Gènius, a good idea in Maths Ximo Beneyto. Tema : Pàgina 1

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ESPACIOS VECTORIALES. Indice DEFINICION.... 2 Suma de Vectores... 2 Prod. por un escalar... 2 SISTEMA DE VECTORES... 5 COMBINACION LINEAL... 5 ENVOLTURA LINEAL... 5 DEPENDENCIA LINEAL... 5 SISTEMA DE GENERADORES o SISTEMA GENERADOR... 6 BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL... 7 SUBESPACIO VECTORIAL... 8 TEOREMA DE CARACTERIZACION DE SUBESPACIOS VECTORIALES... 8 OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIALES... 9 < SUMA DE SUBESPACIOS... 9 < INTERSECCION DE SUBESPACIOS... 10 < UNION DE SUBESPACIOS... 11 TEOREMA DE LA DIMENSION... 11 CAMBIO DE BASE en un Espacio Vectorial... 12 Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 2

ESPACIO VECTORIAL I. Definición. Dado un conjunto E, no vacío, y un cuerpo ( K, +, A ), decimos que el conjunto E tiene estructura de Espacio Vectorial sobre el cuerpo K, si las operaciones: ( Suma de Vectores ) + : E E 6 E / (, ) 6 + ( Producto por un Escalar ) A : K E 6 E / (", ) 6 " A Cumplen las siguientes propiedades: 1. ASOCIATIVA ( + ) + = + ( + ) L.C.I. 2. CONMUTATIVA ( + ) = ( + ) 3. ELEMENTO NEUTRO 0 E / + = + = 4. ELEMENTO SIMETRICO œ 0 E, - 0 E / +(- )= œ,,, 0 E 5. DISTRIBUTIVA A respecto + 6. DISTRIBUTIVA + respecto A " A ( + ) = " A + " A œ ", $ 0 K (" + $) A = " A + $ A 7. ASOCIATIVA MIXTA " A ( $ A ) = (" A $) A ( E, r ) GRUPO ABELIAN O 8. NEUTRALIDAD 1 A = 1 0 K L.C.E. Un ejemplo importante de la estructura de Espacio Vectorial nos lo da el conjunto (ú 3 ), formado por ternas de números reales con las siguientes operaciones: Suma de Vectores ( a,b,c ) + ( d,e,f ) = ( a + d, b + e, c + f ) œ (a,b,c), (d,e,f) 0 ú 3 Producto por un Escalar " A ( a,b,c ) = ( "Aa, "A b, "A c ) œ " 0 ú y œ (a,b,c) 0 ú 3. Siendo '+' la suma usual en R, y 'A' el producto usual de números reales. Es fácil comprobar, que estas dos operaciones satisfacen las ocho propiedades que dotan a ú 3 de estructura de Espacio Vectorial, siendo (ú, +, A) el cuerpo sobre el que construímos la estructura. son: Las diferentes formas de expresar un Espacio Vectorial construído sobre un cuerpo K Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 3

(E(K,+,A),+,A) ; (E(K),+,A), si se sobrentienden las operaciones en el cuerpo K, ó E simplemente, dando por supuesto el cuerpo K y las operaciones. A lo largo del tema, hablaremos simplemente de (E(K),+,A), como Espacio Vectorial, y, a menos que se especifique lo contrario, con las operaciones usuales de suma de vectores y producto por un escalar y el cuerpo K, será el cuerpo ú de los números reales. Por cierto, a un Espacio Vectorial construído sobre ú le llamaremos Espacio Vectorial Real. A los elementos de E, les llamaremos VECTORES, notamos,,,... y a los elementos del cuerpo K, ESCALARES, ", ß,... Por el momento, hemos indicado con el signo "A" el producto de un escalar por un vector, y mediante el símbolo "A", el producto de dos escalares, a partir de ahora cualquier producto que haya, lo notaremos con el símbolo usual "A", dejando al estudiante la tarea de distinguir el producto al que se refiera este símbolo según el contexto. Lo mismo ocurre con el signo "+" que puede representar la suma de dos escalares de K, o bien, la suma de dos vectores de E, "+" hasta ahora. Tal como hemos hecho con el producto, notaremos con el símbolo usual "+", dejando al estudiante la tarea de distinguir la suma a la que se refiera este símbolo según el contexto. "A" puede representar: * Producto de dos escalares ("A" hasta ahora) * Producto de un escalar por un vector ("A" hasta ahora) "+" puede representar: * Suma de dos escalares ("+" hasta ahora) * Suma de dos vectores ("+" hasta ahora) Otros ejemplos de Espacios Vectoriales: Ejemplo 1 Conjunto: ú 2 = { (a,b) / a,b 0 ú } Cuerpo : (ú,+,a) el cuerpo de los números reales Operaciones: Suma de Vectores: (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b') * œ (a,b), (a',b') 0 ú² Producto por un Escalar: "A (a,b) = (" A a, " A b) * œ " 0 ú Espacio Vectorial Real: (ú²(ú),+,a), o simplemente ú² ( ú-dos ) Ejemplo 2 Conjunto: ú n = { (x 1,x 2,...,x n ) / x 1,x 2,...,x n 0 ú } Cuerpo : (ú,+,a) el cuerpo de los números reales Operaciones: Suma de Vectores: (x 1,x 2,...,x n ) + (x 1 ',x 2 ',...,x n ') = (x 1 + x 1 ', x 2 + x 2 ',...,x n + x n ') œ (x 1,x 2,...,x n ) (x 1 ',x 2 ',...,x n ') 0 ú n Producto por un Escalar: "A (x 1,x 2,...,x n ) = ("A x 1,"A x 2,...,"A x n ) œ " 0 ú Espacio Vectorial Real: (ú n (ú),+,a) Ejemplo 3 Conjunto: P 2 [x] = { ax²+bx+c / a,b,c 0 ú } [ Polinomios en una indeterminada (x) de grado # 2 y coeficientes reales ] Cuerpo : (ú,+,a) el cuerpo de los números reales Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 4

Operaciones: Suma de Vectores: (ax²+bx+c) + (a'x²+b'x+c') = (a+a')x² + (b+b')x + (c+c'). Producto por un Escalar: "A(ax²+bx+c) = ("A a)x² + ("A b)x + ("A c). Espacio Vectorial Real: ( P 2 [x](ú), +,A) Ejemplo.4 Conjunto: Cuerpo : (ú,+,a) el cuerpo de los números reales Operaciones: Suma de Vectores: Producto por un Escalar: Espacio Vectorial Real: (M 2 (ú), +, A) ( A todas estas operaciones se les suele llamar operaciones USUALES en el Espacio Vectorial, y son las que se suelen sobreentender definidas cuando no se mencionan). Lógicamente, podríamos seguir citando numerosos ejemplos, algunos de ellos sobre el cuerpo Q de los números Racionales, otros sobre C, cuerpo de los números complejos que darían mayor riqueza al cuaderno, pero consideramos que para un nivel medio, basta con éstos. Recordemos también, que un vector de un Espacio Vectorial (E(K), +, A), es un elemento del conjunto E, así, de cada ejemplo mencionado: (2,6) es un VECTOR de (ú²(ú), +, A); (1,-2,8,...,2) es un VECTOR de (ú n (ú), +, A) ; 3x²+2x+5 es un VECTOR de (P 2 [x](ú), +, A) ; es un VECTOR de (M 2 (ú), +, A). Antes de continuar, hay varios elementos en un Espacio Vectorial de gran importancia, a saber: * El VECTOR 0 E ( Elemento Neutro de la SUMA de VECTORES en E, imprescindible, casi siempre garantiza la existencia de algún elemento en el conjunto y por consiguiente que sea no vacío). (0,0) en ú², 0x²+0x+0 en P 2 [x], etc. * El ESCALAR 0 0 K ( Elemento Neutro de la SUMA de ESCALARES en K, ojo! no confundir con el vector ) * El ESCALAR 1 0 K ( Elemento Neutro del PRODUCTO de ESCALARES en K) Veamos qué propiedades inmediatas podemos deducir de la definición de Espacio Vectorial, que a su vez nos permitan operar con mayor soltura en los casos concretos: Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 5

PROPIEDADES 1. "A = œ " 0 K 2. 0A = œ 0 E 3. Si "A = Y " = 0 ó = 4. Si "A = "A y " 0 Y = 5. Si "A = ßA y Y " = ß 6. (-")A = "A(- ) = - ("A ) 7. (-")A(- ) = "A Siendo ", ß 0 K y, 0 E. En el apartado de Cuestiones, desarrollaremos alguna de estas propiedades. No obstante, te propongo un buen ejercicio matemático: Escribir las propiedades anteriores sobre Espacios Vectoriales concretos como (ú²(ú), +,A) y (M 2 (ú), +,A ). II. SISTEMA DE VECTORES Dado un espacio vectorial ( E(K), +, A ) llamamos SISTEMA DE VECTORES a cualquier subconjunto de vectores del conjunto E. El SISTEMA DE VECTORES es FINITO si está formado por un número finito de vectores e INFINITO si está formado por INFINITOS vectores. Ejemplo : A = { (1, 1, 2), (2, 1, 3) } es un SISTEMA FINITO de vectores formado por 2 vectores A = { " A (1, 1, 2) + $ A (2, 1, 3) / ", $ 0 ú } es un SISTEMA INFINITO de vectores A lo largo del tema, entenderemos por SISTEMA DE VECTORES a un Sistema finito de vectores y, en ocasiones, también les llamaremos FAMILIA de vectores. III. COMBINACION LINEAL Definición: Dado el Espacio Vectorial (E(K),+,A), llamamos combinación lineal de los vectores de E, a una expresión de la forma: Ejemplo: Una combinación lineal de los vectores (1,2,3), (4,5,6) sería por ejemplo, 3A (1,2,3) + 7A (4,5,6). Observemos que el resultado de una combinación lineal de vectores es un nuevo vector del Espacio Vectorial, en el ejemplo anterior, el resultado de la combinación lineal sería el vector (31,41,51). IV. ENVOLTURA LINEAL Definición: Llamamos ENVOLTURA LINEAL de un Sistema de vectores y notamos Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 6

es decir: al conjunto de todas las combinaciones lineales que podemos formar con los vectores, Las formas más habituales de expresar la envoltura lineal del Sistema ó Lógicamente, para que un vector pertenezca a la envoltura lineal de un Sistema de vectores, deberá poderse expresar como Combinación Lineal de los mismos. son: V. DEPENDENCIA LINEAL Definición: Dados los vectores de un Espacio Vectorial (E(K), +, A ), diremos que son Linealmente Independientes si la única combinación lineal de los mismos que da el vector todos sus escalares valen cero. Es decir: es aquella en la que [ De forma intuitiva entre vectores independientes no hay ninguna relación lineal entre ellos ] En caso contrario, es decir, si podemos encontrar escalares no todos nulos tal que el resultado de la combinación dé el vector cero, diremos que los vectores son linealmente dependientes. Es decir: son linealmente dependientes si: [ En cambio, entre vectores dependientes siempre hay relación lineal entre ellos ] En cualquier caso, para analizar mediante la definición la dependencia lineal de un Sistema de vectores, propondremos una Combinación Lineal de éstos con escalares genéricos que dé el vector cero y resolveremos : i) Si los escalares son todos nulos Y los vectores son Linealmente Independientes. ii) Si no necesariamente son nulos Y los vectores son Linealmente Dependientes. Otras notaciones, a los vectores Linealmente Independientes les llamaremos VECTORES LIBRES y a los Linealmente Dependientes, VECTORES LIGADOS. Sistema INDEPENDIENTE/LIBRE, Sistema DEPENDIENTE/LIGADO respectivamente Ejemplo. Estudiar la dependencia lineal de los vectores (1,1,0), (2,0,-1), (0,1,1) de ú 3 Tal como hemos sugerido en la definición, vamos a plantear una combinación lineal de estos vectores que dé el vector (0,0,0) de ú 3. Sean ", ß, : 0 ú / "A (1,1,0) + ßA (2,0,-1) + :A (0,1,1) = (0,0,0), operando con las leyes usuales de ú 3 (", ", 0) + (2ß,0,-ß ) + (0,:,:) = (0,0,0) (" + 2ß, " +:, -ß + :) = (0,0,0) Y " + 2 $ = 0 Resolviendo: " = - 2 $ " = 0 " + : = 0-2 $ + : = 0 : = 2 $ : = 0 - $ + : = 0 - $ + : = 0 - $ + 2 $ = 0 Y $ = 0 $ = 0 Por tanto " = ß = : = 0, los VECTORES son Linealmente Independientes. Ejemplo. Estudiar la dependencia lineal de los vectores (2,3),(-4,-6) de ú² Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 7

De la misma forma, sean ", ß 0 ú / "A (2,3) + ßA (-4,-6) = (0,0) [ ojo! solo dos ceros, Estamos en ú²!] y operando con las leyes usuales de ú² (2", 3") + (-4ß, -6ß) = (0,0) (2" - 4ß, 3" - 6ß) = (0, 0) Y 2" - 4 $ = 0 Resolviendo: " = 2 $ 3" - 6$ = 0 6 $ - 6$ = 0 Y 0 A $ = 0 $ puede ser cualquier valor, no necesariamente cero. Así pues, estos VECTORES son Linealmente Dependientes. [ Observa que el segundo vector se puede obtener a partir del primero multiplicando por -2 (Relación Lineal)] A partir de la definición de Dependencia Lineal, vamos a extraer una serie de consecuencias. 1. Cualquier Sistema de vectores que contenga al vector, es Linealmente Dependiente. 2. Si el Sistema es Linealmente Dependiente, cualquier Sistema que lo contenga también será Linealmente Dependiente. 3. Si { } es Linealmente Independiente, cualquier subsistema suyo también será Linealmente Independiente. 4. Una Sistema de vectores es Linealmente Dependiente ] alguno de sus vectores es combinación lineal de los demás. 5. Si { } es LIGADO y { } es LIBRE, q < p, => < > = < > VI. SISTEMA DE GENERADORES o SISTEMA GENERADOR Definición: Sea (E(K),+, A) un Espacio Vectorial, un Sistema de vectores {,,..., } d E, diremos que es un Sistema Generador del Espacio Vectorial E, si cualquier vector de E lo podemos obtener mediante combinación lineal de los vectores Es decir: œ 0 E podemos encontrar " 1, " 2,..," p 0 K / Si un Sistema de vectores {,,..., } es Sistema Generador de un Espacio Vectorial E, entonces <,,..., > = E. VII. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL Definición: Sea (E(K),+,A ) un Espacio Vectorial sobre un cuerpo K, un Sistema de vectores { 1, 2,... n } f E diremos que es una base de E si: i) { 1, 2,... n } es un Sistema Linealmente Independiente ii) { 1, 2,... n } es un Sistema Generador del Espacio E. Podemos citar, como ejemplo, la Base Canónica de ú 3, B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Es sencillo comprobar que satisface las dos condiciones para ser Base de ú 3, es decir, está formada por vectores Linealmente Independientes y son Sistema Generador de ú 3. Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 8

Al número de vectores que forman parte de una Base le llamaremos: DIMENSION DEL ESPACIO VECTORIAL, dim E. ( En este nivel trabajaremos solamente con Espacios Vectoriales de dimensión finita, quedando los de dimensión infinita para los más eruditos). Son ejemplos de Espacios de dimensión conocida: dim ú² = 2 ; Una Base = {(1,0),(0,1)}, formada por dos vectores. dim P 2 [x] = 3 Una Base = { x², x, 1 } formada por tres vectores, etc... Si E = { } Y dim E = 0 y no posee base. Ya que para demostrar que un Sistema de vectores forma una Base, debemos demostrar dos condiciones, anotaremos cuatro propiedades que nos simplificarán de forma notable esta tarea: * Todas las Bases de un Espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. * La dimensión de un Espacio indica el número máximo de vectores de un Sistema que pueden ser L.I. * En todo Espacio Vectorial, distinto de cero, siempre es posible definir una base. * En un Espacio vectorial de dimensión "n", "n" vectores Linealmente Independientes forman BASE. * En un Espacio vectorial de dimensión "n", "n" vectores Sistema Generador forman BASE. Con las que, conocida la dimensión del Espacio Vectorial, basta con comprobar la Independencia Lineal o Sistema Generador para poder afirmar si un Sistema de vectores es o no Base del Espacio. Es preciso anotar una propiedad de las Bases que nos dice: Respecto de una Base, un vector se expresa como Combinación Lineal de los vectores de la misma, de forma única Si tenemos en cuenta que los escalares de la Combinación Lineal de un vector respecto de una Base se llaman COMPONENTES, obtendremos que las componentes de un vector respecto de una Base, son únicas. Si B = { 1, 2,... n } es una base del Espacio Vectorial E, cada vector combinación lineal de los vectores de la Base B, de forma única.. A x 1,x 2,..., x n se les llama COMPONENTES de 0 E puede expresarse como en la Base B, y nos permiten escribir un vector de todas estas formas: ó ó VIII. SUBESPACIO VECTORIAL Definición. Sea un Espacio Vectorial (E(K), +, A ), y un subconjunto no vacío S d E, decimos que S es un Subespacio Vectorial de E, si S tiene estructura de Espacio Vectorial con las Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 9

operaciones definidas en E. Son subespacios triviales de E, el subespacio { }, con 0 E y el mismo Espacio E. En la práctica, el empleo de la definición resulta muy engorroso, para poder operar con menor dificultad, daremos un teorema de caracterización de Subespacios. A. TEOREMA DE CARACTERIZACION DE SUBESPACIOS VECTORIALES Dado un subconjunto no vacío, S, de un Espacio Vectorial (E(K), +, A), S tiene estructura de Subespacio Vectorial de E si : En la práctica se suele emplear la caracterización de la derecha, y no es mala idea comprobar previamente que el vector del Espacio E, satisface las condiciones que caracterizan al conjunto S, ya que si ó S, entonces S ya no puede ser Subespacio Vectorial de E, al carecer de elemento neutro para la Suma de Vectores. Ejemplo: Sea S = { (a,b,c) 0 ú 3 / a + b + c = 0 }, demostrar que S es Subespacio Vectorial de ú 3. [ (1, 1, -2), (0, 0, 0), (2, -3, 1),... son vectores del conjunto S ] DEMOSTRACION: Para demostrarlo vamos a emplear el teorema de caracterización de Subespacios. El conjunto S no es vacío, pues al menos el vector (0,0,0) 0 S ya que 0 + 0 + 0 = 0 Sean = (a,b,c), = (a',b',c') 0 S * ", ß 0 ú * Y "A + ßA 0 S? "A + ßA = "A (a,b,c) + ßA (a',b',c') = ( "Aa + ßAa', "A b + ßAb', "A c + ßA c'), Como : ( Comprobando la condición que caracteriza a los vectores de S ) ("Aa + ßAa') + ("A b + ßAb') + ("A c + ßA c') = "A (a + b + c) + ßA (a' + b' + c') = "A 0 + ßA 0 = 0 Y "A + ßA 0 S œ ", ß 0 ú Y En virtud del teorema de caracterización, S tiene estructura de Subespacio Vectorial de ( R 3 (R),+,A ). Puesto que un Subespacio Vectorial tiene estructura de Espacio Vectorial, vamos a hallar una base y la dimensión del subespacio anterior. Procedamos: 1, -1) œ (a,b,c) 0 S Y a + b + c = 0 Y c = - a - b, sustituyendo, tendremos: (a,b,c) = (a, b, -a-b) = (a, 0, -a) + (0, b, -b) = a (1, 0, -1) + b (0, 1, -1). Es decir, cualquier vector del Subespacio S, se puede expresar como combinación lineal de los vectores (1, 0, -1),(0, Y S = < (1,0,-1), (0,1,-1) >, o lo que es lo mismo, el Sistema de vectores {(1,0,-1), (0,1,-1)} forma un Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 10

Sistema de Generadores de S. Como además es fácil comprobar que son Linealmente Independientes Y forman una base de S, y como la base está formada por dos vectores Y dim S = 2. Resumiendo: S es un Subespacio Vectorial de ú 3 Base de S = {(1,0,-1),(0,1,-1)} dim S = 2. Ecuaciones cartesianas que definen al subespacio S, a + b + c = 0 Atención al hecho de que la base obtenida no es la única posible de S!. Una idea importante : La envoltura lineal de un Sistema de vectores tiene estructura de subespacio vectorial IX. FORMAS MÁS FRECUENTES DE EXPRESAR UN SUBESPACIO VECTORIAL A. Mediante un Sistema Generador En cualquier caso, tomando los vectores Linealmente Independientes, obtenemos una BASE y su envoltura lineal nos daría el Subespacio. Ejemplo. Sea S / Sistema Generador de S = {(1, 2, 1),(0, 1, -1),(1, 3, 0)} Y S = <(1, 2, 1),(0, 1, -1),(1, 3, 0)> y obteniendo los vectores del Sistema Linealmente Independientes: Y Base de S = { (1, 2, 1), (0, 1, -1) } S = < (1, 2, 1), (0, 1, -1) > S = { " (1, 2, 1) + $(0, 1, -1) / ", $ 0> ú } dim S = 2 B. Mediante un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo (Ecuaciones Cartesianas) Todo subespacio vectorial se puede definir mediante un Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneo. Ejemplo. Sea S = { (x, y, z, t) 0 ú 4 / x + 2y + z = 0 } Para hallar una base de S y su dimensión bastará con dar las soluciones del Sistema Homogéneo. œ (x, y, z, t) 0 S Y x + 2y + z = 0 Y x = -2y - z Y (x, y, z, t) = ( -2y-z, y, z, t) = y (-2, 1, 0, 0)+ + z ( -1, 0, 1, 0) + t (0, 0, 0, 1) Sistema Generador de T = { (-2, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Como son Linealmente Independientes Y Base de T = { (-2, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} dim T = 3 C. Mediante un Vector genérico del Subespacio Ejemplo. Sea Sistema Generador de. Como son Linealmente Independientes Base de dim A = 2 Para hacer el problema bonito, vamos a cerrar el ciclo, hallando las ecuaciones homogéneas que define Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 11

el Subespacio A Y X. OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIALES < A. SUMA DE SUBESPACIOS Sean S y T sendos Subespacios Vectoriales de un Espacio Vectorial (E(K), +, A ), definimos : Es decir, el conjunto S + T está formado por aquellos vectores del Espacio E, que se pueden obtener mediante la suma de un vector de S y un vector de T. Parece trivial indicar que cualquier vector de S pertenecerá a S+T (œ 0 S Y = + con 0 S, 0 T Y 0 S + T), y de la misma forma cualquier vector de T también será de S + T. < Propiedad: Sean S, T Subespacios Vectoriales de un Espacio Vectorial E, entonces S+T también tiene estructura de Subespacio Vectorial de E. Demostración: Sea E un Espacio Vectorial y S,T d E, sendos Subespacios Vectoriales de E, definimos S+T = { 0 E / } Para demostrar que el conjunto S+T tiene estructura de Subespacio Vectorial de E emplearemos el Teorema de Caracterización de Subespacios. i) S+T i? En efecto, como S es subespacio de E Y 0 S Como T es subespacio de E Y 0 T, así pues Y 0 S+T, y por tanto S+T i. ii) Sean 0 S+T ",ß 0 K 0 S+T?. Como 0 S+T Y ", ß 0 K Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 12

Por lo tanto S+T tiene estructura de Subespacio Vectorial de E, al cumplir las condiciones del Teorema de Caracterización. Cómo hallar el Subespacio S + T? Muy sencillo, sea B= una Base de S y B'= una base de T. œ 0 S + T Y Y Y S + T = Y Un Sistema de Generadores del Subespacio S+T será:, de manera que, de este Sistema vectores, los Linealmente Independientes formarán una base del Subespacio S + T. < B. INTERSECCION DE SUBESPACIOS Sean S y T sendos Subespacios Vectoriales de un Espacio Vectorial (E(K), +, A), definimos: Es fácil comprobar, que S 1 T también tiene estructura de Subespacio Vectorial ( Es un sencillo ejercicio demostrarlo utilizando el Teorema de Caracterización de Subespacios Vectoriales ) Demostración: Sea E un Espacio Vectorial y S,T d E, sendos Subespacios Vectoriales de E, definimos S1T = { v0e / v0s y v 0 T} (Observa que un vector del conjunto S 1 T se caracteriza por pertenecer simultaneamente al Subespacio S y al Subespacio T). i) S 1 T i? ii) En efecto, como S es subespacio de E Y 0 S Como T es subespacio de E Y 0 T 0 S y 0 T Y 0 S 1 T, y además S 1 T i. Por lo tanto, S 1 T tiene estructura de Subespacio Vectorial de E, al cumplir las dos condiciones del Teorema de Caracterización. Cómo hallar S 1 T? S 1 T está formado por los vectores que son comunes a S y a T. Para hallar una Base de S 1 T, igualaremos un vector genérico de S y otro de T, la resolución parametrizada nos dará los vectores de una Base del Subespacio Vectorial S 1 T, o bien, si conocemos las ecuaciones cartesianas que definen a ambos subespacios, reuniendo todas éstas en un único sistema, nos darán las ecuaciones que definen al subespacio S 1 T. Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 13

Finalmente, la suma de dos Subespacios Vectoriales es DIRECTA si cada vector del Subespacio Suma S+T, se puede obtener mediante la Suma de un único vector de S y un único vector de T. Caracterización: La Suma de dos Subespacios vectorilales es DIRECTA si la intersección de ambos es el vector. Cuando la SUMA de dos Subespacios es directa, notamos al nuevo subespacio SUMA DIRECTA como : S r T. Cuando la SUMA DIRECTA de dos Subespacios es el Espacio Vectorial E, entonces decimos que S y T son SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS. En particular, E tiene por suplementario a { } y { } tiene por suplementario a E. 6 En la sección de problemas indicaremos alguna técnica para hallar un subespacio suplementario de uno dado. Cómo hallar un subespacio suplementario de uno dado? No es dificil, veamos : Sea S d E un subespacio y sea una base de S Y Construyamos ahora una base del espacio E, tomando n - p vectores Linealmente Independientes ( un poco a ojo, eso sí ) ( Con vectores de la base canónica se amplía la mar de bien ) Base de. Si llamamos, es claro que S + T = E, ( tal como hacíamos en la construcción de S + T ) S 1 T = ( de lo contrario no serían Linealmente Independientes los vectores de la base de E) Y S r T = E Y T es un Suplementario de S. Naturalmente, T no es único, pues dependerá de los vectores con los que ampliemos la base de S. C. UNION DE SUBESPACIOS Sean S y T sendos Subespacios Vectoriales de un Espacio Vectorial (E(K), +, A), definimos: Es fácil comprobar, que en general, S c T no tiene estructura de Subespacio Vectorial. Para comprobarlo daremos un contraejemplo: Sea S = < (1,0,0) > y T = < (0,1,0) >; como (1,0,0) 0 S Y (1,0,0) 0 S c T como (0,1,0) 0 T Y (0,1,0) 0 S c T en cambio el vector (1,1,0), que es una combinación lineal de (1,0,0) y (0,1,0), no pertenece a S c T, pues no pertenece ni a S ni a T, vulnerando las condiciones del teorema de caracterización de Subespacios. PROPIEDAD S + T es el menor Subespacio Vectorial que contiene a S c T. PROPIEDAD S c T es Subespacio Vectorial ] S d T ó T d S. Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 14

XI. TEOREMA DE LA DIMENSION Sean S y T Subespacios de un Espacio Vectorial (E(K), +, A) se cumple que: y en particular, para el caso de que la suma de S y T sea DIRECTA: XII. TEOREMA DE LA BASE INCOMPLETA Si B = es una Base de S, siendo S un subespacio no nulo del Espacio Vectorial (E(K),+,A) podemos encontrar una base de E que contenga a todos los vectores de la base B. Es decir, toda base de un Subespacio Vectorial no nulo se puede ampliar a una base del Espacio total. Es decir, si dim E = n, existen n-p vectores / es una Base de E. Pues bien, es fácil comprobar que los vectores forman una Base de un Subespacio Suplementario de S, lo cual nos da un sencillo método de trabajo para obtener un Subespacio Suplementario de otro. No quisiera dejar de mencionar, antes de terminar, un subespacio muy peculiar, como es el subespacio { }, siendo 0 E. Ya hemos visto que tiene estructura de Subespacio Vectorial, no obstante carece de Base, ya que el vector es Linealmente Dependiente y su dimensión también será 0. Así: dim { } = 0. NOTA: Dejo a los más curiosos la tarea de demostrar que el conjunto { }, con 0 E, tiene estructura de Subespacio Vectorial, empleando el teorema de caracterización. XIII. CAMBIO DE BASE EN UN ESPACIO VECTORIAL En este apartado vamos a estudiar la relación que existe entre las componentes de un vector, cuando éstas van referidas a diferentes bases de un Espacio Vectorial. Para no manejar un excesivo número de subíndices, operaremos en un Espacio Vectorial ( E(k),+, A ) con dimensión 3, dim (E) = 3. Sean pues y sendas bases del Espacio Vectorial (E(k), +, A) Obviamente el hecho de ser base cada una de ellas, nos permitirá expresar cada uno de los vectores de una de las bases como combinación lineal de los vectores de la otra base. Supongamos, pues, conocida la relación de dependencia entre los vectores de B y B' mediante las igualdades : Para cualquier vector 0 E tendremos : Como B base Y Como B' base Y (II) Qué relación existe entre x 1, x 2, x 3 y x 1 ', x 2 ', x 3 ', conocida la relación (I)? Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 15

Puesto que el vector 0 E es el mismo de la relación (II) Y Y [ Relación fundamental entre las componentes de un vector referidas a diferentes bases ] Sustituyendo ahora las relaciones de (I) : [ Operando ] Y [ Al ser únicas las componentes de un vector en una base ] Ecuaciones conocidas como Ecuaciones del Cambio de Base de B a B'. Observa que los coeficientes de las x i ' son los mismos de la relación (I), pero en COLUMNAS. Al ser las ecuaciones del cambio de base de B a B', da la impresión de que deberían emplearse para sustituir en ellas las componentes de un vector en base B y obtener inmediatamente sus componentes en B'. Simple cuestión de notación, pero esto no es así. Hay que resolver el sistema obtenido para hallarlas. En el tema de matrices daremos la expresión matricial del cambio de base. Obviamente la relación (III) se generaliza a cualquier Espacio Vectorial de dimensión "n", apoyándose en los fundamentos de construcción de la demostración. Un poco de memoria Relación (I) Y NUEVA en función de VIEJA Relación (III) Y VIEJAS según NUEVAS. Coeficientes de la relación (I) en COLUMNAS Ejemplo : Sean las bases B 1 = { (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) } y B 2 = { (1, -1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } 1º Hallar las ecuaciones de cambio de base de B 1 a B 2 2º Si las componentes del vector 0 ú 3 en la Base B 1 son obtener sus componentes en la base B 2 1º Ya que no conocemos la relación que une las bases B 1 y B 2 tendremos que obtenerla. Hemos de hallar las Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 16

ecuaciones del cambio de base de B 1 a B 2 Y Obtengamos los vectores de la base B 2 como combinación lineal de los vectores de B 1 ( o sea, sus COMPONENTES ) Y (1, -1, 1)= a 11 A (1, 1, 0) + a 12 (1, 0, 1) + a 13 (0, 1, 1) Y Y (1, 1, 0) = a 21 A (1, 1, 0) + a 22 (1, 0, 1) + a 23 (0, 1, 1) Y Y (1, 0, 0) = a 31 A (1, 1, 0) + a 32 (1, 0, 1) + a 33 (0, 1, 1) Y Por tanto, con los coeficientes obtenidos, podemos escribir las ecuaciones del cambio de base de B 1 a B 2 Sustituyendo en la relación (III) de la teoría : Ecuaciones del cambio de base de B 1 a B 2 2º Si 0 ú 3 /. Sea sustituyendo en las ecuaciones obtenidas en el apartado anterior: Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 17

Problema : Sean B = { v 1, v 2 } y B' = { u 1 ', u 2 ' } sendas bases de (ú 2 (ú), +, A) a) Ecuaciones del Cambio de Base de B a B' b) Ecuaciones del cambio de base de B' a B c) Sea 0 ú 2 cuyas componentes en B son (5, 7) B. Halla de tres formas diferentes sus componentes en B' Tema : Espais Vectorials. Teoría Pàgina 18