PROBLEMS RESUELTOS SELECTIVIDD NDLUCÍ 0 MTEMÁTICS II TEM : MTRICES Y DETERMINNTES Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción Reserva, Ejercicio 3, Opción B Reserva, Ejercicio 3, Opción Reserva 3, Ejercicio 3, Opción Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B Sepiembre, Ejercicio 3, Opción Sepiembre, Ejercicio 3, Opción B hp://emesrada.wordpress.com
λ+ 0 Dada la mariz a) Calcula los valores de λ para los que la mariz + 3 no iene inversa. b) Para λ 0, halla la mariz X que verifica la ecuación X + I, siendo I la mariz idenidad de orden. MTEMÁTICS II. 0. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B a) Calculamos la mariz + 3 : λ+ λ+ λ+ + 3 + 3 λ + 3 0 0 0 λ + 5λ+ 4 0 Calculamos el deerminane de dicha mariz λ + 5λ+ 4 0 + 3 λ 0λ 8 0 λ; λ4 λ+ 3 Luego, la mariz + 3 no iene inversa para λ y λ4, ya que su deerminane vale cero. b) Resolvemos la ecuación maricial. a 0 0 0 0 0 a b a b b + c d 0 ac bd 3 ac b d 3 0 Resolviendo el sisema, enemos que la mariz que nos piden es: X 3 hp://emesrada.wordpress.com
Sean y B dos marices cuadradas de orden 3 cuyos deerminanes son Halla: 3 a) b) c) d) B, siendo B la mariz raspuesa de B. e) El rango de B. MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO 3. OPCIÓN. y B. a) 3 8 b) Sabemos que: I I ; luego en nuesro caso será: c) Si n es una mariz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que caso como es una mariz de orden 3, enemos que: n k k ; en nuesro ( ) ( 8) 4 3 d) B B B ( ) e) Como B 0, el rango de B es 3. hp://emesrada.wordpress.com
0 3 4 Dada la mariz 4 5 3 4 a) Demuesra que se verifica la igualdad 3 I, siendo I la mariz idenidad de orden 3. b) Jusifica que es inverible y halla su inversa. 00 c) Calcula razonadamene MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO 3.OPCIÓN B. a) Luego, se cumple que 3 3 0 3 4 0 3 4 0 4 5 4 5 4 4 3 4 3 4 3 3 0 3 4 0 0 0 4 5 4 4 0 0 3 4 3 3 0 0 I b) Calculamos 0 3 4 4 5 5+ 6 0 3 4 Tiene inversa Calculamos la inversa ( ) 0 0 4 3 4 4 0 d ( ) 4 3 3 3 4 4 3 3 c) 0 3 4 ( ) ( ) 4 5 3 4 00 99 3 33 33 I hp://emesrada.wordpress.com
0 0 0 0 Considera las marices 0 λ y B 0 0 0 λ 0 0 a) Hay algún valor de λ para el que no iene inversa?. b) Para λ, resuelve la ecuación maricial X B MTEMÁTICS II. 0. RESERV. EJERCICIO 3. OPCIÓN. a) Calculamos el deerminane de. λ + 0 No hay ningún valor real de λ para el cual el deerminane valga cero, luego, siempre iene inversa b) Calculamos la mariz X: Calculamos la inversa de : X B X B X B ( ) 0 0 0 0 0 0 d ( ) 0 0 X B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 hp://emesrada.wordpress.com
Sean y B dos marices que verifican: 4 B 4 + y 3 B a) Halla las marices ( + B)( B) y B b) Resuelve la ecuación maricial X XB ( + B) I, siendo I la mariz unidad de orden y ( + B) la mariz raspuesa de + B MTEMÁTICS II. 0. RESERV 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN. a) Resolvemos el sisema: 4 + B 3 6 6 3 3 ; 4 4 B 3 3 4 Susiuyendo, enemos: B 0 Calculamos: 4 4 6 0 ( + B)( B) 3 4 6 3 3 3 3 5 5 7 B 0 0 5 3 6 B 5 7 3 9 b) Resolvemos la ecuación maricial: X XB ( + B) I X( B) ( + B) I a b 4 4 3 0 a b 4a+ b 6 3 c d 0 c d 4c+ d 4 a b 6 4a + b 3 5 9 a ; b ; c ; d 0 c d 8 4 4c+ d 4 5 9 Luego, la mariz que nos piden es: X 8 4 0 hp://emesrada.wordpress.com
3 0 λ Sea la mariz 5 λ 5 λ 0 3 a) Deermina los valores de λ para los que la mariz I iene inversa, siendo I la mariz idenidad de orden 3. b) Para λ, resuelve la ecuación maricial X X + I MTEMÁTICS II. 0. RESERV 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. a) Calculamos la mariz 3 0 λ 0 0 0 λ I 5 λ 5 0 0 5 λ 5 λ 0 3 0 0 λ 0 Igualamos el deerminane de dicha mariz a cero: 0 λ λ λ λ + λ λ λ λ 3 5 5 0 ; ; λ 0 Luego, la mariz iene inversa para odos los valores de λ, y b) Resolvemos la ecuación maricial: X X + I X X I ( I) X I X ( I) I 4 5 8 4 0 8 0 3 0 5 3 5 d (( I) ) 8 5 4 8 0 4 I ( I) Luego, la mariz es X 4 0 8 5 3 5 8 0 4 hp://emesrada.wordpress.com
Dada la mariz a) Demuesra que + I y que + I, siendo I la mariz idenidad de orden. b) Calcula la mariz X que verifica la ecuación: + X + 5 4I MTEMÁTICS II. 0. RESERV 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. a) 3 4 3 3 0 + + I Es ciero. 4 3 4 0 Muliplicamos la igualdad anerior por a la izquierda: + I + I + I Es ciero b) Vamos a resolver la ecuación maricial + + : X 5 4I Muliplicamos por a la derecha. + X+ 5 4I + X + 5 4I + X + 5I 4 X 4 5I Susiuimos + I 0 0 3 X 4 5I 4( + I) 5I 3( + I) 3 + 0 6 0 hp://emesrada.wordpress.com
α 0 Dadas las marices α y B α a) Calcula el rango de dependiendo de los valores α. b) Para α, resuelve la ecuación maricial X B. MTEMÁTICS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN a) Calculamos el deerminane de y los igualamos a cero: α α α α+ α α 3 3 0 ; α Calculamos el rango de para los disinos valores: R() α α α y 3 b) Calculamos la mariz inversa de para α. ( ) Resolvemos la ecuación maricial. 3 3 3 3 d ( ) 3 3 4 4 3 0 0 3 4 3 X B X B hp://emesrada.wordpress.com
α Sean las marices α 3 y B 3 4 a) Calcula los valores de α para los que la mariz inversa de es. b) Para α 3, deermina la mariz X que verifica la ecuación X B, siendo raspuesa de. MTEMÁTICS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B la mariz a) Calculamos la mariz inversa de ( ) 3 α 3 d ( ) α α α 3 α 3 α 3 α α α α 3 α3 α 4 4 4 α 4 El único valor que verifica odas las igualdades es α 3 b) Calculamos la mariz inversa de para 3 α : ( ) Por las propiedades de las marices sabemos que: ( ) ( ) la ecuación maricial 3 3 α α 3 3, luego, la aplicamos para resolver 3 3 3 6 3 3 X B X ( ) B ( ) B 3 4 5 7 hp://emesrada.wordpress.com