7. Sistemas de ecuaciones lineales

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1 7. Sistemas de ecuaciones lineales 1. sistemas lineales. Resolución gráfica PIENSA CALCULA a) En qué punto se cortan la gráfica roja la azul? s r 3. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo resuélvelo gráficamente: 2 + = = 2 } Criterio: 2 4 = 1 2 = 1 2 Tiene infinitas soluciones. Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. b) Tienen algún punto en co mún las rectas del dibujo? Cómo son estas rectas? s r a) P (3, 2) b) No. Son paralelas. CARNÉ CALCULISTA Calcula con dos decimales: 73,58 : 0,24 C = 306,58; R = 0,0008 APLICA LA TEORÍA 1. Comprueba que = 2, = 3 es solución del siguiente sistema: 3 = = 4} 3 2 ( 3) = = ( 3) = 10 6 = 4 1 = 1, 1 = 1; 2 = 2, 2 = 3; 3 = 3, 3 = 5 4. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo resuélvelo gráficamente: 3 = = 1 } Criterio: Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. P( 1, 2) 2. Resuelve gráficamente el siguiente sistema: 2 + = 4 3 = 5} P(1, 2) = 1, = 2 = 1, = 2 5. Aplica el criterio que relaciona los coeficientes del siguiente sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo resuélvelo gráficamente: 2 + = = 3 } Criterio: 2 6 = No tiene una solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible. 69 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

2 9. Resuelve por el método más sencillo: = 12 2 = 5 7 } Se sustitue el valor de de la segunda ecuación en la primera ecuación. = 3, = 2 6. Escribe un sistema que tenga como solución = 2, = 3 + = 5 = 1} 2. métodos de sustitución e igualación PIENSA CALCULA Resuelve mentalmente el siguiente sistema sustituendo el valor de de la primera ecuación en la segunda: + = 2 + = 150} = 10. Resuelve el siguiente sistema: = = 1 6} Se igualan los valores de la = 1/2, = 1/4 11. Resuelve el siguiente sistema: = = 7 Se eliminan los denominadores: = = 21} Se sustitue el valor de de la primera ecuación en la segunda. = 4, = Resuelve el siguiente sistema: = 1 0,5 = 0,25 + 0,25} Se igualan los valores de la = 1, = 0,5 3. reducción qué método utilizar 70 Solucionario + 2 = = 150 = 50 = 2 = 2 50 = 100 = 100 CARNÉ CALCULISTA + = 150 Desarrolla: (2a 5) 2 = 4a 2 20a + 25 Factoriza: = ( 5) 2 APLICA LA TEORÍA 7. Resuelve por el método más sencillo: = = 10} Se sustitue el valor de de la primera ecuación en la segunda. = 2, = 1 8. Resuelve por el método más sencillo: = 3 7 = 13 2} Se igualan los valores de la = 4, = 5 PIENSA CALCULA Suma mentalmente las dos ecuaciones del sistema halla el valor de Sustitue mentalmente este valor en la primera ecuación halla el valor de = = 4} 8 = 16 = = 12 = 1 CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: = 1/8 APLICA LA TEORÍA 13. Resuelve por el método más sencillo: = = 1} Se suman las dos ecuaciones. = 1, = 2 = Resuelve por el método más sencillo: 3 2 = = 1} Se cambia de signo la primera ecuación se suman. = 2, = 1

3 15. Resuelve por el método más sencillo: = = 3} Se multiplica la primera ecuación por 3 se le resta la segunda. = 2, = Resuelve por el método más sencillo: 3 2 = = 2 } Se multiplica la primera ecuación por 5 la segunda por 2 se suman. = 3, = Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo: = = 25} Por sustitución. = 2, = Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: = = 4 } Por reducción, se suman las dos ecuaciones. = 1/2, = Resuelve el siguiente sistema por el método más sencillo: = 2 1 = 3 6 } Por igualación. = 9, = 5 4. Problemas de sistemas PIENSA CALCULA En el dibujo está planteado un sistema correspondiente a dos ecuaciones con dos incógnitas. + = 15 = 5 a) Suma las dos ecuaciones halla el valor de una tarjeta. b) Observando la primera ecuación sabiendo el valor de una tarjeta, calcula el valor de un disco blu-ra. a) 2 tarjetas = 20 1 tarjeta = 10 b) 1 disco blu-ra = 5 CARNÉ CALCULISTA Resuelve la ecuación: = 0 = 0, = 2 APLICA LA TEORÍA 20. Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro que entre los dos suman 51 Primer número: Segundo número: = 2 + = 51} = 17, = En un garaje ha 18 vehículos entre coches motos. Sin contar las ruedas de repuesto ha 58 ruedas. Cuántas motos coches ha? Número de coches: Número de motos: + = = 58 } Coches: = 11, motos: = El perímetro de un triángulo isósceles mide 65 m, cada uno de los lados iguales mide el doble del lado desigual. Cuánto mide cada lado? Medida del lado desigual: Medida de cada uno de los lados iguales: + 2 = = 2} Lado desigual: = 13 m Cada lado igual: = 26 m 23. El doble de un número más el triple de otro número es igual a 80, el quíntuplo del primero menos la mitad del segundo es igual a 56. De qué números se trata? Primer número: Segundo número: 2 + /3 = 80 5 /2 = 56} = 13, = Los alumnos de un centro van a ir al teatro. El precio de una entrada sin descuento es de 4,5 con descuento especial para colegios es de 1,5. Se sacan 250 entradas, unas con descuento otras sin descuento, en total se pagan 675. Cuántas entradas se han comprado con descuento? sin descuento? Número de entradas sin descuento: Número de entradas con descuento: 2,5 + 1,5 = 250 4,5 + 1,5 = 675} Entradas sin descuento: = 100 entradas. Entradas con descuento: = 150 entradas. 71 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

4 25. Tres DVD 2 CD cuestan 12 ; 4 DVD 4 CD cuestan 18. Calcula cuánto cuestan cada DVD cada CD. Precio del DVD: Precio del CD: = = 18} Cada DVD: = 3 Cada CD: = 1, = = 7} P(2, 3) 26. Halla la ecuación de la recta a + b = 2 sabiendo que pasa por los puntos A (1, 2) B (3, 7) 3a + 2b = 2 3a + 7b = 2} a = 10, b = 4 La recta es: 10 4 = = 1 Ejercicios problemas propuestos = 2, = = 6 3 = 1} 1. SISTEMAS LINEALES. RESOLUCIÓN GRÁFICA 27. Comprueba que = 1, = 5 es solución del siguiente sistema: = = 1} 3 ( 1) = = 13 4 ( 1) + 5 = = 1 P( 1, 4) Resuelve gráficamente los siguientes sistemas: = = 4} = 1, = = = 2} P(1, 2) P(4, 2) = 1, = = 1 2 = 8} = 4, = = = 9} P( 2, 3) P(3, 1) 72 Solucionario = 2, = 3 = 3, = 1

5 Aplica el criterio que relaciona los coeficientes de cada sistema para hallar cuántas soluciones tiene, haz la interpretación gráfica, clasifícalo resuélvelo gráficamente: = = 1} Criterio: 2 2 = No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible = = 5} Criterio: 1 3 = No tiene solución. Son rectas paralelas. Sistema incompatible = = 6} Criterio: 1 2 = 2 4 = 3 6 Tiene infinitas soluciones. Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado = = 2} Criterio: 2 4 = 1 2 = 1 2 Tiene infinitas soluciones Son rectas coincidentes. Sistema compatible indeterminado. 1 = 1, 1 = 2; 2 = 3, 2 = 0; 3 = 5, 3 = = = 4} Criterio: Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. = 2, = 1 P( 2, 1) 1 = 0, 1 = 1; 2 = 1, 2 = 1; 3 = 2, 3 = = = 10} Criterio: Tiene una solución. Son rectas secantes. Sistema compatible determinado. = 5, = 1 P(5, 1) 73 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

6 74 Solucionario 40. Escribe un sistema que tenga como solución: = 1, = 2 + = 1 + = 3} 2. MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN E IGUALACIÓN Resuelve por el método más sencillo: = = 1} Se sustitue el valor de de la primera ecuación en la segunda ecuación. = 2, = = 4 = 1 5 } Se sustitue el valor de de la segunda ecuación en la primera ecuación. = 2/3, = 13/3 43. = 3 5 = 1 2} Se igualan los valores de la = 6/5, = 7/5 44. = = 5 4} Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de = 1, = = 1 = 7 3 } Se sustitue el valor de de la segunda ecuación en la primera ecuación. = 2, = = 3 0,75 = 0,5 + 5 } Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de = 4,2, = 1,6 3. REDUCCIÓN QUÉ MÉTODO UTILIZAR Resuelve por el método más sencillo: = = 11} Se suman las dos ecuaciones. = 3, = = = 10} Se aplica el método de sustitución. Se sustitue el valor de de la primera ecuación en la segunda ecuación. = 2, = = = 19} Se cambia de signo la segunda ecuación se suman. = 3, = = = 5} Se aplica el método de sustitución. Se sustitue el valor de de la primera ecuación en la segunda ecuación. = 11/5, = 2/ = = 5} m.c.m. (4, 6) = 12 Se multiplica la primera por 3 la segunda por 2 se suman. = 1, = = = 4 2} Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de de las dos ecuaciones. = 3, = = = 11} Se multiplica la primera ecuación por 4 la segunda por 3 se suman. = 3, = = = 1} Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de = 3, = = = 1 Se eliminan denominadores = = 54} Se aplica el método de sustitución. Se despeja de la segunda ecuación se sustitue en la primera. = 21/4, = 13/ = ( 1) + 2 ( + 3) = 4 Se eliminan denominadores: 5 4 = = 51} Se resuelve por reducción multiplicando la segunda ecuación por 2 sumando. = 2, = 5/2

7 4. PROBLEMAS DE SISTEMAS 57. Halla dos números sabiendo que uno es el cuádruplo del otro que entre los dos suman 55 Primer número: Segundo número: = 4 + = 55} = 11, = 44 PARA AMPLIAR 62. Resuelve gráficamente los sistemas: a) + = 0 b) 2 = 0 = 0} b) 2 = 0 } a) 58. Dos hogazas de pan 8 barras pesan 6 kg, 12 barras una hogaza pesan 4 kg. Cuánto pesa cada barra de pan cada hogaza? Peso de la hogaza: Peso de la barra: = = 4} Peso hogaza: = 2,5 kg Peso de la barra: = 0,125 kg = 125 g = 0, = 0 b) O (0, 0) 59. El triple de un número menos el doble de otro número es igual a 45 el doble del primero menos la cuarta parte del segundo es igual a 43. De qué números se trata? Primer número: Segundo número: 3 2 = 45 2 /4 = 43} = 23, = El perímetro de un romboide mide 42 m un lado mide 7 m más que el otro. Cuánto mide cada lado? Lado menor: Lado maor: = 42 = + 7 } = 7 m, = 14 m 61. Un ángulo de un rombo mide el doble que el otro. Cuánto mide cada ángulo? Ángulo menor: Ángulo maor: = 2 + = 180} = 60, = 120 = 0, = 0 O (0, 0) Resuelve por el método más sencillo los siguientes sistemas: = = 40} Se multiplica la primera ecuación por 2 se suman. = 4, = = 16 = 2 } Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de = 7, = = = 45} Se multiplica la primera ecuación por 2, la segunda por 3 se suman. = 3, = = 4 = 7 2 } Se aplica el método de sustitución. Se despeja de la segunda ecuación se sustitue en la primera. = 3, = = 7 = 5 2} Se aplica el método de igualación. Se igualan los valores de = 3, = 4 75 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

8 = = 13} Se multiplica la primera ecuación por 5, la segunda por 3 se suman. = 1, = = } = 9 Se eliminan denominadores. 4 = = = 9} = 9} Se suman las ecuaciones. = 3/2, = = 3 } = Se eliminan denominadores se simplifica = = 10} Se le resta a la primera ecuación la segunda. = 4, = } 71. = = 4( + 1) Se eliminan los denominadores, paréntesis se simplifica = = 12} Se multiplica por 2 la segunda ecuación se suman. = 3, = ,25 + 0,5 = 2 0,75 0,5 = 5} Se suman las ecuaciones. = 7, = 0,5 73. Escribe un sistema que tenga la solución: = 3, = 1 + = 2 = 4} 74. Calcula el valor de k para que = 2, = 1 sea solución del sistema: k + 2 = 4 k 3 = 9} = = 4 2k 1 = 9 k = Para una fiesta se compran refrescos a 0,85 bolsas de frutos secos a 1,25. Por cada refresco se compran tres bolsas de frutos secos en total se pagan 230. Cuántos refrescos bolsas se han comprado? N.º de refrescos: N.º de bolsas de frutos secos: 0,85 + 1,25 = 230 = 3 } N.º de refrescos: = 50 N.º de bolsas de frutos secos: = Halla dos números cua suma sea 12 el primero más el doble del segundo sea igual a 19 Primer número: Segundo número: + 2 = = 19} = 5, = Un ángulo de un rombo mide el triple que el otro. Cuánto mide cada ángulo? Ángulo menor: Ángulo maor: = 3 + = 28 } = 45, = Halla la edad de un padre la de su hijo sabiendo que la edad del padre es el triple de la del hijo la diferencia de las edades es de 28 años. Edad del hijo: Edad del padre: = 3 = 28} Edad del hijo: = 14 años. Edad del padre: = 42 años. 80. Halla los lados de un rectángulo sabiendo que el perímetro mide 130 m que la base es 3/2 de la altura. 76 Solucionario 75. Calcula dos números sabiendo que suman 92 que su diferencia es 22 Primer número: Segundo número: + = 92 = 22} = 57, = 35 Base: Altura: = 130 = 3 /2 } Base: = 39 m Altura: = 26 m

9 81. Un pantalón una camisa cuestan 60 he pagado por ellos 52,8. Si en el pantalón me han hecho el 10 % de descuento en la camisa, el 15 %, cuánto costaba cada prenda? Precio del pantalón: Precio de la camisa: + = 60 0,9 + 0,85 = 52,8} Coste del pantalón: = 36 Coste de la camisa: = Halla dos números cua suma es 72 son proporcionales a 5 3 Primer número: Segundo número: + = 72 } 5 = 3 Primer número: = 45 Segundo número: = 27 PROBLEMAS 83. Se mezcla café de calidad etra de 12 /kg con café normal de 7 /kg para obtener una mezcla de 40 kg a 9 /kg. Cuántos kilos hemos mezclado de cada clase? 86. El perímetro de un triángulo isósceles mide 27,5 m cada uno de los lados iguales mide 2,5 m más que el desigual. Cuánto mide cada lado? Medida del lado desigual: Medida de cada uno de los lados iguales: + 2 = 27,5 = + 2,5 } Medida del lado desigual: = 7,5 m Medida de cada uno de los lados iguales: = 10 m 87. Por una camisa un pantalón se han pagado 120, por dos camisas tres pantalones se han pagado 312. Cuánto cuestan cada camisa cada pantalón? Coste de una camisa: Coste de un pantalón: = = 312} Coste de una camisa: = 48 Coste de un pantalón: = El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide la mitad de cada uno de los iguales. Cuánto mide cada uno de los ángulos? Café etra Café normal Mezcla Precio ( /kg) Peso (kg) = = 40 9} Café etra de 12 /kg: = 16 kg Café de 7 /kg: = 24 kg 84. Halla la ecuación de la recta = a + b sabiendo que pasa por los puntos A (1, 5) B ( 1, 1) a + b = 5 a + b = 1} a = 2, b = 3 La recta es: = José ha comprado en el mercado 3 kg de manzanas 2 kg de higos ha pagado 14 por toda la fruta. Sabiendo que el precio del kilo de higos es el doble que el de manzanas, halla el precio del kilo de manzanas del kilo de higos. Precio del kilo de manzanas: Precio del kilo de higos: = 14 = 2 } Precio del kilo de manzanas: = 2 Precio del kilo de higos: = 4 Ángulo igual: Cada ángulo desigual: = /2 2 + = 180} Cada uno de los ángulos iguales: = 72 El ángulo desigual: = Pedro María van a comprar cuadernos bolígrafos. Pedro paga 30 por 5 cuadernos 6 bolígrafos, María paga 34 por 7 cuadernos 2 bolígrafos. Cuánto cuestan cada cuaderno cada bolígrafo? Precio de un cuaderno: Precio de un bolígrafo: = = 34} Precio de un cuaderno: = 4,5 Precio de un bolígrafo: = 1, Una fábrica hace bicicletas del tipo A, que llevan 1 kg de acero 3 kg de aluminio, otras del tipo B, que llevan 2 kg de acero 2 kg de aluminio. Si la empresa tiene 240 kg de acero 360 kg de aluminio, cuántas bicicletas puede construir de cada modelo? Bicicletas del tipo A: Bicicletas del tipo B: = = 360} Bicicletas del tipo A: = 60 Bicicletas del tipo B: = Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

10 78 Solucionario 91. Se mezcla aceite puro de oliva de 3,5 /L con aceite de orujo de 2,5 /L, para obtener 400 litros de mezcla a 2,75 /L. Cuántos litros hemos mezclado de cada aceite? Aceite puro Aceite orujo Mezcla Precio ( /L) 3,5 2,5 2,75 Capacidad (L) 400 1,2 + = 400 3,5 + 2,5 = 400 2,75} Aceite de oliva: = 100 L Aceite de orujo: = 300 L 92. Halla dos números sabiendo que al dividir el maor entre el menor se obtiene de cociente 2 de resto 3, que la suma de los dos números es 39 Número menor: Número maor: + = 39 = 2 + 3} Número menor: = 12 Número maor: = Entre conejos gallinas ha 48 animales en un corral. Sabiendo que en total ha 86 patas, cuántos conejos gallinas ha? Interpreta el resultado. Cantidad de conejos: Cantidad de gallinas: = = 86} Cantidad de conejos: = 5 Cantidad de gallinas: = 53 Interpretación: el número de conejos no puede ser negativo, por lo que el problema no tiene solución. 94. El triple de un número más otro número es igual a 29 el doble del primero menos la mitad del segundo es igual a 10. De qué números se trata? Primer número: Segundo número: 3 + /2 = 29 2 /2 = 10} = 7, = Reparte 55 proporcionalmente a 2 3 Primera cantidad: Segunda cantidad: + = 55 } 2 = 3 = 22, = En una tienda, 2 pares de zapatos 3 pares de deportivos cuestan 170, se han pagado por ellos 132. Si en los zapatos han hecho el 25 % de descuento en los deportivos el 20 %, cuánto costaba cada par? Pares de zapatos: Pares de deportivos: = , ,8 = 132} Pares de zapatos: = 40 Pares de deportivos: = El perímetro de un rectángulo mide 21 m uno de los lados mide el doble del otro. Cuánto mide cada lado? Base: Altura: = 21 = 2 } Base: = 7 m Altura: = 3,5 m 98. Dos revistas deportivas una de automóviles cuestan 6. Cuatro revistas deportivas dos de automóviles cuestan 12. Calcula cuánto cuesta cada revista deportiva cada revista de auto móviles. Interpreta el resultado que se ob tiene. Cantidad de revistas deportivas: Cantidad de revistas de automóviles: = = 12} Los coeficientes de la segunda ecuación son el doble de los de la primera. El sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. PARA PROFUNDIZAR 99. Halla dos números tales que su suma sea 25 la seta parte del primero más cinco veces el segundo sea igual a 38 Primer número: Segundo número: /6 + 5 = 25 /6 + 5 = 38 } = 18, = Entre Juan Antonio hacen un trabajo por el que cobran 654. Si Juan ha hecho los 2/3 del trabajo que ha hecho Antonio, cuánto tiene que cobrar cada uno? Cantidad que cobra Juan: Cantidad que cobra Antonio: + = 654 = 2 /3 } Juan cobra: = 261,6 Antonio cobra: = 392, En un puesto se venden melones sandías por unidades. Por la compra de 3 melones 2 sandías se pagan 8, por la compra de 6 melones 4 sandías se pagan 15. Calcula el precio de cada melón de cada sandía e interpreta el resultado que obtengas. Precio de un melón: Precio de una sandía: = = 15} Los coeficientes de las incógnitas de la segunda ecuación son el doble que los de la primera, sin embargo, el segundo miembro no es el doble. El sistema es incompatible, no tiene solución.

11 102. Calcula las dimensiones de un rectángulo cuo perímetro es 306 m cua altura mide los 3/4 de la base. Base: Altura: = 306 = 3 /4 } Base: = 612/7 = 87,43 m Altura: = 459/7 = 65,57 m 103. Se mezcla cebada de 0,15 /kg con trigo de 0,2 /kg para obtener 500 kg de pienso para animales a 0,17 /kg. Cuántos kilos de cebada de trigo hemos mezclado? Cebada Trigo Mezcla Precio ( /kg) 0,15 0,2 0,17 Masa (kg) 500 1,12 + = 500 0,15 + 0,2 = 500 0,17} Cebada: = 300 kg Trigo: = 200 kg 104. El perímetro de un rectángulo mide 24 m la suma de dos lados contiguos mide 12 m. Calcula la longitud de los lados del rectángulo e interpreta el resultado que obtengas. Base: Altura: = = 12} El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones, porque los coeficientes de la segunda ecuación son la mitad que los de la primera Halla dos números directamente proporcionales a 5 7 cua suma sea 36 Primer número: Segundo número: 5 = 7 + = 36 = 15, = La suma de las edades de un padre su hijo es de 75 años la diferencia es de 45 años. Qué edad tienen el padre el hijo? Edad del padre: Edad del hijo: + = 75 = 45} Edad del padre: = 60 años. Edad del hijo: = 15 años Un número está compuesto de dos cifras que suman 6 unidades. Si cambiamos las dos cifras de orden, el número aumenta en 18 unidades. De qué número se trata? Cifra de las unidades: Cifra de las decenas: = = } = 4, = 2 El número es 24 Matematización en contetos reales 108. Dos ciudades, A B, distan entre sí 600 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un coche a 80 km/h. Al mismo tiempo sale de la ciudad B hacia la ciudad A una moto a 120 km/h. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse la distancia que ha recorrido cada vehículo. El tiempo t es el mismo para los dos ha que aplicar la fórmula e = v t 600 km A 80 km/h 120 km/h B 600 = 80t 600 = 120t } t = 3 h, = 240 km El tiempo es el mismo para los dos: 3 h El espacio que recorre el coche que sale de A es de 240 km El espacio que recorre la moto que sale de B es de = 360 km 109. Dos ciudades, A B, distan entre sí 800 km. De la ciudad A sale hacia la ciudad B un tren de mercancías a 80 km/h. Tres horas más tarde sale de la misma estación A otro tren de pasajeros a 120 km/h. Calcula el tiempo que tardará el segundo tren en alcanzar al primero la distancia que han recorrido los dos trenes. A 80 km/h 120 km/h = 80(t + 3) = 120t } t = 6 h, = 720 km Comprueba lo que sabes Tiempo del tren de mercancías: t + 3 Tiempo del tren de pasajeros: t 1. Clasifica un sistema a partir del número de soluciones pon un ejemplo de un sistema incompatible. Un sistema lineal se puede clasificar, según el número de soluciones en: a) Compatible determinado: el sistema tiene una solución las dos rectas se cortan en un punto. b) Incompatible: el sistema no tiene solución las dos rectas son paralelas. c) Compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones las dos rectas son la misma. C B 79 Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

12 Ejemplo: = = 3} 2. Resuelve gráficamente el sistema: = = 1} 7. Halla dos números sabiendo que entre los dos suman 66 que uno es la mitad del otro. Resuélvelo utilizando un sistema de ecuaciones. Primer número: Segundo número: + = 66 = 2 } + = 66 = 2 } Se resuelve por sustitución. = 22, = 44 Los números son Un prado tiene forma rectangular. La altura del rectángulo mide 5 m menos que la base, el perímetro mide 82 m. Halla el área del prado. Resuélvelo utilizando un sistema de ecuaciones. P (2, 1) Base: Altura: = = 82} Base: = 23 m, altura: = 18 m Área = = 414 m 2 = 2, = 1 3. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: = = 11} Se resuelve por sustitución. Se sustitue el valor de en la segunda ecuación. = 1, = 3 Windows/Linu PRACTICA 115. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas, clasifícalos, si son compatibles determinados, halla la solución. a) 3 5 = 1 b) = = 5} b) = 18 } a) 4. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: = = 7} Se resuelve por sustitución. Se sustitue el valor de en la segunda ecuación. = 1, = 4 5. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: = = 4} Se resuelve por reducción. Se multiplica la primera por 2 se suman. = 2, = 1 b) Sistema incompatible. P (2, 3) 80 Solucionario 6. Resuelve por el método más sencillo el siguiente sistema: = 2 1 = 3 6} Se resuelve por igualación. = 9, = 5 b) Sistema compatible determinado. b) = 2, = 3

13 116. Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas clasifícalos a la vista del resultado: a) 3 5 = 4 b) 4 6 = = 7} b ) = 5 } a) = 3, = 1 Sistema compatible determinado. b) No tiene solución. Sistema incompatible Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas clasifícalos a la vista del resultado: a) 9 6 = 12 b) 5 + = = 4} b) = 3 1 } a) 3 2 = 4 Sistema compatible indeterminado. b) = 2, = 5 Sistema compatible determinado Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas clasifícalos a la vista del resultado: a) 2 = } b) 00,5 + = 1 4 b) 0,25 = 0,25} 5 a) = 1 2 a) = 3, = 6 Sistema compatible determinado. b) = 1, = 0,5 Sistema compatible determinado. Plantea los siguientes problemas resuélvelos con auda de Wiris: 119. Ana tiene el triple de dinero que Julio entre los dos tienen 800. Cuánto dinero tiene cada uno? Planteamiento: = 3 + = 800} Solución: Ana tiene: 600 Julio tiene: En un rectángulo, el perímetro mide 21 m la base es el doble que la altura. Cuánto mide cada lado? Planteamiento: = 21 = 2 } Solución: La base mide 7 m La altura mide 3,5 m 121. En una tienda de informática el precio de un ordenador más el de una impresora es de 800. Si hacen un descuento en el ordenador del 10 % en la impresora del 15 %, el valor es de 710. Cuánto costaba el ordenador la impresora? Planteamiento: + = 800 0,9 + 0,85 = 710} Solución: El ordenador cuesta 600 La impresora cuesta Halla dos números que sean proporcionales a 2 3 cua suma sea 60 Planteamiento: 2 = 3 + = 60 } Solución: = 24, = En un corral ha 110 animales entre gallinas conejos. El número de patas que ha en total es 320. Cuántas gallinas conejos ha? Planteamiento: = = 320} Solución: Número de gallinas: 60 Número de conejos: Unidad 7. Sistemas de ecuaciones lineales

14 Practica con tetos Algo más que un juego de adivinar Manuel es un profesor de matemáticas ciertamente peculiar. Algunas veces se empeña en dar unas clases un poco raras. Un día, al llegar a clase, sentó a sus alumnos de tres en tres en cada mesa asignándoles una letra a cada uno de la siguiente forma: A B C A B Entregó en cada mesa un folio a todos los alumnos que les asignó la letra A les pidió que pensasen un número de una cifra. Una vez que lo tuvieron pensado, les solicitó que, mentalmente, lo duplicasen después que le añadiesen cinco unidades. Los alumnos debían anotar en el papel el resultado entregárselo a aquellos que tenían asignada la letra B. Pidió a estos que multiplicasen el resultado entregado por cinco que pasaran el resultado a los alumnos de la letra C. Por último, solicitó a estos alumnos que sumasen al resultado entregado otro número de una cifra libremente pensado por ellos que le dijeran a él el resultado. El profesor, con este resultado, adivinó los números pensados en cada mesa. Cómo lo hizo? Lee atentamente el teto contesta: Posiblemente tu primera intención es utilizar letras resolver alguna ecuación. Pero comencemos por algo más sencillo: Elige un dígito haz las operaciones que se van pidiendo a los alumnos A B. Cuando llegues a lo que debe hacer el alumno C elige otro dígito acaba las operaciones. Con ese resultado debes adivinar los números pedidos. Hazlo dos o tres veces con dígitos distintos. Cuál es el truco? Por ejemplo: El alumno A elige = 3, tendría: = 11 El alumno B: 5 11 = 55 El alumno C elige = 7, tendría: = 62 Ahora realiza todo el proceso con letras: Llama con la letra al primer número de una cifra pensado por los alumnos del grupo A realiza las operaciones que se les pide con esa letra. A lo que tengas escrito aplícale lo que debe hacer cada alumno del grupo B. Recuerda la propiedad distributiva. Finalmente, los alumnos del C deben pensar otro dígito; llámalo con la letra. Realiza con esa letra lo que tienen que hacer estos alumnos. C A B C La epresión algebraica que obtienes debes igualarla al resultado obtenido: 5 (2 + 5) + = = = Se obtiene la descomposición polinómica del número donde es el número de decenas e es el número de unidades. a) Si no ves el truco, pensemos algo más sencillo: Vamos a realizar el proceso simplificando un paso. El alumno A va a pensar un dígito lo va a duplicar, pero no le va a sumar otra cantidad. El alumno B multiplica el resultado por cinco, el alumno C suma al último resultado otro dígito. Hazlo ahora dos o tres veces con números. Observa el resultado final. Ves alguna relación entre el resultado los números pensados? Si se elimina la suma del primer paso, se obtiene directamente 10 + = resultado total Por ejemplo si = 3, = 7 se obtendría 10 + = 37 Se obtiene la descomposición polinómica del número donde es el número de decenas e es el número de unidades. b) Repite el proceso ahora cambiando el cinco que debe sumar el alumno A por un cuatro. Si se hace sumando 4 unidades, queda el mismo resultado pero más fácil de realizar porque solo se resta 20 c) Haz el planteamiento del problema escribe una conclusión. 5 (2 + 4) + = = Si igualamos esta epresión al resultado pasamos 20 a restar nos quedan los números pensados como las unidades las decenas. Inventa un problema similar pero que haa que adivinar tres dígitos. Por ejemplo: A: Piensa un dígito, duplica añade 4. Entrega el resultado a B B: Multiplica por 5 suma otro dígito. Entrega el resultado a C 5 (2 + 4) + C: Duplica. Entrega el resultado a D 2 (5 (2 + 4) + ) D: Multiplica por 5 suma otro dígito. 5 (2 (5 (2 + 4) + )) + z 5 (2 (5 (2 + 4) + )) + z = 5 (2 ( )) + z = = 5 ( ) + z = z Si al resultado final se resta 200, se obtiene la descomposición polinómica del número donde es el número de centenas, es el número de decenas z el número de unidades. 82 Solucionario

15 Evaluación de bloque Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Halla el valor numérico del polinomio: P ( 1) = para = 1 2. Copia completa en tu cuaderno usando los signos = o : a) b) (a b ) 2 a 2 b 2 c) 4 + 8z 4(1 + 2z ) d) a a + 3 a) b) c) = d) 3. Dados los polinomios: P ( ) = Q ( ) = calcula P ( ) Q ( ) P ( ) Q ( ) = Dados los polinomios: P ( ) = Q ( ) = calcula P ( ) : Q ( ) C ( ) = R ( ) = Calcula el valor de m para que el resto de la división: ( m 2 + 5) : ( 2) sea 9 Se aplica el teorema del resto: P (2) = m = 9 4m + 5 = 9 m = 1 6. Resuelve la ecuación: 1 = = 1 7. Señala en tu cuaderno el resultado de factorizar el polinomio siguiente: a) ( + 3) ( 2 3 ) b) ( + 9) ( 2) c) 3 ( + 3) ( 2 3 ) d) ( 5 6 )( ) c) Resuelve el sistema por el método más sencillo: 3 = = 4} Se resuelve por reducción, sumando las dos ecuaciones. = 1, = 2 9. La madre de Laura José ha pagado 122 por un vestido una sudadera, que ha regalado a sus hijos. José protesta porque con lo que cuesta el vestido se podrían haber comprado dos sudaderas habrían sobrado 17. Traduce la situación al lenguaje algebraico mediante un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando con claridad el significado de las letras que empleas. Calcula el precio del vestido el de la sudadera. Precio del vestido: Precio de la sudadera: + = 122 = 87, = 35 = } El precio del vestido es 87 el de la sudadera, Los jueves, Andrés distribue las 24 horas del día de la siguiente forma: estudia la mitad de lo que duerme todavía le sobran 10 horas para el resto de sus actividades. Plantea una ecuación que eprese el enunciado, indicando claramente lo que significa la incógnita. Cuánto tiempo estudia Andrés los jueves? Eprésalo en horas minutos. N. o de horas de estudio = = 24 = 14/3 Estudia 14/3 h = 4 + 2/3 h = 4 h 40 min 11. Una ONG va a repartir paquetes de leche a las familias necesitadas de un barrio. Si la ONG tuviese el doble de paquetes de leche, podría repartir 6 paquetes a cada familia. Si tuviese el triple de paquetes el número de familias fuese uno menos, repartirían 10 paquetes a cada familia. Calcula el número de familias necesitadas del barrio el número de paquetes de leche que tiene la ONG. N. o de familias = N. o de paquetes de leche = 2 = 6 = 10, = 30 3 = 10( 1)} Ha 10 familias a cada una le tocan 30 paquetes de leche. 12. En un triángulo rectángulo el cateto menor mide 7 cm menos que el cateto maor; la hipotenusa mide 2 cm más que el cateto maor. Calcula las dimensiones del triángulo. 2 + ( 7) = ( + 2) = 0 1 = 3 (no es válida) 2 = 15 Las dimensiones son: Cateto maor = 15 cm Cateto menor = 8 cm Hipotenusa = 17 cm Evaluación de bloque