Álgebra y Matemática Discreta

Los Números Enteros El Conjunto Z Vamos a empezar por la aritmética más básica, que es la de los números enteros. El conjunto de los números enteros se denotará por Z y contendrá todos los números enteros, tanto positivos como negativos: Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Este conjunto tiene dos operaciones básicas, la suma y la multiplicación. La resta se puede entender como la suma de un elemento con el negativo de otro.

Los Números Enteros Números y su Representación Los números enteros pueden representarse de varias formas. La más habitual (entre los humanos) es la notación decimal. Por ejemplo, el número 6132 diremos que tiene como cifras (decimales) los valores Lo cual significa que [6,1,3,2] n = 6 10 3 +1 10 2 +3 10 1 +2 10 0 Es decir, cada cifra es multiplicada por una potencia de 10 para ir formando el número correspondiente. La notación habitual escribe las cifras de forma que a la izquierda se pone la más significativa y a su derecha se van poniendo el resto de las cifras hasta que llegamos a la menos significativa.

Los Números Enteros Otras Bases Lo que hemos hecho para la base 10 se puede hacer para cualquier otra base. Un número diremos que está escrito en base b si tenemos una lista de cifras c 0,c 1,c 2,...,c k {0,1,...,b 1} y tales que n = c k b k +...+c 1 b +c 0 Las bases más habituales entre los informáticos y los ordenadores son la base 2 o binaria y la base 16 o hexadecimal. El hecho de empezar escribiendo desde la cifra más signficativa o desde la menos significativa (el orden inverso) será un tema de elección que cada sistema informático resolverá de forma diferente. Es una cuestión de decisión, no cambia nada desde el punto de vista matemático.

Los Números Enteros Algoritmos Aritméticos En esta asignatura se dará por supuesto que sabemos sumar, restar y multiplicar, al menos con números decimales. Aunque no lo parezca, hay muchas formas de hacerlo, así como de representar los números. Se pueden escribir libros enteros sobre algoritmos para multiplicar números. En otras asignaturas de la carrera se verán algunos algoritmos particulares.

Los Números Enteros La División con Resto División con Resto Sean a y b dos números enteros, b > 0. Entonces podemos encontrar dos números enteror q y r tales que 0 r < b y a = b q+r. Si a 0, estos valores son únicos y se denominan cociente y resto de la división. Es lo de siempre, únicamente tenemos que fijarnos en lo que sucede con los números negativos. Si dividimos por ejemplo a = 5 entre b = 3, el resultado nos dice que debemos poner un resto mayor o igual que 0 y menor estrictamente que b, es decir, el resto sólo puede ser 0,1 ó 2. Nunca 2 como podríamos pensar en un principio. Lo que se hace es calcular el cociente como el mayor número entero menor o igual que a/b, en nuestro caso a/b = 1.66666666666667, por lo tanto el cociente será 2. El resto en este caso nos dará 1, con lo que obtendremos 5 = 3 ( 2)+1.

Divisores Número Definición Dados dos números enteros a y b, diremos que b divide a a o que b es divisor de a si el resto de dividir a entre b es 0. También diremos que a es un múltiplo de b. Equivale a decir que existe un valor c tal que a = bc (c sería el cociente). Al definir el algoritmo de la división hemos tomado b > 0, consideraremos divisores positivos. En realidad, cuando b es un divisor de a, b lo es de forma inmediata porque a = bc = ( b)( c). Podemos considerar que los divisores están definidos salvo el signo. Es una cuestión de más formal que real. El 0 es un caso especial, puesto que 0 = 0b para cualquier b. La palabra divisor de 0 la reservaremos para una propiedad especial que definiremos más adelante, aunque sí consideraremos que b divide a 0 para cualquier b.

Divisores Número Ejemplos Si a > 0, 1 y a son siempre divisores de a. Es evidente puesto que a = a 1 = 1 a. Hay números que sólo tienen estos divisores. Un número p > 1 diremos que es primo cuando sus únicos divisores sean 1 y p. Por ejemplo el número 2 es primo, el 3 es primo, etc. (nota: el 1 no se considera primo). Ejemplo de número no primos, 4, 6, etc.

Divisores Número Conjunto de Divisores Para cualquier número, podemos calcular su conjunto de divisores. Este conjunto está ordenado con el orden dado por la propiedad de dividir a. Ese tipo de estructuras de orden se denominan retículos.

Máximo Común Divisor Definición Dados dos números a y b podemos calcular los divisores de ambos números. Entre esos divisores, puede haber divisores comunes, de hecho por ejemplo el 1 siempre es común. Al mayor de los divisores comunes de ambos números se le llamará máximo común divisor. El máximo común divisor d de a y b tiene la siguiente propiedad: Máximo Común Divisor Dados dos números enteros a y b, el máximo común divisor de ellos es un número (positivo) d que divide a ambos y para el que podemos encontrar valores u y v enteros, tales que d = au +bv Encontrar estos valores enteros será necesario para resolver muchos problemas. Es lo que se conoce como Algoritmo de Euclides Extendido.

Máximo Común Divisor Algoritmo de Euclides Extendido a b r v t q 11 30 8 0 1 2 30 11 8 1 0 2 11 8 3 0 1 1 8 3 2 1 1 2 3 2 1 1 3 1 2 1 0 3 4 2 1 0 4 Partimos de los números a y b que nos dan, en este caso 11 y 30. En las columnas v y t ponemos 0 y 1 respectivamete. Hacemos el cociente y el resto, que pasan a las columnas q y r. El siguiente valor de la columna a será el de la columna b, el siguiente de la columna b el de r y el siguiente de v el de t (todos se desplazan a la izquierda). El nuevo valor de v se calcula con la fórmula

Máximo Común Divisor Extraer los Datos de la Tabla El último valor de la columna a es precisamente el máximo común divisor de ambos números. El último valor de la columna v es el v que necesitamos para hacer la combinación lineal. El valor de u lo despejamos de la ecuación au +bv = d puesto que conocemos todos los valores menos u. Si nos diera un valor de u no entero, es porque nos hemos equivocado en las cuentas, así que Cuidado! u nunca puede ser un valor no entero.

Máximo Común Divisor Comentarios Adicionales En el ejemplo hemos puesto el caso en que a < b y nos damos cuenta de que el algoritmo funciona bien, es decir, en el primer paso nos da la vuelta a los números. Podemos ahorrarnos un paso si ponemos siempre el valor mayor en la columna a. No es un problema, si nos damos cuenta de que el algoritmo en el primer paso lo que ha hecho ha sido también cambiar los valores de v y t. Así que, si queremos podemos cambiarlo, pero en los dos sitios. Ante la duda y al principio, mejor no cambiarlo.

Máximo Común Divisor Número Negativos El máximo común divisor, como divisor que es, lo vamos a considerar un número positivo. Si nos pidieran hacer el máximo común divisor de números negativos, y tuviéramos que calcular los coeficientes u y v, la técnica es resolverlo para valores positivos, y una vez terminado el proceso, utilizar las igualdades: d = au +bv = ( a)( u)+bv = au +( b)( v) = ( a)( u)+( b)( v). Por supuesto, aunque tomemos valores siempre positivos, los valores de u y de v pueden ser negativos, de hecho, habitualmente tendrán signos distintos.