Tema III.Coordenadas Polares

2011 Tema III.Coordenadas Polares y x Gil Sandro Gómez Santos

Índice 3.1 Concepto de coordenadas polares 3.2 Gráfica de una ecuación polar 3.2.1 Discusión y trazado de curvas en coordenadas polares 3.3 Pendiente y rectas tangentes 3.4 Intersección entre curvas en coordenadas polares 3.5 Área de una curva en coordenadas polares Bibliografía Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 1

Tema III. Coordenadas Polares 3.1 Concepto de Coordenadas Polares Definición. Las coordenadas polares es un sistema de coordenadas que define la posición de un punto en un espacio bidimensional en función de los ángulos directores y de la distancia al origen de referencia. Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O llamado polo u origen, se traza un rayo inicial llamado eje polar. Sea P un punto cualquiera en el plano coordenado, la posición del punto P con relación al eje polar y al polo es determinado cuando se conocen r y θ. Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del punto P; donde r se denomina radio vector y θ ángulo polar o argumento de P. Un punto P se escribe (r, θ). La línea recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se llama eje normal o eje a 90. En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no sucede en coordenadas polares. Las Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 2

coordenadas (r, θ) y (r, θ+2n) representan el mismo punto, donde n es cualquier entero positivo. Teorema 1. Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden, respectivamente, con el origen y la parte positiva del eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de uno a otro puede efectuarse por medio de las siguientes fórmulas de transformación: 3.2 Gráfica de una ecuación polar Definición. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al menos, un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuación. 3.2.1 Discusión y Trazado de curvas en coordenadas polares La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seis pasos siguientes: 1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje normal. 2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje normal y el polo. 3. Determinación de la extensión del lugar geométrico. 4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada. 5. Trazado de la gráfica. 6. Transformación de la ecuación polar a rectangular. Ahora desarrollaremos los pasos 1, 2 y 3, los 4, 5 y 6 no es Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 3

necesario desarrollarlos. 1. Intersecciones. Las intersecciones con el eje polar, cuando existen, pueden obtenerse resolviendo la ecuación polar dada para r, cuando a θ se le asignan sucesivamente los valores 0, y en general ndonde n es un entero cualquiera. Análogamente, si existen algunas intersecciones con el eje normal, pueden obtenerse asignado a θ los valores de n/2, donde n es un número impar cualquiera. Si existe un valor de θ para el cual r=0, la gráfica pasa por el polo. 2. Simetría. Las simetrías de una curva se analizan mediante las siguientes transformaciones. Simetría con respecto al La ecuación polar no se altera o se transforma en una ecuación equivalente Eje polar Eje normal a) se sustituye a θ por θ o b) se sustituye a θ por θ y r por -r a) se sustituye a θ por θ o b) se sustituye a θ por θ y r por -r Polo a) se sustituye a θ por θ b) se sustituye a r por -r 3. Extensión del lugar geométrico. Para determinar la extensión de la gráfica de un lugar geométrico dado en coordenadas polares, primero se despeja a r en función de θ, de modo que tenemos si r es finito para todos los valores de θ, se trata de una curva cerrada. Si r es infinita para ciertos valores de θ la gráfica no es una curva cerrada. Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva; tales valores constituyen intervalos excluidos del lugar geométrico. Si la gráfica es una curva cerrada, es útil, determinar los valores máximo y Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 4

mínimo de r. Ejemplo 1. Discuta y grafique la curva: f ( ) 4sen4 1. Intersecciones. a) Para hallar las intersecciones con el eje polar, evaluamos la función en los siguientes ángulos: Las intersecciones son: b) Con el eje normal: f (0) 4sen0 0 f ( ) 4sen4 0 f (2 ) 4sen8 0 2 f 4sen4 4sen2 0 2 2 3 2 3 3 f 4sen4 4sen6 0 2 2 Las intersecciones son: 0, 2 y 3 0, 2 2. Simetría. a) Con el eje polar Sustituimos a θ por θ f ( ) 4sen4( ) 4sen4 Como se puede observar, la ecuación se altera, por tanto no existe simetría con el eje polar. b) Con el eje normal Sustituimos a por Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 5

Tema III. Coordenadas Polares f ( ) 4sen4( ) 4 sen(4 4 ) 4sen4 cos 4 4sen4 cos 4 f ( ) 4sen4 La ecuación cambia, no existe simetría con el eje normal. c) Simetría con el polo Se sustituye a por f ( ) sen4( ) sen4 cos4 sen4 cos4 sen4 Comparando la ecuación resultando se llega a la conclusión de que ésta no varía, por tal motivo la curva es simétrica con el polo. Nota: Al analizar una curva en coordenadas polares y ésta no es simétrica a ninguno de los ejes, entonces lo es al polo. También es simétrica al polo, si lo es a ambos ejes. 3. Extensión del lugar geométrico. r 4sen4 Dado que los valores del radio son finitos, podemos decir que la curva es cerrada. 4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada. r 4sen4 θ 0 π/6 π/3 π/2 4π/6 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π r 0 3.46-3.46 0 3.46-3.46 0 3.46-3.46 0 3.46-3.46 0 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 6

5. Trazado de la curva y x Fig. 1 6. Transformar la ecuación de polar a rectangular Ahora podemos auxiliarnos del teorema 1 para hacer la transformación de polar a rectangular. Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 7

( ) ( ) Desarrollando la expresión (a): Agrupando términos en (b) nos queda la expresión: Si observamos la ecuación, nos daremos cuenta lo complicado que sería analizar, esta ecuación si no fuera en coordenadas polares. 3.3 Pendiente y rectas tangentes Teorema 2. Pendiente en forma polar Si f es una función derivable o diferenciable en θ, entonces la pendiente de la recta de la gráfica r f( ) en el punto (r, θ) es dy dy d f ( )cos f '( ) sen dx dx f ( ) sen f '( )cos ) d siempre que dx 0 en ( r, ) d Del teorema anterior se pueden sacar las siguientes conclusiones: dy 1. Las soluciones 0 d dan una tangente horizontal, siempre que dx d 0 dx 2. Las soluciones 0 d dan una tangente vertical, siempre que dy d 0 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 8

Ejemplo 2. Encuentre la pendiente y las tangentes horizontales y verticales de la función: Aplicando el teorema anterior, tenemos que: Sustituyendo (2) en (3): Derivamos las ecuaciones (4) y (5) respecto de : Dividimos (7) entre (6): Hemos encontrado la derivada de la función, ahora buscaremos las tangentes horizontales y verticales. Para determinar las tangentes horizontales, igualamos a cero la ecuación (7). Corresponde ahora que busquemos los valores de los ángulos que satisfacen a (9). Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 9

Evaluamos a (6) en (10) para saber si existe o no una tangente horizontal. ( ) ( ) ( ) Como 11 es diferente de cero, entonces existe una tangente horizontal en. Hagamos el análisis para ( ) ( ) ( ) Dado que (12) es diferente de cero, hay una tangente horizontal en. Ahora evaluamos a (2) en (10), para calcular las tangentes horizontales: ( ) ( ) ( ) ( ) Nota: El cálculo de las tangentes verticales se deja como ejercicio a los estudiantes. Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 10

Teorema 3. Rectas tangentes en el polo Si y, entonces la recta es la tangente a la gráfica en el polo. 3.4 Intersección entre Curvas en Coordenadas Polares Como fue planteado en la introducción del tema de coordenadas polares de que un punto en este sistema tiene más de una representación, es importante tener presente que cuando se va a determinar los puntos de intersección entre dos curvas; es conveniente realizar las gráficas. No todos los puntos de intersección pueden hallarse resolviendo la ecuación que resulta de la igualar las dos funciones. Ejemplo 3. Busque los puntos de intersección de las siguientes dos curvas dadas en coordenadas polares. Lo primero que tenemos que hacer es igualar las dos ecuaciones: Transponiendo términos: Para poder encontrar los valores de los ángulos que satisfacen a (5) es necesario auxiliarnos de la identidad del seno doble. La solución analítica de (6) nos lleva a la conclusión que los puntos de intersección entre las dos curvas se producen en los ángulos antes determinados. Para saber si existen otros puntos de Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 11

intersección, es necesario hacer las gráficas. y x Fig. 2 De acuerdo a lo observado en el dibujo, las curvas se cortan en los siguientes ángulos: 3.5 Área de una Curva en Coordenadas Polares Teorema 4. Área en coordenadas polares Si es continua y no negativa en [ ], entonces el área de la región limitada por la gráfica de entre las rectas radiales está dada por Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 12

Nota: esta fórmula puede ser utilizada para calcular el área de una región acotada por la gráfica de una función continua no positiva. La misma no es necesariamente válida si toma valores negativos y positivos en el intervalo [ ]. Ejemplo 4. Calcule el área acotada por la curva Primer paso. Dibujamos la curva para obtener los límites de integración. Recordamos que es necesario hacer la gráfica, porque esto nos ayuda en la obtención de los límites de integración. θ 0 π/6 π/3 π/2 4π/6 5π/6 π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π r -2 0.73 2.73 2-0.73-2.73 2 0.73 2.73 2-0.73-2.73-2 y x Fig.3 Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 13

Segundo paso. Igualamos a cero a (4), para hallar los valores de los ángulos que satisfacen la ecuación de la curva dada. Usando el concepto de función inversa en (6), obtenemos que: De (7) nos queda que:, El intervalo de integración es:* + Este análisis, es solamente para un pétalo, por lo que el resultado que se obtenga, es imprescindible multiplicarlo por cuatro para tener el área total. Tercer paso. Cálculo del área ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) El área total es cuatro veces la calculada: ( ) Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 14

Bibliografía 1. Larson, Hostetler y Edwards. Cálculo de varias variables, volumen II (Cálculo II), octava edición, McGraw-Hill, México, 2006. 2. Edwards & Penney. Cálculo con trascendentes tempranas, séptima edición, Pearson, México, 2008. 3. James Stewart. Cálculo de varias variables, sexta edición, CENGAGE, México, 2008. 4. Erwin J. Purcell,Varberg y Rigdon. Cálculo, novena edición, Pearson, México, 2008. Preparado por: Prof. Gil Sandro Gómez 15