EL COLEGIO DE MÉXICO CENTRO DE ESTUDIOS DEMOGRÁFICOS, URBANOS Y AMBIENTALES PROGRAMA DE MAESTRÍA EN DEMOGRAFÍA PROMOCIÓN 0-04 er Examen Parcial de Estadística Septiembre 7, 0 NOMBRE: Instrucciones: Esté examen está compuesto de 9 preguntas. TODAS sus respuestas finales deberán estar en TINTA y ENCERRADAS en un recuadro. De no hacerlo así no serán consideradas como válidas. El valor de cada pregunta aparece al final de la misma. Las preguntas a 5 hacen referencia a la figura y a las definiciones siguientes: línea de regresión, es la línea que minimiza la suma de errores al cuadrado; coeficiente de determinación, R, indicador que puede ser calculado como uno menos el cociente de la suma de los errores cuadrados y la suma de cuadrados total; suma de cuadrados total, es la suma de las desviaciones al cuadrado de cada una de las observaciones de Y respecto de su media. Justifique brevemente cada una de sus respuestas ( pto. c/reactivo) Figura. Considerando los cuatro puntos mostrados en el diagrama de dispersión, cuál es la línea que mejor representa el promedio de los datos de Y? (considere que el punto (0, 0) es una de las observaciones) a) Ya b) Yb c) Yc d) Yd e) Ye. Para los cuatro puntos muestrales, cuál es la línea que mejor representa a la línea de regresión? a) Ya b) Yb c) Yc d) Yd e) Ye 3. El coeficiente de determinación para la línea de regresión en la pregunta es: a) menor de 0 b) 0 c) entre.0 y.5 d).5 e) mayor de.5 4. Si la línea de regresión es forzada a pasar por el origen, cuál es la línea que mejor representan a la línea de regresión que incorpora esta restricción de intercepto igual a cero?
a) Ya b) Yb c) Yc d) Yd e) Ye 5. El coeficiente de determinación para la regresión de la pregunta 4 es: a) menor de 0 b) 0 c) entre.0 y.5 d).5 e) mayor de.5 6. Se tiene el modelo de regresión lineal Y i = β X i X 3i + u i donde el vector y toma la forma: y '= [ Y Y... Y00 ]. Se sabe que: y' y = 500, la suma de cuadrados de los errores es igual a, y Y =. Construya la tabla de ANOVA?, cuál será el valor del coeficiente de determinación ajustado, R, de este modelo de regresión ( ptos)? (ayuda: puede combinar notación escalar y matricial). 7. Considerando el modelo de regresión Y t = β X t + et, donde X t =+a para t=,...,5 y X t =-a cuando t=6,...,0 (4 ptos). a) Escriba la matriz X de la ecuación de regresión planteada. b) Muestre la matriz X X para este caso. c) Calcule la inversa de la matriz X X. d) Qué pasaría si a=0. Explique brevemente. 8. Según la hipótesis del ciclo de vida propuesta por Modigliani (975), las tasas de ahorro en una economía deberían ser reducidas si una gran parte de la población no se encuentra dentro de la fuerza de trabajo. Por otra parte, el ingreso no se espera que sea un factor demasiado importante, ya que la distribución por edad y la tasa de crecimiento de los ingresos constituyen el núcleo del comportamiento del ciclo de vida del ahorro. Con objeto de verificar empíricamente lo anterior, Sterling (977) estimo el modelo de regresión: sr = β pop5 pop75 dpi ddpi + u i i 3 i 4 i i i donde sr= tasa promedio de ahorros en el país i; pop5= porcentaje promedio de la población menor de 5 años en el país i; pop75= porcentaje promedio de la población mayor de 75 años en el país i; pdi= nivel promedio del ingreso per cápita (en dólares constantes) en el país i; y ddpi= tasa promedio de crecimiento del PDI (en porcentaje) en el país i. Con objeto de replicar algunos de los resultados encontrados por Sterling, el archivo bkw.dta contiene la información por él utilizada -correspondiente a un corte transversal de 50 países del mundo- donde se consideraron los valores promedio del periodo 960-970. En concreto, se le pide (6ptos.): a) Estime el modelo de regresión arriba enunciado. Interprete los resultados del modelo (incluya a la matriz de diagramas de dispersión). b) Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99% para 3 ˆβ. c) Construya e interprete, de ser posible, un intervalo de predicción individual para cuando pop5=40.0, pop75=5., pdi=500 y ddpi=.0 d) Verifique mediante una prueba gráfica y una numérica si el modelo cumple el supuesto de normalidad en los errores. e) Verifique mediante dos pruebas si el modelo presenta problemas de multicolinealidad. f) Estime el modelo considerando a las variables estandarizadas. Cuál es la utilidad de esta forma de estimar al modelo? Interprete sus resultados.
9. En un artículo Ros (009) intenta evaluar el papel que diferentes factores distribución del ingreso, gasto social y cambios demográficos- tienen en las tasas de pobreza de América Latina. El marco analítico adoptado por esté autor consistió en hacer que la pobreza dependiera del nivel de PIB por trabajador (PIB/Trabajador), el grado de desigualdad de la distribución del ingreso (GINI), del gasto social (GS) y de la estructura por edades de la población. Para Ros, el papel de los tres primeros factores es más o menos claro: en igualdad de condiciones, un aumento del PIB por trabajador, una menor desigualdad y un incremento del gasto social darán lugar a una reducción de la tasa de pobreza. El rol de la estructura de edad de la población es captado de dos formas diferentes: la primera, a través de la relación de dependencia (DEP), que alude a la razón de la población potencialmente no activa respecto a la población potencialmente activa; la otra es considerando a la población menor de 5 años (POB<5). El cuadro siguiente muestra parte de las estimaciones empíricas encontradas por Ros (n= países). Considerando esta información se le pide lo siguiente (4 ptos) América Latina ( países): factores determinantes de las tasas de pobreza urbana (estimaciones de MCO) Tasa de pobreza () () (3) (4) Constante -0.7 -.09-3.03-35.7 (.9) (.30) (.79) (.89) PIB/Trabajador -.03-0.96-0.54-0.77 (5.39) (4.8) (.83) (.63) GINI.08 0.9 0.86 0.7 (5.03) (4.3) (3.59) (.94) GS en % del PIB -. -0.99 (5.) (.84) DEP 0.5 0.6 (4.06) (4.5) POB<5.4.5 (4.0) (4.43) R ajustada 0.85 0.84 0.8 0.80 Nota: Los números en paréntesis corresponden a los valores t respectivos. Fuente: Tomado de Ros, Jaime (009). Reducción de la pobreza en América Latina: incidencia de los factores demográficos, sociales y económicos, Revista de la CEPAL, núm. 98, p. 4. a) Interprete los coeficientes-pendiente del modelo (). b) Cuales coeficientes resultan ser significativas y a qué nivel- en el modelo (3). c) Interprete R ajustada del modelo (4). d) En su opinión, cuál de los modelos es el mejor? Justifique brevemente su respuesta. 3
Datos de Sterling (977) id country sr pop5 pop75 dpi ddpi id country sr pop5 pop75 dpi ddpi Australia.43 9.35.87 39.68.87 6 Malta 5.48 3.54.47 60.05 8. Austria.07 3.3 4.4 507.99 3.93 7 Norway 0.5 5.95 3.67 3.03 3.6 3 Belgium 3.7 3.8 4.43 08.47 3.8 8 Netherlarids 4.65 4.7 3.5 740.7 7.66 4 Bolivia 5.75 4.89.67 89.3 0. 9 New Zealand 0.67 3.6 3.7 487.5.76 5 Brazil.88 4.9 0.83 78.47 4.56 30 Nicaragua 7.3 45.04. 35.54.48 6 Canada 8.79 3.7.85 98.88.43 3 Panama 4.44 43.56. 568.56 3.6 7 Chile 0.6 39.74.34 66.86.67 3 Paraguay.0 4.8.05 0.56.03 8 China (Taiwan).9 44.75 0.67 89.5 6.5 33 Peru.7 44.9.8 400.06 0.67 9 Colombia 4.98 46.64.06 76.65 3.08 34 Philippines.78 46.6. 5.0 0 Costa Rica 0.78 47.64.4 47.4.8 35 Portugal.49 8.96.85 579.5 7.48 Denmark 6.85 4.4 3.93 496.53 3.99 36 South Africa.4 3.94.8 65..9 Ecuador 3.59 46.3.9 87.77.9 37 South Rhodesia 3.3 3.9.5 50.96 3 Finland.4 7.84.37 68.5 4.3 38 Spain.77 7.74.87 768.79 4.35 4 France.64 5.06 4.7 3.8 4.5 39 Sweden 6.86.44 4.54 399.49 3.0 5 Germany (F.R.).55 3.3 3.35 457. 3.44 40 Switzerland 4.3 3.49 3.73 630.96.7 6 Greece 0.67 5.6 3. 870.85 6.8 4 Turkey 5.3 43.4.08 389.66.96 7 Guatemala 3.0 46.05 0.87 89.7.48 4 Tunisia.8 46.. 49.87.3 8 Honduras 7.7 47.3 0.58 3.44 3.9 43 United Kingdom 7.8 3.7 4.46 83.93.0 9 Iceland.7 34.03 3.08 900.. 44 United States 7.56 9.8 3.43 400.89.45 0 India 9 4.3 0.96 88.94.54 45 Venezuela 9. 46.4 0.9 83.39 0.53 Ireland.34 3.6 4.9 39.95.99 46 Zambia 8.56 45.5 0.56 38.33 5.4 Italy 4.8 4.5 3.48 390 3.54 47 Jamaica 7.7 4..73 380.47 0.3 3 Japan. 7.0.9 57.8 8. 48 Uruguay 9.4 8.3.7 766.54.88 4 Korea 3.98 4.74 0.9 07.68 5.8 49 Libya 8.89 43.69.07 3.58 6.7 5 Luxembourg 0.35.8 3.73 449.39.57 50 Malaysia 4.7 47. 0.66 43.69 5.08 Fuente: Tomado de Belsey, David A.; E. Kuh y R. E. Welsch (980). Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources od Colinearity, John Wiley & Sons, Estados Unidos, pp. 4-4. 4
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