Distribución conjunta de variables aleatorias
Distribución conjunta de probabilidad Hasta ahora estudiamos las posibles distribuciones de una única v.a. Pero muchos de las aplicaciones que enfrentamos en economía, finanzas, etc. se vinculan con la relación de dos o más variables aleatorias. a vimos el comportamiento de las probabilidades bivariadas conjunta, condicional marginal. Consideremos ahora el estudio de v.as. que pueden estar relacionadas
Distribución de probabilidad conjunta Sean e un par de v.as. discretas. La distribución de probabilidad conjunta epresa la probabilidad de ue simultáneamente tome el valor un valor específico tome un valor específico. Matemáticamente e p, P, 0
Distribución de probabilidad conjunta Recordemos nuestro ejemplo de una familia con tres hijos. consideremos ahora las siguientes dos variable aleatorias. Sea el número de mujeres en tres hijos sea el número de rachas :" # de mujeres en una familia con tres hijos" :" # de rachas en una familia con tres hijos" 0 1 2 3 1 2 3 p, P, Estadísca 2015 2016 - Tamara Burdisso
Distribución de probabilidad marginal Sin embargo pueden necesitarse las distribuciones de probabilidad marginal de las v.as. individuales cuando se estudian v.as. distribuidas conjuntamente. Sean e v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta p,. La distribución de probabilidad de la v.a. Se denomina distribución de probabilidad marginal se obtiene como P p P, De la misma manera se define la distribución marginal de P p P,
Distribución de probabilidad conjunta Recordemos nuestro ejemplo de una familia con tres hijos. consideremos ahora las siguientes dos variable aleatorias. Sea el número de mujeres en tres hijos sea el número de rachas :" # de mujeres en una familia con tres hijos" :" # de rachas en una familia con tres hijos" 1 2 3 p 0 0.14 0.00 0.00 0.14 1 0.00 0.26 0.13 0.39 2 0.00 0.24 0.12 0.36 3 0.11 0.00 0.00 0.11 p 0.25 0.50 0.25 1.00 P p P, P p P, Estadísca 2015 2016 - Tamara Burdisso
Propiedades de las distribuciones de probabilidad conjunta Sean e v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta p,. 1. La 0 p, 1 para cualquier par de valores e 2. P, p, 1
Distribución de probabilidad condicionada Sean v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta. La distribución de probabilidad condicionada de la v.a., dado que la v.a. toma el valor, es De la misma forma, la distribución condicionada de la v.a.,dado e, p,, / / p p P P p P,, / / p p P P p P
Independencia de variables aleatorias distribuidas conjuntamente Sean e v.as. discretas con distribución de probabilidad conjunta p, son independientes si sólo si su distribución de probabilidad conjunta es el producto de las marginales para todos los posibles valores e P, p, p p P P Por lo tanto se deduce que si e son independientes P / p P P / p P
Funciones lineales de v.as. Sean e v.as. discretas que tienen una distribución de probabilidad conjunta p, La esperanza de la función g, se define como g, E g, p, De especial interés es la siguiente función W a b g,
Funciones lineales de v.as. Sean e v.as. discretas que tienen una distribución de probabilidad conjunta p, La esperanza de la v.a. W a b es W E W a b la varianza de W a b 2 W Var W a 2 2 b 2 2 2abcov,
Covarianza correlación La distribución bivariada o conjunta de e es clave cuando las v.as. no son estadísticamente independientes. La dependencia de las v.as. puede ser de diversos tipos. Contar con una medida de la naturaleza del grado de relación entre ellas sería mu útil. Esto es bastante difícil de obtener porque la forma en que las v.as. pueden relacionarse son diversas. Por eso nos limitamos a analizar la posibilidad de que tengan una relación lineal entre ellas La covarianza es una medida de la relación lineal que eiste entre dos variables v.as. Sólo indica el sentido de la relación. Sin embargo eiste el coeficiente de correlación que además del sentido de la relación también informa sobre la intensidad de la relación.
Covarianza Sean e v.as. discretas con medias respectivamente. El valor esperado de se llama covarianza de entre e se representa como Una epresión alternativa es cov, E, E p, cov p,
Coeficiente de correlación Sean e v.as. discretas con distribución conjunta. El coeficiente de correlación entre e es cor, cov,
Diagrama de puntos. Coeficiente de correlación
Coeficiente de correlación Sean sea e v.as. discretas con distribución conjunta, el coeficiente de correlación. Entonces 1 1 1 si a b con a 1 si a b con a 0 0 0 0 no implica que e 0 sean independientes 0 se tiene independencia de e siempre que, tengan distribución normal
Ejemplo Un constructor no conoce con certeza los gastos de material mano de obra de cierto proecto, pero cree que los gastos de materiales siguen una v.a. con media $20000 desvío estándar $2000. El costo de la mano de obra asciende a $1200 diarios el número de días para realizar el proecto puede representarse mediante una v.a. con media 20 desvío 3 días. Suponiendo que los gastos de material mano de obra son independientes, cuál es la media la varianza del gasto total? Estadísca 2015 2016 - Tamara Burdisso