UNIVERSIDAD MARIANO GALVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CAMPUS VILLA NUEVA CURSO MATEMATICA FINANCIERA Lic. Manuel de Jesús Capos Boc SEPTIMA UNIDAD OPERACIONES A LORGO PLAZO INTERÉS COMPUESTO Es el rendiiento que si no se paga en el periodo, se auenta al capital, y junto con él, produce ás intereses. Por lo tanto, en cada periodo posterior, el interés es ayor, ya que está calculado sobre el capital original ás los interese de los periodos anteriores. Cuando esto sucede, se dice entonces que el interés se capitaliza, lo que sucede únicaente con el interés copuesto. Esto significa que el interés copuesto es una serie de cálculos de interés siple, aplicados cada vez sobre el capital ás los intereses devengados en los periodos anteriores. Se aplica generalente en operaciones financieras cuyo térino excede al año, es decir a largo plazo, ya que ientras ayor sea el tiepo, ás capitalizaciones del iso se dan y ayor es el rendiiento que produce en relación con el interés siple. Tabién se aplica en otros capos no financieros coo por ejeplo en el estudio de fenóenos relacionados con los seres vivos que se reproducen de anera geoétrica. Nos ayuda a deterinar la tasa de natalidad y el creciiento de las poblaciones, tanto de seres huanos coo de otras especies naturales, coo por ejeplo peces, ganado, bosques y otros. -Periodos de capitalización: el interés copuesto se puede capitalizar, es decir suar al capital para producir, ás intereses, en diferentes periodos, esto dependerá de cóo se haya convenido entre el deudor y el acreedor, los casos ás counes para el periodo de capitalizaciones y sus respectivas frecuencias en el año, son: 1
PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN FRECUENCIA (Veces en el año) Anual 1 Seestral 2 Cuatriestral 3 Triestral 4 Biestral Mensual Quincenal 24 Seanal 52 Diario 30 ó 35 -Frecuencia de capitalización: es el núero de veces en un año que el interés se sua al capital o se capitaliza. Es el núero de capitalizaciones por año. -Tasa de interés efectiva: cuando solaente hay una capitalización de interese en el año. Su síbolo continua siendo i. -Tasa de interés noinal: cuando existen dos o ás capitalizaciones de interés en el año. Su síbolo entonces es j y tiene que indicarse el núero de capitalizaciones por año, aplicándose el síbolo. POR EJEMPLO: CONCEPTO SIMBOLOGIA VALOR SIMBOLOGIA VALOR 10% anual de interés copuestos i 0.10 % anual capitalizable seestralente j 0. 2 15% anual capitalizable ensualente j 0.15 18% anual de interés copuesto i 0.18 8% anual de interés capitalizable cada tres eses j 0.08 4 8% de interés capitalizable cada 3 eses j 0.32 4 Cuando se trata de una tasa de interese efectiva, basta señalar el porcentaje de interés copuesto, se considera que la capitalización es anual. Sin ebargo, cuando se trata de una tasa de interés noinal, debe señalarse el núero de veces que se capitaliza en el año; por lo tanto, cada vez que se consigne el síbolo j debe señalarse tabién el valor de, es decir, la frecuencia de capitalización. 2
-Factores que intervienen en el interés copuesto Principal o capital originalente ipuesto (valor actual) Plazo o tiepo de la operación Interés S = Monto del capital o valor al venciiento Tasa anual de interés o tasa efectiva capitalizable una vez al año Tasa noinal de interés cuando hay ás de un periodo de capitalizaciones al año n = Nuero de capitalizaciones de interés en el año (frecuencia) = Nuero copleto de periodos cuando las capitalizaciones se hacen ás de una vez en el año. APLICACIÓN: FORMULA PARTIENDO DEL INTERES PROBLEMA No.1 Cuanto se obtendrá de intereses si se invierte un capital de Q 1, 000.00, a una tasa del % anual de interés copuesto durante años. (Los cálculos se desarrollaran con tasa efectiva de interés, es decir con una capitalización al año). Tasa efectiva 0.0 P [ ( 1 + i ) - 1 ] n [ ( 1 + 0.0 ) - 1 ] [ ( 1.0 ) - 1 ] [ ( 1.50330 ) - 1 ] [ ( 0.50330 ) ] 503.3 3
PROBLEMA No. 2 Cuanto se obtendrá de intereses si se invierte un capital de Q 1, 000.00, a una tasa del % anual de interés copuesto, capitalizable ensualente durante años. Tasa noinal P [ ( 1 + j ) - 1 ] 0.0 x [ ( 1 + 0.0 ) - 1 ] 84 [ ( 1.00500 ) - 1 ] [ ( 1.52030 ) - 1 ] [ ( 0.52030 ) ] 520.3 n PROBLEMA No. 3 Qué capital se debe invierte, para lograr un interés de Q 503.3, a una tasa del % anual de interés copuesto, durante años. Tasa efectiva I n ( 1 + i ) - 1 503.3 0.0 4
503.3 ( 1 + 0.0 ) - 1 ( 1.00000 ) - 1 ( 1.50330 ) - 1 503.3 0.50330 503.3 503.3 PROBLEMA No. 4 Qué capital se debe invierte, para lograr un interés de Q 520.3, a una tasa del % anual de interés copuesto, capitalizable ensualente durante años. Tasa noinal 520.3 0.0 I n ( 1 + j ) - 1 520.3 x ( 1 + 0.0 ) - 1 P = 520.3 84 ( 1 + 0.005 ) - 1 520.3 84 ( 1.005000 ) - 1 520.3 ( 1.52030 ) - 1 520.3 0.52030 5
PROBLEMA No. 5 Se tiene un capital de Q 1, 000.00, y se desea obtener Q 503.3 adicionales, durante años. A que tasa de interese copuesto se debe de invertir. Tasa noinal 1/n [ ( I / P + 1 ) - 1 ] 503.3 1 / ( 503.3 / + 1 ) - 1 ( 0.50330 + 1 ) - 1 0.14285 ( 1.504 ) - 1 ( 1.000000 ) - 1.00 % 0.14285 PROBLEMA No. Se tiene un capital de Q 1, 000.00, y se desea obtener Q 520.3 adicionales, durante años. A que tasa de interese copuesto se debe de invertir; si la institución financiera indica que es capitalizable ensualente. Tasa noinal 1/n [ ( I / P + 1 ) - 1 ] 520.3
PROBLEMA No. Cuánto tiepo se invirtió un capital de Q 1, 000.00, que al final del periodo se obtuvo Q 503.3 de intereses. A una tasa del % interes copuesto. Tasa efectiva Log ( I / P + 1 ) Log ( 1 + i ) 503.3 0.0 Log ( 503.3 / + 1 ) Log ( 1 + 0.0 ) Log ( 0.5033 + 1 ) Log ( 1.0 ) Log ( 1.5033 ) Log ( 1.0 ) 0.1141 0.02530 años 1 / x [ ( 520.3 / + 1 ) - 1 ] 1 / 84 [ ( 0.5204 + 1 ) - 1 ] [ ( 1.52030 ) - 1 ] [ ( 1.00500 ) - 1 ] [ 0.00500 ] 0.0 % 0.0119048
PROBLEMA No. 8 Cuánto tiepo se invirtió un capital de Q 1, 000.00, que al final del periodo se obtuvo Q 520.3 de intereses. A una tasa del % interes copuesto; si la institución financiera indica que es capitalizable ensualente. Tasa noinal Log ( I / P + 1 ) Log ( 1 + j / ) 520.3 0.0 Log ( 520.3 / + 1 ) Log ( 1 + 0.0 / ) Log ( 1.52 ) Log ( 1.005 ) ( 0.0021 ) 0.181949 0.025993 0.181949 años NOTA: Cuando hay años copletos y fracciones de años, se utiliza el siguiente procediiento. Por ejeplo: años eses. + / = + 0.5 =.5 de año. -Tasas Equivalentes de Interés Copuesto: anteriorente se hizo distinción entre la tasa efectiva (i), la capitalización que es una vez al año; y la tasa noinal (j) que la capitalización son dos o ás () veces al año. 8
Dos tasas de interés copuesto son equivalentes sin con diferentes periodos de capitalización, producen iguales intereses (o ontos) al final de un año. -Tasa Efectiva a una Tasa Noinal dada: nos sirve para establecer la tasa efectiva anual que produce el iso rendiiento obtenido con una tasa noinal de interés conocida. FORMULA: ( 1 + j / ) - 1 EJEMPLO: Que tasa de interes copuesto, capitalizable anualente, es equivalente al % anual capitalizable seestralente. = 0.0 2 ( 1 + 0.0 / 2 ) - 1 ( 1.03 ) - 1 ( 1.00900 ) - 1.09 % 2 2 -Tasa Noinal a una Tasa Efectiva dada: en otras oportunidades, conoceos la tasa efectiva y necesitaos obtener una tasa noinal que nos produzca el iso rendiiento. FORMULA: 1 / [ ( 1 + i ) - 1 ] 9
EJEMPLO: Que tasa de interés copuesto, capitalizable seestralente, es equivalente al % anual. = 0.0 2 1 / 2 2 [ 1 + 0.0 ) - 1 ] 2 [ ( 1.00000 ) - 1 ] 2 [ ( 1.034408 ) - 1 ] 2 [ 0.0344 ].88 % 0.5000 -Tasas de interés siple a interés copuesto equivalentes Para coparar tasa de interés ante conocer el tiepo de la operación, pues depende del iso la variación entre dichas clases de interés. -Tasa de interés siple equivalente a una tasa de interés copuesto durante n años. FORMULA: i ( s ) = ( 1 + i ( c ) ) - n n 1 DONDE: i (s) = Interés siple i (c) = Interés copuesto Tiepo EJEMPLO: Que tasa de interés siple equivale al 10% anual de interés copuesto, durante años. 10
i (c) = i (s) = 0.10 i ( s ) = ( 1 + 0.1000 ) - 1 i ( s ) = ( 1.1000 ) - 1 i ( s ) = ( 1.1 ) - 1 i ( s ) = 0.1 i ( s ).8 = % -Tasa de interés copuesto equivalente a una tasa de interés siple durante n años. FORMULA: i ( c ) 1 / n = ( 1 + n i ( s ) ) - 1 i (s) = i (c) = 0.8 1 / i ( c ) = ( 1 + x 0.13 ) - 1 0.1 i ( c ) = ( 1 + 0.1 ) - 1 0.1 i ( c ) = ( 1.1 ) - 1 i ( c ) = ( 1.100004 ) - 1 i ( c ) = 10.00 % 11