Trabajo Práctico 1-2014 Transformaciones Geométricas OBJETIVOS - Comprender los procesos geométricos necesarios para aplicar una transformación o una composición de ellas - Adquirir el lenguaje simbólico necesario para expresar el proceso en términos matemáticos. - Reconocer la presencia de transformaciones geométricas en obras de arquitectura - Valorar su aplicación en procesos de diseño. A. Para resolver luego de leer el apunte teórico (actividad grupal) 1. Completá el siguiente cuadro con los nombres, características y elementos principales. ISOMORFISMOS Conservan la forma pero no HOMOTECIA CENTRO Y RAZON RAZON TRASLACION ISOMETRIAS CENTRO SIMETRIA Conservan las INVERSA EJE DE SIMETRIA 2. Explicá el concepto de composición de movimientos, a partir de un ejemplo diferente al expuesto en el apunte teórico. 1
B. Para resolver luego de la teórica (actividad grupal) No te olvides de utilizar la notación correspondiente. Si es necesario releé el apunte. 1. Dada la figura ABC, hallar la figura homóloga, según lo que en cada ítem se solicita. Indicar si es única. Justificar si no lo es. Se sugiere efectuar una construcción independiente para cada ítem. a) T u (ABC) b) R (O, 90 ) (ABC). Si la amplitud de la rotación fuera de - 90, el triangulo homologo seria el mismo? c) Simetría central de centro G. Expresar simbólicamente con la notación correspondiente d) Simetría axial de eje x= 7. Expresar simbólicamente con la notación correspondiente e) Semejanza de razón 0,5. Expresar simbólicamente con la notación correspondiente. 2. a) Construí una circunferencia de diámetro 1 y aplicá una rotación de amplitud 180º con centro en uno de sus puntos. Identificá a la figura homologa. Si el centro de rotación fuera el centro de la circunferencia, cuál sería la figura homóloga? b) Dibujá un cuadrado de lado 1 y aplicale una simetría axial con respecto a un eje paralelo a uno de sus lados. Qué pasaría si esta misma transformación la realizaras con un triángulo escaleno con uno de sus lados paralelo al eje? Para ambos casos, se pueden obtener las mismas figuras homólogas por aplicación de alguna otra transformación de modo que el procedimiento sea más sencillo? En caso afirmativo, indicá cuál puede ser y expresalo simbólicamente. c) En este inciso deberás: 2
- analizar los efectos que las distintas transformaciones producen sobre una misma figura con el objeto de decidir cuál de ellas es la más conveniente, según el resultado que desea obtenerse. - comparar los efectos que una misma transformación produce sobre figuras diferentes. Para desarrollar esta tarea te basaras en los ejercicios resueltos con la guía con su docente. 3. Dado el triángulo de vértices A (-4;2), B(-4;1) y C(0;2), graficá las transformaciones que se aplican sobre él en cada ítem y decidí si las afirmaciones son verdaderas o falsas. En los casos en que sea necesario efectuá las construcciones correspondientes. a) T2 0 T1 (ABC) = T3 (ABC), siendo: T1: mover 8 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba T2: mover 5 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo T3: mover 13 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba b) R2,o R1 (ABC) = R3 (ABC), siendo O el origen de coordenadas y. R1 es R (O,- 30º), R2 es R (O, 120º), R3: es R (O, 150º) c) Aplicar la simetría central de centro C(2;0) es lo mismo que aplicar la rotación de 180º con centro en C(2;0). d) Aplicar la simetría axial, cuyo eje es la recta determinada por los puntos (-4,-2) y (2,4). Alguna otra transformación aplicada al ABC permite obtener la misma figura homologa que en el caso anterior? Por qué? No olvides de responder indicando los elementos característicos de la misma. 4. Seleccioná, de la lista propuesta para cada caso, los elementos correspondientes a cada una de las graficadas. Si no estuvieran, indicá cuales son. a) a 1 ) Centro P y razón 8 a 2 ) Centro T y razón 5 a 3 ) Centro P y razón 3 a 4 ) Centro T y razón 2 b) b 1 ) Centro R y razón 8 b 2 ) Centro S y razón 5 b 3 ) Centro R y razón 3 b 4 ) Centro S y razón 2 3
C. Ejercicios de aplicación (actividad grupal) En esta sección trabajaremos con la trama de nuestra ciudad a partir de la cual aplicarán los conceptos aprendidos. En el grupo de Facebook y en el blog te adjuntaremos imágenes con más ejemplos y links relacionados con el tema. Te sugerimos trabajar con los diseños, tramas y patrones en escala de una hoja A4. Recordá que se considerará mal aquellos ejercicios donde no se expresen las transformaciones con sus correspondientes notaciones y los elementos ubicados gráficamente. 1. Descubrí y escribí las posibles transformaciones sufridas por las figuras coloreadas. Marcá en el plano las posibles figuras transformadas y los elementos necesarios para cada una. 2. La ciudad se caracteriza por estar diseñada a partir de figuras geométricas simples: cuadrado, rectángulos, círculos y triángulos, generá una figura compuesta a partir de la conjunción de algunas de ellas. Anotá las transformaciones que aplicaste. Tomá como referencia alguno de los ejemplos. 4
5
3. Esta es una trama similar a la de las calles paralelas a la Avenida 32 de la ciudad de La Plata. Qué característica tiene? a. Mirá estos ejemplos y describí las variaciones sufridas, recordá mencionar y ubicar los elementos de cada transformación. b. Realizá una nueva trama original a partir de la inicial. c. A partir de 1 ó 2 figuras geométricas extraídas del plano de La Plata realizá un patrón sencillo de repetición. Anotá la o las transformaciones geométricas que utilizaste. d. Al diseño anterior aplicale una o más variaciones también empleando transformaciones geométricas vistas en la cursada. Podés usar una misma composición o variar de acuerdo a un patrón que vos establezcas. No te olvides de escribir los procesos realizados tal como está expresado en el apunte teórico. Te damos ejemplos. Podés hacer un rastreo en la web. 6
Ejemplos: 7
C. ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA (actividad individual) 1. En la fachada de la obra Doha Office Tower Qatar de Jean Nouvel, marcá la figura que se repite. Qué otra transformaciones se aplican a esta composición? Buscá otro ejemplo y adjuntalo al TP. 2. Seleccioná una obra de alguno de estos arquitectos Andrea Palladio, Louis Kahn o Le Corbusier y analizá tanto en planta como en vista las transformaciones geométricas sufridas por las figuras principales. En el Facebook del grupo podrás encontrar más información. http://louiskahn.es/ http://www.fondationlecorbusier.fr/ http://www.greatbuildings.com/architects/andrea_palladio.html 8
D. Autoevaluación (actividad individual) Leé atentamente las siguientes afirmaciones. Decidí cuales son verdaderas y cuales falsas. Las que sean falsas, reescribilas para que sean verdaderas. a) Las transformaciones son operaciones geométricas que permiten deducir una nueva figura a partir de la primitivamente dada. La nueva figura se llama homotética de la original. b) En las transformaciones inversas los sentidos del original y del homólogo son iguales. c) La homotecia es una transformación isométrica. d) Las figuras semejantes son siempre homotéticas. e) El único elemento de una traslación es un vector. f) T v (A) = A se lee: traslación de vector v aplicada a A da por resultado A. g) Los elementos de una rotación son un centro y un vector. h) Ángulo orientado es aquél al que se le otorga sentido de giro. i) Es simetría axial cuando dos puntos homólogos pertenecen a una misma recta perpendicular al eje de reflexión mas allá de la distancia a que se hallen de éste j) Todas las figuras homotéticas son semejantes. k) S o (ABC)=A B C es la notación que expresa semejanza entre ABC y A B C l) Una rotación queda definida cuando se indica el centro de rotación. m) La aplicación de una composición de simetrías axiales equivale a una traslación tal que el módulo del vector que la define es igual a las distancia entre los ejes de simetría. n) Una homotecia de razón negativa recibe el nombre de homotecia directa. o) La figura es equivalente a la composición de las siguientes rotaciones: R (C, -70º) o R (C, +90º) (ABDEF). Si la consideras falsa, realizá la construcción que la representa. 9
p) Para la siguiente figura, cuál es el recurso más sencillo para económico? - La rotación - La composición de simetrías axiales 10