Matemáticas Financieras Conceptos básicos para los instrumentos del Mercado de Valores

Matemáticas Financieras Conceptos básicos para los instrumentos del Mercado de Valores

[1] Conceptos generales...1 Valor del dinero en el tiempo...1 Periodo...1 Costo del dinero...1 [2] Tasa de interés...2 Concepto...2 Tasa de interés de nominal a efectiva...2 Tasa de interés de efectiva a nominal...3 [3] Interés simple...4 Concepto...4 Interés...4 Monto...5 Capital...6 Forma de calcular el tiempo y la tasa de interés...7 Plazo...7 Tasa nominal...8 Tasa de rendimiento del plazo...8 Tasa de rendimiento anualizada...9 Tasa de descuento...9 [4] Interés compuesto...11 Concepto...11 Monto...11 Capital...13 Periodo...14 [5] Tasa efectiva y equivalente...15 Tasa compuesta del periodo...15 Tasa anual compuesta...16 Tasa efectiva del plazo...16 Tasa anual equivalente...18 Tasa alambrada...20 Tasa efectiva acumulada...21 Tasa efectiva promedio...22 Tasa efectiva anualizada...23 Tasa efectiva remanente...23 Tasa efectiva real (o tasa premio)...24 Tasa de interés nominal...24 [6] Inflación...25 Inflación...25 Valor real...26 Valor nominal...26 Inflación acumulada conocido el INPC...27 Inflación acumulada conocida la inflación...28 [7] Evaluación de inversiones...29 Técnicas de evaluación de inversiones...29 Valor presente neto (VPN)...29

Valor presente neto equivalente (VPNE)...31 Indice del valor presente (IVP)...32 Tasa interna de rendimiento (TIR)...33 Comprobación:...35 Interpolación...35 Periodo de recuperación de la inversión...37 [8] Anualidades...38 Concepto...38 Anualidades anticipadas...38 Anualidades vencidas...41 [9] Tablas de Amortización...44 Objetivo...44 Procedimiento...44 Tabla de amortización...46 [10] Fuentes de Financiamiento a corto plazo...47 [10.1] Financiamiento Bancario...47 Concepto...47 Intereses al vencimiento...47 Intereses anticipados...48 Monto total requerido...49 [10.2] Financiamiento por Factoraje...50 Concepto...50 Tasa efectiva del factoraje...50 [10.3] Financiamiento por Proveedores (Crédito Comercial)...52 Concepto...52 Descuento...52 Tasa efectiva del descuento...52

[1] Conceptos generales Valor del dinero en el tiempo La relación existente entre el valor del dinero y el tiempo es uno de los conceptos fundamentales en las finanzas, ya que una misma cantidad de dinero tiene diferente valor, dependiendo del momento en que se reciba por la depreciación que genera la inflación: el dinero pierde poder de compra (un peso hoy vale más que un peso mañana). Para poder tomar decisiones se debe comparar cantidades de dinero expresadas en el mismo momento en el tiempo. Línea del tiempo P 0 P 1 P 2 P 3 P n P 0 = Periodo de tiempo 0 (es el día de hoy). P 1 = Periodo de tiempo 1 (es el final del periodo 1). P n = Periodo de tiempo n (es el final del periodo n). Periodo Es el plazo que existe entre dos momentos en el tiempo. Un periodo puede ser un año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana o un día. Si se dividiera el año en semestres, el tiempo que existe entre esas dos fechas sería de dos semestres, o de dos periodos de seis meses cada uno. Si se dividiera el año en meses, el tiempo que existe entre esas dos fechas sería de 12 meses, o de 12 periodos de un mes cada uno. Costo del dinero El costo del dinero está medido por la tasa de interés. Así, el valor del dinero en el tiempo está incorporado en la tasa de interés con la cual se ajusta en el tiempo. El rendimiento o interés que se obtiene al colocar dinero en un instrumento específico se puede expresar como porcentaje o en pesos: si se habla de porcentaje se hace referencia a una tasa de interés (i) si se habla de moneda se señala la cantidad de dinero (I). 1

[2] Tasa de interés Concepto Es el precio que se paga por el uso de fondos prestables. Porcentaje que cotiza en el mercado financiero para los diferentes instrumentos. Las tasas tienen las siguientes características: 1. nominales (contemplan la inflación y un premio) 2. anuales (360 días) 3. Son simples (no compuestas) 4. Porcentuales (se expresan en % y operan en decimales) Clasificación 1] Tasa activa o de colocación: Es la que reciben los intermediarios financieros de los demandantes por los préstamos otorgados. Esta última siempre es mayor, porque la diferencia con la tasa de captación es la que permite al intermediario financiero cubrir los costos administrativos, dejando además una utilidad. La tasa de interés activa es una variable clave en la economía ya que indica el costo de financiamiento de las empresas. 2] Tasa pasiva o de captación: Es la que pagan los intermediarios financieros a los oferentes de recursos por el dinero captado Tasa de interés de nominal a efectiva Es la tasa de interés, o de rendimiento, que realmente (efectivamente) vamos a pagar o a cobrar. i e i = p 360 i e = Tasa efectiva de interés a p días i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 360 = Número de días del año natural p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa) Si la tasa Cetes a 28 días es de 4.38%, cuál es la tasa efectiva? 4.38 360 28 [1] = 0.3407% 2

Tasa de interés de efectiva a nominal Es la tasa de interés, o de rendimiento, con la que se negocian los préstamos o las inversiones. i e i= 360 p i = Tasa de interés (nominal a 360 días) i e = Tasa efectiva de interés a p días 360 = Número de días del año natural p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa) [2] Si la tasa efectiva de Cetes a 28 días es de 0.3407%, cuál es la tasa nominal? 0.3407 28 360 = 4.38% 3

[3] Interés simple Concepto Interés Los Intereses son generados con base al Capital 1 [Valor Presente] y no sobre los intereses devengados. El capital permanece constante en el tiempo o Plazo [p] (los intereses no se capitalizan) y el valor del interés y su periodicidad de pago será siempre el mismo hasta el vencimiento. Al producto de la suma de los intereses y el capital se le conoce como Monto (Valor Futuro) Es la cantidad pagada o recibida por el uso de un dinero prestado. Es la compensación por diferir el consumo presente. i I = VP p 36000 I = Pesos ganados por concepto de intereses VP = Valor presente (capital) 2 i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa) [3] Invertimos $150,000 a una tasa del 4.91% anual por un periodo de 90 días, cuál es el importe de los intereses que vamos a cobrar por esos 90 días? 4.91 150,000 90 = $1,841.25 36000 1 El Capital es la suma de dinero, que depositamos o nos prestan, en el origen de tiempo. 2 También conocido como Capital Invertido o Monto Inicial. 4

Monto Al producto de la suma de los intereses y el capital se le conoce como Monto (Valor Futuro). Línea del Tiempo C M =? i M = C p + 1 36000 M = Monto (capital más intereses) 3 C = Capital (capital invertido) i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa) [4] Invertimos $150,000 a una tasa del 4.91% anual por un plazo de 90 días, cuál es el importe total que vamos a recibir? 4.91 150,000 90 + 1 = $151,841.25 36000 Invertimos, durante tres años, $1,000 a una tasa del 10% anual. Los intereses no se reinvierten. Con estos datos, determinar: a) cuánto cobraremos de intereses cada año? = $100.00 b) cuál será la cantidad total de intereses que recibiremos al final de nuestra inversión? = $300.00 c) cuál será nuestra riqueza total, capital más intereses, al final de los tres años? = $1,300.00 Interés Simple Periodo Capital Intereses Monto 1 1,000.00 100.00 1,100.00 2 1,000.00 100.00 1,100.00 3 1,000.00 100.00 1,100.00 Total 1,000.00 300.00 1,300.00 3 También conocido como Monto Final. 5

Capital 4 Valor al día de hoy, de un flujo de efectivo futuro, descontado con una tasa de interés dada. Línea del Tiempo C =? M C = I i 36000 p C = Capital (capital invertido) I = Pesos ganados por concepto de intereses i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo (número de días al que quiero llevar la tasa) [5] Qué capital se invirtió durante 90 días a la tasa del 4.91% anual para generar $1,841.25 de intereses? 1,841.25 4.91 36000 90 = $150,000 4 Se obtiene el Capital (Valor Presente), a partir de los intereses ganados, o del Monto (Valor Futuro). 6

C= C = Valor futuro (capital más intereses) M i p + 1 36000 [6] Si recibimos $151,841.25 después de un periodo de 90 días de inversión, qué capital se invirtió al inicio del periodo a una tasa del 4.91% anual? 151,841.25 4.91 36000 90 + 1 = 150,000 Forma de calcular el tiempo y la tasa de interés Plazo Es importante notar que las ecuaciones de Monto y Capital se componen de cuatro variables: 1) M = Monto (Valor Futuro) 2) C = Capital (Valor presente) 3) i = Tasa de interés 4) p = Plazo si se conocen los valores de tres de ellos, se puede encontrar el valor del cuarto. Número de días al que está la tasa. Es el lapso en que permanece depositado el capital. p = Plazo. I = Pesos ganados por concepto de intereses C = Capital invertido i = Tasa de interés (nominal a 360 días) 360 = Número de días del año natural. [7] I p = 360 i C 100 Durante cuánto tiempo se invirtieron $150,000 para generar $1,841.25 de interés a una tasa del 4.91% anual? 1,841.25 360 4.91 150,000 100 = 90 días 7

Tasa nominal Tasa de interés, nominal a 360 días, que representa Valor de la tasa real más el por ciento de la inflación. i = I C 36000 p i = Tasa de interés I = Pesos ganados por concepto de intereses C = Capital invertido 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual) p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa [8] Cuál es la tasa nominal que obtendremos si invertimos $150,000 durante 90 días para generar un interés de $1,841.25? 1,841.25 150,000 36000 90 = 4.91% Tasa de rendimiento del plazo La tasa de rendimiento del plazo es la tasa efectiva obtenida en p días a partir del Capital (Valor Presente) y del Monto (Valor Futuro). TR p = Tasa de rendimiento del plazo VF = Valor futuro VP = Valor presente VF [9] TR p = 1 100 VP A qué tasa invertimos $150,000 durante 90 días para generar un monto de $151,841.25? 151,841.25 150,000 1 100 = 1.2275% 8

Tasa de rendimiento anualizada Es la tasa de rendimiento del plazo (o efectiva) llevada al plazo anual de 360 días, a partir del Capital (Valor Presente), del Monto (Valor Futuro) y del número de días transcurridos en la inversión. TR = i = VF VP 1 36000 p TR = Tasa de rendimiento anualizada VF = Valor futuro (capital más intereses). VP = Valor presente (o capital invertido). 36000 = 360 (Días del año natural) por 100 (Base porcentual). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. [10] Cuál es la tasa de rendimiento anualizada que obtendremos si invertimos $150,000 durante 90 días para generar un monto de $151,841.25? o bien: 151,841.25 150,000 I i = = VP p 36000 36000 1 90 1,841.25 150,000 36000 90 = 4.91% = 4.91% Tasa de descuento Es el porcentaje de descuento sobre el valor nominal de un instrumento, típicamente los bonos cupón cero, lo que nos permite calcular su precio de adquisición 5 y por diferencia, la ganancia de capital 6. Bonos cupón cero 7 Instrumentos de corto plazo que cotizan abajo de su valor nominal y su rendimiento esta dado por el diferencial entre el precio de venta (valor nominal) y precio de compra con descuento (por debajo de su valor nominal). Ab s (Aceptaciones bancarias) Cetes (Certificados de la Tesorería de la Federación) Papel comercial Prlv's (Pagaré rendimiento liquidable al vencimiento) 5 TD p Precio de adquisición (bajo par): Pr = VN 1 36000 6 Ganancia de capital: GC = VN Pr 7 Estos instrumentos no tienen cupón, ya que no realizan pagos periódicos de interés. 9

TD = 1 + TR TR p 36000 TD = Tasa de descuento TR = Tasa de rendimiento anualizada 36000 = 360 (Días del año natural) por 100 (Base porcentual). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. [11] 8 Dada una tasa de rendimiento de 12% para una emisión de Cetes a 28 días (valor nominal, $10.00) estimar: 1. La tasa de descuento 2. El precio de adquisición del Cete 3. La ganancia de capital: Tasa de descuento: 12 TD = = 11.89% 1 + 12 28 36000 Precio del Cete: 11.89 28 Pr = 10 1 = $9.91 36000 Ganancia de capital: GC = 10-9.91 = $0.09 8 La Tasa de Rendimiento, a partir de la de Descuento, se plantea en los siguientes términos: TR = 1 TD TD p 36000 10

[4] Interés compuesto Concepto Es el que se calcula sobre el principal más los intereses acumulados en periodos anteriores. A diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización. Monto Es el valor del capital [C] tal que invertida ahora a una tasa dada de interés (i) alcanzaría un monto (M) después de una serie de periodos de capitalización (n). Línea del Tiempo VP P 1 P 2 VF =? P n n M = C i p + 1 36000 M = Monto (Valor futuro) compuesto C = Capital (Valor presente) i = Tasa de interés (nominal a 360 días). 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual). n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. q = Periodo. Número de días totales de la inversión. [12] 9 Invertimos $120,000 a la tasa del 7% anual capitalizable cada 60 días durante un periodo de 180 días. Con qué cantidad se contará al final de los 180 días? 120,000 7 60 + 1 36000 180 60 = $124,249.19 9 Comparar con ecuación número 4, Valor Futuro Simple. 11

Invertimos, durante tres años, $1,000 a una tasa del 10% anual. Los intereses se reinvierten. Con estos datos, determinar: a) la cantidad total de intereses que recibiremos al final de nuestra inversión = $331.00 b) el efecto de que los intereses se capitalizaran (intereses generan intereses) = $31.00 Interés Simple Periodo Capital Intereses Monto 1 1,000.00 100.00 1,100.00 2 1,000.00 100.00 1,100.00 3 1,000.00 100.00 1,100.00 Total 1,000.00 300.00 1,300.00 Interés Compuesto Periodo Capital Intereses Monto 1 1,000.00 100.00 1,100.00 2 1,100.00 110.00 1,210.00 3 1,210.00 121.00 1,331.00 Total 1,331.00 331.00 1,331.00 12

Capital Es valor del capital [C] que se tendría el día de hoy si se descontara un monto (cantidad futura) a una tasa de interés (i) durante una serie de periodos (n). Línea del Tiempo VP =? P 1 P 2 P n VF VP = i 36000 VF p + 1 C = Capital (Valor presente) M = Monto (Valor futuro) compuesto i = Tasa de interés (nominal a 360 días). 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual). n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. q = Periodo. Número de días totales de la inversión. n [13] 10 Qué capital invertimos durante 180 días a una tasa del 7% anual capitalizando intereses cada 60 días, para contar con $124,249.19 al final de los 180 días? 124,249.19 7 60 + 1 36000 = $120,000.00 180 60 10 Comparar con ecuación número 5, Valor Presente Simple. 13

Periodo Número de días totales de la inversión, conocido el capital y el monto final. logm logc q = p i log1+ p 36000 q = Periodo log = Logaritmo común (base 10) de un número positivo logm = Logaritmo del Monto (Valor Futuro) logvp = Logaritmo del Capital (Valor Presente) i = Tasa de interés (nominal a 360 días) p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa [14] 11 Durante cuánto tiempo invertimos $120,000 a una tasa del 7% anual, capitalizable cada 60 días para obtener $124,249.19? log 124,249.19 log 120,000 60 7 log1 + 60 36000 = 180 días 11 Comparar con ecuación número 7. 14

[5] Tasa efectiva y equivalente Antecedentes Recordar los conceptos de: Tasa de interés simple de Nominal a Efectiva (fórmula 1) i i e = p 360 Tasa de interés simple de Efectiva a Nominal (fórmula 2) i e i= 360 p Tasa compuesta del periodo Es la tasa de interés, o de rendimiento, que realmente (efectivamente) vamos a pagar. Conocida, también, como tasa efectiva equivalente. Nos sirve para comparar tasas con plazos distintos en un mismo plazo de referencia. Para homogeneizar los plazo en forma anual se puede utilizar (complementariamente)- la tasa anual equivalente o curva de rendimientos. o bien: i ec = i 36000 iec p + 1 n 1 100 [15] 12 M [16] 13 = 1 100 C i ec = Tasa efectiva compuesta en q días (es una tasa de rendimiento) i = Tasa de interés (nominal a 360 días). 36000 = 360 (días del año natural) por 100 (base porcentual). n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa. q = Periodo. Número de días totales de la inversión. i ec = Tasa de rendimiento del periodo (es una tasa efectiva). C = Capital invertido (Valor presente). M = Monto (Valor futuro) = Capital más intereses. 12 Comparar concepto y resultados con ecuación número 10. 13 Comparar concepto y resultados con ecuación número 10. 15

Qué tasa de rendimiento se obtiene si invertimos $120,000 a plazos de 60 días, capitalizables durante un periodo de 180 días y al final se contarán con $124,249.19? o bien: 36000 180 7 60 60 + 1 1 100 124,249.19 1 100 120,000 = 3.5410% = R: 3.5410% Tasa anual compuesta Es la tasa de interés que realmente (efectivamente) se va a pagar en el año. i ec i= 360 q i = Tasa de interés i ec = Tasa efectiva compuesta en q días (es una tasa de rendimiento) q = Periodo [17] 14 Cuál es la tasa de interés anual compuesto que se obtiene si la tasa efectiva de un periodo de 180 días es de 3.5410%? 3.5410 180 360 = 7.0820% Tasa efectiva del plazo Tasa de interés efectiva a la que se invirtieron los recursos en el plazo. i e = M C 1 n 1 100 i e = Tasa de interés efectiva C = Capital M = Monto n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa q = Periodo. Número de días totales de la inversión [18] 15 14 Comparar concepto y resultados con ecuación número 2. 15 Comparar concepto y resultados con ecuación número 9. 16

Invertimos $120,000 con una tasa del 7% anual a plazos de 60 días, capitalizables durante un periodo de 180 días. Si al final se contarán con $124,249.19 o bien: cuál es la tasa de interés efectiva? 1 124,249.19 3 1 100 = 1.1667% 120,000 7 360 60 = 1.1667% cuál es la tasa de interés nominal? i e i= 360 q 1.1667 60 360 [19] 16 = 7.0% 16 Comparar concepto y resultados con ecuación número 2. 17

Tasa anual A partir del rendimiento de un instrumento es posible equivalente 17 obtener el rendimiento implícito (Rendimiento en Curva o Rendimiento Equivalente) del mismo en un diferente plazo a vencimiento de acuerdo a la siguiente fórmula: Tae = i 36000 m + 1 Tae = Tasa anual equivalente o tasa curva i = Tasa de interés a m días o tasa conocida (nominal a 360 días). m = número de días al que está la tasa o plazo conocido t = número de días al que quiero llevar la tasa. t [20] 36000 1 t m La tasa curva a un plazo t de 180 días con respecto de una tasa conocida del 12% a un plazo m de 360 días, es: la tasa [11.66%]a la que es necesario invertir al plazo t de 180 días, para que capitalizándola se pueda llegar al mismo monto (capital más intereses) equivalente a la tasa conocida del 12% en el plazo m de 360 días. 180 36000 Tae = 12 360 + 1 360 1 = 11.66% 36000 180 Comprobamos: i ec = i 36000 q + 1 n 1 100 36000 360 11.66 180 180 + 1 1 100 = 12% 17 La Tasa Curva a un plazo t con respecto de una tasa conocida a un plazo m, es: la tasa a la que es necesario invertir al plazo t, para que capitalizándola se pueda llegar al mismo monto (capital más intereses) equivalente a la tasa conocida en el plazo m. 18

Tenemos las siguientes tasas en Certificados de la Tesorería: Cetes 182 días = 7.83% Cetes 364 días = 7.90% Con los datos anteriores: a. Cuál sería la tasa de 182 días llevada al plazo de 364 días? b. Cuál tasa nos dará el mejor rendimiento y, por lo tanto, nos conviene para invertir? Tasa del 7.83% a 182 días, equivalente a 364 días: 364 7.83 182 182 36000 ( + 1) 1 = 7.98% 36000 364 a. La tasa Cetes de 182 días llevada al plazo de 364 días es de 7.98% b. La mejor tasa para invertir es Cetes a 182 días, ya que es superior en equivalente a la tasa de 364 días: 7.98% es mayor que 7.83% i. Cuál sería la tasa de 364 días llevada al plazo de 182 días? ii. Se refrendaría la decisión anterior? 182 7.90 364 364 36000 ( + 1) 1 = 7.75% 36000 182 i. La tasa Cetes de 364 días llevada al plazo de 182 días es de 7.75% ii. Si se refrendaría la decisión anterior, porque Cetes a 364 días es inferior en equivalente a la tasa de 182 días: 7.75% es menor que 7.83% 19

Tasa alambrada 18 Se utiliza cuando necesitamos una tasa nominal para hacer un cálculo financiero y la estructura de tasas del mercado no corresponde a nuestras necesidades. Ta = Tpl Pl 1+ 36000 Tpc Pc 1+ 36000 Ta = Tasa alambrada (interpolada linealmente) Tpl = Tasa de largo plazo Pl = Plazo largo Tpc = Tasa de plazo corto Pc = Plazo corto Pb = Plazo buscado Pb Pc [21] Pl Pc Tpc Pc 36000 1+ 1 36000 Pb Encontrar la tasa alambrada a 60 días, dada la siguiente estructura de tasas (Cetes) en mercado secundario: 1 día = 4.17% 28 días = 4.30% 90 días = 5.20% 182 días = 5.70% 360 días = 6.50% 5.20 90 1+ 36000 4.30 28 1+ 36000 60 28 90 28 4.30 28 1 + 36000 1 36000 60 = 4.99% 18 Se obtiene por el método de interpolación lineal. 20

Tasa efectiva acumulada La tasa efectiva acumulada capitaliza el principal e intereses en tiempo y tasas diferentes. i e acumulada {[( 1+ ie1) ( 1+ ie2) ( 1+ ien) 1} 100 = ] [22] i e1 = Tasa de interés efectiva para el periodo 1. i e2 = Tasa de interés efectiva para el periodo 2. i en = Tasa de interés efectiva para el periodo n. Cuál será la tasa efectiva acumulada y el monto a obtener si invertimos y capitalizamos consecutivamente $500,000 bajo el siguiente esquema de tasas y plazos? Plazo TNominal TEfectiva 28 días 7.70% 0.5989% 31 días 7.66% 0.6596% 45 días 7.53% 0.9413% 91 días 7.41% 1.8731% Σ195 días Tasa efectiva acumulada: 0.5989 1 + 1.006596 1.009413 1.018731 1 100 ( ) ( ) ( ) 100 = 4.1302% Monto a obtener: 4.1302 500,000 + 1 = $520,650.83 100 i 19 Tasa efectiva = p 360 21

Tasa efectiva promedio o bien: ie promedio iepromedio = = 1 ( 1+ ie) n 1 100 M C 1 n 1 100 i e = Tasa de interés efectiva para el periodo. M = Monto (capital más intereses) C = Capital invertido n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa q = Periodo. Número de días totales de la inversión [23] 20 [24] 21 Cuál será el rendimiento promedio diario si invertimos $500,000 y obtenemos $520,650.83 durante 195 días? o bien: 1 ( 1.041302) 195 1 100 = 0.0208% 1 520,650.83 195 1 100 = 0.0208% 500,000 20 Ver ecuación número 18, Tasa Efectiva del Plazo. 21 Ver ecuación número 18, Tasa Efectiva del Plazo. 22

Tasa efectiva anualizada 360 n ( 1+ ie) 1 100 [25] ie anualizada = i e = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = q/p (Número de veces que el interés se convierte o compone la inversión). p = Plazo. Número de días al que quiero llevar la tasa q = Periodo. Número de días totales de la inversión Si una tasa acumulada de 4.1302%, permaneciera constante durante 360 días, cuál será la tasa anualizada? 360 ( 1.041302) 195 1 100 = 7.7579% Tasa efectiva remanente La tasa efectiva remanente es la tasa de interés efectiva, a la que se desea llegar en un tiempo meta. 1 + iem [26] ie remanente = 1 100 1 + i e i em = Tasa meta efectiva para el periodo. i e = Tasa de interés efectiva para el periodo. Nos interesa conservar la inversión por un periodo de 360 días y alcanzar un rendimiento del 8% (tasa meta a la que queremos llegar). Considerando que en 195 días obtuvimos una tasa efectiva acumulada de 4.1302% a qué tasa debemos invertir por el tiempo restante de 165 días para lograr la tasa meta? 1.08 1 100 1.041302 = 3.7163% 23

Tasa efectiva real (o tasa premio) Es la tasa de interés a la que se le han descontado los efectos de la inflación. Ésta puede ser positiva: cuando es superior a la misma, o negativa, si es inferior a la inflación. i 1+ 100 r = 1 100 π 1+ 100 i = Tasa de interés nominal para el periodo. r = Tasa de interés real para el periodo. π = Tasa de inflación para el periodo. [27] Considerando una tasa de interés nominal del 8%, cuál es el interés real si la inflación del periodo es del 5%? ( 1+ 0.08 ) r = 1= 2.86% = 2.86% 1+ 0.05 ( ) Tasa de interés nominal Es la que otorga un instrumento determinado sin tomar en cuenta la inflación. Puede ser fija, es decir que no se modifica durante la vigencia del contrato o variable, que cambia mes con mes y se calcula sobre la base de una tasa de referencia como los Certificados de la Tesorería de la Federación (CETES) o la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (TIIE). i = Tasa de interés nominal para el periodo. r = Tasa de interés real para el periodo. π = Tasa de inflación para el periodo. π r π r [28] i = + + 100 100 100 100 Considerando una tasa de interés real del 2.86% y la inflación del periodo en del 5%, cuál es la tasa nominal? 2.86 5 2.86 5 i = + + 100 100 100 100 100 = 8% 24

[6] Inflación Inflación 22 Fenómeno que consiste en un desequilibrio crónico entre la oferta y la demanda de una economía, que se manifiesta en un persistente aumento de nivel general de precios. Así, la inflación es el aumento, en términos porcentuales, de los precios experimentados por todos los productos en una economía de forma continua durante un periodo determinado. π = Tasa de inflación para el periodo. Pr t1 = Precio en el periodo 1 Pr t0 = Precio en el periodo 0 Pr t1 π = 1 100 Pr t0 [29] 23 Si en t 0 el precio de un artículo era igual a $100 y en el periodo t l, el precio es de $115, cuál sería la inflación? 115 π = 1 100 = 15% 100 22 Consultar información en el Banco de México: http://www.banxico.org.mx/portalesespecializados/inflacion/inflacion.html 23 Comparar con ecuación número 9, Tasa de Rendimiento del Plazo. 25

Valor real Cantidad expresada en términos nominales llevada a términos reales, quitando la inflación. π = Tasa de inflación para el periodo. n = Número de periodos. ValorNominal Vr = n π 1 + 100 [30] 24 Cuál es el valor real en t 0 de $500 que se reciben en t l si hubo una inflación de 5 %? $500 = $476 ( 1+ 0.05) Cuál es el valor real de $1,000 pagaderos en dos años, si la tasa de inflación anual es de 4.5%? $1,000 = $916 1+ 0.045 ( ) 2 Valor nominal π = Tasa de inflación para el periodo. n = Número de periodos. π Vn = Valor Real 1 + 100 n [31] 25 Cuánto costarán dentro de un año un bien si pago ahora $1,500 y espero que se dé una inflación del 6% en este año? $1500 ( 1+ 0.06) = $1,590 Cuál sería el valor nominal dentro de siete años de $3,000 si la tasa de inflación anual se estima en 5%? 7 $3,000 1+ 0.05) = $4,221 ( 24 Comparar con ecuación número 13, Valor Presente. 25 Comparar con ecuación número 12, Valor Futuro. 26

Inflación acumulada conocido el INPC2 26 INPC año referencia [32] 27 π = 1 100 INPC año base INPC = Indice Nacional del Precios al Consumidor En función de la tabla del Indice Nacional de Precios al Consumidor, calcular: a) la inflación del mes de mayo de 2004. b) la inflación acumulada de 2004. INPC mensual Mes Año Indice Diciembre 2002 102.904 Enero 2003 103.320 Marzo 2003 104.261 Abril 2003 104.439 Diciembre 2003 106.996 Enero 2004 107.661 Febrero 2004 108.305 Marzo 2004 108.672 Abril 2004 108.836 Mayo 2004 108.563 a. Inflación (mensual) mayo del 2004. π = (0.25%) 108.563 = 1 * 100 108.836 b. Inflación acumulada (dic03/may04) π = 1.46% 108.563 = 1 * 100 106.996 26 Publicado por el Banco de México en los primeros 10 días de cada mes. Para ver el Índice Nacional de Precios al Consumidor, visitar: http://www.banxico.org.mx/portalesespecializados/inflacion/indicadores.html 27 Comparar con ecuación número 9, Tasa de Rendimiento del Plazo. 27

Inflación acumulada conocida la inflación2 28 π1 π2 πn π = 1+ 1+ 1+ 1 100 100 100 100 π = Tasa de inflación acumulada. π 1 = Tasa de inflación para el periodo 1. π n = Tasa de inflación para el periodo n. [33] 29 En función de la tabla de los registros de inflación, calcular la acumulada del 2004. Inflación mensual Mes Año BdeM Enero 2004 0.62 Febrero 2004 0.60 Marzo 2004 0.34 Abril 2004 0.15 Mayo 2004 (0.25) Junio 2004 0.16 La inflación acumulada hasta mayo de 2004 es: 0.62 π = 1 + ( 1 + 0.006) ( 1.0034) ( 1.0015) ( 0.998) 1 100 100 = 1.46% 28 Para ver el índice de inflación, visitar: http://www.banxico.org.mx/einfofinanciera/frinfofinanciera.asp?liga=inflacion 29 Comparar con ecuación número 22, Tasa Efectiva Acumulada. 28

[7] Evaluación de inversiones Técnicas de evaluación de inversiones 1. Valor presente neto (VPN). 2. Valor presente neto equivalente (VPNE) 30. 3. Indice de valor presente (IVP). 4. Tasa interna de rendimiento (TIR). 5. Periodo de recuperación (PR). Criterio de decisión Cuando tenemos más de un proyecto con: Diferente monto de inversión inicial (I o ), decidimos con la técnica del VPN y con IVP. Diferente periodo de vida (n), decidimos con la técnica del VPN y con VPNE. Diferente inversión inicial (I o ) y periodo de vida (n), decidimos con la técnica del VPN y con TIR. Si existieran diferencias en el criterio de aceptación o rechazo entre el VPN y el TIR, el método correcto es el del valor presente neto. Valor presente neto (VPN) Es la suma del valor presente de una serie de flujos de efectivo positivos y negativos a cuyo resultado se le resta la inversión realizada en el periodo cero. VPN = n CF = 1 CF n n ( 1+ ie) CF n = Flujo de caja del periodo n. i e = Tasa de interés efectiva para el periodo. n = Número de periodos. I o = Inversión inicial. I o [34] 31 La tasa de interés de la fórmula de VPN representa el Costo de Capital 32, el cual es el promedio ponderado de las diferentes fuentes de financiamiento (pasivo y capital) que tiene una empresa para realizar su inversión. Criterio de decisión Si el valor presente neto del flujo de efectivo del proyecto es positivo, entonces es rentable, por lo que se debe aceptar. En caso contrario (negativo), se debe rechazar. 30 Conocido también como Valor Actual Neto Equivalente. 31 Comparar con ecuación número 13, Valor Presente. 32 Ver el apartado 9, correspondiente al Costo de Capital. 29