TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES M. C. Roberto Rosales Flores INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TLAXCO Ingeniería en Logística M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre /

Contenido TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES OBJETIVO ESPECÍFICO INTRODUCCIÓN AL TEMA M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre /

OBJETIVO ESPECÍFICO Objetivo específico El capacitando adquirirá los conceptos básicos sobre eigenvalor y eigenvector mediante la resolución de problemas. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 3 /

INTRODUCCIÓN AL TEMA Introducción al tema Sea T : V V una transformación lineal. En muchas aplicaciones (una de las cuales se encuentra en el desarrollo de este tema es útil encontrar un vector v en V tal que T v y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar λ tal que T v = λv ( Si v 0 y λ satisface (??, entonces λ se llama eigenvalor de T y v se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor λ. El propósito de este tema es investigar las propiedades de los eigenvalores y eigenvectores. Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz A T. Por esta razón se estudiarán los eigenvalores y eigenvectores de las matrices de n n. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 4 /

CONCEPTOS BÁSICOS Definición 6. (Matrices semejantes Se dice que dos matrices A y B de n n son semejantes si existe una matriz invertible C de n n tal que B = C AC. La función que se acaba de definir y que lleva a la matriz A en la matriz B se llama transformación de semejanza. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 5 /

DEFINICIÓN DE EIGENVALORES Y EIGENVECTORES DE UNA MATRIZ DE n n Definición 6. (Eigenvalores y Eigenvectores Sea A una matriz de n n con componentes reales. El número λ (real o complejo se llama un valor propio o eigenvalor de A si existe un vector v diferente de cero en C n tal que Av = λv El vector v 0 se llama vector propio o eigenvector de A correspondiente al valor propio λ. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 6 /

DEFINICIÓN DE EIGENVALORES Y EIGENVECTORES DE UNA MATRIZ DE n n Example (Eigenvalores y eigenvectores de una matriz de ( 0 8 Sea A =. Entonces 6 ( A = ( 0 8 6 ( = ( ( = Así, λ = es un valor propio de A con el correspondiente vector propio v = De manera similar, ( 3 A = ( 0 8 6 ( 3 = ( 6 4 ( 3 =. ( De manera ( que, λ = es un valor propio de A con el correspondiente vector propio 3 v =. Como se verá en seguida, estos son los únicos valores propios de A.. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 7 /

POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA Definición 6.3 (Polinomio y ecuación característica Sea A una matriz de n n. Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si p(λ = det(a λi = 0 La ecuación p(λ = 0 se llama ecuación característica de A; p(λ se conoce como el polinomio característico de A. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 8 /

POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA Definición 6.3 (Polinomio y ecuación característica Sea A una matriz de n n. Entonces λ es un valor propio de A si y sólo si p(λ = det(a λi = 0 La ecuación p(λ = 0 se llama ecuación característica de A; p(λ se conoce como el polinomio característico de A. Contando las multiplicidades, toda matriz de n n tiene exactamente n valores propios. Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes son linealmente independientes. Las matrices semejantes tienen los mismos valores propios. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 8 /

DETERMINACIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ DE n n Procedimiento para calcular valores propios y vectores propios i. Se encuentra p(λ = det(a λi. ii. Se encuentran las raíces λ, λ,..., λ m de p(λ = 0. iii. Se resuelve el sistema homogéneo (A λ i I v = 0, correspondiente a cada valor propio λ i. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 9 /

DETERMINACIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ DE n n Example (Cálculo de valores y vectores propios ( 4 Sea A =. Entonces 3 3 det(a λi = 4 λ 3 3 λ = (4 λ(3 λ 6 = λ 7λ + 6 = (λ (λ 6 = 0. Entonces los valores propios de A son, λ = y λ = 6. ( ( ( 3 x 0 Para λ = se resuelve (A I v = 0 o =. 3 x 0 Es claro que cualquier vector ( propio correspondiente {( a λ = } satisface 3x + x = 0. Un vector propio de este tipo es v =. Así, E 3 = gen. 3 ( ( ( x 0 De manera similar, la ecuación (A 6I v = 0 significa que = 3 3 x 0 ( o x = x. Entonces v = es un vector propio correspondiente a λ = 6 y {( } E 6 = gen. Observe que v y v son linealmente independientes ya que uno no es múltiplo del otro. Ir a Ejemplo?? M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 0 /

DETERMINACIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ DE n n Example 3 (Una matriz de 3 3 con valores propios distintos Sea A = 3 4. Entonces λ 4 det(a λi = 3 λ λ = (λ3 λ 5λ + 6 = (λ (λ + (λ 3 Por lo tanto, los valores propios de A son, λ =, λ = y λ 3 = 3. Para λ = se tiene (A I v = 0 4 3 x x x 3 = 0 0 0 Resolviendo el sistema se tiene que x = x 3, x = 4x 3, un vector propio es v = E = gen 4.. 4 y M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre /

DETERMINACIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ DE n n Continuación del Ejemplo?? Para λ = se tiene [A ( I ] v = (A + I v = 0, o sea 3 4 3 4 x x = 0 0. x 3 0 Entonces x = x, x 3 = x y un vector propio es. Entonces E = gen. Por último, para λ 3 = 3 se tiene (A 3I v = Por lo tanto x 3 = x, x = x y v 3 = Ir a Ejemplo?? 4 3 4 x x x 3 = 0 0 0. de manera que E 3 = gen. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre /

MATRIZ DIAGONALIZABLE Definición 6.4 (Matriz diagonalizable Una matriz A de n n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A sea semejante a D. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 3 /

MATRIZ DIAGONALIZABLE Definición 6.4 (Matriz diagonalizable Una matriz A de n n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A sea semejante a D. Teorema 6. Una matriz A de n n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz D semejante a A está dada por λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ D = 3 0.... 0 0 0 λ n donde λ, λ,..., λ n son los valores propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces D = C AC. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 3 /

MATRIZ DIAGONALIZABLE Definición 6.4 (Matriz diagonalizable Una matriz A de n n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A sea semejante a D. Teorema 6. Una matriz A de n n es diagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz D semejante a A está dada por λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 λ D = 3 0.... 0 0 0 λ n donde λ, λ,..., λ n son los valores propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces D = C AC. Corolario 6. Si la matriz A de n n tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 3 /

MATRIZ DIAGONALIZABLE Example 4 (Diagonalización de una matriz de ( 4 Sea A =. En el ejemplo??, se encontraron dos vectores propios linealmente 3 3 ( ( ( independientes v = y v 3 =. Después haciendo C =, se 3 encontró que ( C AC = 5 3 ( ( 4 3 3 ( 6 ( 3 = 5 3 ( 5 0 3 6 = 5 0 30 ( 0 = 0 6 que es la matriz cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 4 /

MATRIZ DIAGONALIZABLE Example 5 (Diagonalización de una matriz de 3 3 con tres valores propios distintos Sea A = 3 4. En el ejemplo??, se calcularon tres vectores propios linealmente y v 3 =. Entonces independientes v = 4, v = C = 4 y C AC = 6 = 6 = con valores propios, y 3. 6 3 3 0 3 6 3 3 0 3 0 0 0 0 0 0 3 4 3 3 4 6 3 4 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 5 /

MATRIZ DIAGONALIZABLE Example 6 (Diagonalización de una matriz de 3 3 con dos valores propios distintos y tres vectores propios linealmente independientes Sea A = 3 0 4. Se tienen tres vectores propios linealmente independientes 4 3 v =, v = y v 3 = 0. Estableciendo C = 0 y 0 0 C AC = 9 = 9 = 5 4 4 5 5 4 4 5 8 0 0 0 0 0 0 3 4 0 4 3 6 0 8 6 0 0 0 Este ejemplo ilustra que A es diagonalizable aun cuando sus valores propios no sean diferentes. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 6 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Teorema 6.3 Sea A una matriz simétrica real de n n. Entonces los valores propios de A son reales. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 7 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Teorema 6.3 Sea A una matriz simétrica real de n n. Entonces los valores propios de A son reales. Teorema 6.4 Sea A una matriz simétrica real de n n. Si λ y λ son valores propios diferentes con vectores propios reales correspondientes v y v, entonces v y v son ortogonales. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 7 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Teorema 6.3 Sea A una matriz simétrica real de n n. Entonces los valores propios de A son reales. Teorema 6.4 Sea A una matriz simétrica real de n n. Si λ y λ son valores propios diferentes con vectores propios reales correspondientes v y v, entonces v y v son ortogonales. Teorema 6.5 Sea A una matriz simétrica real de n n. Entonces A tiene n vectores propios reales ortonormales. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 7 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Definición 6.5 (Matriz ortogonalmente diagonalizable Se dice que una matriz A de n n es ortogonalmente diagonalizable si existe una matriz ortogonal Q tal que Q t AQ = D donde D = diag (λ, λ,..., λ n y λ, λ,..., λ n son valores propios de A. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 8 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Definición 6.5 (Matriz ortogonalmente diagonalizable Se dice que una matriz A de n n es ortogonalmente diagonalizable si existe una matriz ortogonal Q tal que Q t AQ = D donde D = diag (λ, λ,..., λ n y λ, λ,..., λ n son valores propios de A. Procedimiento para encontrar una matriz ortogonal Q diagonalizante para una matriz real simétrica A i. Encuentre una base para cada espacio propio de A. ii. Encuentre una base ortonormal para cada espacio proio de A usando el proceso de Gram-Schmidt. iii. Escriba Q como la matriz cuyas columnas son los vectores propios ortonormales obtenidos en el paso ii. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 8 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Example 7 (Diagonalización de una matriz simétrica de usando una matriz ortogonal ( Sea A =. Entonces la ecuación característica de A es 3 det(a λi = λ 3 λ = λ 4λ = 0, que tiene dos raíces, λ = 5 ± 5. Para λ = 5 se tiene ( ( + 5 (A λi v = + x = 5 x ( Un vector propio es v = Por lo tanto + 5 y v = ( u = 0 5 ( 0 0. + ( + 5 = 0 5. + 5 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 9 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Continuación del Ejemplo?? Después, para λ = + 5 se calcula ( ( 5 (A λi v = x = 5 x ( 5 y v = v = ( 0 0. Observe que v u = 0. Entonces v = v (v u u = v. Como 0 5 de manera que u = ( 5 0 5. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 0 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Continuación del Ejemplo?? Por último ( Q = 0 5 5 + 5 y Q t AQ = = = = ( Q t = 0 5 + 5 5 ( 0 + ( ( 5 5 5 5 3 + 5 ( 0 + ( 5 5 4 5 3 5 5 7 + 3 5 4 + 5 ( 30 4 5 0 0 5 0 0 + 6 5 ( 5 0 0 +. 5 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Example 8 (Diagonalización de una matriz simétrica de 3 3 usando una matriz ortogonal 5 4 Sea A = 4 5. Entonces A es simétrica y 5 λ 4 det(a λi = 4 5 λ λ = ((λ (λ 0. Se calculan los vectores propios linealmente independientes correspondientes a λ =, v = y v = 0. Correspondiente a λ = 0 se encuentra v 3 =. 0 Para encontrar Q, se aplica el proceso de Gram-Schmidt a {v, v }, una base para E. Como v =, se hace u = / / 0 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Después v = v (v u u = = = 0 0 / / / / 0 / / 0 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 3 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL Entonces v = 8/4 = 3 / y u = 3 / / = observando que u u = 0. Por último, se tiene u 3 = v 3 v 3 = 3 v3 = 3 3 4 3 se puede verificar observando que u u 3 = 0 y u u 3 = 0. Por lo tanto Q = 3 3 0 4 3 3 3 3. Esto se verifica /3 /3 /3. También M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 4 /

MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN ORTOGONAL y Q t AQ = = = 0 3 3 3 3 4 3 3 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 3 3. 4 3 3 5 4 4 5 3 3 0 4 3 3 3 0 3 0 3 0 3 0 4 3 3 3 3 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 5 /

ECUACIÓN CUADRÁTICA Y FORMA CUADRÁTICA Definición 6.6 (Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática en dos variables sin término lineal es una ecuación de la forma ax + bxy + cy = d donde a + b + c = 0 y a, b, c son números reales. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 6 /

ECUACIÓN CUADRÁTICA Y FORMA CUADRÁTICA Definición 6.6 (Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática en dos variables sin término lineal es una ecuación de la forma ax + bxy + cy = d donde a + b + c = 0 y a, b, c son números reales. Definición 6.7 (Forma cuadrática Una forma cuadrática en dos variables es una expresión de la forma F (x, y = ax + bxy + cy donde a + b + c = 0 y a, b, c son números reales. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 6 /

ECUACIÓN CUADRÁTICA Y FORMA CUADRÁTICA Definición 6.6 (Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática en dos variables sin término lineal es una ecuación de la forma ax + bxy + cy = d donde a + b + c = 0 y a, b, c son números reales. Definición 6.7 (Forma cuadrática Una forma cuadrática en dos variables es una expresión de la forma F (x, y = ax + bxy + cy donde a + b + c = 0 y a, b, c son números reales. Forma cuadrática en R n x x Sea D =. x n y sea A una matriz simétrica de n n. Entonces la forma cuadrática en x, x,..., x n es una expresión de la forma F (x, x,..., x n = Av v M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 6 /

TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Teorema 6.6 Cada matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p(λ = 0 es la ecuación característica de A, entonces p(a = 0. M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 7 /

TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON Teorema 6.6 Cada matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p(λ = 0 es la ecuación característica de A, entonces p(a = 0. Example 9 (Ilustración del teorema de Cayley-Hamilton Sea A = 3 4. En el ejemplo 3, se calculó la ecuación característica λ 3 λ 5λ + 6, ahora se calcula A = 6 3 7 0, A 3 = 9 4 7 3 8 6 3 5 y A 3 A 5A + 6I = 3 9 4 7 6 3 5 + + 5 5 0 5 0 5 0 5 5 4 0 6 6 + 6 0 0 0 6 0 0 0 6 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 7 /

TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON En algunas situaciones el teorema de Cayley-Hamilton es útil para calcular la inversa de una matriz. Si existe A y p(a = 0, entonces A p(a = 0. Para ilustrar esto, si p(λ = λ n + a n λ n + + a λ + a 0, entonces A = a 0 ( A n a n A n a A a I Example 0 (Aplicación del teorema de Cayley-Hamilton para calcular A Sea A = 3 4. Entonces p(λ = λ 3 λ 5λ + 6. Aquí n = 3, a =, a = 5, a 0 = 6 y A = 6 ( A + A + 5I = 6 7 0 + 8 6 4 + 5 0 0 0 5 0 6 3 8 4 0 0 5 = 3 7 9 3 6 3 5 M. C. Roberto Rosales Flores (ITST TEMA 6. EIGENVALORES Y EIGENVECTORES Tercer Semestre 8 /