Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 TEMA 7 GEOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos / Criterios de evaluación O.7. Concepto y propiedades de los vectores O.7. Operaciones con vectores: suma, resta, producto escalar ángulo entre vectores O.7.3 Ecuaciones de la recta: paramétrica, continua, vectorial. Transformación entre ellas. O.7.4 Posiciones relativas de dos rectas. O.7.5 Ecuación de la circunferencia. O.7.6 Posiciones relativas entre rectas y circunferencias Vectores (Páginas 0 y Def. Vector: Es un segmento orientado. Sus elementos son: Dirección: la recta en la que está contenido Sentido: uno de los dos polos de la dirección hacia el que apunta el vector. Se indica con una fecha. Módulo: o intensidad es la longitud del vector, tiene relación con la intensidad de la magnitud que representa. Punto de aplicación: punto del espacio donde se aplica el vector. Tipos de Vectores Vectores equipolentes: Son los que tienen igual sentido y módulo y direcciones paralelas. Vector deslizante: Es aquel cuyo punto de aplicación puede moverse libremente a lo largo de su dirección Vector libre: Es un vector que representa a una familia de vectores equipolentes. Se indica con las coordenadas cartesianas de su extremo supuesto su origen en el origen de Las coordenadas del vector de origen el punto A (a,a y de extremo el punto B (b,b AB=(b son a,b a. Operaciones con vectores libres (Página a 5 Suma analítica: La suma o resta de dos vectores se obtiene sumando o restando las coordenadas respectivas de los vectores sumandos. Suma vectorial: para sumar dos vectores vectorialmente se sitúa uno a continuación del otro. El vector resultante va desde el origen del primero al extremo del segundo. Para restar dos vectores se suma al minuendo el vector opuesto del sustraendo.
Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 Para multiplicar un vector por un escalar se multiplican las coordenadas del vector por el escalar. El resultado es un vector de la misma dirección y sentido y con el módulo igual al vector original multiplicado por el escalar. Combinación lineal de vectores: Un vector es combinación lineal de y si existen números reales a y b tales que w = a u+ b, v en ese caso u, v y w son linealmente dependientes. Descomponer un vector en otros dos y es encontrar los escalares a y b tales que. El módulo de un vector se calcula utilizando pitágoras entre sus dos componentes: u = u + u Las coordenadas del punto medio M de un segmento AB se calcular como: M( (a +b, (a +b El producto escalar de dos vectores y es un número k que se calcula multiplicando las coordenadas de los dos vectores y sumando el resultado. k uv u v u v también puede calcularse como k = u v cos(u,v El ángulo que forman dos vectores se puede calcular despejando el coseno de la fórmula del producto escalar. α = arcos Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar vale cero. Distancia entre dos puntos del plano. La distancia entre dos puntos A y B del plano es el módulo del vector AB. Se expresa d(ab. División de segmentos en partes iguales (u v u v w u v w u v w = a u+ b v = (u,u v = (v,v u Para dividir un segmento en partes iguales se utiliza el teorema de tales dividiendo sus
Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 Ecuación vectorial: 3 Ecuaciones de la recta (Páginas 6 y 7 p = a + t u Ecuaciones paramétricas: Se obtienen separando la ecuación vectorial en componente x = a + t v y = a + t v Ecuación continua: Se despeja el parámetro t de las paramétricas y se igualan los resultados x a v Ecuación general: A x + B y + C=0 y a = v Ecuación punto pendiente: y-a = m (x-a Ecuación explícita: y = m x + n siendo m la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen. Ecuación segmentaria: Siendo p y q los puntos de corte de la recta con los ejes de x p Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Siendo (a,a y (b,b los dos puntos por los que pasa la recta. 4. Posiciones relativas de dos rectas (página 8 Haz de rectas que pasan por un punto: se utiliza la ecuación continua y se modifica el vector. Haz de rectas paralelas: Se utiliza la ecuación explícita modificando la ordenada en el origen. Def. Rectas secantes: tienen sólo un punto en común Def. Rectas paralelas: no tienen ningún punto en común + x a a b Def. Rectas coincidentes: tienen infinitos puntos en común y q = y a = a b Para calcular la posición de dos rectas se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se forma con las ecuaciones de las dos rectas. La posición depende de que el sistema tenga una solución, ninguna o infinitas.
Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 5. Ecuaciones de la circunferencia Ecuación centro radio: (x-a + (y-a = r Ecuación general de la circunferencia: A x + B y + C x + D y + E = 0 Posiciones relativas de dos circunferencias. Dos líneas son secantes: cuando tienen dos puntos en común Dos líneas son tangentes: cuando tienen sólo un punto en común Dos líneas son exteriores: cuando no tienen ningún punto en común Para calcular la posición relativa de dos circunferencias se resuelve el sistema de segundo grado de dos ecuaciones con dos incógnitas que se forma con sus ecuaciones. La posición depende de que el sistema tenga una solución (circunferencias tangentes, dos soluciones (circunferencias secantes, o no tenga ninguna (no se cortan Posiciones relativas de rectas y circunferencias Para calcular la posición de una recta y una circunferencia se resuelve el sistema de segundo grado de dos ecuaciones con dos incógnitas que se forma con las ecuaciones de la recta y la circunferencia. La posición depende de que el sistema tenga una solución, dos soluciones, o no tenga ninguna. 6. Cónicas Def. Parábola: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, F, y de una recta fija llamada directriz. Eje de simetría es la recta perpendicular a la directriz trazada desde el foco. Vértice es el punto de corte del eje de simetría con la parábola. Parámetro es la distancia existente entre el foco y la directriz (p Radio vector es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. (x-v x =p(y-v y
Nueva del Carmen, 35. 470 Valladolid. Tel: 983 9 63 9 Fax: 983 89 96 Def. Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Distancia focal es la distancia existente entre los focos (c Ejes de simetría, son dos, horizontal y vertical Centro es el punto conde se cortan los ejes (O Vértices: son los puntos de corte de los ejes con la elipse. Eje mayor o focal (a y eje menor o secundario (b. Radios vectores son los segmentos que unen un punto cualquiera de la elipse con los focos. Excentricidad es la razón entre la semidistancia focal y el semieje mayor e=c/a x /a + y /b = a =c +b Def. Hipérbola: es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constantes. Distancia focal es la distancia existente entre los focos (c Ejes de simetría horizontal y vertical. Centro es el punto de intersección de los ejes Vértices son los puntos de corte del eje principal con la hipérbola Eje mayor o focal (a y menor o secundario (c Radios vectores son los segmentos que unen un punto cualquiera de la hipérbola con los focos. Asíntotas son las diagonales que pasan por el origen de y=bx/a, y=-b/ax Excentricidad es la razón entre la semidistancia focal y el semieje mayor e=c/a X /a y /b = c =a +b