CLASES Y CONJUNTOS. ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana 1.

CLASES Y CONJUNTOS ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com 1. Preámbulo En este capítulo introducimos la teoría de clases requerida para este tratado. No constituye un tratamiento completo de la materia pero es suficiente para los propósitos del mismo. Privilegiamos el tratamiento de los números ordinales y las demostraciones conducentes al lema de Zorn, pues son estos tópicos las piedras angulares de lo que viene después. Partiendo de ARCU, una generalización de la teoría de las clases de Ackerman (1956) debida a Muller (2001), derivamos los axiomas de la teoría de los conjuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de elección (ZFC) y, con base en ello, desarrollamos el aparato conceptual de la teoría de los conjuntos y las demostraciones de los resultados que necesitamos. Aunque el tratamiento no es completo, es más que bastante como una introducción a la disciplina. ARCU no tiene un dominio de interpretación que pueda ser pensado o concebido como una clase, sino que los valores de sus variables se captan mediante un predicado castellano, el predicado S es una clase o S es un urelemento, lo cual significa que las variables individuales de esta teoría toman clases o urelementos como valores. El lenguaje scu de ARCU está constituido por dos categorías de símbolos, símbolos lógicos y parámetros, presentados en sendas listas: A. Símbolos lógicos 0. Paréntesis: (, ). 1. Conectivos enunciativos:,,,. 2. Variables: una secuencia numerable x, y, z, u, v, con o sin subsecritos. 3. El símbolo de igualdad: =. B. Parámetros 1

2 GARCÍA DE LA SIENRA 0. El cuantificador universal:. 1. El símbolo de pertenencia a clases. 2. Constantes individuales: el símbolo U, que denota la clase de los urelementos y el símbolo V que denota la clase de todos los conjuntos. Las fórmulas bien formadas del lenguaje (fbf) se definen de la manera usual. 1 Escribimos φ(x 1,..., x n ) para indicar que x 1,..., x n son todas las variables libres de la fbf φ. Una noción central en ARCU es la de predicado puro o seguro. A grandes rasgos, φ(x 1,..., x n ) es un predicado puro o seguro syss sólo contiene parámetros de conjuntos o urelementos y V no figura en φ(x 1,..., x n ). Para poder formular el axioma esquema de existencia de conjuntos, es necesario definir con mayor precisión metamatemática este concepto. Para ello, observemos que si los axiomas permiten demostrar la existencia de un conjunto o un urelemento, entonces es legítimo introducir un nombre para el mismo. Definamos un término de conjunto como el nombre de un conjunto cuya existencia se deduce de los axiomas o que es introducido como tal en alguna extensión de scu ; un término de urelemento es obviamente un designador de algún urelemento. Un predicado puro o seguro es un predicado en el que todos los términos que figuran son términos de conjuntos o de urelementos. 2. Los axiomas de ARCU El primer axioma de ARCU es una versión más general del clásico axioma de extensionalidad. AXIOMA 1 (AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD) Las clases que tienen los mismos elementos son idénticas: x y((x U y U) ( z(z x z y) x = y)). Nótese que el axioma 1 afirma una condición suficiente para la identidad de individuos que no sean urelementos. Sin embargo, no garantiza la existencia de ninguna clase. Más aún, puesto que la teoría versa sobre clases y urelementos, es necesario estipular algún axioma que garantice de manera explícita que 1 En el capítulo 3 explicamos en detalle la definición.

CLASES Y CONJUNTOS 3 tanto U como V son clases y no urelementos. El siguiente axioma garantiza la existencia de al menos dos clases no vacías y distingue explícitamente los urelementos de los conjuntos. AXIOMA 2 (AXIOMA DE EXISTENCIA DE CLASES) Tanto U como V tienen elementos, pero ninguno en común. De hecho, ningún urelemento es un conjunto y ningún conjunto es un urelemento. x x V y y U z(z V z U). El siguiente axioma, el axioma de los urelementos, nos da una condición necesaria para ser un urelemento: carecer de elementos. La única clase que carece de elementos y que no es un urelemento es el conjunto vacío, pero entonces mediante este axioma, más adelante, van a quedar caracterizados los urelementos como individuos distintos de la clase vacía que tampoco tienen elementos. AXIOMA 3 (AXIOMA DE LOS URELEMENTOS ) Cualquier cosa que tenga elementos no es un urelemento. x( y y x x U). El siguiente axioma, el axioma esquema de separación de clases, proporciona un poderoso método para demostrar la existencia de clases. AXIOMA 4 (AXIOMA ESQUEMA DE SEPARACIÓN DE CLASES) Para cualquier fbf φ(x) y toda clase y existe una clase z que contiene exactamente aquellos elementos de y para los cuales vale φ(x): y(y U z(z U x(x z (x y φ(x))))). La clase z es denotada mediante el término {x y φ(x)}, el cual se lee así: la clase de todos los x en y tales que φ(x). Por virtud de los axiomas de existencia de clases y de los urelementos, sabemos que V es una clase. A partir de la existencia de esta clase podemos demostrar la existencia de otra muy importante: la clase vacía. TEOREMA 1 Existe una clase que carece de elementos.

4 GARCÍA DE LA SIENRA Demostración: Como V es una clase y x x es una fbf, un caso universalmente especificado del esquema de separación de clases (4) implica lo siguiente: z(z U x(x z (x V x x))). Pero este enunciado afirma la existencia de una clase que carece de elementos. DEFINICIÓN 1 Decimos que z es una clase vacía syss z no es un urelemento y carece de elementos: vac z d z U x(x z (x V x x)). TEOREMA 2 Sólo hay una clase vacía. Demostración: Supóngase que hay más de una clase vacía y sea x, al igual que y, una clase vacía. Si x no fuera idéntica a y, el axioma de extensionalidad implicaría z (z x z y), de donde se deduce o z ( (z x z y) (z y z x)) z ((z x z y) (z y z x)). De aquí se infiere que o x tiene algún elemento o lo tiene y. Como ambos x y y son vacíos por hipótesis, esto prueba que no puede haber más de una clase vacía. Tomamos la decisión de designar la clase vacía con el símbolo. DEFINICIÓN 2 Si y es una clase, decimos que x es una subclase de y, en símbolos x y, syss x no es un urelemento y todo elemento de x es un elemento de y: x y d x U z(z x z y).

CLASES Y CONJUNTOS 5 TEOREMA 3 La clase vacía es una subclase de toda clase: x x. Demostración: Para cualquier individuo y es verdadero que y. De aquí se infiere tautológicamente y y x o, lo que es equivalente, y y x. El axioma de completud afirma que tanto los subconjuntos de conjuntos, como los elementos de conjuntos que no son urelementos, son a su vez conjuntos. AXIOMA 5 (AXIOMA DE COMPLETUD) La clase V de todos los conjuntos es completa; es decir, todo elemento de un conjunto que no es un urelemento es un conjunto y toda subclase de un conjunto es un conjunto: x y((x V ((y x y U) y x)) y V ). TEOREMA 4 La clase vacía es un conjunto: V. Demostración: es subclase de toda clase, en particular de las clases que son conjuntos. Luego, por el axioma de completud, es un conjunto. El siguiente axioma es el axioma esquema de existencia de conjuntos, el cual permite demostrar la existencia de conjuntos mediante predicados puros. AXIOMA 6 (AXIOMA ESQUEMA DE EXISTENCIA DE CONJUNTOS) Para cualquier predicado puro φ(x), si los únicos individuos para los que φ(x) vale son conjuntos o urelementos, entonces estos individuos forman un conjunto: x(φ(x) (x V x U)) y(y V z(z y φ(z)). El conjunto y así formado puede ser denotado por {x φ(x)}.

6 GARCÍA DE LA SIENRA TEOREMA 5 Para cualesquiera conjuntos o urelementos x y y existe el conjunto que contiene precisamente a x y y: x y(((x V x U) (y V y U)) z(z V u(u z (u = x u = y)))). (1) Demostración: Sean x, y conjuntos o urelementos arbitrarios y φ(u) la condición u = x u = y. Claramente, φ(u) es una condición pura y los elementos que la satisfacen tienen que ser conjuntos o urelementos, de modo que (por el esquema de existencia de conjuntos, axioma 6) los mismos forman un conjunto z. El conjunto z se conoce como el par desordenado de x y y y también se denota como {x, y} o { y, x}. Si x = y, el conjunto se escribe como {x} y se le llama el conjunto unitario de x. DEFINICIÓN 3 Para cualquier conjunto x definimos la intersección de los elementos de x, x, como la clase que contiene como elementos a aquellos individuos que pertenecen a todos los miembros de x: x d {y z(z x y z)}. TEOREMA 6 Para cualquier conjunto x, existe x y además es un conjunto. Demostración: Sea x un conjunto y sea φ(y) la condición z(z x y z). Claramente, cualquier objeto y que la satisfaga será elemento de una clase que pertenece a su vez a un conjunto. Por lo tanto, y tiene que ser un conjunto o un urelemento y el esquema de existencia de conjuntos, axioma 6, es aplicable. Se sigue u(u V y(y u φ(y))). Pero el conjunto u no es otro que x. Introducimos enseguida el axioma de regularidad. AXIOMA 7 (AXIOMA DE REGULARIDAD) Todo conjunto no vacío tiene un elemento que no tiene elementos en común con él mismo: x((x V x ) y(y x z(z y z x))).

CLASES Y CONJUNTOS 7 Una consecuencia inmediata de este axioma es la siguiente. TEOREMA 7 Para todo conjunto x: x x. Demostración: Si x es un conjunto, entonces el conjunto unitario {x} también lo es, por virtud del teorema 5. Por ende, como {x} es no vacío, existe un y tal que y {x} y {x} y = {x} x =. Pero esto implica que x x. DEFINICIÓN 4 El conjunto x es un conjunto disyuntado, o disy x, syss x es no vacío, los elementos de x son conjuntos, x y sus elementos son disjuntos por pares: y(y x y V ) x y z((y x z x) y z = ). El siguiente es el axioma de elección de ARCU. AXIOMA 8 (AXIOMA DE ELECCIÓN) Para todo conjunto disyuntado x existe un conjunto de elección no vacío; es decir, un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada uno de los conjuntos que pertenecen a x: x(disy x y(y V z(z x u(u z u y v(v y z v = u))))). (2) El siguiente teorema es la versión conjuntista del axioma de extensionalidad; no es más que este axioma restringido a clases que son conjuntos. Aparece como primer axioma en algunas formulaciones de ZFC, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de elección. TEOREMA 8 Los conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales. x y z ((x V y V ) ((z x z y) x = y)). Demostración: Supongamos que x V y V y que x y y tienen los mismos elementos. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que ni x ni y son la clase vacía. Por el axioma de existencia de clases (2), ni x ni y son urelementos: x U, y U. El axioma de extensionalidad implica que x = y. La unión de los conjuntos en el conjunto x es el conjunto {z V z u para algún u x}, y se denota como x. Si x consta de los conjuntos u, v,

8 GARCÍA DE LA SIENRA esta unión se denota como u v. El siguiente teorema, conocido como axioma de la unión o de la suma en ZFC, garantiza que siempre existe la unión de cualquier familia x de conjuntos. TEOREMA 9 Para cualquier conjunto x, existe el conjunto cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de x que son conjuntos: x(x V y(y V z(z y u(z u u x)))). Demostración: Sea x un conjunto arbitrario y φ(z) la condición u(z u u x). Claramente (por el axioma de completud, 5), los elementos u de x son conjuntos o urelementos, de modo que cualquier individuo que satisfaga la condición tiene que ser un conjunto o un urelemento (por aplicación reiterada del mismo axioma). Si todos los elementos de x son urelementos, y es vacío. TEOREMA 10 Para cualquier conjunto x, existe el conjunto de todas las subclases de x: x(x V y(y V z(z y z x))). Demostración: Sea x un conjunto arbitrario y sea φ(z) la condición z x. Claramente, por el axioma de completud, cualquier individuo que satisfaga la condición es un conjunto y no hay términos en ella que se refieran a clases que no sean conjuntos, de modo que la condición es pura. El axioma esquema de existencia de conjuntos implica que hay un conjunto que contiene a las subclases de x (las cuales ya dijimos que son conjuntos). El conjunto y es llamado la potencia de x y se denota como pot x. El siguiente teorema es el axioma de separación de ZFC. TEOREMA 11 Para cualquier conjunto x y condición pura φ(y) sobre y, existe el conjunto de todos los elementos de x que satisfacen φ(y): x(x V z(y z (y x φ(y))). Demostración: Sea x un conjunto arbitrario y φ(y) una condición pura sobre y. Sea ψ(y) la condición y x φ(y). Entonces ψ(y) es también una condición

CLASES Y CONJUNTOS 9 pura que sólo es satisfecha por conjuntos o urelementos y el esquema de existencia de conjuntos (6) implica que existe el conjunto de los elementos que la satisfacen. Para cualquier conjunto y, el conjunto y {y}, denotado como y +, es llamado el sucesor de y. DEFINICIÓN 5 Una clase de sucesores es una clase x que satisface las siguientes dos condiciones: (1) x; (2) si y x entonces y + x. TEOREMA 12 Existe al menos un conjunto de sucesores. Demostración: Mostraremos que hay un elemento de V que es una clase de sucesores. Claramente, para cualquier conjunto y V, y + V, de modo que n veces {}}{ si y V, y n y+ + está en V también para cada entero positivo n. Para cada entero positivo n, aplicaciones reiteradas (pero finitamente muchas) del teorema 5 muestran que existe en V el conjunto de n sucesores de : {, 1,... n } V. Ahora bien, si la clase de sucesores de no estuviera en V, tendría que haber un n tal que pero {, 1,... n 1 } V {, 1,... n } V. Esto establece la conclusión deseada. Lo más interesante de los conjuntos de sucesores en este contexto es que son infinitos. De hecho, el teorema corresponde a lo que en ZFC se conoce como axioma de infinitud. Decimos que una condición pura φ(x, y) es funcional en x si φ(x, y) y φ(x, z) implica que y = z. Decimos que el funcional φ(x, y) es aceptable para u syss existe un conjunto w tal que y w siempre que x u y φ(x, y).

10 GARCÍA DE LA SIENRA TEOREMA 13 Para todo conjunto u, si la condición pura φ(x,y) es un funcional en x aceptable para u, entonces existe un conjunto v tal que y v syss x u y φ(x,y): u((u V x y z((x u φ(x, y) φ(x, z)) y = z) w x y((w V x u φ(x, y)) y w)) v(v V y(y v x(x u φ(x, y)))). Demostración: Sea u un conjunto arbitrario y ψ(y) la condición x(x u φ(x, y)). Claramente, ψ(y) es también pura y satisfacible sólo por conjuntos o urelementos en un conjunto w, por lo que podemos afirmar la existencia del conjunto v = {y w ψ(y)}. Este teorema esquema no es otro que el axioma esquema de la sustitución de ZFC, el cual determina un axioma para cada funcional φ(x, y) en x. Para φ(x, y) dada, el axioma afirma que si para todos los elementos x de un conjunto u se tiene que y = z cada vez que φ(x, y) y φ(x, z), entonces hay un conjunto v cuyos elementos son precisamente los y tales que φ(x, y) y x u. Este axioma garantiza la existencia de una función con dominio u, codominio w e imagen v. Conviene reunir en una definición todas las nociones definidas hasta aquí, así como algunas más. DEFINICIÓN 6 Sean x y y conjuntos o urelementos. Definimos: (1) El par desordenado de x y y es el conjunto {u u = x u = y}. (2) El conjunto unitario de x es el par desordenado {x, x}. (3) La potencia del conjunto x, pot x, es la familia de los subconjuntos de x. (4) El par ordenado de x y y es el conjunto {{x},{x, y}}; se denota como x, y. (5) El símbolo x denota a x. (6) La n-ada ordenada de x 1,..., x n se define como el par ordenado

CLASES Y CONJUNTOS 11 x 1,..., x n 1, x n y se denota como x 1,..., x n. (7) El conjunto x está incluido en el conjunto y syss todo elemento de x es elemento de y; en este caso se dice que x es un subconjunto de y, que y es un superconjunto de x, y se escribe x y. (8) El conjunto x está propiamente incluido en el conjunto y syss x y pero x y; en este caso se dice que x es un subconjunto propio de y, que y es un superconjunto propio de x, y se escribe x y. (9) El conjunto es llamado el conjunto vacío. (10) Los conjuntos x y y son disjuntos syss no tienen ningún elemento en común. (11) La unión de los conjuntos en x es el conjunto {z z y y x}, cuya existencia está garantizada por el axioma de la suma (teorema 9), y se denota como x. Si x consta de dos elementos u, v, esta unión se denota como u v. (12) El conjunto x es unívoco syss para todo y existe a lo sumo un z tal que y, z x. Expresamos que x es unívoco como univ x. Una noción muy importante es la de producto cartesiano de dos conjuntos. El siguiente teorema nos garantiza que siempre existe el producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera. TEOREMA 14 Dados dos conjuntos cualesquiera x, y, siempre existe el conjunto cuyos elementos son los pares ordenados u,v con u x y v y: x y z w(w z u v(u x v y w = u, v )). Demostración: Sea φ(w) la cláusula u v(u x v y w = u, v ). Esta cláusula es pura y, como x y y son conjuntos, entonces u, v son urelementos o conjuntos y a fortiori, por ende, w es un conjunto. Es un caso de sustitución del esquema de existencia de conjuntos (6) z((z V w(w z φ(w))).

12 GARCÍA DE LA SIENRA Luego, z = { u, v u x v y} es un conjunto. El siguiente teorema es el axioma de elección de ZFC. TEOREMA 15 Para todo x: si x es un conjunto disyuntado, entonces existe un conjunto unívoco y tal que, para cada elemento z de x, hay precisamente un elemento u de este mismo z tal que el par z,u está en y. x(disy x y(univ y z(z x u(u z z,u y)))). Demostración: Sea x un conjunto disyuntado. Entonces x, x, todos sus elementos son conjuntos, y estos elementos son disjuntos por pares. Así, existe al menos un conjunto no vacío z x. Por el axioma de elección de ARCU (8) existe un conjunto w que contiene exactamente un elemento u de cada uno de los conjuntos que pertenecen a x. Sea φ(v) la condición z u(z x u z w v = z,u ). Como φ(v) es pura y cualquier v que la satisfaga es necesariamente un conjunto, el esquema de existencia de conjuntos (6) implica y(y V v(v y φ(v)). Mostraremos que y es unívoco y que para todo z x existe un u en z tal que z,u y. Sea z cualquier elemento de x y sea u el único elemento de w contenido en z. Entonces v = z,u satisface φ(v) y, por ende, v y. Si v = z,u está en y, entonces u z w, de modo que u = u. Hemos demostrado que, si ARCU es verdadera, entonces ZFC es consistente y todos los resultados y recursos de esta última teoría están disponibles en ARCU. La lista de los axiomas de ZFC correlacionados con los correspondientes teoremas de ARCU son los siguientes. (ZF1) AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD (Teorema 8): Los conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales. x y z ((x V y V ) ((z x z y) x = y)).

CLASES Y CONJUNTOS 13 (ZF2) AXIOMA DE LA UNIÓN O DE LA SUMA (Teorema 9): Para cualquier conjunto x, existe el conjunto cuyos elementos son precisamente los elementos de los elementos de x que son conjuntos. x(x V y(y V z(z y u(z u u x)))). (ZF3) AXIOMA DE LA POTENCIA (Teorema 10): Para cualquier conjunto x, existe el conjunto de todas las subclases de x. x(x V y(y V z(z y z x))). (ZF4) AXIOMA DE REGULARIDAD (Axioma 7): Todo conjunto no vacío tiene un elemento que no tiene elementos en común con el mismo. x((x V x ) y(y x z(z y z x))). (ZF5) AXIOMA DE INFINITUD (Teorema 12) Existe al menos un conjunto de sucesores. (ZF6) AXIOMA ESQUEMA DE LA SUSTITUCIÓN (Teorema 13) Para todo conjunto u, si la condición pura φ(x,y) es un funcional en x aceptable para u, entonces existe un conjunto v tal que y v syss x u y φ(x,y). u((u V w x y((w V x u φ(x, y)) y w)) x y z((x u φ(x, y) φ(x, z)) y = z) v(v V y(y v x(x u φ(x, y)))). (C) AXIOMA DE ELECCIÓN (Teorema 8) Para todo x: si x es un conjunto disyuntado, entonces existe un conjunto unívoco y tal que, para cada elemento z de x, hay precisamente un elemento u de este mismo z tal que el par z,u está en y. x(disy x y(univ y z(z x u(u z z,u y)))).

14 GARCÍA DE LA SIENRA Los axiomas ZF1 ZF6 definen la teoría de Zermelo-Fraenkel, ZF. Si a ésta se le agrega el axioma C se obtiene ZFC. A partir de estos siete axiomas es posible desarrollar completamente la teoría de conjuntos. En particular, quedan establecidos los siguientes resultados. TEOREMA 16 Valen las siguientes aserciones para cualquier número natural n: (1) x x. (2) x 1 x n y 1 y n ( x 1,..., x n = y 1,..., y n (x 1 = y 1 x n = y n )). (3) x y z(z y z x). (4) x y z (z y u (u x z u)). (5) x y z(z y u z,u x). (6) x y z u( u, z y z,u x). (7) x y(univ y z u (u z v u, v y))). La demostración se deja como ejercicio al lector. En el teorema 16, (1) expresa que (como era de esperarse) el conjunto carece de elementos. (2) afirma la condición de identidad de las n-adas ordenadas en términos de la identidad de sus componentes. (3) dice que para cualquier familia de conjuntos existe un conjunto que contiene los elementos que estos conjuntos tienen en común. El (4) dice que para toda conjunto existe otro cuyos elementos son, precisamente, los conjuntos que no pertenecen al primero. El sentido del (5) es que para toda conjunto x existe una conjunto y que tiene como elementos todos los individuos que son primeros componentes de los pares que pertenecen a x; desde luego, si no hay pares en x este conjunto es vacío. El (6) dice que para todo conjunto x existe un conjunto y cuyos elementos son precisamente los pares u, z donde los z,u están en x. El (7), finalmente, dice que para cada conjunto x y conjunto unívoco y existe un conjunto cuyos elementos son precisamente los elementos de x que están en el dominio de y. Con base en estos resultados podemos introducir la siguiente serie de definiciones. DEFINICIÓN 7 Definimos:

CLASES Y CONJUNTOS 15 (1) El complemento de x es el conjunto {y y x}, cuya existencia garantiza el teorema 16, (3); se denota como x; (2) La intersección de los conjuntos en x es {z u (u x z u)}, cuya existencia está garantizada por el teorema 16, (4), y se denota como x. Si x consta de dos elementos u, v, esta intersección se denota como u v. (3) El inverso de x es el conjunto { v,u u, v x}, cuya existencia garantiza el teorema 16, (6); se denota como x 1. (4) El dominio de x es el conjunto {z z,u x}, cuya existencia garantiza el teorema 16, (5); se denota como dom x y es vacío si x no tiene pares ordenados como elementos. La imagen de x, im x, es precisamente dom x 1. (5) El producto cartesiano de los conjuntos x y y es el conjunto { u, v u x v y}, cuya existencia garantiza el teorema 14, (6); se denota como x y. (6) Un conjunto que conste de puros pares ordenados es llamado una relación binaria; si y, z está en la relación x, decimos que x asocia z con y. (7) Si y es unívoco, la restricción de y a x es el conjunto {z z dom y x}, cuya existencia asevera el teorema 16, (7); se denota como y x. Podríamos seguir desarrollando la teoría de los conjuntos de una manera muy formal, pero conviene ahora relajar la notación y proveer demostraciones menos formales. De ahora en adelante usaremos letras mayúsculas para denotar conjuntos y letras minúsculas como f o g para denotar relaciones unívocas. Damos este sesgo con la siguiente definición. DEFINICIÓN 8 Definimos: (1) f es una función de A en B syss f A B, dom f = A, y univ f. Si x, y f, se escribe y = f (x). B es el codominio de la función y {y y = f (x) para algún x A} es la imagen de f. Denotamos el codominio de f como cod f y su imagen como im f. Si X A, im(f X ) se denota como f (X ). Se escribe f : A B para expresar que f es una función de A en B.

16 GARCÍA DE LA SIENRA Si n es un entero mayor o igual que cero y A es cualquier conjunto no vacío, una operación n-aria cerrada en A es una función f : A A A. (2) Si f es una función, se dice que f es uno a uno (o inyectiva) si f (x) = f (y) implica x = y para todo x, y dom f. Se dice que f es sobre (o suprayectiva) si im f = cod f. Se dice que f es biyectiva si f es uno a uno y sobre. Una función inyectiva de un conjunto A en uno B es llamado una inserción de A en B; un función biyectiva es llamada también una correspondencia biunívoca. La función identidad de un conjunto A es la función ι: A A tal que ι(x) = x para todo x A. (3) Si f : A B y g : B C, la composición de f y g, denotada como g f, es la función h : A C tal que h(x) = g [f (x)] para todo x A. (4) Los conjuntos A y B son equipolentes o equinumerosos (en símbolos: A B) syss A = B = o existe una biyección f de A en B. Decimos que A es estrictamente menos numeroso que B (en símbolos: A B) si existe una biyección entre A y un subconjunto propio de B, pero A y B no son equipolentes. Decimos que B domina a A (en símbolos: B A) si B A o B A. (5) La relación R es conectada en el conjunto A syss, para todo x, y A, x, y R o y, x R. (6) La relación R es reflexiva en el conjunto A syss x, x R para todo x A. (7) La relación R es simétrica en el conjunto A syss x, y R implica y, x R para todo x, y A. (8) La relación R es antisimétrica en el conjunto A syss x, y R y y, x R implica x = y para todo x, y A. (9) La relación R es asimétrica en el conjunto A syss x, y R implica y, x R para todo x, y A. (10) La relación R es transitiva en el conjunto A syss x, y R y y, z R implica x, z R para todo x, y, z A.

CLASES Y CONJUNTOS 17 (11) La relación R es una relación de equivalencia sobre el conjunto A syss R es reflexiva, simétrica y transitiva en A. El conjunto {y y, x R para algún x A} se llama la clase de equivalencia de x y se denota como [x]. El conjunto cociente de A por R es el conjunto de todas las clases de equivalencia de A, módulo R, y se denota como A/R. (12) La relación R es un orden parcial sobre el conjunto A syss R es reflexiva, antisimétrica y transitiva sobre A. El par A,R se llama un conjunto parcialmente ordenado o, en aras de la brevedad, un copor. Un elemento maximal del copor A,R es un elemento x A tal que y, x R para todo y A. Análogamente, un elemento minimal del copor A, R es un elemento x A tal que x, y R para todo y A. (13) La relación R es un orden total sobre el conjunto A syss R es un orden parcial sobre A y R es conectada en A. El par A,R se llama un conjunto totalmente ordenado o un orden lineal. (14) La relación R bien ordena el conjunto A syss R es conectada en A y, para cada B A con B, existe un x B tal que x, y R para todo y B. Este elemento x es llamado el primer elemento de B con respecto a R. El par A,R se llama un conjunto bien ordenado. (15) Si y es el sucesor inmediato de x, decimos que x es el predecesor inmediato de y. (16) Un conjunto transitivo es un conjunto que contiene a sus elementos como subconjuntos propios: si x es transitivo y y x entonces y x. (17) Sea A un conjunto de sucesores (cuya existencia está garantizada por el axioma de infinitud, 12) y sea S = {B B A y B es un conjunto de sucesores.} Definimos el conjunto ω como la intersección S. (18) Un número natural es un elemento de ω. (19) Si A,R es un buen orden y a A, el segmento inicial de A determinado por a es el conjunto s(a,r, a) = {x x A x a x, a R}.

18 GARCÍA DE LA SIENRA (20) Un número ordinal es una familia de conjuntos α bien ordenada por tal que el segmento inicial de α determinado por a, s(α,, a), es igual a a mismo para todo a α. Escribimos ord x para expresar que x es un número ordinal. (21) Un ordinal límite es un ordinal que carece de predecesor inmediato; i.e. es un ordinal α tal que α β + para todo β α. (22) Si α y β son ordinales decimos que α precede a β syss α β. Escribimos α < β para expresar que α precede a β. Escribimos α β syss α precede a β o α = β. (23) El conjunto A es finito syss A es equipolente a un número natural. (24) Un conjunto A es infinito syss A no es finito. De esta manera concluimos la presentación de las definiciones más fundamentales de la teoría de los conjuntos. Necesitamos establecer algunas verdades sobre los números ordinales, así como sobre los cardinales, para desarrollar la lógica de primer orden. Si R es una relación, ocasionalmente escribiremos Rx y para expresar lo mismo que x, y R. Cerrramos esta sección con la demostración de un útil lema, cuya demostración se deja al lector. LEMA 1 La composición de funciones posee las siguientes propiedades para cualesquiera funciones f : A B, g : B C y h : C D: (1) h (g f ) = (h g ) f (la composición de funciones es asociativa). (2) Si ι A es la identidad de A y ι B la de B, f ι A = f y ι B f = f. (3) Si f es una biyección, f 1 f = ι A y f f 1 = ι B 3. Ordinales Las primeras propiedades sobresalientes de los ordinales son la transitividad y el buen orden. TEOREMA 17 ord x syss x es transitivo y está bien ordenado por. Demostración: Sea x un ordinal. Por definición, x está bien ordenado por. Si a x, a = s(x,, a) = {y y x y a y a} x.

CLASES Y CONJUNTOS 19 Esto prueba que x es transitivo. Supóngase que x es transitivo y está bien ordenado por, y sea a x. Como x es transitivo, a x, de modo que tenemos y x para todo y a y, por el teorema 7, y a. Por ende, sólo los elementos de a satisfacen y x y a y a. Pero esta es la condición de pertenencia a s(x,, a), de modo que s(x,, a) = a. TEOREMA 18 Todo elemento de un ordinal es un ordinal. Demostración: Supóngase que ordα y a α. Entonces a α. Luego, A a implica que A α, de modo que A tiene un primer elemento. Claramente, está conectada en a, pues si x, y son elementos distintos de a entonces x, y α y, así, x y o y x. Esto establece que a está bien ordenada por. Si b a entonces b α y, por ende, s(a,,b) = s(α,,b) = b. TEOREMA 19 Si α y β son ordinales entonces α β o β α. Demostración: Sean α y β ordinales cualesquiera. Si α = β el resultado queda establecido. Podemos suponer, pues, que α β. Mostraré que α β o β α. En primer lugar, la intersección α β es no vacía, pues contiene a. En efecto, si ˆγ α es el primer elemento de α entonces no existe ningún elemento γ en α tal que γ < ˆγ. Pero = s(α,<, ˆγ) = {γ γ α γ < ˆγ} α. Esto establece que α y lo mismo vale para β. Supóngase que existen γ α α y γ β β tales que γ β α y γ α β. Para inferir una contradicción, obsérvese que γ α α (α β) y γ β β (α β), de modo que los conjuntos α (α β) y β (α β) son no vacíos. Por ende, como α (α β) α y β (α β) β, α (α β) tiene un primer elemento ˆγ α y β (α β) tiene un primer elemento ˆγ β. Nótese que si η ˆγ α pero η α β entonces ˆγ α no sería el primer elemento de α (α β), de modo que ˆγ α α β. Supóngase ahora que η es un elemento arbitrario de α β. Entonces η ˆγ α o ˆγ α η porque η, ˆγ α α que es bien ordenado. Sin embargo, ˆγ α η porque la hipótesis de que η α β implica que η α y η β, de donde (por la transitividad de α y β) η α β, lo cual a su vez arroja que ˆγ α α β, contradiciendo el hecho de que ˆγ α es el primer elemento de α (α β). Se concluye que η ˆγ α, de modo que α β ˆγ α. Tenemos, en resumen, que α β = ˆγ α. Un argumento análogo

20 GARCÍA DE LA SIENRA lleva a que α β = ˆγ β. Esto implica que ˆγ α = ˆγ β, lo cual es imposible porque α (α β) y β (α β) no tienen elementos en común. Por consiguiente, o todos los elementos de α están en β, o viceversa. TEOREMA 20 Si α y β son ordinales entonces vale exactamente una de estas tres: α β, β α o α = β. Demostración: Sean α, β ordinales cualesquiera con α β. Por el teorema 19, α β o β α. Mostraré que α β o β α. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que α β. Entonces es inmediato que el primer elemento ˆγ de β α es igual a α. Luego, α = ˆγ β α β y es así que α β. TEOREMA 21 Si A es un conjunto de ordinales, A es un ordinal. Demostración: Es inmediato, por el teorema 18, que A es un conjunto de ordinales. Por el teorema 20 sabemos que está conectada en A. Si B A, sea β cualquier elemento de B. Como β contiene a sus elementos, se sigue que β B. Entonces es el primer elemento de B. Esto establece que A está bien ordenado por. Finalmente, si α A, entonces α β para algún ordinal β A. Por lo tanto, s( A,,α) = s(β,,α) = α. TEOREMA 22 Si α, β y γ son ordinales entonces (1) no α < α; (2) si α < β entonces no β < α; (3) si α < β y β < γ entonces α < γ; (4) vale exactamente una de estas tres: α < β, β < α, α = β. Demostración: Sean α, β y γ ordinales cualesquiera. (1) Por el teorema 7, α α, lo cual establece que no α < α. (2) Supóngase que α β. Si además β α, tendríamos α β α, lo cual implica que α α. (3) La suposición de que α β y β γ implica que β γ y, por ende, α γ. (4) Inmediata a partir del teorema 20.

CLASES Y CONJUNTOS 21 TEOREMA 23 Si α + = β + entonces α = β. Demostración: Supóngase que α {α} = β {β} y obsérvese que ello implica que α β {β} y que β α {α}. Luego, de α β se sigue que α β y β α. Pero ello implica que α < α, lo cual es imposible. Esto prueba que α = β. TEOREMA 24 Si ordα entonces α + = α. Demostración: Como ξ α ξ ξ α ξ α, α+ = ( ) ξ = ξ α = α. ξ α + ξ α TEOREMA 25 Si α es un ordinal entonces no hay un ordinal β tal que α < β < α + Demostración: Supóngase que α < β < α +. Entonces tenemos α β α {α}, de donde es inmediato que β α. Por ende, hay un x β que no está en α, por lo que debe ser igual a α. Pero esto implica que α + = α {α} β, lo cual contradice el supuesto de que β < α +. TEOREMA 26 α + es un ordinal syss α es un ordinal. Demostración: Si α + es un ordinal, por el teorema 18 los elementos de α + son ordinales, pero α α +. Sea α un ordinal. Si β y γ son elementos distintos de α +, a lo sumo uno de ellos (digamos γ) está en {α}, i.e. es igual a α. En este caso, β < γ. Si ambos están en α, entonces β < γ o γ < β. Esto prueba que está conectada en α. Sea A un subconjunto cualquiera de α +. Si α A entonces A α y A tiene un primer elemento. Si α A entonces A {α} α tiene un primer elemento ˆγ. Pero ˆγ < α, de modo que ˆγ es un primer elemento de A. Esto establece que α + está bien ordenado por. Finalmente, si β α +, entonces β α o β = α. En el primer caso, s(α +,<,β) = s(α,<,β) = β; en el segundo, s(α +,<,β) = s(α +,<,α) = {x x α + x α x α} = α. TEOREMA 27 Si n ω entonces ordn.

22 GARCÍA DE LA SIENRA Demostración: Sabemos que es un ordinal, por lo que será suficiente mostrar que ordn implica ordn + para todo n ω. Observemos, primero, que n es el conjunto {, 1,..., n }, y n + es el conjunto {, 1,..., n,n}, donde el numeral n en n denota una secuencia de n signos +. Es fácil ver que todo subconjunto de n + tiene un primer elemento con respecto a pero, además, si m n hay dos casos: m n o m = n. Si lo primero, como por hipótesis ord n, tenemos s(n +,<,m) = s(n,<,m) = m; si lo segundo, m es el segmento inicial {, 1,..., n } de n +, el cual es, precisamente, el conjunto n = {, 1,..., n } (3) = {k k n + k < n} (4) = s(n +,<,n). (5) TEOREMA 28 La clase Ω de todos los ordinales no es un conjunto. Demostración: Si Ω fuese el conjunto de todos los ordinales, Ω mismo sería un ordinal pero, por el teorema 7, Ω Ω, contradiciendo el supuesto de que Ω contenía a todos los ordinales como elementos. TEOREMA 29 (PRINCIPIO DE INDUCCIÓN TRANSFINITA) Si (i) A,R es un buen orden y (ii) el primer elemento de A está en B y (iii) x ((x A y ((y A Ryx) y B))) x B) entonces A B.

CLASES Y CONJUNTOS 23 Demostración: Supóngase que A,R es un buen orden y sea B un conjunto que satisface (ii) y (iii). Supóngase que hay un x A con x B, y sea ˆx el primer elemento del conjunto {x x A x B}. Entonces y B para todo y tal que Ry ˆx, lo cual implica, por (iii), que ˆx B, contradiciendo la suposición. Luego, A B. El siguiente teorema es crucial para la demostración del lema de Zorn, del cual dependen muchas de las construcciones importantes en la lógica y la teoría de los modelos. El teorema afirma que si tenemos un buen orden A,R, y una función τ del conjunto de las funciones cuyos dominios son los segmentos iniciales s(a,r, x) en un conjunto Z, entonces hay una única función F de A en Z que puede definirse recursivamente mediante τ. Originalmente conocemos la acción de τ sobre el conjunto {f f : s(a,r, x) Z para algún x A}, cuya demostración de existencia se deja al lector. El teorema afirma que existe una única función F de A en Z tal que F puede ser definida en términos de τ. Las funciones f se utilizan para construir τ por su acción sobre el primer elemento de A y su acción sobre funciones construidas a partir de otras definidas sobre subsegmentos de las primeras. Su aplicación se verá con claridad en la demostración del lema de Zorn. TEOREMA 30 ( TEOREMA DE LA RECURSIÓN TRANSFINITA) Sea A, R un conjunto bien ordenado y sea τ una función del conjunto {f f : s(a,r, x) Z para algún x A} en Z. Entonces existe una única función F : A Z tal que F (x) = τ(f s(a,r, x)). Demostración: La estrategia de la demostración es la siguiente. Sea φ la fórmula definida por la condición φ(x, f ) f es una función sobre s(a,r, x) (6) y (Ryx f (y) = τ(f s(a,r, y))). (7)

24 GARCÍA DE LA SIENRA Mostraremos primero, por inducción transfinita, que φ(x, f ) = φ(x, f ) implica f = f. En segundo lugar, mediante el axioma de sustitución mostraremos que hay un conjunto B tal que f B x (x A φ(x, f )). Terminaremos mostrando que F = B es la función buscada. Supóngase que φ(x, f ) = φ(x, f ) y supóngase que hay un y A tal que f (y) f (y). Como R es un buen orden, el conjunto {y y A f (y) f (y)} tiene un primer elemento ŷ. Entonces f s(a,r, ŷ) = f s(a,r, ŷ) y, por tanto, f (ŷ) = τ(f s(a,r, ŷ)) = τ(f s(a,r, ŷ)) = f (ŷ), contradiciendo el supuesto de que f f. Hemos, pues, conseguido establecer (x A φ(x, f ) φ(x, f )) f = f, de modo que, por el esquema axioma de la sustitución, B f (f B x(x A φ(x, f )). Sea F = B, de modo que domf = f B dom f, imf = f B im f y x, v F syss existe f B tal que v = f (x) = τ(f s(a,r, x)). Mostraremos que F es una función, que F (x) = τ(f s(a,r, x)), que A = domf y que F es única. Notamos, en primer lugar, que si f, g B entonces f g o g f. En efecto, si s(a,r, y) = dom f y s(a,r, z) = dom g, sin pérdida de generalidad podemos suponer que Ryz, de modo que dom f = dom f dom g. Supóngase que f no es un subconjunto de g, de modo que hay un v dom f tal que f (v) g (v), y sea ˆv el primer elemento del conjunto {v v A f (v) g (v)}. Entonces de donde f s(a,r, ˆv) = g s(a,r, ˆv), f ( ˆv) = τ(f s(a,r, ˆv) = τ(g s(a,r, ˆv) = g ( ˆv).

CLASES Y CONJUNTOS 25 Esta contradicción establece que f es un subconjunto de g. Para ver que F es una función, supóngase que f (x), g (x) imf. Como (digamos) f g, x, f (x) g, de modo que f (x) = g (x). Esto prueba que F es una función. Si x domf entonces existe un f B tal que f (x) = τ(f s(a,r, x)). De aquí se sigue inmediatamente (por construcción de F ) que F (x) = τ(f s(a,r, x)) = τ(f s(a,r, x)). Es obvio que domf A. Para mostrar que A domf, supóngase que x A pero x domf y sea ˆx el primer elemento de {x x A x domf }. Hay un f B tal que dom f = s(a,r, ˆx). Por ende, f { ˆx,τ(f s(a,r, ˆx) } B y así ˆx domf, lo cual contradice que ˆx domf. Supóngase, finalmente, que F es una función tal que, para todo x A, F (x) = τ(f s(a,r, x)). Notamos en primer lugar que, si x 0 es el primer elemento de A,R, F (x 0 ) = τ(f s(a,r, x 0 )) (8) = τ(f ) (9) = τ( ) (10) = τ(f ) (11) = τ(f s(a,r, x 0 )) (12) = F (x 0 ). (13) Supóngase ahora que F (y) = F (y) para y s(a,r, x), es decir, que Ryx F (y) = F (y), y sea C = {v A F (v) = F (v)}. Mostraremos que si Ryx implica y C, entonces x C, es decir que F (x) = F (x). De aquí concluiremos, por el principio de inducción transfinita que A C. Supóngase, pues, que Ryx F (y) = F (y). Entonces F s(a,r, x) = F s(a,r, x) de donde se concluye que F (x) = τ(f s(a,r, x)) = τ(f s(a,r, x)) = F (x).

26 GARCÍA DE LA SIENRA 4. El lema de Zorn Los siguientes dos teoremas son preparatorios para la demostración del Lema de Zorn. 2 TEOREMA 31 ( TEOREMA DE LA NUMERACIÓN) Para todo conjunto A existe un ordinal α tal que A α. Demostración: Por virtud del axioma de elección existe una función E tal que, para todo subconjunto no vacío B de A, E(B) B. Para cada ordinal α hay una función F α : α A tal que, para todo γ < α, F α (γ) = τ(f α s(α,<,γ) = E(A im(f α s(α,<,γ))). Es fácil ver que si β < α entonces F α β = F β. Sea α cualquier ordinal, β un ordinal menor que α, y sea U β = A im(f α s(α,<,β)). Si U β entonces F α (β) = E(U β ) U β A. Por lo tanto, si γ < β entonces F α (γ) im(f s(α,<,β) pero F α (β) im(f s(α,<,γ) porque β s(α,<,γ). Esto implica F α (γ) F α (β), lo cual establece que F α es inyectiva. Supóngase ahora que para cada ordinal β existe un ordinal α > β tal que U β. Sea φ(x) la fórmula α β(x = F α (β) ordα ordβ β < α). Entonces el conjunto X = {x x A φ(x)} incluye a todos los ordinales como elementos. De ello se sigue que existe el conjunto de todos los ordinales, a saber, Ω = {x x X ord x}, lo cual es imposible. Por lo tanto, concluimos que existe un β tal que U β = para algún α > β. Si ˆβ es el primero de los tales ordinales y γ < ˆβ, tenemos U γ y sabemos entonces que F α ˆβ es inyectiva. Pero también, como U ˆβ =, A = im(f α s(α,<, ˆβ))) = {F α (γ) γ < ˆβ}. Esto establece que F ˆβ = F α ˆβ es una función inyectiva de ˆβ sobre A. 2 De hecho, son equivalentes al axioma de elección. Si deja como ejercicio al lector demostrar esto. Sugerencia: derive el axioma de elección a partir del lema de Zorn.

CLASES Y CONJUNTOS 27 TEOREMA 32 ( TEOREMA DE LA BUENA ORDENACIÓN) Todo conjunto puede ser bien ordenado. Demostración: Sea A cualquier conjunto, sea α un ordinal equipolente a A y sea f una biyección entre A y α. Defínase la relación R sobre A por la condición Rx y f (x) < f (y). Está claro que R está conectada en A. Si B A, sea ˆβ el primer elemento de f (B) α. Entonces ŷ = f 1 ( ˆβ) es el primer elemento de B. En efecto, y B f (y) f (B) ˆβ f (y) ŷ = f 1 ( ˆβ) f 1 [f (y)] = y. El siguiente teorema es una de las piedras angulares de la lógica. TEOREMA 33 (LEMA DE ZORN) Si A es una familia no vacía de conjuntos tal que la unión de cada cadena no vacía de elementos de A está en A, entonces el copor A, tiene un elemento maximal. Demostración: Sea A una familia no vacía de conjuntos tal que la unión de cada cadena no vacía de elementos de A está en A. Por el teorema de la buena ordenación existe un relación R tal que A,R es un buen orden. Construiré una cadena C (módulo ) de elementos de A con las siguientes propiedades: (1) el primer elemento (módulo R) de A está en C ; si A C y B A o A B entonces B C. Mostraré que C es un elemento maximal de A,. Para cada A A sea h A : s(a,r, A) {0,1} la función canónica de C restringida a s(a,r, A); es decir la función tal que, para todo B s(a,r, A), { 1 si B C h A (B) = 0 en otro caso. Sea τ una función sobre {f f : s(a,r, A) {0,1}para algún A A } con la siguiente propiedad. Si h A es la función canónica de C restringida a s(a,r, A), 1 si B C o C B siempre que C es el primer elemento τ(h A ) = (módulo R) de A s(a,r, A) y h A (B) = 1 0 en otro caso.

28 GARCÍA DE LA SIENRA Por el teorema de la recursión transfinita existe una única función F sobre A tal que F (A) = τ(f s(a,r, A)). Utilizaremos esta función para construir la cadena C, a saber mediante la condición C = {A A A F (A) = 1}. Para demostrar que C es una cadena, sean A 1, A 2 C. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que R A 1 A 2. Por hipótesis, F (A 1 ) = F (A 2 ) = 1, de modo que τ(f s(a,r, A 2 )) = F (A 2 ) = 1 y A 2 es el primer elemento (módulo R) de A dom(f s(a,r, A 2 )). Como A 1 s(a,r, A 2 ) y F (A 1 ) = 1, por la definición de τ se sigue que A 1 A 2 o A 2 A 1. Esto establece que C es una cadena. Mostraremos ahora que C es maximal (módulo ) en A. Por la hipótesis del teorema, C A. Supóngase que C no es maximal y sea M = {A A A C A}. Sea  el primer elemento (módulo R) de M. Si B C, B C Â, de donde F (Â) = τ(f s(a,r, Â)) = 1. Pero esto implica que  C, contradiciendo la suposición de que C no era maximal. Ya vimos que, para cualquier n N, el producto cartesiano finito A 1 A n está definido. Otra consecuencia del axioma de elección es que existe el producto cartesiano de cualquier conjunto de conjuntos. Definiré esta noción aprovechando los resultados sobre ordinales obtenidos anteriormente.

CLASES Y CONJUNTOS 29 DEFINICIÓN 9 Si α es un ordinal, el producto cartesiano generalizado de la familia (conjunto) de conjuntos {X β β < α}, β<α X β, es la familia de funciones { f f : α X β, f (β) X β }. β<α En otras palabras, β<α X β es el conjunto de todas las funciones de α en la unión de todos los X β que mapean el índice β en su correspondiente conjunto X β. TEOREMA 34 Existe el producto cartesiano β<α X β de toda familia de conjuntos {X β β < α}. Demostración: Por el axioma de elección existe una función E que asocia a cada A β<α X β no vacío un elemento E(A) A. En particular, para cada x β<α X β, E({x}) está definido y es igual a x. Sea φ(f ) la fórmula definida por la condición φ(f ) f es una función de α en β<α X β (14) f (i) = E({x}) para algún x X β. (15) Por el axioma esquema de la existencia de conjuntos (teorema 6) existe un conjunto F tal que f F ( f α β<α X β φ(f ) ). F es precisamente el producto β<α X β. 5. Equipolencia La relación de equinumerosidad o equipolencia entre conjuntos posee varias propiedades interesantes que además permiten el tratamiento de los números cardinales. La primera es bastante obvia: cada conjunto es equipolente a sí mismo. TEOREMA 35 Para todo conjunto A, A A.

30 GARCÍA DE LA SIENRA Demostración: Si A es vacío, es equipolente a = 0 = A. Si A no es vacío, la función identidad ι: A A establece una biyección entre A y sí mismo. Es un corolario obvio del teorema 35 que A A. Cabe preguntarse si la relación es completa sobre la clase de los conjuntos; es decir, si siempre podemos comparar conjuntos dados A y B entre sí. La respuesta es afirmativa y se establece como el siguiente teorema. TEOREMA 36 Para cualesquiera conjuntos A y B: A B o B A. Demostración: Por el teorema de la numeración (31) existen ordinales α y β tales que A α y B β. Entonces hay respectivas biyecciones f : A α y g : B β. Por el teorema 22 (4), α < β, β < α o α = β. Si α < β, α β y existe una inserción i : α β. En tal caso, la composición f i g 1 es una inserción de A en B. Si β < α, β α y existe una inserción j : β α. En este segundo caso, la composición g j f 1 es una inserción de B en A. Finalmente, si α = β, y ι: α β es la función identidad de α, la composición g 1 ι f es una biyección de A en B. Es intuitivo que si A B y B A entonces A B. Sin embargo, la demostración de este resultado conocido como el teorema de Schröder- Bernstein no es tan sencilla. TEOREMA 37 (SCHRÖDER-BERNSTEIN) Si A B y B A entonces A B. Demostración: Supóngase que A B y B A. Esto significa que existen inserciones f : A B y g : B A. Si alguna de las inserciones es sobre, es una biyección y tenemos A B. Puede suceder, sin embargo, que los conjuntos A g (B) y B f (A) sean no vacíos. En tal caso construiremos una biyección h entre A y B del modo siguiente. Definimos la secuencia de funciones ϕ k recursivamente: ϕ 1 = g f ; ϕ k+1 = ϕ 1 ϕ k. Análogamente, definimos la secuencia ψ k : ψ 1 = f g ; ψ k+1 = ψ 1 ψ k. Si A 0 = A g (B) y ϕ 0 es la función identidad, definimos el conjunto A A como la unión k<ω ϕ k (A 0 ). Análogamente, si B 0 = B f (A) y ψ 0 es la función identidad, definimos el conjunto B B como la unión k<ω ψ k (B 0 ). Definimos además A B como k<ω ϕ k [g (B 0 )] y B A como k<ω ψ k [f (A 0 )]. Sea h A = f A A, h B = g 1 A B

CLASES Y CONJUNTOS 31 y h = f A. Mostraremos que h = h A h B h es una biyección entre A y B, para lo cual es suficiente establecer que B A = f (A A ), A B = g (B B ) y B = f (A ). Tenemos, en primer lugar, y B A y ψ k [f (A 0 )]para algúnk (16) Además, k veces {}}{ y (f g ) (f g ) f (A 0 ) (17) k veces {}}{ y f (g f ) (g f )(A 0 ) (18) y f ϕ k (A 0 ) = f [ϕ k (A 0 )] (19) x ϕ k (A 0 )tal que y = f (x)para algúnk (20) x A A tal que y = f (x) (21) y f (A A ). (22) x A B x ϕ k [g (B 0 )]para algúnk (23) k veces {}}{ x (g f ) (g f ) g (B 0 ) (24) k veces {}}{ x g (f g ) (f g )(B 0 ) (25) x g ψ k (B 0 ) = g [ψ k (B 0 )]para algúnk (26) x g (B B ). (27) Finalmente, sea y un elemento arbitrario de B. Entonces y B y B (B A B B ) (28) y (B B A ) (B B B ) (29) y B B A y y B B B (30) y B y y B A y y B B. (31) Ahora bien, en primer lugar, y tiene que ser igual a f (x) para algún x A, pues de lo contrario y estaría en B 0 = B f (A) B B. En segundo lugar, este x no puede estar en A A, pues en tal caso y = f (x) estaría en f (A A ) = B A. En tercer lugar, este x tampoco puede estar en A B = g (B B ), pues si estuviera tendríamos

32 GARCÍA DE LA SIENRA y = f (x) f [g (B B )] B B. Se concluye que x está en A y, por ende, f (A ) = B. Otras propiedades de las relaciones, y se recogen en el siguiente teorema, cuya demostración se deja al lector. TEOREMA 38 Para cualesquiera conjuntos A, B y C: (1) Si A B y B C entonces A C. (2) Si A B y B C entonces A C. (3) Si A B y B C entonces A C. (4) Si A B y B C entonces A C. (5) Si A B y B C entonces A C. (6) no A A. (7) Si A B entonces no B A. Sabemos que al menos el conjunto ω de los cardinales finitos cuya existencia ha quedado ya establecida es un conjunto infinito. Una curiosa propiedad de este conjunto, y en realidad de cualquier conjunto infinito, es que puede ser puesto en correspondencia biunívoca con algunos de sus subconjuntos propios. Este hecho es tan impactante que tanto a Galileo como a Bolzano les pareció que era paradójico (véase Bolzano 1889). Sin embargo, es una propiedad tan natural de los conjuntos infinitos que Richard Dedekind la usó como definitoria de los mismos. Es posible demostrar, desde luego, que es necesaria y suficiente para la infinitud de un conjunto, conforme a nuestra definición. TEOREMA 39 Un conjunto A es infinito syss satisface la condición de Dedekind; es decir, syss existe una biyección entre A y algún subconjunto propio del mismo. Demostración: Mostraremos primero que si A es infinito entonces satisface la condición de Dedekind. En efecto, si es infinito, A y no existe biyección entre A y cualquier número natural. Por lo tanto, si α es un ordinal tal que A α, α ω y, por consiguiente, hay una inserción i : ω α. Consideremos la función identidad ι: α α. Claramente, la restricción de ι a ω α es i. Sea f : ω ω la función tal que f (n) = 2n. La función g tal que g ω = f y g (α

CLASES Y CONJUNTOS 33 ω) = ι (α ω) es una biyección entre α y β = {m m = 2n para algúnn ω} (α ω), el cual es un subconjunto propio de α. Si h es una biyección de A a α, sea B el conjunto h 1 (β). La función (h 1 β) g h es una biyección de A en B, como se muestra en el siguiente diagrama conmutativo. Para demostrar la conversa, basta observar que ningún número natural es equipolente a un subconjunto propio, ya que esto significaría que es igual a un número menor que él. Supóngase ahora que A satisface la condición de Dedekind y que B es un subconjunto propio de A equipolente a él. Si A fuera finito, B también lo sería. Si α A y β B son ordinales equipolentes respectivamente a A y B, α y β serían elementos distintos de ω que a la vez son idénticos. Esta contradicción establece que A no puede ser finito. Surge la pregunta de si hay conjuntos infinitos que no sean equipolentes a ω. La respuesta la dio Georg Cantor probando el siguiente resultado. TEOREMA 40 (CANTOR) Para todo conjunto A, A pot A. Demostración: Sea f la función f : A pot A que asigna a cada x A el conjunto unitario {x} en pot A; esto establece que A pot A. Supóngase que A pot A y sea g una biyección de A en pot A. Sea B el conjunto {x A x g (x)}. Como B A, B pot A, de manera que existe x A con B = g (x). Lo curioso es que si x B entonces satisface la condición de pertenencia a B y entonces x g (x) = B; además, si x B, entonces x g (x) y satisface la condición de pertenencia a B, por lo que x B. Así, la suposición de que existe tal biyección g no puede ser verdadera, pues implica la antinomia x B syss x B. 6. Números cardinales El símbolo ℵ 0 denota el cardinal del primer ordinal infinito; es decir, ω. ℵ n+1 denota el cardinal de potℵ n. Los alefs son consecutivos, en el sentido de que no hay ningún cardinal entre dos alefs consecutivos. TEOREMA 41 Para cualquier n, no existe ningún cardinal κ tal que ℵ n < κ < ℵ n+1. Lo que la famosa hipótesis del continuo dice es que el cardinal del continuo,, es ℵ 1 ; es decir, que es equipolente a potω.