I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía TEMA V GEOMETRIA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R. El epacio ectoial de lo ectoe libe del epacio V.. Podcto ecala de ectoe en V. Popiedade. Epacio eclídeo... 6. Podcto ectoial.. 4. El epacio afín de lo pnto del epacio E 5. Lo pnto en E 6. La ecta en E. 7. El plano en E. 8. Poicione elatia ente ecta plano. 9. Poblema mético. Deteminación de ditancia ánglo... Áea de n tiánglo de n paalelogamo. Podcto mito. Volmen de n paalelepípedo.. EL ESPACIO VECTORIAL DE LOS VECTORES LIBRES DEL ESPACIO. Intodcción. La Geometía e la pate de la Matemática qe etdia la figa del epacio eal (pnto ecta plano polígono cepo...) popiedade elacione. Conideamo el conjnto de pnto del epacio habital donde no moemo en él amo a etdia la figa geomética. Petendemo ogania ete conjnto "caótico" de pnto dotalo de na etcta matemática; paa ello amo a tilia lo ectoe libe del epacio V de foma análoga a como lo hicimo en º con lo ectoe del plano V.. Vecto fijo en el epacio. Conideamo el conjnto de pnto del epacio E. Llamamo ecto fijo del epacio E a todo pa odenado de pnto (A B). Lo ecibimo AB ó (A B) lo epeentamo po na flecha qe empiea en A temina en B. Al pime pnto A e le llama oigen del ecto. Al egndo pnto B e le llama etemo del ecto. Si el oigen el etemo coinciden el ecto ecibe el nombe de ecto nlo.. Caacteítica de n ecto fijo. Ditingimo te elemento en n ecto fijo: Módlo: E la medida de la longitd del egmento AB. Lo indicamo módlo cando tengan la mima medida. AB. Do ectoe fijo tienen el mimo Diección: Sentido: E la de la ecta deteminada po lo pnto A B la de toda paalela. Do ectoe fijo CD tienen la mima diección cando on paalelo. Lo epeentaemo aí: AB CD. AB E el qe apnta la flecha no indica el oden en qe e dan lo pnto A B. Do ectoe de la mima diección decimo qe tienen el mimo entido cando apntan al mimo pnto cadinal. Repeentaemo do ectoe del mimo entido AB CD : AB CD de entido contaio: AB CD.Lo ectoe nlo tienen de módlo no tienen definido la diección ni el entido.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía.4 Eqipolencia de ectoe fijo. Do ectoe fijo AB CD e dice qe on EQUIPOLENTES i tienen el mimo módlo la mima diección el mimo entido. Se ecibe: (A B) (C D) ó "Lo ectoe fijo nlo e conidean eqipolente ente i". AB CD. "Si do ectoe on eqipolente o etán itado obe la mima ecta o on lo lado opeto de n paalelogamo" La eqipolencia de ectoe no pemite agpa en clae de eqialencia a todo lo ectoe eqipolente ente i..5 Vecto libe. Al conjnto de ectoe fomado po n ecto AB todo lo ectoe fijo eqipolente a él e le llama ecto libe. Lo ectoe libe del epacio e elen epeenta po leta minúcla con na flechita: a = AB = ecto fijo AB todo eqipolente. o también mediante no calqiea de lo ectoe fijo qe lo componen qe tomamo como epeentante: En la figa lo ectoe AB. Se elen identifica amba coa: AB CD o a = AB. MN on ditinto epeentante del ecto libe a. Al ecto libe fomado po todo lo ectoe fijo de la foma llamamo ecto ceo. Lógicamente. Cando n ecto libe tiene po módlo ( ) decimo qe e n ecto nitaio. AA (en lo qe coincide el oigen con el etemo) le Al conjnto de lo ectoe libe del epacio lo epeentamo po V..6 Opeacione con ectoe libe. I. Sma de ectoe libe. Dado do ectoe libe a b definimo el ecto a + b como n neo ecto contido de la igiente manea: A pati de n pnto calqiea del epacio taladamo lo ectoe a b de foma qe el oigen de b coincida con el etemo de a. a + b e el ecto de oigen el de a de etemo el de b egún e obea en la figa. PROPIEDADES: ASOCIATIVA: Paa te ectoe caleqiea a b c e cmple qe a ( b c) ( a b) c Eite n ELEMENTO NEUTRO: El ecto tal qe paa calqie ecto a : a a a Eite n ELEMENTO OPUESTO paa cada ecto a el a (e el ecto del mimo módlo diección qe a peo de ditinto entido) tal qe a ( a) CONMUTATIVA: a b b a
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía II. Podcto de n númeo eal po n ecto. Sea n númeo eal calqiea R a n ecto libe calqiea a V n neo ecto b tal qe:. Definimo el podcto a como b a a b De la mima diección : b a b a i > Sentido de b b a i < Po tanto el podcto de n númeo eal po n ecto a e oto ecto paalelo a él. Recípocamente i do ectoe a b on paalelo iempe eite n númeo eal tal qe e pede epea b a Lógicamente a e n ecto de módlo po tanto a. PROPIEDADES: Sean númeo eale caleqiea a b do ectoe caleqiea de V. Se cmplen la igiente popiedade: ( a b) a b ( ) a a a ( ) a ( a) a a El conjnto de lo ectoe libe del epacio V con la opeacione ma podcto po númeo eale jnto con la popiedade ennciada tiene etcta de ESPACIO VECTORIAL obe R..7 Combinacione lineale. Dado n conjnto finito de n ectoe también llamado itema de ectoe S... n decimo qe n cieto ecto a e combinación lineal de lo ectoe... n cando e pede ecibi a = + + +...+ nn iendo... n númeo eale caleqiea. Natalmente el ecto e pede epea iempe como combinación lineal de calqie conjnto de ectoe a qe iempe e podá ecibi: = + + +...+.8 Dependencia e independencia lineal. n En geneal decimo qe n itema de n ectoe S... n e libe o qe dicho ectoe on linealmente independiente cando en toda epeión de la foma: + + +...+ lo único aloe poible paa lo coeficiente on = =...=. = i n n Si ademá de eta olción qe iempe e poible algno de lo coeficiente admite n alo ditinto de decimo qe lo ectoe del itema on linealmente dependiente o qe el itema e ligado.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 4 Se pede demota qe i lo ectoe de n itema on linealmente dependiente entonce al meno n ecto e pede epea como combinación lineal de lo demá ecípocamente i en n itema de ectoe algno de ello e pede epea como combinación lineal de lo demá entonce dicho itema e ligado. TEOREMA: Do ectoe de V no nlo de ditinta diección on linealmente independiente. En efecto: Sea pongamo qe algno de lo coeficiente po ejemplo ea entonce: ; iendo n númeo eal. Po tanto tendían qe e paalelo. E deci no pede e. Po tanto conecentemente on ectoe linealmente independiente. TEOREMA: Dado do ectoe de V no nlo de ditinta diección calqie ecto qe ea combinación lineal de petenece al plano deteminado po (o a calqie oto paalelo a él). El conjnto de todo lo ectoe qe on combinación lineal de contiten n epacio ectoial de dimenión (V ). Se dice entonce qe dicho plano ectoial ha ido engendado po lo ectoe. Lógicamente calqie ecto no contenido en dicho plano no e pede epea como combinación lineal de. TEOREMA: Te ectoe de V no nlo no contenido en n mimo plano (no coplanaio) on linealmente independiente..9 Sitema geneado. Decimo qe n itema de ectoe S... e n itema geneado de n cieto epacio ectoial V cando calqie ecto a del epacio ectoial e pede epea como combinación lineal de ello. TEOREMA: n Dado te ectoe de V no nlo no coplanaio calqie oto ecto de V e pede epea como combinación lineal de ( contiten n itema geneado de V ). CONSECUENCIAS:.- "Do ectoe no nlo de V con IGUAL diección on LINEALMENTE...".- "Cato o má ectoe de V on iempe LINEALMENTE...". Bae de n epacio ectoial. Definimo na bae de n epacio ectoial como n itema de ectoe imltáneamente libe geneado. TEOREMA: Calqie itema fomado po te ectoe de V no nlo no coplanaio contite na BASE de V a qe egún hemo ito contiten n itema libe geneado.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 5 En V toda la bae etán fomada po te ectoe no coplanaio. Po eo decimo qe e n epacio de dimenión lo hemo llamado V.. Componente de n ecto epecto de na bae Sean te ectoe no coplanaio dado en ete oden qe contiten na bae de V : B =. Po tatae de n itema geneado n ecto calqiea V e pede epea como combinación lineal de lo ectoe de la bae po tanto podemo ecibi: + Pe bien llamamo COMPONENTES del ecto epecto de la bae B a la tena de númeo eale ( ) e deci a lo coeficiente de. Se demeta qe paa na deteminada bae la componente de n ecto on única ólo eite n ecto paa cada tena de componente; po tanto éta deteminan pefectamente al ecto; po eto e nomal qe paa efeino a n ecto en lga de ecibi toda la combinación lineal epecto de la bae ólo e eciban componente qe e má coto. (En lga de ecibi + ecibimo ( ). Lógicamente paa n ecto i cambiamo de bae lo coeficiente cambiaán po tanto componente; e deci bae ditinta ponen componente ditinta paa n mimo ecto.. Componente de la ma de ectoe. Sean e do ectoe de componente ( ) ; ( ) epecto de la bae B = ( ) e lo mimo qe ; ( ) e lo mimo qe Smando: ( ) ( ) Po lo tanto el ecto ( ) ( ) ( ) tiene po componente ( ) (La ma de la componente). Componente del podcto de n númeo eal po n ecto Sea n númeo eal calqiea n ecto de componente ( ) epecto de la bae B =. ( ) e lo mimo qe deci ; Mltiplicando po : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Po lo tanto el ecto tiene po componente: ( ) (El podcto de po la componente de ).4 Componente de do ectoe paalelo Sean do ectoe paalelo e de componente ( ) e ( ) epecto de la bae B =.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 6 Po tene ambo la mima diección e cmple qe po tanto la componente de epecto de la bae B e peden epea de do foma: ( ) = ( ) como la componente de n ecto epecto de na bae on única e ha de cmpli qe: e deci la componente de de on popocionale. Si do ectoe on paalelo componente on popocionale. Recípocamente e demeta qe i la componente de do ectoe on popocionale entonce ambo ectoe on paalelo..5 Coepondencia ente V R. Fijada na bae B = componente ( ) R ecípocamente. de V hemo ito qe a cada ecto libe V le coeponde na tena odenada única Ademá la opeacione en V e coeponden con la opeacione en R de manea qe como hemo ito i = ( ) e = ( ) entonce: Eite pe na coepondencia biectia ente V R qe no pemite a ectoe libe o tena de númeo eale egún neceitemo po tanto paa de la elacione geomética en V a elacione nméica en R.. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES EN V. PROPIEDADES. Conideamo el epacio ectoial V de lo ectoe libe del epacio. Conideemo la aplicación V R : ) R V qe aocia a cada pa de ectoe el númeo eal definido de la igiente manea: co i i o El podcto ecala cmple la igiente popiedade: Conmtatia: ; V Aociatia epecto al podcto de ecalae: k k ; V ; k R Ditibtia epecto a la ma de ectoe: ; V El podcto ecala de n ecto po i mimo e n númeo poitio o nlo: En efecto: co (Nota: Sin embago el podcto ecala de do ectoe ditinto dependiendo del coeno del ánglo qe fomen dicho ectoe) pede e poitio negatio o nlo
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 7 Si on do ectoe no nlo entonce e pependicla a i olo i el podcto ecala e ceo: co9 El epacio E dotado de eta nea heamienta (podcto ecala) e conoce con el nombe de ESPACIO EUCLÍDEO. Como iemo iendo el podcto ecala no pemite intodci do neo concepto de gan impotancia: ditancia ánglo qe amplían conideablemente la poibilidade de plantea eole poblema en la geometía del epacio.. Epeión analítica del podcto ecala. Conideemo la bae jk i B de V lo ectoe peden epeae mediante componente ( ) ( ) e deci: k j i k j i Si aplicamo la popiedade anteioe: k j i k j i Si deaolla el podcto anteio la bae jk i B e otonomal (ectoe de módlo nidad pependiclae) el deaollo e edce mcho a qe: co k k j j i i co 9 k j k i j i la epeión analítica del podcto ecala epecto a na bae otonomal e: (Obea qe ete podcto lo podemo ecibi tiliando matice en la foma:.. Noma o módlo de n ecto. popiedade. En la popiedad 4ª del podcto ecala hemo ito qe co lego: El módlo o noma del ecto e la aí cadada poitia del podcto ecala del ecto po él mimo. Lo ecibimo en la foma ó. Si la bae e otonomal el ecto tiene po componente ( ) epecto de dicha bae entonce el podcto ecala de iene dado po: Popiedade del módlo de n ecto. El módlo o noma de n ecto e ceo i ólo i el ecto e nlo. El módlo o noma del podcto de n númeo po n ecto e igal al alo abolto del númeo po el módlo del ecto. k k
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 8 El módlo o noma de la ma de do ectoe e meno o igal qe la ma de lo módlo de dicho ectoe. Compeba la popiedade anteioe con ejemplo.. Ánglo de do ectoe. otogonalidad. Si tenemo do ectoe no nlo a pati de la definición del podcto ecala: co "El coeno del ánglo de do ectoe e igal al cociente ente podcto ecala el podcto de módlo ". La epeión analítica eá: co Condición de pependiclaidad de do ectoe:. Dado lo ectoe 4 con epecto a na bae otonomal detemina: a) S podcto ecala. b) S módlo. c) El ánglo qe foman dicho ectoe. d) Si lo ectoe no on nitaio detemina oto ectoe paalelo a a qe lo ean. Solción: a) 5 b) 9 d Se llaman coeno diectoe del ecto a lo coeno de lo ánglo qe foma el ecto con lo ectoe de la bae otonomal B i jk. Detemina lo coeno diectoe del ecto = ( ). Solción:. Detemina el alo de m paa qe lo ectoe = (m - ) = (- m ) ean: a) Otogonale b) Paalelo. Solción: a) m = b) No ha aloe de m paa qe ean paalelo. PRODUCTO VECTORIAL. Dado do ectoe epecto a na bae otonomal ( ) ( ) definimo na nea opeación en V qe llamamo podcto ectoial ecibimo al ecto qe e obtiene po el deaollo del igiente deteminante: i Podcto ectoial (Obea qe mienta en el podcto ecala el eltado e n númeo en eta opeación qe llamamo podcto ectoial el eltado e n ecto). j k Si deaollamo el deteminante anteio po la pimea fila obtenemo: i j k Epeión qe no indica la componente del ecto podcto ectoial epecto de la bae otonomal fijada.. Popiedade del podcto ectoial:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 9 El ecto e pependicla a a.(e deci e pependicla al plano qe deteminan ) Si ; ó entonce el podcto ectoial e el ecto. No e conmtatio: en. E deci el módlo del podcto ectoial iene dado po el podcto de lo módlo po el eno del ánglo qe foman lo ectoe. Eta popiedad e m inteeante geométicamente a qe: El módlo del podcto ectoial de e igal al áea del paalelogamo de lado lo ectoe.. Dado lo ectoe = ( -) = ( ) a) Calcla el ecto podcto ectoial de ambo. b) Compeba con eto ectoe qe el podcto ectoial e n ecto pependicla a a. c) Compeba qe el podcto ectoial no e conmtatio. d) Compeba con eto ectoe qe el podcto ectoial cmple la popiedad 4ª. Solción: a) 4. EL ESPACIO AFÍN No poponemo etdia el epacio como conjnto de pnto. Paa tabaja con eto pnto eía deeable qe pdiean epeentae nméicamente de algna manea. Paa ello amo a fija n pnto O calqiea del epacio no amo a ada también del epacio de lo ectoe libe (V ): Fijado el pnto O todo lo ectoe libe del epacio tienen n epeentante con oigen en O. Conideemo n pnto A calqiea del epacio. Eite n único ecto qe tenga oigen en O etemo en A. A ete ecto le amo a llama ecto de poición del pnto A. Recípocamente cada ecto con oigen en O detemina n único pnto del epacio: en neto dibjo el ecto a e el ecto de poición del pnto A. E deci qe fijado n pnto O del epacio eite na aplicación biectia ente lo ectoe del epacio con oigen en O el conjnto de pnto. Po cada ecto n pnto po cada pnto n ecto. Llamamo Epacio afín lo epeentamo po E al epacio de pnto jnto con el epacio ectoial V aociado tal qe fijado n pnto O calqiea del epacio eite na aplicación biectia po la qe a cada ecto le coeponde n pnto a cada pnto n ecto. 4. Sitema de efeencia afín. Un itema de efeencia en el epacio afín iene dado po n pnto calqiea O del plano na bae calqiea del epacio ectoial aociado V. Un itema de efeencia en el epacio afín lo notamo: R O; i j k iendo B i j k la bae de V. Genealmente lo ectoe i j k e eligen nitaio po comodidad: i i. (Receda de º qe a eta bae la llamábamo bae otonomale). ; j ; k pependiclae ente 4. Coodenada de n pnto.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía Fijado el pnto O (oigen) del epacio de pnto E calqie oto pnto P del epacio detemina con O n ecto único OP ecto de poición. Si ademá fijamo na bae B i j k bae en la foma: podemo epea el ecto OP como combinación lineal de lo ectoe de dicha OP i j k La tena de númeo ( ) R on la componente del ecto OP. Pe bien: Definimo: la coodenada del pnto P (epecto del oigen O de la bae B i j k de ecto de poición: Coodenada de P = Componente del ecto OP ) peciamente a la componente Una e fijado el itema de efeencia cada pnto P del epacio E qeda deteminado de foma única po coodenada ( ) R iceea. 4. En n itema de efeencia afín O ; i j k D( ) E( ) F( ). Solción: 5. LOS PUNTOS EN E. dibja lo pnto A( ) B( ) C( ) 5. Componente de n ecto conocida la coodenada de etemo. Qeemo detemina la componente del ecto AB conociendo la coodenada de oigen A( ) de O ; i j k. etemo B( ) en n itema de efeencia Conideamo lo ectoe de poición de A de B. Eidentemente e cmple: OA AB OB ; lego AB OB OA Si titimo lo ectoe de poición po componente qeda: AB RESUMIENDO: La componente de n ecto la coodenada del oigen A. AB ienen dada po la coodenada del etemo B meno Speto el itema de efeencia afín O;i jk eele: 5. Si A( 4 7) B(- ) on do pnto halla la componente de Solción: (- - -7) 6. La componente de AB on ( 5) la coodenada del pnto B(( ). Halla la coodenada de A. Solción: A(- -) AB. 5. Talación de n pnto a mediante n ecto. Cando n pnto A e tanfoma en A de modo qe AA ' = e dice qe e ha aplicado na talación al pnto A de ecto. Sigiendo la figa de la deecha podemo ecibi: A( ) (a b c) A ( ) O
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía OA ' OA Si llamamo ( ) a la coodenada del pnto A tabajamo con la componente de lo te ectoe: ( ) = ( ) + (a b c) ( ) = ( + a + b + c) a b c Paa talada n pnto A mediante n ecto e le man a la coodenada del pnto la componente del ecto. 5. Coodenada del pnto medio de n egmento. Sponemo conocida la coodenada de A( ) de B( ) en n itema de efeencia afín O ; i j k qeemo halla la coodenada del pnto medio M( m m m ) del egmento AB. Si M e el pnto medio de AB e cmple qe la componente de ambo ectoe: AB AM. Y i conideamo ( m m m ) = ( ) Igalando componente depejando ( m m m ) encontamo lo igiente aloe: m ; m ; m De foma análoga podemo eole ota cetione encilla qe eemo obe ejecicio conceto como po ejemplo: Diiión de n egmento en n pate igale. Baicento de n tiánglo. Condición paa qe cato pnto fomen n paalelogamo. Simético de n pnto epecto de oto. 7. Si A( 4 7) B(- ) detemina la coodenada del pnto medio del egmento AB. Solción: M 8. Halla lo pnto P Q qe diiden al egmento AB en te pate igale iendo A( 4 7) B(- ). Solción: 9. Halla la coodenada del baicento de n tiánglo de étice A( ) B( 4 5) C(- - -). Solción:. En n tiánglo ABC el baicento e G( ). El pnto medio de BC e M( 4 6) el pnto medio de AC e N( ). Halla lo étice A B C. Solción: A(- - -9) B(- ) C(7 6 )
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía. Dado lo pnto A( ) B(5 4 ) C( 5) detemina el pnto D de manea qe la figa ABCD ea n paalelogamo. Solción: D(- - 7). Halla el pnto A' qe ea imético de A( ) epecto del pnto P( - 7). Solción: A (- -4 ) 6. LA RECTA EN E. 6. Una ecta en el epacio qeda deteminada conociendo: (Un pnto n ecto) Un pnto A( ) qe peteneca a dicha ecta Un ecto no nlo qe tenga igal diección qe la ecta. Al ecto e le llama ecto diecto de la ecta o ecto de diección. Al pa (A; ) e le llama deteminación lineal de la ecta. Ecación ectoial de la ecta: Si la ecta iene deteminada po (A; ) calqie pnto X cmple qe el ecto AX tiene igal diección qe e deci: AX ; R Si a on lo ectoe de poición de lo pnto A X tenemo: depejando obtenemo: Ecación ectoial de la ecta: a ; R = a+ ; R Ecacione paamética de la ecta: Si el pnto conocido A tiene de coodenada A( ) el pnto calqiea X( ) el ecto diecto titimo en la ecación ectoial obtenemo: ( ) = ( ) + ( ). Y po tanto: Ecacione paamética de la ecta. : Ecación contina de la ecta: Si en la ecacione anteioe depejamo el paámeto e igalamo qeda: Ecación contina de la ecta: (Paa pode ecibi eta ecación deben e ditinto de ceo lo te denominadoe). Ecacione implícita de la ecta: Si en la ecación contina conideamo po epaado la doble igaldad obtenemo:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía Ecacione implícita de la ecta (Eta do ecacione no on tan cómoda como la anteioe peo como eemo má adelante epeentan a do plano qe e cotan en la ecta ).. Detemina la ecacione ectoial paamética contina de la ecta qe paa po el pnto A( 5 -) e paalela al ecto = ( -). Solción: Ecación ectoial: Ecacione paamética: Ecación continúa: 4. Detemina la ecacione de la ecta qe paa po el pnto A( 5 -) e paalela al ecto = ( ). Solción: Ecación ectoial: Ecacione paamética: Ecación continúa: Ecacione implícita: = 5; = - 5. La ecta iene dada po ecación contina 5. 4 a) Detemina la ecacione paamética de dicha ecta. b) Detemina n ecto de diección de. c) Detemina te pnto qe petenecan a la ecta. Solción: a) b) c) A( ); B(5 4 -) C( - -9) 6. La ecta iene dada po 5 a) Detemina la ecación contina de dicha ecta. b) Detemina n ecto de diección de. c) Detemina te pnto qe petenecan a la ecta. Solción: a) b) A( ) B(4-5) C(- 5) 7. Detemina la ecacione de lo eje de coodenada. Solción: Eje OX: Ecacione paamética = λ = = ecacione implícita = = Eje OY: Ecacione paamética = = λ = ecacione implícita = = Eje OX: Ecacione paamética = = = λ ecacione implícita = = 8. La ecta iene dada po ecación contina 5. a) Detemina n ecto de diección de. b) Detemina te pnto qe petenecan a la ecta. Solción: a) A( -5) B(- 5 -) C( -6) 6. Recta qe paa po do pnto. Una ecta qeda también deteminada conociendo do pnto A( ) B( ) peteneciente a ella. La obtención de la ecacione en ete cao e análoga a la anteio teniendo en centa qe ahoa no ie de ecto diecto AB ( ). Entonce:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 4 Deteminación lineal de la ecta : (A; AB ). Ecación ectoial de la ecta: a AB; R. E deci: ) ( ) ( ) ( Ecacione paamética de la ecta. Ecación contina de la ecta: 9. Detemina la ecacione ectoial paamética contina de la ecta qe paa po lo pnto A( ) B(- 5 -). Solción: 7 EL PLANO EN E. 7. Un plano qeda deteminado conociendo: (Un pnto do ectoe de ditinta diección) Un plano en el epacio qeda deteminada conociendo n pnto A( ) qe peteneca a dicho plano do ectoe ( ) ( ) no nlo no popocionale (de ditinta diección) qe ean paalelo a. A lo ectoe e le llama ectoe dieccionale de a la tena (A; ) e la deteminación lineal del plano. Ecación ectoial del plano: Si el plano iene deteminado po (A; ) calqie pnto X cmple qe el ecto lineal de e deci: AX ; R Si a on lo ectoe de poición de lo pnto A X tenemo: a ; R Depejando: AX e combinación Ecación ectoial del plano: a ; R. Ecacione paamética del plano: Si el pnto conocido A tiene de coodenada A( ) el pnto X( ) lo ectoe dieccionale ( ) ( ) titimo en la ecación ectoial obtenemo: ( ) ( ) ( ) ( ) Igalando la componente del pime egndo miembo:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 5 Ecacione paamética del plano: Ecación implícita o geneal del plano: Paa obtene eta ecación debemo elimina lo paámeto de la ecacione paamética anteioe. Paa ello conideamo la ecacione anteioe como n itema de te ecacione do incógnita. Si eodenamo el itema: Paa qe ete itema ea compatible debe cmplie qe el ango de la mati de coeficiente el ango de la mati ampliada ean igale. E deci: ango = ango Como la mati de coeficiente e de ango (olo tiene do colmna) e pecio qe la mati ampliada ea también de ango. Paa ello el deteminante de la ampliada debe e nlo. Obtenemo aí la ecación implícita del plano: det AX Si ete deteminante lo deaollamo odenamo qeda na ecación de la foma: ecación geneal del plano D C B A. Detemina la ecacione ectoial paamética e implícita del plano qe paa po el pnto P( -) tiene de ectoe dieccionale al ecto ( -) al ( ). Solción: 7. Plano qe paa po te pnto. Un plano qeda también deteminado conociendo te pnto A( ) B( ) C( ) peteneciente a él. La obtención de la ecacione e análoga a la anteio peo ahoa no peden ei de ectoe diectoe: ) ( AB ) ( AC De igal foma qe ante tendemo como deteminación lineal del plano : (A; AB AC ). Y ecacione e obtienen fácilmente a pati de la anteioe.. Detemina la ecacione ectoial paamética e implícita del plano qe paa po lo pnto A( ) B(- 5 -) C(6 7 ). Solción:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 6. Di aonadamente i lo pnto A( ) O( ) B(5 4) D( - ) on coplanaio. En cao afimatio detemina la ecación geneal del plano qe lo contiene. Solción: Ecación nomal del plano: En apatado anteioe hemo ito qe paa detemina n plano pode halla ecación neceitábamo n pnto do ectoe dieccionale o bien te pnto no alineado. Ahoa gacia al podcto ecala podemo detemina n plano conociendo n pnto A n ecto pependicla al plano (ecto caacteítico). Spongamo qe el pnto conocido e A( ) el ecto pependicla e n = (a b c). Eidentemente calqie pnto X( ) cmple qe el ecto AX etá contenido en. Lego el podcto ecala de AX n a qe el plano e pependicla a n = (a b c). E deci: n AX n ; X i ecibimo el podcto ecala con la componente llegamo a: a b c. Ecación nomal del plano Si deaollamo qeda: a + b + c + d = qe e la ecación geneal en la qe obeamo qe lo coeficiente a b c coeponden a la componente de n ecto pependicla al plano.. Halla la ecación del plano qe contiene al pnto A ( ) e pependicla al ecto n = (5-4 ). Solción: 4. Halla la ecación de la ecta qe contiene al pnto A( ) e pependicla a + - + 7 =. Solción: 7 5. Halla la ecación del plano qe contiene al pnto A( -) e pependicla a la ecta. 5 Solción: 6. Detemina la ecacione ectoial paamética e implícita del plano qe paa po el pnto A( 5 -) tiene de ectoe dieccionale al ecto ( -) al ( 5). Solción: 7. Detemina la ecación de n plano qe paa po el pnto A( 5-) e paalelo a la ecta 5 5. 4 5 Solción: 8. Detemina la ecacione de lo plano OXZ OXY OYZ. Solción: 9. El plano iene dado po ecación. 5 4 a) Detemina la ecación implícita de dicho plano. b) " lo ectoe de diección del plano. c) " te pnto qe petenecan al plano. Solción: Dada la ecacione paamética: 4 di aonadamente i epeentan n plano o na ecta. 6 8. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 7 8. Poicione elatia de do ecta. La poicione elatia de do ecta en el epacio on: Recta coincidente: Tienen todo lo pnto comne. Recta paalela: No tienen ningún pnto en común etán en n mimo plano. Recta ecante o qe e cotan: Tienen n pnto en común etán en n mimo plano. Recta qe e can: No tienen ningún pnto en común no etán en n mimo plano. Si no dan la ecta qeemo etdia poición elatia no fijamo en lo ectoe de diección de amba en lo pnto qe deteminan a dicha ecta: A ( ) B ( ). a) Si on paalelo e deci: (componente popocionale) la ecta on paalela o coincidente. Paa ditingi i e tata de paalela o coincidente tomamo n pnto calqiea de po ejemplo A ( ) emo i eifica la ecación de. Si A eifica la ecación de entonce on coincidente. Si A no eifica la ecación de entonce on paalela. b) Si no tienen componente popocionale la ecta e cotan o e can. Si AB on linealmente dependiente e deci: AB det Entonce la ecta etán en n mimo plano e cotan (ecante). Si B) A ( on linealmente independiente e deci: AB det Entonce la ecta no etán en n mimo plano e can. También podemo hace el etdio a pati de lo ango de la matice A = B = :
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 8 Si ango (A) = la ecta on coincidente o paalela: o Si ademá ango (B) = la ecta on coincidente. o Si el ango (B) = La ecta on paalela. Si el ango (A) = la ecta e cotan o e can: o Si ademá ango (B) = la ecta e cotan. o Si el ango (B) = la ecta e can.. Etdia la poición de la ecta en lo igiente cao: a) ; 4 b) ; 4 4 c) 8 ; 7 d) 6 5 ; 9 5 Solción: 8. Poicione elatia de do plano. La poicione elatia de do plano en el epacio on: Plano coincidente: Tienen todo lo pnto comne. Plano paalelo: No tienen ningún pnto en común. Plano ecante o qe e cotan: Al cotae deteminan na ecta. Tienen en común lo pnto de dicha ecta. Si no dan do plano mediante ecacione geneale: d c b a d c b a etdia la poición e edce a eole ete itema de do ecacione te incógnita: a) Si todo lo coeficiente on popocionale (ango (M) = ango (A) = ): d d c c b b a a el itema e edce a na ola ecación on do plano coincidente.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 9 NOTAS. b) Si todo lo coeficiente de la incógnita on popocionale peo no lo témino independiente (Rango (M) = ; ango (A) = ): a b c d a b c d el itema eá incompatible no ha pnto comne on do plano paalelo. c) Si no ha popocionalidad de lo coeficiente (ango (M) = ango (A) = ): a b c d a b c d el itema eá compatible peo indeteminado ha infinito pnto comne - qe deteminan na ecta- lo do plano e cotan en na ecta.. Receda qe la ecacione implícita de na ecta enían epeada po n itema de do ecacione te incógnita. Cada na de ea ecacione ahoa abemo qe epeenta n plano la do ecacione jnta deteminan la ecta donde e cotan dicho plano. Vecto diecto de na ecta dada po la ecacione implícita Sea la ecta de ecación. Detemina ecacione implícita a pati de ella calcla ecto diección.. Si no dan do plano ecante en na ecta decimo qe deteminan n ha de plano a la ecta inteección e le llama eje del ha. El ha de plano etá fomado po todo lo plano qe paan po la ecta de inteección (eje). Piena po ejemplo en n libo abieto la hoja del libo on lo ditinto plano el "lomo" del libo e el eje del ha. Calqie plano del ha iene dado como combinación lineal de lo do plano qe lo deteminan. a b c d Si no dan lo plano qe e cotan: a b c d La ecación del ha de plano e: a b c d a b c d ; R. Etdia la poición de lo plano en lo igiente cao: a. : + = ; : b. : ; : - + + = c. : + = ; : + + - = Solción: a). Calcla el ha de plano deteminado po lo plano : + = ; : + + - =. Compeba i el plano : + = petenece al ha de plano. Solción:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía. Detemina la ecación del plano qe paa po el pnto Q( - ) contiene a la ecta Solción: 8. Poicione elatia de te plano. Se edce al etdio del itema fomado po la te ecacione: a b c d a b c d a b c d cao qe dependen del ango de la matice M (de lo coeficiente) A (ampliada con lo témino independiente) egún e e en el cado igiente. En lo ejecicio poteioe eemo ejemplo donde e etdia cada no de lo cao. También debemo conidea dento de ete cao la poicione elatia ente ecta plano a qe al fin al cabo na ecta iene dada como inteección de do plano. Peden apaece mcho Poición elatia de te plano. M: (mati de lo coeficiente) A: (mati ampliada con lo témino independiente) Cao Rango de M Rango de A Poición de lo te plano º a. Plano ecante en n pnto b. Plano ditinto ecante en na ecta º c. Do plano coincidente no ecante º d. Lo te plano on coincidente e. Plano ecante do a do 4º f. Do plano paalelo cotado po el teceo 5º g. Plano ditinto paalelo do a do
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía h. Do plano coincidente el teceo paalelo ESTE CASO NO PUEDE DARSE 4. Detemina la poición elatia de la igiente tena de plano: + + - = ; - - + = ; + - = Solción: Lo te plano e cotan en n pnto 5. Idem paa: - = ; - - = ; + - 5 + = Solción: Lo plano e cotan en na ecta do a do. 6. Idem paa: - + = ; - + 4 + = ; - + = Solción: Lo do pimeo on paalelo el teceo lo cota en na ecta. 7. Idem paa: - - + = ; - 5 + 6 = ; 4-7 - + 7 = Solción: Se cotan en na ecta do a do. 8. Idem paa: 4 - + + = ; -4 + - + 6 = ; 8 - + 4 + = Solción: Lo te plano on paalelo. 9. Idem paa: - + + = ; - + 6 + = ; - + 9 + = Solción: Lo te plano on igale 8.4 Poicione elatia de ecta plano. La poicione elatia de ecta plano en el epacio on: Recta plano coincidente: Tienen todo lo pnto comne. Recta plano paalelo: No tienen ningún pnto en común. Recta plano ecante o qe e cotan: Al cotae deteminan n pnto. 4. Detemina la poición de la ecta el plano igiente en cao de cotae halla el pnto de cote. : 5 a. b) : c) Solción: a) La ecta el plano e cotan en n pnto b) La ecta e paalela al plano c) La ecta el plano e cotan en el pnto (- 5-7). 9. PROBLEMAS MÉTRICOS. DETERMINACIÓN DE DISTANCIAS Y ÁNGULOS. 9. Deteminación de ditancia. A) Ditancia ente do pnto. Dado do pnto A( ) B( ) definimo la ditancia ente ello como el módlo del ecto Recodando la definición de módlo popiedade tenemo: AB.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía d A B AB B) Ditancia de n pnto a na ecta. La ditancia de n pnto A( ) a na ecta pependicla dede el pnto A a la ecta. e igal a la longitd del egmento Anqe ma adelante encontaemo na fómla paa calcla eta ditancia a la podemo enconta con lo igiente pocedimiento: e Pocedimiento: º. Deteminamo n plano qe pae po el pnto A ea pependicla a la ecta teniendo en centa qe el ecto diecto de la ecta e pependicla al plano lego e el ecto caacteítico del plano: n. º. Deteminamo el pnto P = qe e el pnto de cote de la ecta el plano eoliendo n itema de ecacione. º. La ditancia qe bcamo e igal a la ditancia ente lo pnto A -qe ea el pnto conocido- P -qe e el pnto qe acabamo de detemina. E deci: di (A ) = di (A P) = AP. º Pocedimiento: º. Tomamo n pnto genéico de la ecta : G ( + ; + ; + ) º. Deteminamo la ditancia del pnto A al pnto genéico G. º. Calclamo el alo de paa el cal la ditancia anteio e mínima. 4º. Ditancia (A; ) = ditancia (A; G ) e Pocedimiento: º Tomamo el ecto dieccional de la ecta. º. Tomamo n pnto genéico de la ecta : G ( + ; + ; + ) con el pnto A contimo el ecto AG º. Como lo ectoe AG el dieccional de la ecta tienen qe e pependiclae podcto ecala eá ceo de eta foma calclamo el alo de como conecencia el pnto genéico G 4º. Ditancia (A; ) = ditancia (A; G ) 4. Halla la ditancia del pnto A ( 4 5) a la ecta Solción: 4. Halla la ditancia del pnto A ( -) a la ecta Solción: 5.. C) Ditancia de n pnto a n plano. La ditancia de n pnto A( ) a n plano a + b + c + d = e igal a la longitd del egmento pependicla dede el pnto A al plano. Anqe en ete cao e fácil enconta na fómla también la podemo calcla con n pocedimiento análogo al anteio:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía º. Deteminamo na ecta qe pae po el pnto A ea pependicla al plano teniendo en centa qe el ecto pependicla al plano n = (a b c) no ie ahoa de ecto diecto de la ecta n = (a b c). º. Deteminamo el pnto P = qe e el pnto de cote de la ecta el plano eoliendo n itema de ecacione. Al pnto P lo llamamo poección otogonal del pnto A obe el plano. º. La ditancia qe bcamo e igal a la ditancia ente lo pnto A qe ea el pnto conocido P qe e el pnto qe acabamo de halla. E deci: di (A ) = di (A P) = AP. Cando no ea neceaio egi el pocedimiento aonado anteiomente pede tilia paa la ditancia de n pnto a n plano la fómla igiente qe e fácil de ecoda : di A a b a b c c d 4. Halla la ditancia del pnto A ( 5) al plano + - - 5 =. Solción: 44. Dado el pnto P( -) la ecta el plano - + + =. Detemina: a) Ditancia del pnto P al plano. b) Ditancia del pnto P a la ecta. c) Poección de la ecta obe el plano Solción: D) Ditancia de na ecta a n plano. a) Si la ecta cota al plano la ditancia e ceo. b) Si la ecta etá inclida en el plano la ditancia e ceo. c) Si la ecta e paalela al plano paa halla la ditancia de a bata toma n pnto calqiea A de la ecta calcla la ditancia de A a mediante el cálclo de la ditancia de n pnto a n plano qe a abemo eole. E deci: di ( ) = di (A ); A. 45. Detemina la ditancia de la ecta al plano en lo igiente cao. Solción: a. c) : : 5 b) E) Ditancia ente do plano. a) Si lo plano coinciden la ditancia e ceo. b) Si lo plano e cotan la ditancia e ceo.
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 4 c) Si lo plano on paalelo paa halla la ditancia de a bata toma n pnto calqiea A de no de lo plano calcla la ditancia de A al oto plano mediante el cálclo de la ditancia de n pnto a n plano qe a abemo eole. E deci: di ( ) = di (A ); A. 46. Calcla la ditancia ente lo do plano en lo igiente cao: a. : + = ; : b. : ; : - + + = c. : + = ; : + + - = Solción: F) Ditancia ente do ecta. a) Si la ecta coinciden la ditancia e ceo. b) Si la ecta e cotan la ditancia e ceo. c) Si la ecta on paalela paa halla la ditancia de a ' bata toma n pnto calqiea A de la ecta calcla la ditancia de A a ' tiliando el cálclo de la ditancia de n pnto a na ecta qe a abemo eole. E deci: di ( ) = di (A ); A. d) Si la ecta e can (cao de la figa) podemo egi do pocedimiento: e Pocedimiento: Hallamo el plano qe contiene a la ecta e paalelo a la ecta po tanto ditancia ( ) = ditancia ( ) º Pocedimiento: Tomamo do pnto genéico R S no en la ecta oto en la ecta. De todo lo poible ectoe RS bcamo aqel qe ea pependicla a la do ecta de eta foma encontaemo la coodenada de lo pnto R S Po conigiente ditancia ( ) = ditancia (R S) Ete método e epecialmente útil cando ademá de calcla la ditancia de a e deea halla la ecta pependicla a a. Obiamente e la ecta qe paa po lo pnto R S 47. Etdia la poición de la ecta amba. Solción: 9 8 la ditancia ente 48. Etdia la poición de la ecta = = ; = = la ditancia ente amba. Solción:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 5 9. Deteminación de ánglo. A) Ánglo de do ecta. Si no dan do ecta qeemo halla el ánglo qe foman no fijamo en lo ectoe de diección de amba:. Se cmple qe co co : co co 49. Halla el ánglo qe foman la ecta = =. Solción: B) Ánglo ente ecta plano. Si no dan la ecta el plano a + b + c + d = qeemo halla el ánglo qe foman no fijamo en el ecto de diección de la ecta el ecto caacteítico del plano n = (a b c). Se cmple qe n co en. E deci: co c b a c b a n n n en 5. Halla el ánglo qe foman el plano + = la ecta 8 9 C) ÁNGULO DE DOS PLANOS. Si no dan lo plano a + b + c + d = a + b + c + d = qeemo halla el ánglo qe foman no fijamo en ete cao en lo ectoe caacteítico de lo plano n = (a b c) ' ' n = (a b c ). Se cmple qe: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' co ' co c b a c b a c c b b a a n n n n n n 5. Halla el ánglo qe foman lo plano + - - = - + + d =. Solción:. ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y DE UN PARALELOGRAMO. Aplicacione geomética del podcto ectoial:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 6. Cálclo del áea de n paalelogamo.. Cálclo del áea de n tiánglo.. Vecto diecto de na ecta dada po la ecacione implícita. 4. Fomla de la ditancia de n pnto a na ecta. 5. Dado lo pnto A( ) B( - 5) C(- 7 ). Detemina n pnto D de manea qe ABCD ea n paalelogamo. Calcla el áea de dicho paalelogamo. Solción: 5. Calcla el áea del tiánglo ABC iendo A( 5) B(- - ) C( ). Solción: 54. Enconta n ecto de diección de la ecta 4. Solción: 55. Calcla la ditancia del pnto P(5-6) a la ecta t 5 t t Solción:. PRODUCTO MIXTO. VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO. "El podcto mito de te ectoe de V qe ecibimo [ ] e el podcto ecala del pimeo de ello po el eltado del podcto ectoial del egndo po el teceo. E deci: Obea qe el eltado del podcto mito de te ectoe e n númeo eal. En efecto e tata de ealia n podcto ecala de po el ecto eltante de.. Epeión analítica del podcto mito: Teniendo en centa qe e tata del podcto ecala de po k j i el podcto mito endá dado po. ) (. Intepetación geomética: Se peden peenta do cao º Qe etén en el mimo plano lo qe implica qe a qe e n ecto otogonal al plano donde e encentan lo te ectoe po conigiente e otogonal al ecto po conigiente. º Qe no etén en el mimo plano (lo te ectoe no on ente í linealmente dependiente)
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 7 co iendo el ánglo qe foma el ecto con el ecto Donde e el áea del paalelogamo fomado po lo ectoe ; co = H qe e la alta del paalelepípedo Po tanto el alo abolto del podcto mito de te ectoe V olmen del paalelepípedo qe tiene po aita. (linealmente independiente) e igal al. Aplicacione geomética del podcto mito:. Cálclo del olmen de n paalelepípedo.. Cálclo del olmen de tetaedo. El paalelepípedo inicial al patie po el plano BCFE e decompone en do pima tianglae igale. Cada no de ello tiene pe la mitad del olmen del paalelepípedo. Cada pima e decompone en te piámide qe tienen el mimo olmen. Po tanto: el Volmen del tetaedo = 6. Ditancia ente do ecta qe e can La ditancia ente do ecta qe e can coincide con la alta del paalelepípedo fomado po lo te ectoe igiente: ecto dieccional de la ecta ecto dieccional de la ecta Vecto fomado po n pnto de oto pnto de Volmen del paalelepípedo d( ) = h = = Áea de la bae PQ 56. Halla el olmen del paalelepípedo definido po lo ectoe = ( -7 4); = ( 5) = (7 4 -). Solción: 57. Halla el olmen de n tetaedo de étice A ( 5 7) B ( -) C (7-4) D ( 4-6). Solción: EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN 58. Dibja en n itema de efeencia {O; i j k} otonomal lo pnto A( ); B( - ); C( -); D( ); E( ); F( ); G( ) H(- ). Solción: 59. Halla la componente del ecto AB la coodenada del pnto medio del egmento AB abiendo qe A( -5) B(8 4-5) en el epacio R. Solción:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 8 6. Calcla el imético del pnto A( 5 -) epecto del pnto B(7 - ). Solción: 6. El egmento AB e diide en cinco pate igale mediante lo pnto M N P Q. Halla la coodenada de dicho pnto iendo A( ) B( -9). Solción: 6. Calcla el baicento del tiánglo co étice on A( 5 ) B( ) C( ). Solción: 6. Te étice conectio de n paalelogamo ABCD tienen po coodenada A( ) B(- ) C(4 - ). Halla la coodenada del étice D. Solción: 64. Sean A( -7 4) B( ) do pnto de R. Detemina la coodenada de n pnto X ente A B ca ditancia a B ea doble qe ditancia a A. Solción: 65. Halla la ecacione de la ecta qe paa po el pnto A( -) tiene la diección del ecto =(4 - -). Solción: 66. Ecibi -de toda la foma poible- la ecacione de la ecta qe paan po lo pnto: a) A ( -5) B( ). b) C(7 4) D( -). c) M( -5) N(- 7). Solción: 67. Dada la ecta 4 el pnto P(- ) ecibe la ecación contina de na ecta qe pae po P ea paalela a. a) Ecibe en foma paamética contina la ecacione de na ecta qe pae po el pnto A( ) ea paalela a la qe paa po lo pnto B( - ) C( ). b) Dedce aonadamente i el pnto M( - ) petenece a la ecta bcada. c) Detemina oto pnto de la ecta anteio. Solción: 68. Halla la ditinta ecacione del plano definido po el pnto A(-) lo ectoe (-) (-). Solción: 69. Calcla la ditinta ecacione del plano qe contiene a lo pnto A( ) B( ) C( -). Solción: 7. Etdia i lo pnto A( 5) B( ) C( - 4) D( - ) on o no coplanaio. En cao afimatio halla la ecación del plano qe lo contiene. Solción: 7. Calcla el alo de a paa qe lo igiente cato pnto etén en n mimo plano de R : A(a ) B( ) C( ) D(7 ). Obtene la ecación del plano qe lo contiene. Solción: 7. Detemina la ecación implícita del plano : Solción: t 5 t t 7. Detemina la ecacione paamética del plano - + - 6 =. Bca también do ectoe paalelo a dicho plano do pnto qe petenecan a. Solción:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 9 74. Dada la ecta en foma implícita mediante la ecacione: : 4 epeala en foma paamética e indica n pnto de dicha ecta n ecto de diección. Solción: 75. Detemina la ecación geneal de n plano en lo cao igiente: a) Contiene a la ecta al pnto P( ). b) Contiene a la ecta -compobando peiamente qe la do etá en n mimo plano-: ; 4 c) Contiene al pnto A( ) a la ecta: - - + = - + + = Solción: 76. Calcla la ecacione de lo plano coodenado XOY XOZ YOZ de lo eje de coodenada. Solción: 77. En R e conidean lo ectoe = (4 - ) = (- ). Halla módlo el ánglo qe foman. Solción: 78. Calcla la ecación de na ecta qe paa po n pnto P( -) e pependicla al plano - - + =. Solción: 79. Halla la ecación del plano mediado del egmento AB iendo A( ) B( 9). Solción: 8. Dado n pnto P( ) calcla: a) El imético de P epecto de A( -). b) El imético de P epecto de + + - 6 =. c) El imético de P epecto de ( - -4 + ). Solción: t 8. Sean lo pnto A(4 ) B( -) Qé pnto del plano t etá alineado con A B. t Solción: 8. Dada la ecta ( + - + ) ' = =. Calcla: a) Ditancia mínima ente amba ecta. b) Ecación de la pependicla común. Solción: 8. Sean te ectoe de R paalelo a n mimo plano. Cánto ale podcto mito? Raona la epeta. Solción: 84. En el tiánglo ABC iendo A( ) B( ) C( ) halla peímeto. Solción:
I.E.S PADRE SUAREZ Co Geometía 85. En el tiánglo anteio detemina el áea. Solción: 86. En el tiánglo anteio detemina el otocento. Solción: 87. Calcla el olmen de n tetaedo co étice on: A( ) B(4 ) C(6 7) D(5 4 8). Solción: