Genere una tabla de datos 4 P ágina
b a 3. Tome en cuenta que c = f(b) f(b) f(a) 4. Si f(c) ε, acepte c como la raíz aproximada y pare el método, de lo contrario, haga la siguiente evaluación: si f(c).f(b) <0 entonces haga a=c y a=b (en la siguiente iteración), pero si f(c).f(b) >0 haga b=c y y b=a Continúe llenando la tabla y estudiando la condición para parar el método. ALGORITMO EN MATLAB function a =secante(fun,x0,x1,tol,maxiter) % Aproxima por el método de la secante una raiz de la ecuacion fun(x)=0 %cercana a x0, tomando como criterio de parada abs(fun(x))<tol o la cota sobre %el número de iteraciones dada por maxiter. % % Variables de entrada: % fun: funcion a calcular la raiz, se introduce en modo simbolico 'fun' % x0, x1: estimaciones iniciales para el proceso de iteración % tol: tolerancia en error absoluto para la raiz % maxiter: maximo numero de iteraciones permitidas % % Variables de salida: % a: valor aproximado de la raiz fprintf(1, 'Metodo de la secante \n'); f0=subs(fun,x0); f1=subs(fun,x1); iter=1; while(abs(f1)>tol) & (iter<maxiter) a = x1-f1*((x1-x0)/(f1-f0)); % formula de iteracion f0=f1; f1=subs(fun,a); %Actualiza f0 y f1 fprintf(1, 'iter= %i, a= %x0,f= %e \n', iter,a,f1) iter = iter + 1; % Cuenta los pasos end % Salida x0=x1; x1=a; B. MÉTODO DE NEWTON / RAPHSON % actualiza x Este método se deduce a partir de la interpretación geométrica de la derivada, se tiene que la primera derivada en x es equivalente a la pendiente: x = x f(x0 ) f (x ) f (x 0 f(x0 0 ) )= x x 0 1, que se reordena para obtener: 1 0 de manera general, la fórmula del Método de Newton-Raphson viene expresada de la 0 siguiente forma: x n+ 1 = x n f f(x n (x n ) ) 5 P ágina
El método de Newton Raphson encuentra la pendiente (la recta tangente) de la función en un punto cualquiera (preferiblemente cercano a la raíz) y utiliza el cero de la recta tangente como el siguiente punto de referencia, el proceso se repite hasta llegar a la aproximación de la raíz deseada. APLICACIÓN 1 Encuentre la raíz de f(x) = cos(x) + x + 1 en el intervalo [-2,-1], aplicando el Método de Newton-Raphson. Esto es, encontrar un valor de c tal que ε = 0,01 f(c). Solución: Sean X n = -1.5 (punto medio del intervalo conocido) Por lo tanto, se asume c= -1,2851 como la raíz buscada APLICACIÓN 2 La ecuación de una ola estacionaria reflejada en un puerto está dada por: h = h 0 sen 2πx λ cos 2πtv λ + e x Para λ=16, t=12, v=48, h=0.4h 0, (40% de la altura inicial) Movimiento de las moléculas de agua, en la zona superficial del mar, provocado por la acción del viento. En este movimiento, que es originariamente circular, no hay desplazamiento horizontal de dichas moléculas ni dela masa de agua por ellas constituida, aunque sí lo hay del movimiento ondulatorio generado por ese movimiento molecular. Este tipo de olas, que se originan en alta mar, se conocen con el nombre de 'olas libres' u 'olas estacionarias'. Cuando una ola se aproxima a la costa, el movimiento típico del mar libre, movimiento circular, se transforma, por rozamiento con el fondo, en un movimiento elíptico; la cresta de la ola avanza por este motivo más deprisa que su punto opuesto en la vertical y se produce un desplazamiento horizontal de la masa de agua que provoca la ruptura de la ola al llegar a la costa. Para nuestro caso nos dan la ecuación respectiva de la ola junto con varios parámetros de esta tales como la longitud de onda, las alturas respectivas, la velocidad, el tiempo y nos piden hallar la distancia donde rompe la ola dada por x. Debido a la presencia de por ejemplo la función logarítmica estamos en presencia de una ecuación no lineal y se procederá a hallar las soluciones mediante los métodos anteriormente descritos. Para hallar la solución dada se pueden aplicar varios métodos enseñados en el curso de Análisis Numérico, Solución tales como de Aproximaciones Sucesivas, El método de Newton, Método de la secante, etc. Para hallar nuestra solución se uso el método de Newton debido a su rápida convergencia en hallar la solución así como el más fácil de entender y aplicar, se comprobaron dichos resultados con el método de la secante obteniéndose los mismos valores de x. Determinando la solución positiva más pequeña 6 P ágina
La solución más pequeña positiva se encuentra en el intervalo [5,10]. a=05 b=10, x 0 a+b 2 Usando el método de Newton Se halla un punto inicial correspondiente: d dx f(x) = 2.5e x + 0.98174cos(0.3927x) c = x c =7.5 f(c) f (c) = 0.493 Como f(c)*f (c) > 0, se tiene un punto inicial y se puede proseguir. K = 1.n donde n=10 x k = x k 1 f(x k 1 ) d dx f(x k 1) 0 0 6.5 1 6.978852791803652 2 6.954779208670931 3 6.954731290074158 4 6.854731289881505 5 6.854731289881505 6 6.854731289881505 7 6.854731289881505 8 6.854731289881505 9 6.854731289881505 10 6.854731289881505 ALGORITMO: 1. Defina X n 2. Genere una tabla de datos 7 P ágina
3. Calcule f (x n ) 4. Si f(x n+ 1 ) ε, acepte X n+1 como la raíz aproximada y pare el método, de lo contrario, en la siguiente iteración haga X n =X n+1 y continúe el llenado de la tabla hasta que se cumpla la condición f(x n+ 1 ) ε ALGORITMO EN MATLAB x0=input('ingrese el valor inicial: '); tol=input('ingrese el porcentaje de error: '); f=input('ingrese la función: '); i=1; fx(i)=x0; syms x; f1=subs(f,x,fx(i)); z=diff(f); d=subs(z,x,fx(i)); ea(1)=100; while abs(ea(i))>=tol; fx(i+1)=fx(i)-f1/d; f1=subs(f,x,fx(i+1)); d=subs(z,x,fx(i+1)); ea(i+1)=abs((fx(i+1)-fx(i))/fx(i+1)*100); i=i+1; end fprintf('i fx(i) Error aprox (i) \n'); for j=1:i; fprintf('%2d \t %11.7f \t %7.3f \n',j-1,fx(j),ea(j)); end C. FALSA POSICION Es una variante del método de la bisección, llamada REGULA FALSI, de la FALSA POSICION O METODO DE LA CUERDA, pretende conjugar la seguridad del método de bisección para converger, con la rapidez del método de la secante (ver sección2.4);también es denominado como: Regla falsa, Posición falsa o Interpolación Lineal. Comienza con un intervalo [a,b ] que encierra a la raíz, es decir f (a) y f (b) son de signos opuestos. Es similar al método de bisección ya que consiste en generar subintervalos que encierren a la raíz; pero la aproximación de la raíz X n no se obtiene con el punto medio, sino con la intersección de la recta secante a la curva que une a los puntos (a, (a)) y (b, f (b))con el eje x; proporcionando una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una "posición falsa" de la raíz, deaquí el nombre del método. En la figura siguiente se muestra la representación gráfica del método de la falsa posición; donde se puede observar que una vez iniciado el proceso iterativo, uno de los extremos del intervalo puede quedarse fijo 8 P ágina
Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo de x i a x u en mitades, no se considera la magnitud de f(x i ) y de f(x u ). Por ejemplo, si f(x i ) está más cercano a 0 que f(x u ), es lógico pensar que la raíz se encuentra más cerca de que de x i que de x u. El método de falsa posición aprovecha la visualización gráfica de unir f(x i ) y f(x u ) con una recta, donde la intersección de esta recta con el eje x representa una mejor estimación a la raíz De la grafica se observan triángulos semejantes f(x i ) x r x u = f(x u ) x r x u De la ecuación anterior despejamos x r y se obtiene: x r = x u f(x u)(x i x u ) f(x i ) f(x u ) El algoritmo es igual al método de bisección, lo único que cambia es la ecuación para x r APLICACIÓN 1 Utilizando el método de la falsa posición para determinar la raíz de la ecuación del ejemplo anterior con x i = 12 y x u = 16 se tiene: 9 P ágina
ALGORITMO EN MATLAB function x = regula_falsi(fun,a,b,maxiter) % Aproxima por el método de la regula falsi una raíz de la ecuación fun(x)=0 fprintf(1, 'Método de la regula falsi\n'); fprintf(1,'\n'); n=1; u=feval(fun,a); v=feval(fun,b); if sign(u)==sign(v) disp('error:la funcion debe cambiar signo en a,b'); break; end; for n=1:1:maxiter c=a-(u*(b-a)/(v-u)); w=feval(fun,c); fprintf(1, 'n= %i, c= %f, f(c)= %e \n',n, c,w); if sign(u)==sign(w) a = c; u=w; else b=c; v=w; end n=n+1; end; x=c 10 P ágina