IV.- FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO

IV.- FLUJO INCOMPRESIBLE NO VISCOSO http://libos.edsauce.net/ IV.1.- CINEMÁTICA DE FLUIDOS La Cinemática de Fluidos tiene una coespondencia biunívoca con el Pime Pincipio de la Temodinámica aplicado a sistemas abietos. En un fluido en movimiento, cada patícula posee una velocidad V que depende de la posición (x,y,z) de dicha patícula y del tiempo t, es deci: V = f(x, y, z, t) y sus poyecciones sobe los tes ejes son función también de dichas vaiables, viniendo epesentadas u = u ( x, y, z, t ) po: v = v ( x, y, z, t ) w = w ( x, y, z, t ) Se llama movimiento pemanente o estacionaio a aquel en que sus caacteísticas, como la pesión, velocidad, etc, son independientes del tiempo, es deci, son sólo función de la posición (x,y,z) p = f 1 ( x,y,z) V = f ( x,y,z ) u = u ( x, y, z) v = v ( x, y, z) w = w( x, y, z) La tayectoia es el luga geomético de las posiciones ocupadas po una misma patícula, cuando vaía el tiempo t. Si en un instante dado se asigna a cada punto un vecto epesentando, la velocidad en dicho punto, se obtiene un conjunto de vectoes llamado campo de velocidades. La línea de coiente ψ es una línea tangente, en cada uno de sus puntos, a la velocidad en ese punto y en el instante consideado. La línea de coiente satisface la condición: dx u = dy v = dz w En geneal, las líneas de coiente vaian de un instante a oto; en un movimiento pemanente son fijas y coinciden con las tayectoias. Se dice que en un punto, línea, supeficie o volumen, existe un manantial, cuando en dicho punto, lí- IV.-41

nea, supeficie o volumen apaecen cietas cantidades de fluido que a pati del momento en que apaecen paticipan en la ciculación. Un sumideo en un punto, línea, supeficie o volumen es aquel en que desapaecen cietas cantidades de fluido que antes habían paticipado en la ciculación. Un flujo se epesenta gáficamente mediante las líneas de coiente, que son las envolventes de los vectoes velocidad de las patículas fluidas del flujo; cuando el flujo es pemanente, las patículas fluidas se mueven a lo lago de tayectoias coincidentes con las líneas de coiente ψ. Si el flujo no es pemanente, (égimen tansitoio), una configuación de líneas de coiente indica únicamente la epesentación instantánea del flujo, y en este caso no existe, en geneal, una coespondencia tan sencilla ente las tayectoias y las líneas de coiente ϕ. El conjunto de las líneas de coiente que pasan po el contono de un áea infinitesimal, en un instante deteminado, foman un tubo de fluido que se conoce como tubo de coiente o filete fluido, Fig IV.1, y es de gan utilidad en el estudio de los fenómenos fluidos. De la definición de línea de coiente es evidente que no existe paso de flujo a tavés de la supeficie lateal del tubo de coiente; un tubo de coiente se compota como un conducto de paedes impemeables y espeso nulo, de sección ecta infinitesimal. Fig IV.1.- Tubo de flujo Un númeo infinito de tubos de coiente adyacentes, da luga a un tubo de sección ecta finita, que se conoce fecuentemente como vena fluida. El método de estudio puede ealizase a pati del concepto de campo de velocidades V(x, y, z, t), haciendo dos tipos de consideaciones: a) Se pueden fija las coodenadas (x 1, y 1, z 1 ) de un punto en las funciones que dan el campo de velocidades, expesándose la velocidad de las patículas móviles al pasa po dicho punto en el tanscuso del tiempo; matemáticamente viene expesado po (x 1, y 1, z 1, t). Mediante esta técnica, conocido un punto fijo del espacio, las velocidades de las divesas patículas que pasan po ese punto, foman un continuo; este punto de vista se conoce como método de Eule. b) Se puede estudia una patícula genéica del flujo, siguiendo a dicha patícula, método de Lagange, lo cual significa que (x, y, z) no pemanecen constantes en la expesión V(x, y, z, t), sino que vaían de foma continua, dando en cada instante la posición de la patícula genéica. Po lo tanto, en este caso, las coodenadas espaciales seán función del tiempo; ambas consideaciones no dependen de si el campo es pemanente o no. Paa el flujo bidimensional en coodenadas ectangulaes: - El potencial de velocidades ϕ se define como: u = ϕ ; v = ϕ - La función coiente ψ se define como: u = ψ ; v = - ψ La deivada total de ϕ se puede pone en la foma: dϕ = ϕ dx + ϕ dy = u dx + v dy Las líneas equipotenciales son aquellas a lo lago de las cuales la función ϕ es constante, es deci: dϕ = u dx + v dy = 0 ; dy dx = - u v dx v = - dy u IV.-4

que popociona el gadiente de la línea de potencial. La deivada total de ψ es: dψ = ψ dx + ψ dy = - v dx + u dy Paa una línea de coiente, función de coiente constante ψ, esulta: dψ = - v dx + u dy = 0 ; dy dx = v u dy v = dx u que es la ecuación difeencial de las líneas de coiente paa el flujo bidimensional. Constucción gáfica de las lineas de coiente y de movimiento.- En la ed otogonal constituida po las líneas, ϕ = Cte, ψ = Cte, vamos a considea una línea de coiente ψ 1 y ota equipotencial ϕ 1 que pasan po el punto O de la Fig IV., y po ota, la línea de coiente, ψ 1 +dψ 1, y la equipotencial, ϕ 1 +dϕ 1. Si consideamos como oigen de coodenadas el punto O y po él tazamos las tangentes s y n, a ψ 1 y ϕ 1, espectivamente, puesto que la velocidad se poyecta en vedadea magnitud sobe el eje Os po cuanto éste es tangente a la línea de coiente, las elaciones obtenidas paa la velocidad u, que son: u = ϕ = ψ ϕ, se tansfoman en : u = s = ψ n y escogiendo paa dψ y dϕ valoes iguales, los valoes de ds y dn también seán iguales, con lo que la malla elemental seá un cuadado. Fig IV. Fig IV.3 Fig IV.4.- Tazado de las líneas de coiente Esto pemite la constucción gáfica de la ed de líneas de coiente y equipotenciales, a pati de una línea de coiente de la distibución del potencial a lo lago de esta línea de coiente y de las líneas equipotenciales extemas. Este método se conoce como método de Päsil, Fig IV.3. Si suponemos una línea de coiente, ψ = ψ 1, y sobe la misma dos puntos A 1 y A lo suficientemente IV.-43

póximos como paa que el aco (A 1 A ) se pueda confundi con la ecta, ( A 1 A ) = a. Si ϕ 1 es el potencial en el punto A 1 y, ϕ 1 +Δϕ, el potencial en el punto A, el potencial en el punto B, punto medio del segmento ( A 1 A ) es: ϕ 1 + Δϕ La nomal al segmento ( A 1 A ) en el punto M 1 es la tangente a la línea equipotencial que pasa po B. En el punto C sobe la nomal, tal que BC = a, el potencial seá ϕ 1+ Δϕ la ecuación:, po lo que de acuedo con u = ϕ s = ψ n la línea de coiente que pasa po C tiene una cota de valo ϕ 1 + Δϕ gáfica de la ed, Fig IV.4. ; de aquí se deduce la constucción Sobe la línea de coiente ψ 1 se toman los puntos A 1, A..., tales que coespondan a potenciales en pogesión aitmética de azón Δϕ. Po cada uno de los puntos A 1, A..., se tazan a un mismo lado de la línea de coiente, dos semiectas que foman 45 con la línea de coiente y que se cotan en los puntos C 1, C,..., siendo el luga geomético de los puntos C la línea de coiente de cota ϕ 1 + Δϕ. Si tazamos desde los puntos A 1, A..., las pependiculaes (A 1 A 1 '), (A A '),..., a la línea de coiente ψ 1 se podá gadua a la línea ϕ 1 + Δϕ en potenciales; a pati de esta nueva línea se constuiá ota, ϕ 1 +Δϕ, así como los puntos equipotenciales A 1, A..., cubiéndose de esta foma el dominio a estudia, con líneas de coiente y equipotenciales. El tazado de las líneas de coiente debe espeta la condición de otogonalidad a las equipotenciales que limitan el campo y la consevación del potencial sobe las equipotenciales. El método es válido si se inviete el papel de las equipotenciales y líneas de coiente. Funciones amónicas, son aquellas que tienen sus deivadas pimeas egulaes en un dominio y que satisfacen la ecuación de Laplace Δϕ = 0. La suma de dos funciones amónicas es ota función amónica lo que implica que se pueden supepone dos movimientos con potencial de velocidades, sumando sus potenciales. IV..- CAUDAL A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE ELEMENTAL En geneal, el caudal de una coiente paa una sección deteminada, es el volumen de fluido que la ataviesa en la unidad de tiempo, m3/seg. Si se considea un tubo de coiente de sección S 1 nomal en cada uno de sus puntos a la línea de coiente coespondiente, y un elemento infinitesimal de sección ds, el volumen de fluido que pasa po ds en el tiempo dt es (V ds dt) ya que (V dt) es la longitud de este tubo de coiente infinitesimal, Fig IV.1. Po la sección S 1 pasa un volumen de fluido: dw = V ds dt = dt S 1 V ds, y como se ha definido el S 1 caudal, como el volumen de fluido que pasa po la sección S 1 en la unidad de tiempo, esulta: = dw = dt V ds S1 Cuando S 1 no sea pependicula a la línea de coiente en cada punto, el caudal es: IV.-44

= V n ds = S1 V cos θ ds S 1 La velocidad media coespondiente a la sección S 1 es: ˆ V = V n ds S 1 = S 1 S 1 Un elemento de volumen no sigue las líneas de coiente, sino las de movimiento; sólo coincidián cuando el campo de velocidades sea estacionaio. IV.3.- ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Si se considea en un fluido en movimiento un paalelepípedo fijo e invaiable, Fig IV.5, de volumen, (dx dy dz), en el tiempo t contiene una masa M de fluido de la foma, ρ dx dy dz; en el tanscuso de un tiempo dt, el valo de la masa es M + M dt, po lo que el valo de ρ se modifica a ρ + ρ t t, pemaneciendo invaiable el volumen (dx dy dz); la vaiación de masa en el volumen citado en el tiempo dt, es: ρ t dt dx dy dz La masa entante po las seis caas del paalelepípedo Este incemento pocede de La masa que enta po las fuentes contenidas en el volumen infinitesimal Po la caa (dy dz) enta en el tiempo dt una masa de fluido ρ u dt dy dz Po la caa opuesta sale { ρ u + ( ρ u ) dx } dt dy dz En consecuencia, po el conjunto de las dos caas pependiculaes al eje Ox se poduce una vaiación Fig IV.5.- Paalelepípedo elemental de fluido de la masa de fluido: - ( ρ u) dt dx dy dz siendo la vaiación de las masas de fluido entantes y salientes po el conjunto de las seis caas: - ( ( ρ u ) + ( ρ v ) + ( ρ w ) z ) dt dx dy dz A su vez, la vaiación de masa po unidad de volumen debida a los manantiales y sumideos, en el tiempo dt, la epesentamos po el caudal q, de la foma: q = n q 1 i - i=1 m q j, siendo: j=1 n q 1 i, la suma de los caudales debidos a los sumideos i=1 m q j, la suma de los caudales debidos a los manantiales j=1 La vaiación de masa debida a los manantiales y sumideos es: ρ q dt dx dy dz, po lo que: ρ t ρ t + ( ( ρ u ) dt dx dy dz = - ( (ρ u ) + ( ρ v ) + ( ρ v ) + ( ρ w ) z + ( ρ w ) z ) = ρ q ) dt dx dy dz + ρ q dt dx dy dz ρ t + div ( ρ V ) = ρ q IV.-45

que es la expesión geneal de la ecuación de continuidad. Paa el caso en que no existan manantiales ni sumideos, q = 0 ρ t + ( ( ρ u ) + ( ρ v ) + ( ρ w ) z ) = 0 Paa fluidos incompesibles, ρ = Cte ; ρ t = 0 ; u + v + w z = 0 ; div V = 0 CASOS PARTICULARES a) Si el fluido se mueve paalelamente al eje Ox, las componentes de la velocidad son: u = u ; v = 0 ; w = 0 y la ecuación de continuidad: ( ρ u ) = 0 ; ρ u = Cte ; ρ g u = C' ; γ u = C' Como: γ u = Peso Volumen Espacio Tiempo = Peso Tiempo Espacio Volumen = G S G = γ S u b) Si el movimiento del fluido es iotacional: ot V = 0, y como V = - gad ϕ = - ϕ, po deiva de un potencial, se tiene que: div V = div (- ϕ ) = Δϕ div V + Δϕ = 0 ( Ec. de Poisson ) div V = 0 Si, (ecuación de Laplace), el movimiento es consevativo, pemanente e incompesible. Δϕ = 0 Paa un movimiento plano iotacional, las líneas de coiente tienen como ecuación, ψ (x, y)= Cte, y foman una ed otogonal con las líneas equipotenciales dadas po, ϕ (x, y)= Cte: Fig IV.6.- Roto Δϕ = 0 ; Δψ = 0 ; u = ϕ = ψ ; v = ϕ = - ψ El caudal q que pasa ente dos líneas de coiente ψ 1 y ψ es: q = Ψ - Ψ 1 La longitud de un aco de línea equipotencial es: dϕ = V ds La longitud de un aco de línea de coiente es: dψ = V ds El vecto tobellino b es igual a la velocidad angula instantánea: w = 1 ot V = 1 Como: V = w R i j k = w x w y w z x y z i j k = w x i + w y j + w z k = b ( w y z - w z y ) ( w z x - w x z) (w x y - w y x ) El vecto tobellino epesenta la velocidad angula instantánea: w = b = 1 ot V ot V = i j k z u v w = i ( w y z - w z y ) + j ( w z x - w x z) + k ( w x y - w y x ), esulta: IV.-46

IV.4.- TORBELLINOS CILÍNDRICOS Inteesa calcula la componente z del vecto b ; dicho vecto se pone en la foma: b = 1 i j k = 1 u v w po lo que la componente b z = 1 ( v - u ) {( w - v z ) i + ( u z - w ) j + ( v - u ) k } Fig IV.7.- Tobellino cilíndico u = - V sen θ = - V y De acuedo con la Fig IV.7: R v = V cos θ = V R x u = - V R - y v = V R + x V R V R b z = 1 ( V R + x R R R - V R R = - V R - y R R R - V R = V R + R x R V R - V x R 3 + V R + y R V R V R R + V R R - V R y R = R = x + y ; R = y R = x R = V R - V y R 3 ) = 1 ( R V + x + y R = - V R - y R R = x + y ; R = x R = = 1 ( V R = - V R - x R V R - V x + y R 3 ) = V R + V y R 3 V R - V x R 3 + V R - V R ) = 1 ( V R + V R que es la expesión que pemite calcula la velocidad angula instantánea en cualquie tipo de tobellino cilíndico. IV.5.- ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE UN ELEMENTO DE VOLUMEN Duante el movimiento, cada elemento de volumen de fluido expeimenta cambios de posición y de oientación, que analizaemos a continuación; paa ello vamos a considea un elemento de volumen cualquiea, en el instante t, que contiene a los puntos M (x, y, z) y M (x + h, y + k, z + l), muy póximos IV.-47

ente sí. Sea V ( u, v, w ) la velocidad en el punto M y V '(u', v', w') la velocidad en M, po lo que se puede pone: V '(u', v', w') u' = u ( x + h, y + k, z + l ) = u + h u + k u + l u z v' = v ( x + h, y + k, z + l ) = v + h v + k v + l v z w' = w ( x + h, y + k, z + l ) = w + h w + k w + l w z en donde se han despeciado infinitésimos de oden supeio. Si consideamos la pimea de estas ecuaciones, que se puede pone en la foma: u' = u + 1 { l ( u z - w ) - k ( v - u )} + h u + 1 { k ( v - u ) + l ( u z - w )} y haciendo lo popio con las otas dos y llamando: ξ = 1 ( w - v z ) ; g 1 = 1 ( w + v z ) ; η = 1 ( u z - w ) ; g = 1 ( u z + w ) ; ζ = 1 ( v - u ) g 3 = 1 ( v + u ) Fig IV.8 u' = u + (η l - ξ k) + h u + k g 3 + l g se obtiene: v' = v + (ζ h - ξ l ) + k v + h g 3 + l g 1 w' = w + (ξ k - η h ) + l w z + h g + k g 1 en las que el vecto de poyecciones, ξ, η, ζ, es el vecto tobellino del campo de velocidades, que sabemos vale: = b = 1 ot V La velocidad del punto M se puede considea como el esultado de la composición geomética de tes velocidades: a) Una velocidad en la que sus poyecciones u, v, w, se coesponden con una taslación en bloque de la patícula, a la velocidad V. 1 = η l - ζ k b) Una velocidad en la que sus poyecciones son: = ζ h - ξ l, y que se coesponde con una otación 3 = ξ k - η h en bloque, de velocidad angula (, siendo estas poyecciones las componentes del poducto vectoial: 1 ot V MM ' = MM ' c) Una velocidad en la que sus poyecciones son: d 1 = h u + k g 3 + l g d = h g 3 + k v + l g 1 d 3 = h g + k g 1 + l w z que se coesponden con una defomación D. En consecuencia, V ' se puede pone en la foma: V ' = V + MM ' + D v IV.-48

demostándose que u, v, w z son las velocidades de defomación lineal. Así, un elemento MM ' de anchua h paalelo a Ox, se tansfoma en un tiempo dt en oto elemento M 1 M 1 ' de anchua: h ( l + u dt ) En la misma foma, g 1, g, g 3, son velocidades de defomación angula. Así, dos elementos MM ' y MN ' inicialmente paalelos a los ejes Ox y Oy, fomando, po lo tanto, ente ellos un ángulo de 90, en el tiempo dt fomaán oto ángulo de ( 90º- ε ) tal que: ε = ( u + v ) dt Duante la tansfomación D se conseva el paalelismo ente las ectas, y un pequeño paalelepípedo ectángulo se tansfomaá en oto paalelepípedo de ángulos difeentes. Estos tes movimientos elementales se esquematizan en la Fig IV.9. Fig IV.9.- Movimientos elementales Si se intoduce una función de defomación φ, de la foma: φ( h, k, l ) = 1 ( h u + l v + k w z ) + k l g 1+ l h g + h k g 3 se puede compoba que las componentes, d 1, d y d 3 de la velocidad de defomación, son las deivadas paciales de φ, es deci: d 1 = φ h ; d = φ k ; d 3 = φ l D = gad φ La descomposición que se acaba de expone, debida a Helmholtz, es aquella paa la cual la velocidad de defomación deiva de un potencial, - φ. IV.-49

IV.6.- POTENCIAL DE VELOCIDADES PARA FUENTES Y SUMIDEROS EN FLUJO BI-DI- MENSIONAL En los campos fluidodinámicos pueden existi singulaidades de distintos géneos; la más sencilla es la que se pesenta cuando se intoduce oto fluido en el campo o se extae del mismo. Esta singulaidad toma el nombe de manantial en el pime caso o de sumideo en el segundo. En ealidad se tata de una abstacción matemática que podía compaase, toscamente, con una toma o una deivación de una conducción po la que discuiese el fluido. Las singulaidades modifican el campo de velocidades de la coiente fluida no petubada. Fig IV.10.- Potencial de velocidades paa una fuente en flujo bidimensional Si se suman algebaicamente tanto el potencial de la coiente no petubada como los potenciales de las singulaidades, se define el potencial en un punto cualquiea del campo fluidodinámico total. Se demuesta que la combinación de los potenciales de la coiente no petubada y de las divesas singulaidades posibles da luga a coientes con caacteísticas iguales a las que se tendían si se sumegiesen en el fluido cuepos de foma deteminada. En efecto, si suponemos una fuente colocada en el oigen de coodenadas, y un punto A cualquiea de coodenadas (x, y). Las líneas de coiente y en este tipo de flujo, Fig IV.10, son ectas adiales. La velocidad esultante en el punto A debida al manantial es V R, adial. u = V Las componentes (u, v) de la velocidad esultante son: R cos θ v = V R sen θ x = R cos θ Las coodenadas (x,y) del punto A son: y = R sen θ Se define el flujo po unidad de tiempo, (caudal), de la foma: = π R V R V R = en la que, la intensidad del manantial se define, paa dos y tes dimensiones, en la foma: m ( dim) = π ; m (3 dim)= π b siendo b la longitud del manantial, pependicula al plano del dibujo. A su vez, el potencial de velocidades ϕ paa la fuente se obtiene a pati de: π R u = π R cos θ = π x R = x x + y = ϕ IV.-50

v = π R sen θ = π ϕ = x dx π x + y y R = y x + y = ϕ = 4 π ln ( x + y ) = 4 π ln R = π ln R Paa las líneas de coiente se cumple: ϕ = ψ = π ϕ = - ψ = π x x + y y x + y y la función coiente toma la foma: ψ = π x x + y ψ = x dy π x + y = π ac tg y x = π θ IV.7.- COMBINACIÓN DE UN FLUJO RECTILÍNEO Y UN MANANTIAL El potencial de velocidades paa un flujo ectilíneo, como el indicado en la Fig IV.11, viene dado po, ϕ R = u x, y la función coiente po, ψ R = u y. El potencial de velocidades es: ϕ = u 0 x + 4 π ln ( x + y ) El potencial de la función coiente es: ψ = u 0 y + π ac tg y x Las componentes de la velocidad son: u = ϕ = u 0 + v = ϕ = x π ( x + y ) y π ( x + y ) Fig IV.11.- Flujo ectilíneo y fuente Fig IV.1.- Líneas equipotenciales y de movimiento Las líneas de coiente, ψ = Cte, son de la foma: u 0 y + π ac tg y x constante los valoes: 0, ± π 4, ±π,... = Cte, y se obtienen dando a la Se puede escoge como cuepo sólido el dado po, ψ = 0, semicuepo de Rankine, que es el indicado en la Fig IV.13, de la foma: ψ = 0 ; y x = tg (- π u 0 y ) También se podía habe tomado como cuepo sólido cualquiea de los, ψ = Cte, y se las líneas de IV.-51

coiente los estantes. Un cuepo semiinfinito sepaa a la coiente unifome de la fuente; la pate supeio y la pate infeio de dicho semicuepo, coinciden en un punto de emanso, V= 0, y en él se tiene: Fig IV.13.- Semicuepo de Rankine u = u 0 + x u = 0 ; x = - a π ( x + y ) = π = m ; y = 0 = u 0 - m a = 0 x = - a = - u m a = m = 0 u 0 π u 0 u = u 0 + m Las componentes de la velocidad se pueden pone en la foma: R cos θ v = m R sen θ Paa u = v = 0, se obtiene el punto de emanso A: θ = 0º ; R = - u m 0 La velocidad V en cualquie punto viene dada po: V = u + v = u 0 + m u 0 R cos θ + m R cos θ + m R sen θ = u 0 + m u 0 R = u 0 + a u 0 R cos θ + a u 0 R cos θ + m R = = u 0 (1 + a R cos θ + a R ) Un flujo ectilíneo y una fuente simulan muy bien la pate fontal de un cuepo cilíndico inmeso en una coiente fluida. IV.8.- OVALO DE RANKINE Cuando una fuente y un sumideo de igual intensidad se colocan equidistantes del oigen de coodenadas, inmesos en una coiente unifome (u 0 x) y todo el fluido de la fuente es absobido po el sumideo, apaece una línea de coiente divisoia, definida ente el fluido de la coiente unifome y el fluido tansfeido de la fuente al sumideo, línea que puede considease como la intesección con el plano (x,y) de la supeficie de un cilindo de foma ovoidal, conocido como ovalo de Rankine. La supeposición de estos flujos da luga a un flujo exteno alededo de un cilindo ovoidal; combinando muchas fuentes y sumideos se obtiene el flujo apoximado alededo de un cilindo de foma abitaia, simético especto al eje Ox. El ovalo de Rankine tiene po ecuaciones, paa las líneas equipotenciales y de coiente, de acuedo con la Fig IV.14, las siguientes: IV.-5

Fig IV.14.- Ovalo de Rankine ϕ = u 0 x - ψ = u 0 y - π ln 1 + π θ 1 + π ln = u 0 x + π θ = u 0 y - 4 π ln ( x + a) + y ( x - a ) + y π ( ac tg y x - a - ac tg y x + a ) = = u 0 sen θ - m (θ 1 - θ ) = u 0 y - m ac tg a y x + y - a Los semiejes del óvalo, L y h, dependen de la intensidad elativa de la fuente y de la coiente unifome, es deci, de la elación m ; la línea oval es, ψ = 0. u 0 a Cuando se aumenta la elación m, desde 0 a valoes elevados, la foma del óvalo aumenta de tamaño y espeso, desde una placa plana de longitud ( a), hasta un cilindo casi u 0 a cicula. En el límite, cuando cicula. IV.9.- DOBLETE m u 0 a L/h 1 u máx /u 0, coespondiente al flujo en tono a un cilindo Vamos a supone una fuente situada en el punto A, Fig IV.15, que consideamos como oigen de coodenadas, y un sumideo en B, de igual intensidad, lo cual supone el mismo valo de, sepaados una distancia ds infinitesimal. La fuente y el sumideo pueden esta tan ceca como se quiea, siempe que se mantenga constante el poducto de su intensidad po la distancia que los sepaa (m ds = 0). La función potencial ϕ D en cualquie punto P es la suma de las funciones potenciales de la fuente y del sumideo; en consecuencia se puede pone: ϕ D = π ln R - π ln ( R + dr ) = - ln R + dr π R ϕ D = - Desaollándola en seie de potencias se obtiene: = - π ( dr R - 1 ( dr R ) +...) = - dr ds cos θ = - π R π R π ln ( 1 + dr R ) en la que: F = ds π = Cte, y la intensidad de la fuente o del sumideo π = m La función potencial paa el doblete es: ϕ D = - F cos θ R = - F x R = - F x x + y IV.-53

Fig IV.15.- Doblete (visto desde muy ceca) Fig IV.16.- Líneas equipotenciales y de coiente, paa un doblete en dos dimensiones (visto desde muy lejos) La función de coiente ψ D paa el doblete es: u = ϕ D = ψ D = - F ( x + y ) - F x ( x + y ) = - F ( x + y ) ( x + y ) v = ϕ D = - ψ D = - F x y ( x + y ) ψ D = - F x y ( x + y ) dx = F y x + y que dice que, las líneas de coiente son cículos con cento situado sobe el eje pependicula al x, po el punto medio de la distancia ente el manantial y el sumideo. Las líneas equipotenciales son, como hemos visto, cículos. Un doblete visto desde muy lejos, Fig IV.16, supone que las líneas de coiente son cículos tangentes al eje x en el oigen, mientas que visto desde muy ceca se coesponde con la epesentación anteio. Las líneas equipotenciales se pueden pone en la foma: x + y + F ϕ D IV.-54 x = 0, cuyo cento, de coode-

a = - F nadas (a,b), viene definido po: ϕ D b = 0 Las líneas de coiente se pueden pone en la foma: x + y - (a,b), viene definido po: a = 0 b = F ϕ D IV.10.- COMBINACIÓN DE UN FLUJO RECTILÍNEO Y UN DOBLETE F ϕ D y = 0, cuyo cento, de coodenadas Supongamos un doblete en el oigen O al cual se supepone un flujo unifome ectilíneo, con velocidad - u 0 a lo lago del eje Ox, Fig IV.17. El potencial de velocidades paa el flujo ectilíneo es, como sabemos, de la foma (- u 0 x) El potencial de velocidades total paa el flujo combinado es: ϕ = - u 0 x - F x x + y F y La función de coiente total paa el flujo combinado es: ψ = - u 0 y + x + y Fig IV.17.- Combinación de flujo ectilíneo y doblete Fig IV.18.- Cuepo de Rankine; líneas de coiente y equipotenciales Las líneas de ψ = Cte, son las líneas de coiente; paa el caso paticula de, ψ = 0, Fig IV.18, se obtiene el llamado cuepo de Rankine, de ecuación: F y x + y = u 0 y Soluciones y = 0 x + y = F u 0 = a, cicunfeencia de adio: a = F u 0 IV.-55

En consecuencia, la combinación de un flujo ectilíneo y un doblete popociona el flujo en tono a un cilindo cicula de adio a; ésto seá sólo posible si, como hemos indicado anteiomente, el caudal suministado po la fuente es igual al ecogido po el sumideo. Como: F = a u 0, el potencial de velocidad total paa el flujo combinado y la función de coiente total paa el mismo, se pueden pone en la foma: ϕ = - u 0 x - x u 0 a x + y = - u 0 x ( 1 - a x + y ) ψ = - u 0 y + y u 0 a x + y = u 0 y (- 1 + a x + y ) Distibución de velocidades en tono a un cilindo cicula.- Supongamos un cilindo cicula sometido a una coiente fluida unifome, Fig IV.19; puede se el caso de una chimenea cilíndica sometida a la acción del viento, o el de un tubo inmeso en una coiente fluida, etc. Fig IV.19.- Distibución de velocidades en un cilindo cicula x = a cos θ Las coodenadas de un punto cualquiea vienen dadas po: y = a sen θ La velocidad en dicho punto es: V S = u S + v S A su vez, como: u S = ϕ, v S = ϕ, se obtiene: u S = - u 0 - u 0 a ( y - x ) ( x + y ) = - u 0 - u 0 a ( a sen θ - a cos θ ) ( a sen θ + a cos θ ) = - u 0 sen θ v S = a x u 0 y ( x + y ) = a u 0 a cos θ sen θ ) a 4 ( sen θ + cos θ ) = u 0 sen θ cos θ V S = 4 u 0 sen 4 θ + 4 u 0 sen θ cos θ = u 0 sen θ que es la distibución de velocidades en tono a un cilindo cicula, función del ángulo θ que define sobe la cicunfeencia de adio a, la posición del punto genéico A(x,y). IV.11.- VÓRTICE Si se analiza el caso en que se tome la función de coiente de un manantial como función potencial, se obtendá la fomulación coespondiente a un vótice bidimensional, Fig IV.0, que satisface la ecuación de Laplace Δϕ = 0 y cuyas líneas equipotenciales son ectas adiales, mientas que sus líneas de co- IV.-56

iente son cículos concénticos, de cento el oigen de coodenadas. Las componentes de la velocidad total V son u y v, y paa su cálculo se define el concepto de ciculación, como la intensidad del vótice, que es constante, de la foma: = V dl = u dx + v dy = V R dθ = π R V V = π R Si ϕ es el potencial de velocidades y ψ la función de coiente, se puede pone: Fig IV.0.- Vótice líneas de coiente y equipotenciales v = V cos θ = - π R cos θ = π u = - V sen θ = - x x + y = ϕ = - ψ π R sen θ = - π y x + y = ϕ = ψ ϕ = La integación de estas ecuaciones conduce a: π ac tg y x = π θ ψ = - 4 π ln R = - 4 π ln ( x + y ) = - π ln R que son, espectivamente, las ecuaciones de las líneas equipotenciales (ectas adiales) y las de coiente; de ellas se deduce: x + y = e - 4 π ψ que son cicunfeencias concénticas. IV.1.- COMBINACIÓN DE UNA FUENTE Y UN VÓRTICE En algunos estudios de maquinaia paa fluidos, tales como el flujo a tavés de hélices o otoes de bombas centífugas, se considea la combinación de una fuente y un vótice; si se supone a la fuente situada en el oigen de coodenadas y se la añade un vótice, en un punto A(x,y) cualquiea del plano, las componentes de la velocidad esultante de la combinación V V son: F debida al manantial. V V debida al vótice Fig IV.1.- Combinación de una fuente y un vótice IV.-57

Si se supone que el caudal epesenta la fueza de la fuente, y la ciculación epesenta la fueza del vótice, se puede pone, Fig IV.1: V F = π R ; V V = π R El ángulo α fomado po V F y V V viene dado po: tg α = V F V V α = ac tg V F V V = ac tg, po lo que paa un valo constante de y de, el ángulo α seá constante paa cualquie valo de R, que es la distancia ente el oigen de coodenadas y el punto A(x,y). La función de coiente ψ paa la combinación de un vótice y una fuente es: ψ = π ac tg y x - 4 π ln ( x + y ) = ln R = θ - k θ - k R = e Paa: y = k = 0 R = e π θ - π ln R θ, que es la ecuación de una espial logaítmica, Fig IV.1. El valo de la ciculación en tono al cento de un vótice libe o iotacional, es constante, e independiente del contono que se elija, cicula o no. En geneal, la ciculación es igual a la suma algebaica de las intensidades de todos los tobellinos que haya en la egión inteio a la cuva ceada. A continuación veemos que una egión de ciculación finita en una coiente está sometida a una fueza de sustentación popocional a u 0 y. IV.13.- FLUJO EN TORNO A UN CILINDRO CON VÓRTICE LIBRE La palaba elevación, o impulso ascendente, significa una fueza en ángulo ecto con la línea de flujo no petubado. El flujo en tono a un cilindo, combinación de flujo ectilíneo y doblete, es simético especto a la línea de coiente no petubada, eje Ox, y po lo tanto no hay impulso ascendente sobe el cilindo con este tipo de flujo. Solamente se podá desaolla un impulso ascendente dinámico si, el conjunto de las líneas de coiente no es simético con especto a la línea de coiente no petubada; el flujo no simético se puede consegui sumando un vótice libe al doblete y al flujo ectilíneo. Fig IV..- Flujo en tono a un cilindo con vótice libe Sea V V la velocidad en la supeficie del cilindo debida exclusivamente a un vótice libe en sentido contaio a las agujas del eloj; la ciculación en tono al cilindo es, como sabemos: IV.-58

= π a V V siendo a el adio del cilindo. La velocidad esultante es: V = V C + V V = u 0 sen θ + π a Aplicando la ecuación de Benoulli ente un punto de la coiente no petubada, y un punto del cilindo, se tiene: p 0 + 1 ρ u 0 = p + ρ V siendo el valo de la pesión: p = p 0 + 1 ρ u 0 - ρ ( u 0 sen θ + π a ) Paa calcula la fueza neta de impulso ascendente, en ángulo ecto con el movimiento no petubado, se hace la integación de las fuezas de pesión sobe el cilindo en la diección Oy, Fig IV.3. Su componente vetical es: df pvetical = p a dθ sen θ El impulso ascendente, de signo contaio, es: df ascendente = - p a dθ sen θ Fig IV.3.- Fueza ascensional po lo que el impulso ascendente total sobe el cilindo F asc es: F asc = - π π p a sen θ dθ = - 0 0 { p 0 + 1 ρ u 0 - ρ ( u 0 sen θ + π a ) } a sen θ dθ = = - a ( p 0 + ρ u 0 ) π sen θ dθ + a ρ π 0 ( 4 u 0 sen 3 θ + u 0 sen θ 0 a π + sen θ 4 π a ) dθ π y como: sen θ dθ = 0 ; 0 π sen 3 θ dθ = 0, esulta: 0 F asc = a ρ [ 4 u 0 {- cos θ ( sen θ + )} + u 0 ( θ a π - sen θ ) - cos θ 4 4 π a ] 0 π = ρ u 0 que es la fueza de impulso ascendente po unidad de longitud del cilindo; a esta ecuación se la conoce como de Kutta-Joukowski. IV.14.- EJEMPLOS RELATIVOS A LA RESOLUCIÓN ANALÍTICA DE LA ECUACIÓN DE LA- PLACE EN EL PLANO Sea una función de la vaiable compleja (x + i y) de la foma: f(z) = ϕ (x, y) + i ψ (x, y) A todo numeo complejo (x +i y) coesponde en el plano (x,y) un punto bien definido. Se dice que la función f(z) es analítica, cuando la elación: conque Δz 0. Esto implica que: ϕ = ψ ; ϕ = - ψ lím Δz 0 Δf ( z) Δz pudiéndose compoba que las funciones ϕ y ψ satisfacen la ecuación de Laplace. IV.-59, es independiente de la foma

En consecuencia, la pate eal y la pate imaginaia de una función analítica cualquiea de la vaiable compleja (x + i y) son dos funciones amónicas, de foma que paa un flujo en el plano (x,y), la pate eal se puede considea como el potencial ϕ de velocidades y la pate imaginaia como la función ψ de coiente. Las componentes u y v de la velocidad, vienen dadas, como sabemos, po las elaciones: u = ϕ = ψ ; v = ϕ = - ψ esultando: df dz = f = ϕ + i ψ = 1 i f = 1 i ( ϕ + i ψ ) = u - i v a) Movimiento unifome de velocidad u 0.- Consideemos la función lineal f ( z) = u 0 z = u 0 x + i u 0 y Teniendo en cuenta lo anteio, se deduce que (ϕ = u 0 x), (ψ = u 0 y), las cuales epesentan una coiente unifome en la diección del eje x; la velocidad se puede calcula a pati de ϕ o de ψ, hallando la deivada de f(z) especto de z, en la foma: df dz = ϕ + i ψ = - i ϕ + ψ = u - i v la pate eal de la deivada es igual a la componente en la que la pate imaginaia es igual a -v u de la velocidad Paa consegui un esultado páctico, la deivada df tiene que existi, y se única; en este caso se dz tiene que: df dz = u 0 = u, que es eal y, po lo tanto, como ea de espea, v = 0. Las líneas equipotenciales, ϕ = Cte, son paalelas al eje Oy, y las líneas de coiente, ψ = Cte, paalelas al Ox, Fig IV.4. b) Flujo adial paa una fuente (o un sumideo).- Algunas veces conviene utiliza la vaiable compleja en polaes, en la foma: = x + y z = x + i y = e i θ = cos θ + i sen θ, siendo: θ = ac tg y x Fig IV.4.- Movimiento unifome de velocidad u 0 Fig IV.5.- Flujo adial paa una fuente IV.-60

Si se considea: f ( z) = ϕ + i ψ = m ln z = m ln e i θ = m (ln + i θ ) q con la intensidad de la fuente m = π un númeo eal, se tiene: ϕ = m ln = m ln x + y ψ = m θ = m ac tg y x La velocidad viene dada po: V R = ( ϕ ) θ = Cte= m d 1 d = m, coespondiéndose con un manantial o con un sumideo, según que el signo de m sea positivo o negativo, Fig IV.5. c) Flujo en las poximidades de un punto fijo.- Este movimiento viene definido po la función compleja: f ( z) = a z = a ( x + i y ) = a ( x - y + i x y ) ϕ = a ( x - y ) ψ = a x y siendo las líneas de coiente hipébolas equiláteas de ecuación (a x y = Cte) y las equipotenciales también hipébolas equiláteas otogonales a las líneas de coiente. Fig IV.6.- Flujo en las poximidades de un punto fijo; líneas de coiente y equipotenciales u = ϕ = a x Las componentes de la velocidad en un punto vienen dadas po: v = ϕ = - a y siendo, po lo tanto, un movimiento plano alededo de un punto de estancamiento A. d) Flujo ente dos paedes que foman un ángulo α.- Si una de las paedes se hace coincidi con el eje Ox, la función analítica f(z) se puede pone en la foma: f ( z) = n a zn = a n ( x + i y )n, siendo: n = π α En polaes se tiene que: z = x + i y = ( cos θ + i sen θ ) z n = n ( cos θ n + i sen θ n ) Líneas equipotenciales: ϕ = a n n cos θ n = Cte Líneas de coiente: ψ = a n n sen θ n = Cte En las Fig IV.7-8-9-30-31 se epesentan algunos casos paa divesos valoes de a. IV.-61

Fig IV.7.- a = π/4; f(z)= Az 4 Fig IV.8.- a = π/; f(z) = A z Fig IV.9.- a = π ; f(z) = A z Fig IV.30.- a = 3π/; f(z) = A z /3 Fig IV.31.- a = π ; f(z) = A z 1/ IV.15.- LINEALIDAD DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE La linealidad de la ecuación Δϕ = 0 pemite hace combinaciones lineales de soluciones conocidas de la misma. En efecto, sean f 1 y f dos funciones, soluciones de la ecuación de Laplace; la función: f 1 + f o cualquie ota combinación lineal de la foma ( λ f 1+ µ f ) seá también solución de esta ecuación; en tal supeposición, los valoes de las líneas de coiente, o de las equipotenciales, se ajustan algebaicamente, mientas que las velocidades se componen geométicamente. Po lo tanto, a pati de dos edes de flujo simples, se pueden obtene nuevas edes en las que: Las nuevas líneas equipotenciales vienen dadas po: λ ϕ 1 + µ ϕ Las nuevas líneas de coiente po: λ ψ 1 + µ ψ A título de ejemplo, vamos a tata el flujo alededo de un cilindo cicula con ciculación. IV.-6

El flujo epesentado po la función que se popone: f ( z) = u 0 ( z + a z ) - i π ln z, tiene una impotancia aeodinámica consideable; está constituido po la combinación de dos flujos a conocidos: a) El flujo alededo de un cículo (cilindo) con velocidad unifome u 0 en el infinito b) El flujo alededo de un vótice (tobellino) puntual po lo que epesenta un flujo con ciculación alededo de un cículo de adio a. La función potencial es: ϕ = π θ + u 0 ( + a ) cos θ La función de coiente es: ψ = - π ln a + u 0 ( - a ) sen θ La línea de coiente coespondiente a, ψ = 0, se compone de un cículo de adio ( = a) y de una cuva de ecuación: sen θ = π ln a 1 u 0 ( - a ) = π u 0 ln a 1 - a = lím a ln a 1 - a 1 = 4 π u 0 que junto con ( = a) dan luga a una seie de casos paticulaes, según que meno que la unidad, Fig IV.3,33 y 34. 4 π u 0 sea mayo, igual o Fig IV.3.- Solución con dos puntos eales de estancamiento A y A' Fig IV.33.- Solución con dos puntos de estancamiento, que se confunden en uno solo B IV.-63

Fig IV.34.- Solución en la que no existen puntos de estancamiento. Existen dos puntos conjugados de velocidad nula - Si < 1, las soluciones son dos puntos eales de estancamiento A y A 4 π u 0 - Si = 1, los dos puntos de estancamiento se confunden en B 4 π u 0 - Si > 1, no hay puntos de estancamiento 4 π u 0 Sin embago, paa el caso > 1 se encuentan dos puntos de velocidad nula, los puntos C y C 4 π u 0 conjugados con elación al cículo, Fig IV.34. Sobe el cículo la velocidad es tangente; el esultado se podía pevee de antemano.: V = ( 1 ϕ θ ) =a = π a - u 0 sen θ IV.16.- REPRESENTACIÓN CONFORME ζ = ξ + i η La elación compleja, ζ = F(z), en la que:, expesa una coespondencia tal que, a cada z = x + i y pa de valoes (x, y) coesponde oto pa de valoes (ξ, η), Fig IV.35. En consecuencia, a todo punto M del plano (x, y) coespondeá un punto P de coodenadas (ξ, η) del plano conjugado; asimismo, a una línea descita po M coespondeá una línea descita po P. A la intesección de dos cuvas coesponde la intesección de dos cuvas tansfomadas. Fig IV.35.- Repesentación confome IV.-64

Se dice que la tansfomación es confome cuando conseva los ángulos, es deci, si dos cuvas del plano z se cotan en M bajo un cieto ángulo α, en el plano ζ se coespondeá con dos cuvas que se cotan en P, homólogo de M, bajo el mismo ángulo, (salvo paa cietos puntos singulaes). Admitiemos, sin demostación, los siguientes teoemas: - Si ζ = f(z), es una función analítica de la vaiable z, la tansfomación que pemite pasa de z a ζ es confome - Si se efectúa una tansfomación confome de un flujo plano definido po su ed de líneas equipotenciales y de coiente, se tiene que: * Las tansfomadas de las líneas equipotenciales y de coiente fomaán una nueva ed de líneas equipotenciales y de coiente en donde cada tansfomada conseva la magnitud de la línea pimitiva * La ciculación de las velocidades a lo lago de una línea cualquiea del plano pimitivo es igual a la ciculación a lo lago de la tansfomada. Pácticamente la esolución de un poblema de flujo se educe a busca una tansfomación confome que pemita una coespondencia ente el flujo desconocido y oto más simple, o a oto ya conocido. IV.17.- TRANSFORMACIÓN DE JOUKOWSKI Esta tansfomación es de la foma: ζ = ξ + i η = 1 ( z + b z ) Si se aplica a las líneas de coiente que deivan del potencial complejo: f ( z) = u 0 ( z + a z ) - i π ln z a se puede enconta la foma de las líneas de coiente alededo de obstáculos cuyo pefil sea el de ala de avión, y conoce así el epato de velocidades alededo de los mismos. Los esultados teóicos así obtenidos concuedan pefectamente con la expeiencia. ξ = 1 Se demuesta que esta tansfomación equivale a las elaciones siguientes: ( + b ) cos θ η = 1 ( - b ) sen θ En la Fig IV.36 se tiene que: Fig IV.36.- Tansfomación de Joukowski IV.-65

Los puntos A y B se tansfoman en los puntos A y B Al cículo C l de diámeto (AB) le coesponde el segmento (A B ) A los cículos de ecuación, x + y = R, de cento O, coesponden las elipses homofocales de focos A y B Al cículo C de cento I, que pasa po los puntos A y B, coesponde el aco de cículo (A'I B ) Al cículo tangente en B al cículo C, coesponde el pefil tangente en B al aco (A'I'B') Si se taza el flujo, con o sin ciculación, alededo del cículo, la tansfomación de Joukowski pemitiá obtene el flujo alededo del pefil de ala de avión, con lo que se entaía en el estudio de pefiles, mas popio de la aeodinámica teóica. Si mediante un pocedimiento de tansfomación confome pasamos de pefiles ciculaes a pefiles alaes, las pesiones teóicas sobe cada punto del pefil se coespondeán con las de los coespondientes puntos del cículo y, po lo tanto, al integase las mismas se puede llega a la sustentación de un ala que se extiende indefinidamente (ala infinita). IV.18.- PARADOJA DE D ALEMBERT Cuando un cuepo sólido se mueve en el inteio de un fluido eal, se oiginan unas fuezas debidas a la viscosidad. Po el Pincipio de acción y eacción, el cuepo ejece sobe el fluido una fueza igual y de sentido contaio a la que el fluido ejece sobe el solido, es deci, el fenómeno de la esistencia que un solido expeimenta al movese en el seno de un fluido, es análogo al de la esistencia que un fluido expeimentaía al movese en el inteio de un solido, como una tubeía, po ejemplo. Fig IV.37.- Cilindo y placa en el seno de un fluido pefecto en movimiento Sea un cilindo, una esfea, etc, Fig IV.37, colocados en el seno de un flujo bidimensional, caente de viscosidad; si el fluido se mueve en égimen lamina, su velocidad en los puntos A y A seá nula, (puntos de estancamiento), siendo, po lo tanto, su pesión máxima; en los puntos B y B' la velocidad alcanza su valo máximo, y la pesión su valo mínimo; en consecuencia, la distibución de pesiones en tono al cilindo, esfea, etc., es simética, llegándose a la conclusión de que estos sólidos intoducidos en un fluido ideal, moviéndose en égimen lamina, no están sometidos a ninguna fueza, pemaneciendo quietos, esultado que está en contadicción con la ealidad, po cuanto la expeiencia dice que este hecho de la distibución simética de pesiones no se cumple, hecho afotunado atibuible a la viscosidad del fluido, po cuanto los sólidos intoducidos en el seno de un fluido en movimiento pesentan una esistencia al avance, tanto mayo, cuanto mayo sea la difeencia de pesiones existente ente los puntos A y A'. Si el cilindo, esfea, etc., se mueve con velocidad constante u 0 en el seno del fluido ideal en eposo, seá equivalente a considea el cilindo cicula fijo, y el fluido ideal moviéndose en sentido contaio con IV.-66

velocidad - u 0. Al considea el fluido ideal se cumple que: - La enegía seá constante en todos los puntos de una misma linea de coiente. - Es iotacional, lo cual implica el que la enegía es constante en todos los puntos, aunque no estén en la misma línea de coiente. Fig IV.38.- Ciculación de un fluido pefecto en tono a un cilindo La velocidad del fluido en un punto de la supeficie del cilindo es: V s = u 0 sen θ, tal como se muesta en la Fig IV.38. Si la gavedad no inteviene, bien poque el plano del dibujo sea hoizontal, o poque el fluido sea un gas, aplicando Benoulli ente la sección O, coiente sin petuba, y un punto cualquiea S del cilindo, se tiene: p 0 + u 0 γ g = p s γ + V s g Despejando p s y teniendo en cuenta que (γ = ρ g), esulta: p s = p 0 + ρ ( u 0 - V s ) = p 0 + ρ ( u 0-4 u 0 sen θ ) = p 0 + ρ u 0 ( 1-4 sen θ ) que se puede pone también en la foma: p s - p 0 ρ u 0 = Δp ρ u 0 = 1-4 sen θ Las fuezas debidas a la pesión son nomales en cada punto del cilindo; dando valoes a θ se obtienen los coespondiente valoes de Δp que se manifiestan en la Fig IV.39, en la que el diagama pola de pesiones nos pemite visualiza la paadoja de D'Alembet, y en donde po la simetía de las pesiones, la esultante según el eje hoizontal, fueza de aaste, es nula, es deci, un cilindo se mueve en el seno de un fluido ideal sin expeimenta esistencia alguna. En el fenómeno, la pesión puede se mayo, igual o meno que ceo, obteniéndose los siguientes esultados: Paa: Δp = 0 ; 1-4 sen θ = 0 ; θ = ±30º Δp > 0 ; 1-4 sen θ > 0 ; θ < ±30º Δp < 0 ; 1-4 sen θ < 0 ; θ > ±30º Esto es lo mismo que si el potencial de una singulaidad fomada po un pa de manantiales de signo contaio y muy cecanos se combina con el potencial ϕ = u 0 de la coiente unidimensional; se tiene un flujo igual al que se tendía si en la coiente se sumegiese una esfea. En este flujo el movimiento elativo de la esfea estaía pivado de esistencia (paadoja de D'Alembet). En cambio, si el potencial del pa indicado anteiomente se combina con el de un movimiento hoi- IV.-67

Fig IV.39.- Diagama de pesiones en la ciculación de un fluido pefecto en tono a un cilindo Fig IV.40 zontal plano (bidimensional), se obtiene un flujo igual al que se tendía si se sumegiese en la coiente un cilindo cicula de eje nomal al plano y de altua infinitesimal como el espeso de la coiente. Incluso en este flujo el movimiento elativo del cilindo esultaía pivado de esistencia poque la distibución de las pesiones en la pate anteio seía igual a la distibución de las mismas en la pate posteio. Además no se manifestaían fueza ni tan siquiea en sentido tansvesal al movimiento, poque la distibución de las pesiones es simética incluso en aquella diección. Si además se añade a esta configuación el potencial de un tobellino se tiene un flujo igual al que se tendía si el cilindo descito anteiomente empezase a gia sobe su popio eje, Fig IV.40, en la que se obseva el compotamiento de los filetes de fluido en un cilindo que gia en sentido contaio a las agujas del eloj alededo de su eje. En estas condiciones la esistencia todavía es nula, peo en sentido tansvesal la distibución de las pesiones no es ya simética sobe ambos lados; apaece entonces una esultante nomal, pependicula al movimiento, que se denomina sustentación, que tiene un valo que viene dado po: Vectoialmente: F asc = ρ ( u 0 ) Fig IV.41.- Distibución de pesiones alededo de un cilindo en otación del tobellino del mismo modo que el cilindo. Escalamente: F asc = ρ u 0 siendo la ciculación (teoema de Kutta-Zhoukovski). El cilindo epesenta el núcleo del tobellino. Puesto que, en cicunstancias eales, el fluido no es pefecto, detás del cilindo se da una distibución de pesiones supeficiales distinta de la que se da en la pate anteio, poque la vena fluida se sepaa de la supeficie nace de esta foma una esistencia. Conviene entonces achata la sección cicula hasta educila a un pefil no simético, de manea que en la pate posteio los hilos de fluido se sepaen del pefil lo más tade posible. La asimetía de la distibución de pesiones sobe dicho pefil ecueda la del cilindo que gia alededo de su eje; po eso, el pefil continúa siendo la epesentación física En la Fig IV.41 se pesenta la distibución de pesiones alededo de un cilindo en movimiento de otación, inmeso en un fluido en movimiento elativo especto al baicento del cilindo. IV.-68

IV.19.- FLUJO PARA UN FLUIDO REAL EN TORNO A UN CILINDRO CIRCULAR El flujo alededo de un cilindo cicula es un excelente ejemplo de los efectos causados po el despendimiento de la capa límite sobe la fueza de aaste. Si se considea al cilindo inmeso en la coiente, desde un punto de vista macoscópico la configuación de la misma en tono al cilindo seía la indicada en la Fig IV.40, peo si nos detenemos en un punto cualquiea de la supeficie del cilindo, y se pasa a la obsevación micoscópica, se encuenta que la distibución de velocidades, como se sabe, tiene ota foma, según la cual, la capa de fluido contigua al cilindo se adhiee al mismo, po su viscosidad, po lo que su velocidad en el punto de contacto con el cilindo se educe a ceo, Fig IV.4. Esta velocidad aumenta apidísimamente hasta que, pasada una cieta película de fluido de espeso δ, la velocidad que adquiee el fluido es V 0 coespondiente a las líneas de coiente. En la ecuación de Newton τ = η du se tiene que, aunque η sea muy pequeña, caso del agua y del aie, esulta que el gadiente de velocidades du es muy gande, po cuanto la vaiación de velocidad tiene dy dy luga dento del espeso δ, muy pequeño, y en consecuencia, el esfuezo cotante τ es muy gande. En la páctica, y salvo aquellos casos en que la velocidad del fluido sea muy pequeña, no se suele da la configuación de las lineas de coiente como las hemos visto hasta ahoa sino que a pati de un cieto punto del cilindo, las lineas de coiente se sepaan, despendiéndose la capa límite, y ceándose aguas abajo del cilindo unos emolinos que configuan la estela, y que oiginan una depesión. Fig IV.4.- Cilindo inmeso en una coiente y obsevación micoscópica del flujo en sus poximidades Al estudia, como caso paticula, el flujo bidimensional de un fluido incompesible en tono a un cilindo cicula de diámeto D, el coeficiente de aaste C w es a su vez función del numeo de Reynolds, Fig IV.43, según hemos visto po análisis dimensional, pudiéndose considea 6 casos paa distintos valoes de C w y Re, tal como se indican a continuación. El tipo a, Fig IV.44, tiene un numeo de Reynolds muy pequeño, Re < 1, po lo que las fuezas de inecia son pequeñas en compaación con las de viscosidad, ceándose el flujo suavemente detás del cilindo, aguas abajo del mismo Fig IV.43.- Valoes del coeficiente de aaste en función del númeo de Re IV.-69

Al aumenta el numeo de Reynolds, el coeficiente de aaste C w disminuye; este caso b Fig IV.45, se pesenta paa, Re 0. El flujo es lamina a lo lago de la supeficie del cilindo aguas aiba; en el punto S se poduce la sepaación de la capa límite lamina. Aguas abajo apaece une egión en la que se encuentan dos emolinos estacionaios. Paa valoes del númeo de Reynolds, Re > 0, Fig IV.46, los emolinos se hacen inestables, comienzan a viba iegulamente, y posteiomente se sepaan altenativamente de los dos lados, peiódicamente, descibiendo lo que se conoce como la tayectoia del vótice de Kàmàn, existiendo después del cilindo una disposición estable y escalonada de vótices. La capa límite del lado de la coiente aiba del cilindo es lamina, sepaándose detás del cilindo. En la estela posteio apaecen una seie de capas libes laminaes. Paa valoes del numeo de Reynolds compendidos ente, 5.000 < Re < 15.000, Fig IV.44, el flujo se sepaa del cilindo paa foma una estela simética con capas libes tubulentas caso d. El tipo e Fig IV.48, apaece paa númeos de Reynolds compendidos ente, 50.000 < Re < 00.000, siendo, paa este caso, constante el coeficiente de aaste C w. El punto S es la sepaación de la capa límite lamina, poduciéndose la tansición al mismo tiempo que la sepaación. Paa el tipo f Fig IV.49, el numeo de Reynolds es, Re > 00.000, y la tansición se poduce en la capa límite lamina, po delante del punto de sepaación. En la capa límite tubulenta existián una intensa mezcla de pociones de fluido, siendo el pefil de velocidades mas busco, etasándose, en consecuencia, la sepaación. Detás del cilindo, la capa límite tubulenta se sepaaa paa foma una estela tubulenta. Como esumen, se puede asegua que, paa el flujo alededo de un cilindo, y paa númeos de Re muy pequeños, el flujo es lamina en todos sus puntos; paa númeos gandes de Re, el flujo se puede considea como potencial, salvo en la capa límite y en la estela. La capa límite se foma a pati del punto de estancamiento, aguas aiba del cilindo, y suele se lamina, paa la cual, un gadiente de pesión adveso, pecipita la sepaación antes que en una capa límite tubulenta, po se la cantidad de movimiento elativamente pequeña en la capa lamina. Fig IV.44 a) Flujo bidimensional en tono a un cilindo, Re< 1 Fig IV.45 b) Flujo bidimensional en tono a un cilindo, Re = 0 Fig IV.46.- c) Flujo bidimensional en tono a un cilindo, Re > 0 IV.-70

Fig IV.47.- d) Flujo bidimensional en tono a un cilindo, 5.000 < Re < 15.000 Fig IV.48.- e) Flujo bidimensional en tono a un cilindo, 50.000 < Re < 00.000 Fig IV.49.- f) Flujo bidimensional en tono a un cilindo, Re > 00.000 Se encuenta que el punto de sepaación paa la capa límite lamina se sitúa mas aiba del cilindo que el punto de sepaación coespondiente al caso en que la capa límite se hace tubulenta antes de que se sepae. La tansfeencia de la cantidad de movimiento incementada en la capa límite tubulenta etasa el punto de sepaación, deduciéndose la estela en tamaño. PERFIL AERODINÁMICO.- Paa el caso del pefil aeodinámico inmeso en un fluido, Fig IV.50, en el extadós se poduce una fuete depesión (aspiación) y en el intadós se poduce una pequeña pesión que se extiende hasta el bode de ataque (bode fontal) del ala, paa pequeños valoes de su ángulo α de inclinación (ángulo de ataque) en elación a la diección de la coiente no petubada. El valo medio de la difeencia de pesiones ente el intadós y el extadós, paa una supeficie de ala igual a: S (L cueda x 1 meto lineal de ala), popociona la fueza de sustentación, de la foma: F sust = C w ρ S u 0 en la que C w es el coeficiente de sustentación, que depende de la foma del pefil (ala) y del ángulo α. Fig IV.50.- Coeficientes aeodinámicos de un pefil de ala de avión IV.-71