Fundamentos de Programación Entera 1. Introducción Carlos Testuri Germán Ferrari Departamento de Investigación Operativa Instituto de Computación Facultad de Ingeniería Universidad de la República 2012-2018
Contenido 1 Introducción Definición y alcance Aplicaciones Modelado Problemas enteros Problemas enteros mixtos Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 2 / 28
Definición y alcance Definición de programación entera Trata del modelado y resolución de problemas de optimización con variables discretas: enteras (indivisibilidad) y binarias (decisiones). Características: Formulaciones representativas y flexibles del problema Explosión combinatoria de soluciones factibles Resolución más difícil que programación lineal; no se conoce método eficiente general de resolución. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 3 / 28
Aplicaciones Aplicación: Asignación de salones y horarios a cursos Una institución que brinda cursos a estudiantes de diferentes carreras se enfrenta a la planificación semanal de salones y horarios de clases de los cursos. Teniendo en cuenta, entre otros, que los cursos tienen clases teóricas, practicas y de laboratorio con diferente carga horaria y estimación de cantidad de asistentes, los cursos de un mismo semestre de cada carrera no se deben superponer en horario, y deben asignarse lo más contiguo posible en horario, los salones tienen cierta capacidad de asistentes. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 4 / 28
Aplicaciones Aplicación: Planificación de la producción Una fábrica debe planificar la producción y entrega de productos mensualmente a partir de pedidos y estimación de demanda futura. El plan incluye varios procesos de producción según tipos de productos. Se consideran la adquisición de insumos, la disposición de maquinaria (compartida entre los procesos), y la capacidad y la gestión del inventario según la caducidad de los productos. La entrega se realiza a varias areas de distribución. El objetivo es minimizar los costos mientras se mantiene cierto nivel del servicio a los clientes. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 5 / 28
Aplicaciones Aplicación: Planificación de la generación de electricidad El suministro de electricidad debe ser muy próximo a la demanda, la cual varia en forma horaria. Para el suministro se dispone de varias fuentes de generación con diferentes atributos. El problema trata de la planificación horaria de los generadores ( despacho de carga ) que se utilizan teniendo en cuenta restricciones como costos, potencia, y disponibilidad de los generadores, tiempos mínimos de encendido y apagado de generadores, generadores con costos fijos de arranque y no lineales de operación, reserva de capacidad de suministro ante picos de demanda. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 6 / 28
Aplicaciones Aplicación: Tratamiento del cancer de próstata La braquiterapia de baja dosis de radiación es uno de los tratamientos para el cáncer de próstata localizado. Mediante fuentes radiactivas se suministra suficiente dosis para tratar el tumor mientras se preserva el tejido sano circundante. Las fuentes se colocan en tándem a través de agujas en el tejido del órgano. Hay muchas posibilidades de ubicar decenas de fuentes, en un centenar y medio de posiciones, restringidas por distancia mínima entre pares de fuentes, prescripción de dosis en la próstata, prescripción de dosis en su entorno, el recto y la uretra. Se busca minimizar la cantidad de fuentes y la cantidad de agujas que se utilizan. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 7 / 28
Modelado Modelado Los modelos permiten la comprensión y la resolución de problemas. Implican abstracciones que reflejan interacciones relevantes de las entidades del problema, donde la simplificación insuficiente implica costos extras o incapacidad de resolución, y la excesiva acarrea inviabilidad debido a falta de realismo. El proceso de modelado conlleva ciertas etapas: comprensión del problema, formulación simbólica de modelo, resolución del modelo (computacional), e interpretación de resultados. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 8 / 28
Modelado Componentes de un modelo algebraico Para establecer un modelo algebraico, a partir de un problema, se deben determinar los parámetros (datos), las variables (decisiones), las restricciones (sobre las decisiones), y el objetivo (función de las decisiones). En programación entera, la determinación de variables puede tener diferentes alternativas, (proceso más elaborado que el de programación lineal). Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 9 / 28
Modelado Optimización (Programación matemática) Problema de maximizar una función objetivo de variables de decisión, las cuales están sujetas a restricciones en los valores que pueden tomar, maximizar f (x) sujeto a g i (x) 0, i = 1,..., m, x X. Solución factible: instancia de variable de decisión que satisface todas las restricciones. Conjunto/región factible: el conjunto de todas las soluciones factibles. Solución óptima: solución factible que maximiza la función objetivo. Valor óptimo: valor de la función objetivo de la solución óptima. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 10 / 28
Modelado Problema de programación entera (lineal) Dados los parámetros: matriz A R m n, y los vectores columnas b R m y c R n y la variable de decisión: vector columna x Z n. Caso variables enteras (IP: integer program), max s.a. c τ x Ax b x 0 y entero. Caso variables binarias (BIP: binary integer program), max s.a. c τ x Ax b x {0, 1} n. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 11 / 28
Modelado Problema de programación entera mixta (lineal) Dados, además, los parámetros: matriz E R m p y vector columna d R p, y la variable de decisión: vector columna y R p. Caso variables enteras y reales (MIP: mixed integer program). max s.a. c τ x + d τ y Ax + Ey b x 0 y entero, y 0. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 12 / 28
Modelado Formulación básica Decisión con dos alternativas (binaria): x {0, 1} Decisión con conjunto discreto de alternativas: x {a 1,..., a m } Decisiones binarias dependientes La decisión x puede tomarse (x = 1) solo si la decisión y es tomada (y = 1): x y. Relaciones entre variables binarias y i, i = 1,..., m : m i=1 y i 1, m i=1 y i = 1. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 13 / 28
Modelado Formulación básica: conjunto de valores discretos Se requiere que la variable x varíe en el conjunto {a 1,..., a m }. Dadas las variables binarias y i, i = 1,..., m: x = m i=1 a iy i, m i=1 y i = 1, y i {0, 1}, i = 1,..., m. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 14 / 28
Modelado Formulación básica: ejemplo Dados ciertos cursos, identificados por i = 1,..., 5, se requiere modelar las siguientes decisiones sobre elección para cursarlos mediante las variables binarias y i (y i = 1, si se elige el curso i), Elegir al menos uno de los cursos: 5 i=1 y i 1 Elegir a lo sumo cuatro de ellos? Si se elige el curso 2, se debe elegir el curso 5? Si se elige el curso 1, no se debe elegir el curso 3? Se deben elegir los cursos 4 y 5, o ninguno de ellos? Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 15 / 28
Modelado Formulación básica: restricciones disyuntivas Dadas las decisiones x R n, con x 0, se tienen los casos Base: Al menos una de las restricciones a τ x b, c τ x d, debe cumplirse, donde a, c 0: a τ x by, c τ x d(1 y), y {0, 1}. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 16 / 28
Modelado Formulación básica: restricciones disyuntivas Dadas las decisiones x R n, con x 0, se tienen los casos Base: Al menos una de las restricciones a τ x b, c τ x d, debe cumplirse, donde a, c 0: a τ x by, c τ x d(1 y), y {0, 1}. General: Al menos k de las restricciones a τ i x b i, i = 1,..., m, deben cumplirse, donde a i 0, i = 1,..., m: a τ i x i b i y i, m i=1 y i k, y i {0, 1}, i = 1,..., m. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 16 / 28
Problemas enteros Problema del mochilero Existe la posibilidad de llevar i = 1,..., n objetos de valor c i y tamaño a i en una mochila de capacidad b. Se desea saber cuales objetos llevar de forma de maximizar el valor de lo transportado en la mochila. Variable x i = 1 si el objeto i es transportado, y x i = 0 en caso contrario. Restricciones No se puede exceder la capacidad: n i=1 a ix i b. Variables binarias: x i {0, 1}, i = 1,..., n. Función objetivo: maximizar el valor de lo transportado: max n i=1 c ix i. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 17 / 28
Problemas enteros Problema de asignación Dadas n personas y n tareas, se debe asignar una tarea a cada persona. Si a la persona i se le asigna la tarea j se incurre en un costo c ij. El objetivo es establecer la asignación de costo mínimo. Variable x ij = 1 si a la persona i se asigna la tarea j, y x ij = 0 en otro caso (o.c.) Restricciones cada persona realiza una tarea: n j=1 x ij = 1, i = 1,..., n, cada tarea es realizada por una persona: n i=1 x ij = 1, j = 1,..., n, variables binarias: x ij {0, 1}, i = 1,..., n, j = 1,..., n. Función objetivo minimizar el costo de la asignación: min n i=1 n j=1 c ijx ij. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 18 / 28
Problemas enteros Problema del vendedor viajero (TSP) (1/2) Un vendedor debe visitar las ciudades N = {1,..., n} una única vez y retornar a la de partida. El costo de viajar de la ciudad i a la j es c ij. Se busca encontrar el orden, de menor costo, en que se recorren. Variable x ij = 1 si el vendedor va de la ciudad i a la j, i j, y x ij = 0 o.c. Restricciones se parte de la ciudad i una única vez: n j=1:j i x ij = 1, i = 1,..., n, se arriba a la ciudad j una única vez: n i=1:i j x ij = 1, j = 1,..., n, Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 19 / 28
Problemas enteros Problema del vendedor viajero (TSP) (1/2) Un vendedor debe visitar las ciudades N = {1,..., n} una única vez y retornar a la de partida. El costo de viajar de la ciudad i a la j es c ij. Se busca encontrar el orden, de menor costo, en que se recorren. Variable x ij = 1 si el vendedor va de la ciudad i a la j, i j, y x ij = 0 o.c. Restricciones se parte de la ciudad i una única vez: n j=1:j i x ij = 1, i = 1,..., n, se arriba a la ciudad j una única vez: n i=1:i j x ij = 1, j = 1,..., n, Solo estas restric. generan soluciones de ciclos disconexos (subtours). Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 19 / 28
Problemas enteros Problema del vendedor viajero (TSP) (2/2) Se necesitan restricciones adicionales que eliminen ciclos (formulación subtour), x ij S 1, S N, S, N; i S j S o alternativamente, se necesitan restricciones que impongan conectividad (formulación cut-set), x ij 1, S N, S, N. i S j/ S variables binarias: x ij {0, 1}, i = 1,..., n, j = 1,..., n, i j. Función objetivo minimizar el costo del viaje: min n n i=1 j=1 c ijx ij. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 20 / 28
Problemas enteros Ejemplo de problema de cobertura Planificación de servicios para atender a usuarios. A partir de un conjunto de servicios posibles se debe decidir cuales instalar para atender los usuarios. De cada servicio se conocen que usuarios se podrían atender y el costo correspondiente de su instalación. El objetivo es cubrir la atención de todos los usuarios a mínimo costo de instalación de los servicios. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 21 / 28
Problemas enteros Problemas de cobertura, empaque y partición de conjunto (1/3) Dados los conjuntos M = {1,..., m} y N = {1,..., n}. Sean M j subconjuntos de M, con valor c j asociado, j N. Dado S subconjunto de N, S se dice cobertura de M si j S M j = M S se dice empaque de M si M j Mk =, j, k S, j k S se dice partición si es cobertura y empaque Valor del subconjunto S : j S c j. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 22 / 28
Problemas enteros Problemas de cobertura, empaque y partición de conjunto (2/3) Especificado según programación entera: Dados la matriz de incidencia A B m n de {M j : j N}, { 1, si i Mj a ij = 0, o.c., y la variable de decisión x j, la cual vale 1 si j S y 0 en o.c. Entonces S es una cobertura, empaque o partición si y solo si n j=1 a ijx j 1, n j=1 a ijx j 1 ó n j=1 a ijx j = 1, respectivamente. para i = 1,..., m. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 23 / 28
Problemas enteros Problemas de cobertura, empaque y partición de conjunto (3/3) encontrar una cobertura S de mínimo valor, min s.a. n j=1 c jx j, n j=1 a ijx j 1, i = 1,..., m, x j {0, 1}, j = 1,..., n. encontrar un empaque S de máximo valor, max s.a. n j=1 c jx j, n j=1 a ijx j 1, i = 1,..., m, x j {0, 1}, j = 1,..., n. encontrar una partición de S (puede ser min/max valor o problema de factibilidad) s.a. n j=1 a ijx j = 1, i = 1,..., m, x j {0, 1}, j = 1,..., n. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 24 / 28
Problemas enteros mixtos Localización de instalación no-capacitada (1/2) Una empresa puede abrir plantas en ciertos lugares j = 1,..., n que operarían con costos fijo f j para atender la demanda de un producto por parte de sus clientes i = 1,..., m. Cada cliente puede ser suministrado, desde las plantas que se decide abrir, a un costo de transporte c ij por toda su demanda. Se busca determinar que plantas se abren y desde cuales de estas se atiende cada cliente de forma de minimizar los costos fijos y de transporte. Uncapacitated Facility Location problem (UFL) Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 25 / 28
Problemas enteros mixtos Localización de instalación no-capacitada (2/2) Variables - determinación de uso de la planta j: y j = 1 si se usa, y j = 0 en o.c. - fracción de demanda del cliente i atendida por la planta j: x ij [0, 1] Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 26 / 28
Problemas enteros mixtos Localización de instalación no-capacitada (2/2) Variables - determinación de uso de la planta j: y j = 1 si se usa, y j = 0 en o.c. - fracción de demanda del cliente i atendida por la planta j: x ij [0, 1] Restricciones - atención a la demanda de los clientes: n x ij = 1, i = 1,..., m. j=1 - activación del uso de las plantas: m x ij my j, j = 1,..., n. i=1 Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 26 / 28
Problemas enteros mixtos Localización de instalación no-capacitada (2/2) Variables - determinación de uso de la planta j: y j = 1 si se usa, y j = 0 en o.c. - fracción de demanda del cliente i atendida por la planta j: x ij [0, 1] Restricciones - atención a la demanda de los clientes: n x ij = 1, i = 1,..., m. j=1 - activación del uso de las plantas: m x ij my j, j = 1,..., n. i=1 Función objetivo - minimizar el costo: min n j=1 f jy j + m i=1 n j=1 c ijx ij. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 26 / 28
Problemas enteros mixtos Determinación de lotes no-capacitada (1/2) Consiste en decidir un plan de producción para atender la demanda de un producto durante t = 1,..., n períodos, teniendo en cuenta costos fijos y variables de producción, y costos de almacenamiento. Parámetros - f t es el costo fijo de producir en el período t, - p t es el costo unitario de producción en el período t, - h t es el costo unitario de almacenamiento en el período t, - d t es la demanda en el período t. Variables - x t es la cantidad producida en el período t, - s t es el inventario al final del período t, - y t = 1 si se produce en el período t, y t = 0 en o.c. Uncapacitated Lot-Sizing problem (ULS) Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 27 / 28
Problemas enteros mixtos Determinación de lotes no-capacitada (2/2) Dado que no hay una cota de producción se asume un valor grande M para la activación de los costos fijos. n min t=1 p tx t + n t=1 h ts t + n t=1 f ty t s.a. s t 1 + x t = d t + s t, t = 1,..., n, x t My t, t = 1,..., n, s 0 = 0, s t 0, x t 0, y t {0, 1}, t = 1,..., n. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 28 / 28
Problemas enteros mixtos Determinación de lotes no-capacitada (2/2) Dado que no hay una cota de producción se asume un valor grande M para la activación de los costos fijos. n min t=1 p tx t + n t=1 h ts t + n t=1 f ty t s.a. s t 1 + x t = d t + s t, t = 1,..., n, x t My t, t = 1,..., n, s 0 = 0, s t 0, x t 0, y t {0, 1}, t = 1,..., n. Cómo se caracterizarán sus soluciones según varíen h t y f t? Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 28 / 28
Problemas enteros mixtos Determinación de lotes no-capacitada (2/2) Dado que no hay una cota de producción se asume un valor grande M para la activación de los costos fijos. n min t=1 p tx t + n t=1 h ts t + n t=1 f ty t s.a. s t 1 + x t = d t + s t, t = 1,..., n, x t My t, t = 1,..., n, s 0 = 0, s t 0, x t 0, y t {0, 1}, t = 1,..., n. Cómo se caracterizarán sus soluciones según varíen h t y f t? Si se representara más de un producto: Cómo sería la formulación? Cómo se caracterizaría su resolución? Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1er. Semestre 2018 28 / 28