CAPITULO 9: ESPECIFICACIONES Y AJUSTES DE CONTROLADORES 10.1 Especificaciones en Diseño En muchos casos las características o exigencias impuestas en un sistema de control, están dadas desde el punto de vista de su respuesta temporal. Debido a que los sistemas almacenan energía, su respuesta en el tiempo presenta características transitorias cada vez que están sometidos a entradas o perturbaciones. Por lo general la señal patrón que se utiliza para dicho análisis corresponde a la señal escalón unitario, puesto que suele ser simple de generar y el cambio es suficientemente drástico. La respuesta de un sistema ante una entrada escalón, depende de las condiciones iniciales. Luego por conveniencia, se considera al sistema en reposo, es decir su salida es cero al igual que sus derivadas en el tiempo. La respuesta transitoria de un sistema real muestra frecuentemente oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar su estado estacionario. Las especificaciones de diseño son: o Tiempo de retardo td o Tiempo de subida tr o Tiempo Pico tp o Sobreelongación Mp o Tiempo de asentamiento ts 10.2 Especificaciones Tiempo de retardo: Es el tiempo que tarda la salida en alcanzar la mitad de su valor final. Tiempo de subida: Es el tiempo transcurrido en que la respuesta pasa del 0 al 100% del valor final (sistemas subamortiguado, en sistemas sobreamortiguados, se suele considerar el tiempo transcurrido en el paso del 0 al 90% Tiempo Pico: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer Pico de sobreelongación.
Sobreelongación máxima: Se expresa en porcentaje, es el máximo valor pico de la curva de respuesta medido a partir de la unidad. Si el valor final de la respuesta es distinto a la unidad, se suele expresar en función del valor final que la respuesta alcance. y( t p ) y( ) *100% y( ) La cantidad de Sobreelongación máxima es indirectamente una medida de la estabilidad relativa del sistema Tiempo de asentamiento Corresponde al tiempo que se requiere para que la respuesta alcance un valor cercano al valor final dentro de un rango especificado por el valor absoluto, que por lo general se considera entre un 2% y un 5%. Cual porcentaje ocupar es elección del diseñador y suele ser limitación impuesta por el sistema a controlar.
Y(t) 1 Mp 0.05 Ó 0.02 0.5 td t d : tiempo de retardo t r : tiempo de subida t p : tiempo pico M p : sobreelongación t s : Tiempo de asentamiento tr tp t ts En general los sistemas de control buscan en un sistema de segundo orden que la respuesta transitoria sea suficientemente rápida y Amortiguada. Por ende por lo general el valor del coeficiente de amortiguamiento debiera estar entre 0.4 y 0.8 Valores pequeños de ξ menores a 0.4 provocan una sobreelongacion excesiva, y por otro lado valores de ξ grandes mayores a 0.8 responden muy lentos.
10.3 Obtención de Parámetros Temporales Tiempo de subida o levantamiento tr Luego: 1 1 ϖ d π β tr = tan = ϖ σ ϖ d d jϖ ϖ 2 n 1 ξ ϖ n jϖ d β σ ξω n σ Luego para que t r sea pequeño, β, tiene que se grande. Tiempo de Pico: t p π = ϖ d Sobreelongación Máxima: l σ π ϖ d = l ξ 1 ξ 2 π
Tiempo de Asentamiento: t s 3 3 = = σ ξϖ n 10.4 Diseño de Controladores Los Controladores tienen como objetivo el llevar el sistema a ciertos estados deseados según los requerimientos que del sistema se tengan. Desde esta perspectiva las características deseadas nos entregan una posición en el lugar geométrico de raíces, posición que perfectamente puede ser entendido como la posición de dos polos (complejos conjugado, los cuales son denominados, polos dominates Un sistema de por si puede llegar a establecerse en los polos dominantes, mediante energía. Esto es posible si es que la posición buscada pertenece al lugar geométrico de raíces. Existe una alta probabilidad que lo anterior no suceda, por lo que se deberá llevar el LGR hacia los polos dominante. Esto se consigue mediante las especificaciones que nos entregan el valor de ξ y w. n Ahora bien. Cuando uno agrega un controlador, lo que hace es agregar polos y ceros al sistema, y por lo tanto tiende a modificar el LGR. La anterior perspectiva implica lo siguiente, en el lazo abierto: Si se Agregan polos: El LGR se mueve hacia la Derecha, disminuyendo la estabilidad relativa y aumentando el tiempo de estabilización
Si se Agregan ceros: El LGR se mueve hacia la izquierda, el sistema se vuelve más estable y disminuye el tiempo de estabilización. Compensador en Adelanto: Es de tipo: st c( = kcα αts = k c s + 1 T s + 1 αt En este se debe cumplir que el α, este en el rango 0 < α < 1. Como se puede apreciar este compensador agrega al sistema un cero en 1, y un T polo en 1. Este compensador es muy similar al diferenciador y por lo tanto αt mejora la respuesta transitoria a costa de error. El procedimiento es el siguiente: 1) Trace el LGR no compensado a lazo cerrado ubicando los polos dominantes deseados del sistema 2) Determine el ángulo deseado del sistema compensado, en base a las especificaciones del sistema. A continuación determine el ángulo φ, necesario para que el sistema no compensado cumpla con las especificaciones de diseño 3) Entendiendo el compensador en adelanto de la siguiente forma:
st c s k α 1 ( ) = + c 1 + αts 4) Luego, corresponde fijar la posición del polo y del cero del controlador. Para esto, se fija una línea que parta desde el origen hasta el punto P, el cual corresponde a la posición del polo deseado, y desde éste se traza una línea horizontal en sentido negativo. 5) Se forma la bisectriz del ángulo formado por las líneas trazadas anteriormente, de modo que a cada lado de la bisectriz se agrega un ángulo cuya medida será la mitad del ángulo φ, obtenido anteriormente. 6) Los puntos de los trazos anteriores interceptados en el eje real serán el cero y el polo del compensador en adelanto que cumplen con las condiciones de completitud de ángulo del sistema con los polos dominantes
7) Con el Valor del Polo se calcula T y con el del cero y T se calcula α 8) Finalmente para calcular K, en la red de adelanto, se usará la condición de magnitud del LGR. Compensador en Atraso s st Es del tipo: c( t) = k k T cα = c, en donde α > 1. αts 1 αt Este es muy bueno para efectos de disminuir el error en estado estacionario, pero a costo de una lenta respuesta del sistema en estado transitorio. El método es el siguiente: 1) Trace el LGR del Sistema en cuestión a Lazo cerrado y ubique los polos dominantes 2) Con: 3) Calcule la Constante de error especificada. 4) Determine la magnitud del aumento del coeficiente de error estático, para satisfacer requerimientos 5) Determine el polo y el cero del compensador, que produce el aumento necesario del coeficiente de error estático, sin alterar mucho el LGR. 6) Trace un nuevo LGR para el sistema compensado. Ubique los polos dominantes el lazo abierto. 7) Ajuste la ganancia c K, del compensador partiendo de la condición de magnitud tal que los polos dominantes del lazo cerrado queden en las ubicaciones deseadas.
Ejemplo: Considere el sistema con realimentación unitaria y F.T. directa: K G ( = s( s + 1)( s + 2) Determine el valor de ganancia que permite e = 0.05 y n = 0.67, con esta ganancia calcule el error estático de velocidad y utilice un compensador de atraso que permita tener Kv =5 sin cambiar en forma notable los polos dominantes de lazo cerrado. Para hallar el error estático de velocidad para este sistema que es tipo 1, la entrada debe ser una rampa y por lo tanto tenemos que: e ss K v 1 = K v sr( s 1 = lim = lim s 0 2 G( H ( s 0 G( H ( s = lim sg( H ( s 0 1 = lim s 0 sg( H ( K v = 0.53 Se necesita un compensador en atraso que incremente el coeficiente de error en un factor de aproximadamente 10, se elige n = 10 y se colocan el cero y el polo del compensador en atraso en s = -0.1 y s= -0.01.