TEMA 7: Sistemas de ecuaciones 7.1 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Tareas 1-0-015 B: todos los ejercicios de la página 15 Tareas 1-0-015 A: todos los ejercicios de la página 15 Ejemplo 1. Completa los valores de cada tabla representa la recta: a. 5 1 1 5 7 0 0 5 5 1 1 5 5 1 5 1 5 5 5 5 5 5 7 10 8 b 0 0 0-10 -8 - - - 8 10 - - - -8-10 1
10 8 b 5 1 5 1-10 -8 - - - 8 10-0 0 0 5 5 - - -8-10 1 1 10 8-1 -1-10 -8 - - - 8 10 1 1 1 - - - -8-10 -1-1 c
0 0 0 10 8-10 -8 - - - 8 10 - Tareas 1-0-015 B: todos los ejercicios de la página 157 Tareas 1-0-015 A: todos los ejercicios de la página 157 7. Sistemas de ecuaciones lineales Ejemplo 1. Completa los valores de cada tabla, representa los puntos traza las rectas correspondientes 0 1 0 0 - - -8-10 1 1 0 0 1 1 0
La representación gráfica queda: 10 8 b c -10-8 - - - 8 10 - Escribe las coordenadas del punto de corte de las dos rectas. P 0, Completa la solución del sistema de ecuaciones: 0. Completa los valores de cada tabla, representa los puntos traza las rectas correspondientes 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 5 5 La representación gráfica quedaría: - - -8-10
10 8 b -10-8 - - - 8 10 - A la vista de las rectas, escribe la solución del sistema de ecuaciones lineales: 1 Tareas 1-0-015 B: todos los ejercicios de la página 158 Tareas 17-0-015 A: todos los ejercicios de la página 158 7. Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. 7..1 Método de sustitución Ejemplo 1. Sigue los pasos que se indican para resolver este sistema: a. PASO 1º 1 Despeja en la primera ecuación (es la incógnita más sencilla de despejar) PASO º Sustitue la epresión que has obtenido de en la segunda ecuación: 1 PASO º Resuelve la ecuación que has obtenido: 8 1 7 1 8 7 1 1 7 PASO º Vuelve al paso 1º, sabiendo el valor de, calcula el valor de : PASO 5º - - -8-10 5
b 5, Solution is: 8, PASO 1º Despeja en la segunda ecuación (es la incógnita más sencilla de despejar) PASO º Sustitue la epresión que has obtenido de en la primera ecuación: 5 PASO º Resuelve la ecuación que has obtenido: 5 PASO º Vuelve al paso 1º, sabiendo el valor de, calcula el valor de : 8 PASO 5º 8 c 5 1 11, Solution is: 1, PASO 1º Despeja en la primera ecuación (es la incógnita más sencilla de despejar) 5 1 1 5 PASO º Sustitue la epresión que has obtenido de en la primera ecuación: 1 5 11 PASO º Resuelve la ecuación que has obtenido: 10 11 1 11 1 1 1 PASO º Vuelve al paso 1º, sabiendo el valor de, calcula el valor de : 1 5 1 PASO 5º 1 Tareas 18-0-015 B: todos los ejercicios de la página 159
Tareas 18-0-015 A: todos los ejercicios de la página 159 7.. Método de igualación Ejemplo 1. Sigue los pasos que se indican para resolver este sistema: a PASO 1º 7 10, Solution is:, 1 Despeja una incógnita en ambas ecuaciones. (Por ejemplo, la, es la que resulta más sencilla de despejar): 7 10 7 7 10 10 PASO º Iguala ambas epresiones: 10 7 PASO º Resuelve la ecuación resultante: 7 10 1 9 10 1 10 9 11 11 11 11 1 PASO º Sustitue el valor de en cualesquiera de las igualdades del PASO 1º: 7 1 7 PASO 5º 1 b PASO 1º 5, Solution is: 8, Despeja en ambas ecuaciones (es la que resulta más sencilla de despejar): 5 5 5 PASO º Iguala ambas epresiones: 5 PASO º Resuelve la ecuación resultante: 5 5 5 7
PASO º PASO 5º c PASO 1º Sustitue el valor de en cualesquiera de las igualdades del PASO 1º: 8 5 1 11 8, Solution is: 1, Despeja en ambas ecuaciones: 5 1 11 1 5 11 1 5 11 PASO º Iguala ambas epresiones: 11 1 5 PASO º Resuelve la ecuación resultante: 11 1 5 11 10 10 11 1 1 1 1 1 PASO º Sustitue el valor de en cualesquiera de las igualdades del PASO 1º: 1 5 1 PASO 5º 1 Tareas -0-015 B: todos los ejercicios de la página 10 Tareas -0-015 A: todos los ejercicios de la página 10 7.. Método de reducción Ejemplo 1. Sigue los pasos que se indican para resolver este sistema: a. PASO 1º PASO º 7 5 1, Solution is: 1, Multiplica la primera ecuación por la segunda por. Después, suma las dos ecuaciones resultantes: 7 5 1 9 1 10 19 19 8
PASO º PASO º b PASO 1º PASO º PASO º c PASO 1º PASO º PASO º Resuelve la ecuación que has obtenido: 19 19 1 Sustitue el valor de en una de las ecuaciones iniciales resuélvela: 1 7 7 7 Escribe la solución del sistema: 1 5, Solution is: 8, Prepara las dos ecuaciones (multiplicándolas por los números que convenga), súmalas: 5 5 Sustitue el valor de en una de las ecuaciones iniciales resuélvela: 8 Escribe la solución del sistema: 8 1 5 1 11 Prepara las dos ecuaciones: 5 1 11, Solution is: 1, 10 11 Resuelve la ecuación resultante: 1 1 1 10 11 1 1 sumamos en columna Sustitue el valor de en una de las ecuaciones iniciales resuelve: 1 11 11 9
PASO º 8 Escribe la solución del sistema: 1 Tareas 5-0-015 B: todos los ejercicios de la página 11 Tareas -0-015 A: todos los ejercicios de la página 11 7. Resolución de problemas con auda de los sistemas de ecuaciones. Ejemplo 1. Calcula dos números de forma que su diferencia sea el triple del menor supere en cinco unidades al maor. PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: al número maor al número menor su diferencia sea triple del menor supere en cinco unidades al maor 5 RESOLUCIÓN 5, Solution is: 7, Aplicamos el método de sustitución: PASO 1º Despejamos la en la segunda ecuación: 5 PASO º Sustituimos este valor de en la primera ecuación: 5 Resolvemos la ecuación de primer grado en la incógnita que hemos obtenido: 5 5 5 19 5 19 19 5 1 7 PASO º Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 7 5 7 PASO 5º SOLUCIÓN Los números buscados son 7. Entre Pedro o tenemos 15 euros si o le diera euros, entonces él tendría el doble que o. Cuánto tenemos cada uno? 10
PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: al dinero que tiene Pedro al dinero que tengo o Pedro o tenemos 15 euros 15 si o le diera euros, entonces él tendría el doble que o RESOLUCIÓN 15, Solution is: 8, 7 Aplicamos el método de igualación: PASO 1º Despejamos la en las dos ecuaciones: 15 PASO º Igualamos las epresiones de obtenidas: 15 Resolvemos la ecuación de primer grado en la incógnita que hemos obtenido: 15 15 1 7 PASO º Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 15 7 8 PASO 5º SOLUCIÓN 8 7 Pedro tiene 8 euros o tengo 7 euros. Tareas -0-015 B: todos los ejercicios de la página 1, 1, 1 Tareas 5-0-015 A: todos los ejercicios de la página 1, 1, 1 1. Resuelve gráficamente: b EJERCICIOS Y PROBLEMAS Hemos de determinar dos puntos de cada recta. Para ello, consideramos las siguientes tablas de valores. 10 1 Si 1 1 punto, 1 Si 10 punto 10, 0 9 11
Si 0 0 punto 0, Si 9 punto, 9 1 1 10 8-1 -1-10 -8 - - - 8 10 1 1 - Las rectas se cortan en el punto, Tareas 07-0-015 A: todos los ejercicios que faltan del 1. Tareas 08-0-015 B: todos los ejercicios que faltan del 1. Tareas 07-0-015 A: Tareas 08-0-015 B: Resuelva por sustitución despejando la incógnita más adecuada: d 5 5 Elegimos la en la segunda ecuación para despejarla: Sustituimos este valor de en la primera ecuación. 5 5 Tengo una ecuación de primer grado en la incógnita que he de resolver. 5 8 5 5 8 5 15 8 15 15 8 15 7 15 1 7 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 1 15 5 5 Tareas 07-0-015 A: todos los ejercicios que faltan del. Tareas 08-0-015 B: todos los ejercicios que faltan del. Resuelve por igualación - - -8-10 -1-1 1
d 5 1 7 0 En ambas ecuaciones elegimos despejar la. 5 1 7 0 5 1 7 1 5 7 Podemos concluir que: 1 5 7 Hemos de resolver este ecuación de primer grado en la incógnita. 71 5 7 1 15 7 15 1 7 1 7 7 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 7 7 1 7 7 Tareas 07-0-015 A: todos los ejercicios que faltan del. Tareas 08-0-015 B: todos los ejercicios que faltan del. 5 Resuelve por reducción. d 5 9 5 Elegimos la ; multiplicamos la primera ecuación por (coeficiente de en la segunda ecuación) multiplicamos la segunda ecuación por 5 (opuesto del coeficiente de en la primera ecuación). 5 9 55 9 15 7 10 15 5 sumando en columna Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 5 9 5 9 9 5 15 5 Tareas 07-0-015 A: todos los ejercicios que faltan del 5. Tareas 08-0-015 B: todos los ejercicios que faltan del 5. Tareas 07-0-015 A: empleando los cuatro métodos. Tareas 08-0-015 B: empleando los cuatro métodos. 11 Entre Alejandro Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1.50 euros, ella tendría el doble. Cuánto lleva cada uno? PLANTEAMIENTO 1
Llamamos Tenemos que: es el dinero que tiene Alejandro es el dinero que tiene Palmira Entre Alejandro Palmira llevan 15 euros 15 él le diera a ella 1.50 euros, ella tendría el doble 1. 5 1. 5 RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 15 1. 5 1. 5 Aplicamos el método de sustitución. Elegimos la incógnita en la primera ecuación para despejarla. 15 15 Sustituimos este valor de en la segunda ecuación. 15 1. 5 1. 5 1. 5 1. 5 7 1. 5 7 1. 5 5. 5 8. 5 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 15 8. 5. 5. 5 8. 5 SOLUCIÓN Alejandro tiene.5 euros Palmira tiene 8.5 euros Tareas 09-0-015 B: 9,10, 1, 1, 15, 1, 18, 19. Tareas 08-0-015 A: 9,10, 1, 1, 15, 1, 18, 19. 1 Un puesto ambulante vende los melones las sandías a un tanto fijo la unidad. Andrea se lleva 5 melones sandías, que le cuestan 1 euros. Julían paga 1 euros por melones sandías. Cuánto cuesta un melón? Y una sandía? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: es el precio de un melón es el precio de una sandía Andrea se lleva 5 melones sandías, que le cuestan 1 euros 5 1 Julían paga 1 euros por melones sandías 1 RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Aplicamos el método de reducción. Elegimos la : multiplicamos la primera ecuación por. 5 1 1 10 1 7 1 5 1 1 restamos en columna 1 7 1
Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de la : 5 1 1 10 1. 5 1. 5 SOLUCIÓN Cada sandía cuesta 1.50 euros cada melón cuesta euros. 17 Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha vendido la maor parte, pero considera que la mercancía restante no está en buenas condiciones la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1 euro, que por cada kilo retirado ha perdido euros que la ganancia ha sido de 5 euros, Cuántos kilos ha vendido cuántos ha retirado? PLANTEAMIENTO Llamamos Tenemos que: es el número de kilos vendidos es el número de kilos retirados por cada kilo vendido ha ganado 1 euro, que por cada kilo retirado ha perdido euros que la ganancia ha sido de 5 euros 1 5 pone a la venta 80 kg 80 RESOLUCIÓN 5 80 Aplicamos el método de igualación. Elegimos la incógnita para despejarla en ambas ecuaciones. 5 80 Podemos concluir que: 5 80 Ecuación de primer grado en la incògnita que resolvemos. 80 5 8 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de : 80 8 7 7 8 SOLUCIÓN El frutero ha vendido 7 kg de cerezas retirando 8 kg. 0 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diez años solo tendrá el doble. Cuál es la edad de cada una? ho Cristina 10 María 10 PLANTEAMIENTO Tenemos que: dentro de 10 años 15
Cristina tiene el triple de edad que su prima María dentro de diez años solo tendrá el doble 10 10 RESOLUCIÓN 10 10 Aplicamos el método de sustitución. 10 0 Ecuación de primer grado en la incógnita. 0 10 10 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 10 0 0 10 SOLUCIÓN Cristina tiene 0 años María tiene 10 años. Tareas 10-0-015 B: 1,,, 5, 7. Tareas 10-0-015 A: 1,,, 5, 7. Para cercar una parcela rectangular, 5 metros más larga que ancha, se han necesitado 10 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela. PLANTEAMIENTO Tenemos el siguiente dibujo: Por otro lado: 5 metros más larga que ancha 5 se han necesitado 10 metros de alambrada 10 105 RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 5 105 Aplicamos el método igualación. 1
Despejamos en ambas ecuaciones la. 5 105 Igualamos las epresiones obtenidas anteriormente. 5 105 105 5 80 0 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 0 5 5 0 5 SOLUCIÓN La base mide 5m la altura 0m Dos ciudades, A B, distan 70 km. En cierto momento, un coche parte de A hacia B a 110 km/h, a la vez, sale de B hacia A un camión a 70km/h. Qué distancia recorre cada uno hasta que se encuentran? La suma de las distancias es 70 70 Los tiempo invertidos por el coche el camión, hasta el encuentro, son iguales 110 70 PLANTEAMIENTO Ha que tener en cuenta que e v t donde Llamamos es el espacio recorrido por el coche es el espacio recorrido por el camión RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 70 110 70 Aplicamos el método de reducción. 70 7 11 70 7 11 0 e es el espacio v es la velocidad t es el tiempo Elegimos la incógnita : multiplicamos la primera ecuación por 11. 7011 7 11 0 11 11 970 7 11 0 18 970 sumamos en columna 970 15 18 Sustituimos este valor de para hallar el correspondiente valor de. 15 70 70 15 105 SOLUCIÓN 15 105 17
El coche recorre 15 km el camión recorre 105 km 18