TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 1 / 1

Contenido M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 2 / 1

OBJETIVO ESPECÍFICO Objetivo específico El capacitando conocerá el concepto de transformación lineal mediante la resolución de problemas. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 3 / 1

INTRODUCCIÓN AL TEMA Introducción al tema En este tema se estudia una clase especial de funciones llamadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de matemáticas. Las transformaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 4 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Definition (Trnasformación lineal) Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v V un vector único T v W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α, T (u + v) = T u + T v T (αv) = αt v M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 5 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Una transformación lineal de R 2 en R 3 ) Sea T : R 2 R 3 definida por ( x T y ) = x + y x y. 3y M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 6 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Una transformación lineal de R 2 en R 3 ) Sea T : R 2 R 3 definida por ( x T y ) = x + y x y. 3y Example (La transformación cero) Sean V y W espacios vectoriales y defina T : V W por T v = 0 para todo v en V. En este caso, T se llama la transformación cero. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 6 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Una transformación lineal de R 2 en R 3 ) Sea T : R 2 R 3 definida por ( x T y ) = x + y x y. 3y Example (La transformación cero) Sean V y W espacios vectoriales y defina T : V W por T v = 0 para todo v en V. En este caso, T se llama la transformación cero. Example (La transformación identidad) Sea V un espacio vectorial y defina I : V V por I v = v para todo v en V. I es una transformación lineal, la cual se llama la transformación identidad u operador identidad. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 6 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Transformación de reflexión) Sea I : R 2 R 2 definida por ( x T y ) ( x = y ). M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 7 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Transformación de reflexión) Sea I : R 2 R 2 definida por ( x T y ) ( x = y ). Example (Transformación de rotación) Sea T : R 2 R 2 definida por ( ) ( x cos θ sin θ T = y sin θ cos θ ) ( x y ). M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 7 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Transformación de reflexión) Sea I : R 2 R 2 definida por ( x T y ) ( x = y ). Example (Transformación de rotación) Sea T : R 2 R 2 definida por ( ) ( x cos θ sin θ T = y sin θ cos θ ) ( x y ). Example (Un operador de proyección) Se define T : R 3 R 3 por T x y z = x y 0 Entonces T es el operador de proyección que toma un vector en el espacio de tres dimensiones y lo proyecta sobre el plano xy.. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 7 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Operador integral) Sea J : C[0, 1] R definida por Jf = 1 0 f (x) dx. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 8 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Operador integral) Sea J : C[0, 1] R definida por Jf = 1 0 f (x) dx. Example (Operador diferencial) Suponga que D : C 1 [0, 1] [0, 1] se define por Df = df dx. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 8 / 1

DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Example (Operador integral) Sea J : C[0, 1] R definida por Jf = 1 0 f (x) dx. Example (Operador diferencial) Suponga que D : C 1 [0, 1] [0, 1] se define por Df = df dx. Example (Una transformación que no eslineal) Sea T : R 2 R 2 definida por Entonces T no es lineal. T ( x y ) = ( 4 x + y ) M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 8 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Definition (núcleo) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W una transformación lineal. Entonces el núcleo de T, denotado por nu T, está dado por nu T = {v V : T v = 0} (1) M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 9 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Definition (núcleo) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W una transformación lineal. Entonces el núcleo de T, denotado por nu T, está dado por nu T = {v V : T v = 0} (1) Definition (imagen) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W una transformación lineal. Entonces la imagen de T, denotado por nu T, está dado por imagen T = {w W : w = T v para alguna v V } (2) M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 9 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Definition (núcleo) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W una transformación lineal. Entonces el núcleo de T, denotado por nu T, está dado por nu T = {v V : T v = 0} (1) Definition (imagen) Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T : V W una transformación lineal. Entonces la imagen de T, denotado por nu T, está dado por imagen T = {w W : w = T v para alguna v V } (2) Theorem Teorema 1. Si T : V W es una transformación lineal. Entonces i nu T es un subespacio de V. ii imagen T es un subespacio de W. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 9 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Example (Núcleo e imagen de la transformación cero) Sea T v=0 para todo v en V. (T es la transformación cero.) Entonces nu T = V e imagen T = {0}. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 10 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Example (Núcleo e imagen de la transformación cero) Sea T v=0 para todo v en V. (T es la transformación cero.) Entonces nu T = V e imagen T = {0}. Example (Núcleo e imagen de la transformación identidad) Sea T v = v para todo v en V. Entonces nu T = {0} e imagen T = V. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 10 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Example (Núcleo e imagen de la transformación cero) Sea T v=0 para todo v en V. (T es la transformación cero.) Entonces nu T = V e imagen T = {0}. Example (Núcleo e imagen de la transformación identidad) Sea T v = v para todo v en V. Entonces nu T = {0} e imagen T = V. Example (Un operador de proyección) x Sea T : R 3 R 3 definida por T y = z x x 0 T y = y = 0 = 0 z 0 0 x y 0. Si, entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x, y, z) : x = y = 0} = eje z, e imagen T = {(x, y, z) : z = 0} = plano xy. Obsérvese que dim nu T = 1 y dim imagen T = 2. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 10 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Definition (Nulidad) Si T es una transformación lineal de V en W. Entonces se define Nulidad de T = ν(t ) = dim nu T. (3) M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 11 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Definition (Nulidad) Si T es una transformación lineal de V en W. Entonces se define Nulidad de T = ν(t ) = dim nu T. (3) Definition (Rango) Si T es una transformación lineal de V en W. Entonces se define Rango de T = ρ(t ) = dim imagen T. (4) M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 11 / 1

DEFINICIÓN DE IMAGÉN Y NÚCLEO Definition (Nulidad) Si T es una transformación lineal de V en W. Entonces se define Nulidad de T = ν(t ) = dim nu T. (3) Definition (Rango) Si T es una transformación lineal de V en W. Entonces se define Rango de T = ρ(t ) = dim imagen T. (4) Example (Núcleo y nulidad de un operador de proyección) Sea H un subespacio de R n y sea T v = proy H v. ρ(t ) = dim H, y ν(t ) = dim H = n ρ(t ). M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 11 / 1

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Theorem Sea T : R n R m una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m n, tal que T x = A T xpara todax R n. (5) M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 12 / 1

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Theorem Sea T : R n R m una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m n, tal que T x = A T xpara todax R n. (5) Definition (Matriz de transformación) La matriz A T en el teorema 1 se llama matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 12 / 1

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Theorem Sea T : R n R m una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m n, tal que T x = A T xpara todax R n. (5) Definition (Matriz de transformación) La matriz A T en el teorema 1 se llama matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T. Example (Representación matricial de una transformación de rotación) Se víó en el ejemplo 5, que si T es la función que rota a todo vector en R 2 un ángulo θ entonces ( ) cos θ sin θ A T =. sin θ cos θ M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 12 / 1

ISOMORFISMOS Definition (Transformación muno a uno) Sea T : V W es una transformación lineal; entonces T es uno a uno, escrito 1 1, si T v 1 = T v 2implica quev 1 = v 2. (6) Es decir, T es 1 1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exactamente un vector en V. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 13 / 1

ISOMORFISMOS Definition (Transformación muno a uno) Sea T : V W es una transformación lineal; entonces T es uno a uno, escrito 1 1, si T v 1 = T v 2implica quev 1 = v 2. (6) Es decir, T es 1 1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exactamente un vector en V. Nota. Una transformación 1 1 se llama también inyectiva. Theorem Sea T : V W una transformación lineal. Entonces T es 1 1 si y sólo si nu T = {0}. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 13 / 1

ISOMORFISMOS Definition (Transformación muno a uno) Sea T : V W es una transformación lineal; entonces T es uno a uno, escrito 1 1, si T v 1 = T v 2implica quev 1 = v 2. (6) Es decir, T es 1 1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exactamente un vector en V. Nota. Una transformación 1 1 se llama también inyectiva. Theorem Sea T : V W una transformación lineal. Entonces T es 1 1 si y sólo si nu T = {0}. Example (Una transformación 1-1 de R 2 en R 2 ) ( ) ( ) x x y Defina T : R 2 R 2 por T =. Es sencillo encontrar y 2x + y ( ) 1 1 A T = y ρ(a 2 1 T ) = 2; así, ν(a T ) = 0 y N AT = nu T = {0}. Por lo tanto T es 1 1. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 13 / 1

ISOMORFISMOS Definition (Transformación sobre) Sea T : V W es una transformación lineal. Entonces se dice que T es sobre, si para todo w W existe al menos una v V tal que T v = w. Es decir, T es sobre si y sólo si imagen T = W. T v 1 = T v 2implica quev 1 = v 2. (7) Es decir, T es 1 1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exactamente un vector en V. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 14 / 1

ISOMORFISMOS Definition (Transformación sobre) Sea T : V W es una transformación lineal. Entonces se dice que T es sobre, si para todo w W existe al menos una v V tal que T v = w. Es decir, T es sobre si y sólo si imagen T = W. T v 1 = T v 2implica quev 1 = v 2. (7) Es decir, T es 1 1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exactamente un vector en V. Nota. Una transformación sobre se llama también suprayectiva. Definition (Transformación isomorfismo) Sea T : V W es una transformación lineal. Entonces T es un isomorfismo, si T es 1 1 y sobre. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 14 / 1

ISOMORFISMOS Definition (Transformación sobre) Sea T : V W es una transformación lineal. Entonces se dice que T es sobre, si para todo w W existe al menos una v V tal que T v = w. Es decir, T es sobre si y sólo si imagen T = W. T v 1 = T v 2implica quev 1 = v 2. (7) Es decir, T es 1 1 si y sólo si todo vector w en la imagen de T es la imagen de exactamente un vector en V. Nota. Una transformación sobre se llama también suprayectiva. Definition (Transformación isomorfismo) Sea T : V W es una transformación lineal. Entonces T es un isomorfismo, si T es 1 1 y sobre. Example (Un isomorfismo entre R 3 y P 2) Defina T : R 3 P 2 por T a b = a + bx + cx 2. Es sencillo verificar que T es lineal. c M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 14 / 1

ISOMETRÍAS Definition (Isometría) Una transformación lineal T : R n R n se llama una isometría, si para cada x en R n, T x = x. (8) M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 15 / 1

ISOMETRÍAS Definition (Isometría) Una transformación lineal T : R n R n se llama una isometría, si para cada x en R n, T x = x. (8) Theorem Sea T una isometría de R n R n y suponga que x y y están en R n. Entonces T x y = x y (9) Esto es, una isometría en R n preserva el producto escalar. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 15 / 1

ISOMETRÍAS Definition (Isometría) Una transformación lineal T : R n R n se llama una isometría, si para cada x en R n, T x = x. (8) Theorem Sea T una isometría de R n R n y suponga que x y y están en R n. Entonces T x y = x y (9) Esto es, una isometría en R n preserva el producto escalar. Theorem Una transformación lineal R n R n es una isometría si y sólo si la representación matricial de T es ortogonal. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 15 / 1

ISOMETRÍAS Theorem Sea R 2 R 2 una isometría. Entonces T es i una transformación de rotación o bien ii una reflexión respecto al eje x seguida de una transformación de rotación. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST) TRANSFORMACIONES LINEALES Tercer Semestre 16 / 1