Teorema de Helmholtz.

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Teorema de Helmholtz. Enunciado Dados un campo escalar D = D(r y un campo vectorial solenoidal C = C(r (esto es, C(r =0 que toman valores no nulos en una región acotada del espacio (esto es, existe una región del espacio de tamaño finito τ tal que D(r =0y C(r =0si r no pertenece a τ, existe un único campo vectorial A = A(r que satisface las tres ecuaciones siguientes: A(r = D(r (1 A(r = C(r (2 lím A(r = 0 r (3 Además, el campo vectorial A = A(r puede escribirse como la suma de un campo vectorial irrotacional A i (r yuncampo vectorial solenoidal A s (r como se indica: A(r =A i (r+a s (r = T (r+ F(r (4 donde el potencial escalar T (r para A i (r y el potencial vector F(r para A s (r vienen dados por: T (r = 1 F(r = 1 τ τ D(r r r dτ (5 C(r r r dτ (6

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 2 Demostración Existencia del campo vectorial A = A(r Vamos a comprobar que el campo vectorial definido en (4, (5 y (6 verifica las ecuaciones (1, (2 y (3. Con respecto a (1, se obtiene que: ( A(r = 2 T (r+ ( F(r = 2 1 D(r dτ (7 τ r r donde se ha tenido en cuenta que ( F(r = 0. Dadoque en la ecuación (7 el operador 2 actúa sobre las coordenadas de r (r = xu x + yu y + zu z y la integral de volumen se realiza con respecto a las coordenadas de r (r = x u x + yu y + zu z, podemos reescribir (7 como: ( A(r = 1 D(r dτ (8 Pero se cumple que: τ 2 r r ( D(r 2 = 2 D(r ( 1 +2 D(r + ( ( 1 1 D(r 2 = D(r 2 = D(r δ(r r (9 ya que D(r = 2 D(r =0por ser D función de r y actuar sobre las coordenadas de r. Si sustituimos (9 en (8, se obtiene: A(r = D(r δ(r r dτ = D(r δ(r r dτ = D(r (10 τ τ

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 3 con lo cual, queda verificada la ecuación (1. Para verificar la ecuación (2, obtenemos el rotacional de la ecuación (4, esto es: A(r = ( T (r + ( F(r = ( F(r 2 F(r (11 ya que ( T (r = 0. Vamos a demostrar ahora que es nulo el término F(r que aparece en la ecuación (11. De acuerdo con la ecuación (5: ( F(r = 1 C(r dτ (12 τ r r Por otro lado: ( C(r + C(r ( 1 = C(r = C(r ( 1 = C(r ( 1 (13 donde se ha utilizado que C(r =0yque (1/= (1/ (véase el apartado b del problema 2 del Boletín 0. Pero si hacemos uso de la identidad vectorial A f = ( Af (Af para el caso en que A = C(r y f =1/ r r, sellegaaque: ( 1 C(r = C(r ( C(r ( C(r = (14

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 4 ya que C(r =0por ser C un campo vectorial solenoidal (enunciado del teorema de Helmholtz. Si ahora sustituimos (13 y (14 en (12, se obtiene que: ( F(r = 1 C(r dτ (15 τ r r Como C(r es nulo si r no pertenece a τ, el integrando de la integral de la ecuación (15 también va a ser nulo si r no pertenece a τ, con lo cual, podemos extender el dominio de integración de dicha integral a una región esférica τ esfera de radio R sin alterar el resultado de la integral, esto es: ( F(r = 1 C(r dτ (16 τ r r esfera Sea S esfera la superficie cerrada esférica que limita a τ esfera.si aplicamos el teorema de la divergencia a la integral de (16, se obtiene que: F(r = 1 C(r r r ds =0 (17 S esfera ya que C(r =0sobre la superficie de S esfera por ser S esfera una superficie exterior a la región τ. Cuando tenemos en cuenta que F(r =0en la ecuación (11, se obtiene que: ( A(r = 2 F(r = 1 C(r dτ (18 τ 2 r r

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 5 Si ahora aplicamos el razonamiento de la ecuación ( (9 a cada una de las tres componentes cartesianas de 2 C(r r r, se llega a que: ( C(r 2 = C(rδ(r r (19 Y sustituyendo (19 en (18, se llega a que: A(r = C(r δ(r r dτ = C(r (20 τ con lo cual, queda verificada la ecuación (2. Con vistas a verificar la ecuación (3, vamos a obtener primero la expresión de A(r que resulta de sustituir (5 y (6 en (4, esto es: A(r = 1 τ ( D(r r r dτ + 1 ( τ C(r r r dτ (21 Pero se cumple que: ( D(r ( 1 = D(r ( 1 = D(r + D(r = D(r (r r 3 (22 donde se ha utilizado el resultado del apartado a del problema 2 del Boletín 0.

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 6 Además, se cumple que: ( C(r = C(r ( 1 = C(r ( 1 + C(r = C(r (r r 3 (23 ya que C(r =0. Si sustituimos (22 y (23 en (21, se obtiene que: A(r = 1 D(r (r r dτ + 1 C(r (r r dτ (24 τ r r 3 τ r r 3 Pero hay que tener en cuenta que: r r ] 3 ( 1 r 3 = r r r + O (25 3 Por tanto, el campo vectorial A(r de la ecuación (25 tiene un comportamiento del tipo A(r 1 r α (α 2 cuando r, y en consecuencia, A(r 0 cuando r, con lo que queda verificada la ecuación (3. Unicidad del campo vectorial A = A(r Vamos a demostrar que sólo un campo vectorial A(r satisface las ecuaciones (1 a (3 (siendo este campo necesariamente el campo vectorial definido en las ecuaciones (4 a (6. Supongamos que existen dos campos vectoriales A 1 (r y A 2 (r que satisfacen las ecuaciones (1 a (3. En ese caso, el campo vectorial W(r =A 1 (r A 2 (r debe satisfacer las tres ecuaciones

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 7 siguientes: W(r = A 1 (r A 2 (r =D(r D(r =0 (26 W(r = A 1 (r A 2 (r =C(r C(r =0 (27 lím W(r = r lím [A 1(r A 2 (r] = 0 (28 r Las ecuaciones (26 a (27 nos indican que el campo vectorial W(r es simultáneamente irrotacional y solenoidal. Por ser irrotacional, W(r debe poderse escribir en términos del potencial escalar U(r como se indica: W(r = U(r (29 Si ahora introducimos (29 en (27, se obtiene que: W(r = ( U(r = 2 U(r =0 (30 lo cual nos demuestra que U(r satisface la ecuación de Laplace. Consideremos una región esférica τ esfera de radio R,que está limitada por una superficie cerrada esférica S esfera. Vamos a calcular la integral de volumen de (U U en τ esfera aplicando el teorema de la divergencia, esto es: (U Udτ = (U U ds τ esfera S esfera = (UW ds =0 (31 S esfera donde la última integral de superficie es nula por ser W = 0 sobre S esfera. Esto último es debido a que S esfera está situada en el infinito, y en el infinito W =0de acuerdo con la ecuación (28.

c Rafael R. Boix y Francisco Medina 8 La integral de volumen que aparece en (31 se puede reescribir como: (U Udτ = ( U 2 dτ + 2 Udτ τ esfera τ esfera τ esfera = ( U 2 dτ = W 2 dτ (32 τ esfera τ esfera donde se ha tenido en cuenta que, de acuerdo con la ecuación (30, 2 U =0. Si ahora combinamos los resultados de (31 y (32, se llega a que: W 2 dτ =0 (33 τ esfera Dado que el integrando de la ecuación (33 no puede ser negativo, la única posibilidad es que W =0en todo el dominio de integración, y dado que el dominio de integración τ esfera engloba en la práctica a todo el espacio, se va a cumplir que W =0en todos los puntos del espacio, con lo cual queda demostrado que A 1 = A 2, y también queda demostrado que sólo existe un campo vectorial que satisfaga simultáneamente las ecuaciones (1 a (3.