Astronáutica y Vehículos Espaciales. Ingenieros Aeronáuticos Escuela superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Nº DNI: 28831197F 1º Apellido: Márquez 2º Apellido: Quintanilla Nombre: Manuel Luis TRABAJO JUNIO Duración: 2 horas. Curso 08/09 07/02/09 Problemas Valor total: 5 puntos (se requieren 1.5 puntos como mínimo para aprobar). La agencia espacial japonesa JAXA (Japan Aerospace Exploration Agency) desea poner en órbita un satélite que obtendrá fotografías en la región de Andalucía, España. En los siguientes apartados (en cada apartado se indica su puntuación) se pide realizar un análisis preliminar de la misión. Se decide que el satélite debe pasar todos los días exactamente sobre Sevilla, España (latitud 37.23ºN, longitud 5.58ºO), y lo debe hacer siempre al atardecer (18:00 hora Solar) y cruzando de Sur a Norte. Además se desea una órbita circular cuya altitud no debe ser inferior a 600 km ni superior a 1200 km. El lanzamiento se efectuará el 3 de Abril de 2009 para que sea posible obtener fotografías de la Semana Santa y la Feria de Abril de dicho año. 1. (0.5 puntos) Diseñar razonadamente el elemento orbital a. NOTAS: En este apartado se sugiere (para simplificar, aunque no sea del todo correcto) despreciar perturbaciones. Si no se puede resolver el apartado, continuar con h= 1000 km (no es la solución correcta). Como se dice que el satélite en cuestión pasa todos los días exactamente por Sevilla, el periodo del satélite debe ser proporcional al periodo terrestre. Como se dice que la altura de la órbita circular se encuentra comprendida entre 600 y 1200 km, el único valor válido para n (debe ser entero) es 14. 2. (0.5 puntos) Diseñar razonadamente el elemento orbital i. NOTA: En este apartado se pueden incorporar las perturbaciones seculares del J 2, si se cree conveniente; indicar si se emplean o no. Como tenemos una órbita heliosíncrona se cumple lo siguiente: De dicha igualdad podemos obtener el valor deseado de i. 3. (0.5 puntos) Dadas las siguientes bases de lanzamiento japonesas, elegir razonadamente una base y un azimut de lanzamiento. Base Latitud Longitud Azimut mínimo Azimut máximo Tanegashima Uchinoura 30º24 N 31º15 N 130º24 E 131º04 E -15º 20º 90º 150º Tenemos el siguiente triángulo esférico, de ahí obtenemos las relaciones entre los distintos ángulos que ahí aparecen:
Utilizando la expresión: Triángulo esférico. obtenemos lo siguiente: Tanegashima es la base elegida porque dicha base nos provee del azimut adecuado para conseguir la inclinación deseada. 4. (0.75 puntos) Sabiendo que el equinoccio de primavera fue el 21 de marzo a las 10:00 UT, y que en dicho momento GST vale 325º, calcular la posición (ascensión recta y declinación) del Sol el 3 de abril (calcularla a las 12:00 UT y suponerla constante a los largo del día). En dicho día, a qué hora UT son las 18:00 hora Solar en Sevilla? A partir del triángulo esférico de la esfera celeste, obtenemos la ascensión recta y la declinación del Sol. Triángulo esférico de la esfera celeste. Hay que saber que en el equinoccio de primavera la RAAN como u valen cero, y que la diferencia de tiempo entre el 21 de marzo a las 10:00 UT y el 3 de abril a las 12:00 UT es de 13 días y 3 horas, o lo que es lo mismo 1130400 s.
Donde hemos obtenido la declinación y la ascensión recta del Sol para el 3 de abril a las 12:00 UT, el ángulo u lo hemos calculado partiendo de un valor de referencia, u=0 en el 21 de marzo a las 10:00 UT. Ahora vamos a calcular la GST en el 3 de abril a las 00:00 UT: Como pasa siempre por Sevilla a las 18:00 hora Solar, se tiene lo siguiente: Como se dice que se suponga constante la ascensión recta del Sol (la calculada el 3 de abril a las 12:00 UT) durante todo el día del 3 de abril obtenemos el valor de RAAN, que dada la hipótesis realizada será constante durante todo ese día. Tenemos la siguiente relación entre ángulos que podemos visualizar en la siguiente figura: De la figura obtengo que: Relaciones entre ángulos. Por lo que el 3 de abril a las 18:00 hora Solar en Sevilla son las 18:37:04 UT. De todas formas, para obtener una mejor aproximación de la solución anterior podríamos realizar un proceso iterativo que sería el siguiente: Nueva UT Nueva u Nueva d 0 Nueva AR 0 Nueva Ω Nueva GST Nuevo t 3 -t 2 Nueva UT Después de realizar 6 iteraciones llegamos a unos valores más precisos: GST 3 =107.6894892189641º AR 0 = 12.10948921896409º Ω = 108.9790218307338º t 3 -t 2 =18 h 38 min 3.93652517437289 seg. Hora UT (3 de abril): 18:38:04 (UT). 5. (0.75 puntos) Teniendo en cuenta los requisitos del problema, e ignorando perturbaciones, calcular razonadamente el elemento orbital Ω que habrá que usar en el lanzamiento del 3 de abril, y por tanto, la hora UT del lanzamiento.
Triángulo esférico de la esfera celeste. Hemos realizado los dos cálculos anteriores, para poder observar que la variación de la ascensión recta del Sol no llega a un 1º de variación, por lo que podíamos definir una ascensión recta del Sol media para ese día 3 de abril. AR 0media =11.85772057193996º- Ω =108.7272531837097º Sabiendo la ascensión recta del Sol, el cálculo de la RAAN es inmediato ya que se que como el satélite pasa siempre por Sevilla a las 18:00 hora solar tengo que: Calculamos la ascensión recta del meridiano de Greenwich en el 3 de abril a las 00:00 UT, (la época es el 21 de marzo a las 10:00 UT). Relaciones entre ángulos. Ahora donde en la figura pone meridiano cualquiera, dicho meridiano es el que pasa por la base elegida (Tanegashima), así que habrá que utilizar los valores de longitud y latitud relativas a dicha base.
Triángulo esférico. Lo único que me queda es hacer lo siguiente: Por lo que la hora UT de lanzamiento será: 09:38:38 UT (3 de abril). De todas formas, para obtener una mejor aproximación de la solución anterior podríamos realizar un proceso iterativo que sería el siguiente: Nueva UT Nueva u Nueva d 0 Nueva AR 0 Nueva Ω Nueva GST Nuevo t 2 -t 1 Nueva UT Después de realizar 6 iteraciones llegamos a unos valores más precisos: AR 0 = 11.76791657433853º Ω = 108.6374491861082º t 2 -t 1 =9 h 38 min 16.43166593068742 seg. Hora UT (3 de abril): 09:38:16 (UT). 6. (0.5 puntos) Teniendo en cuenta que la órbita habrá de pasar por Sevilla, obtener el valor deseado del elemento orbital u referido a la época del 1 de abril a las 00:00 UT. Vamos a calcular la u en el 3 de abril a las 18:37:04 UT (es la hora UT calculada en el apartado 4 sin realizar la iteración posterior). Triángulo esférico. NOTA: No confundir la u de este apartado con otros ángulos u utilizados en apartados anteriores, dicho ángulo pertenecía al triángulo esférico de la esfera celeste. El u utilizado ahora es: n es la velocidad orbital media, que se define como: t 1 -t 0 es el intervalo de tiempo transcurrido entre el 1 de abril a las 00:00 UT y el 3 de abril a las 18:37:04 UT. Po lo que u 0 tiene el valor siguiente:
7. (0.75 puntos) Tras el lanzamiento, se tiene que u (referido a la época del 1 de abril a las 00:00 UT) tiene un valor de 15º. Describir una maniobra, a comenzar 3 horas después del lanzamiento, para lograr adquirir la u deseada, despreciando perturbaciones pero teniendo en cuenta que la altitud nunca a de ser inferior a los 600 kilómetros, que se desea utilizar el mínimo de combustible posible, y que la misión debe estar en su posición nominal el día 5 de abril (Domingo de Ramos) a las 12:00 UT como muy tarde. 1 de abril a las 00:00 UT:, este es el que hay sin realizar maniobra alguna., este ángulo es el que debería haber. La maniobra empieza 3 horas después del lanzamiento, es decir, a las 12:38:38 UT, los ángulos son los siguientes:, este es el que hay sin realizar maniobra alguna., este ángulo es el que debería haber. La maniobra debe terminar como muy tarde el 5 de abril a las 12:00 UT, debiéndose tener el siguiente ángulo:, ángulo u en el 5-abril-12:00(UT). Ángulo de finalización de la maniobra:, vemos que hay un pequeño error de cálculo en los últimos decimales. Está claro que realizaremos una maniobra de Phasing, utilizaremos el mayor tiempo posible para realizar la maniobra, ya que así el impulso será el menor posible, lo que se traduce en el menor costo posible., donde k es el número de órbitas., siendo ν el ángulo de adelanto del blanco con respecto al interceptor. El valor de T es el valor de T sat dado en el apartado 1 del presente ejercicio. Combinando las ecuaciones anteriores obtengo una expresión en la cual puedo obtener el valor de k:, es decir, tras 27 órbitas el satélite se encuentra con la posición deseada. No podemos redondear a 28 órbitas porque sino nos pasaríamos del tiempo máximo establecido para la misión. Por lo que cumplimos la restricción de que la altura mínima de la órbita de phasing debe estar por encima de 600 kilómetros. A continuación calcularemos los impulsos, serán dos de igual valor y dirección pero de sentidos contrarios (el primero al iniciar la misión y el segundo al finalizarla), ya que el primer impulso lo daremos para disminuir el perigeo de la órbita del satélite, y el segundo se ejecutará para aumentar el perigeo de la órbita de phasing (circularización).
Así hemos realizado la maniobra con el menor costo posible. Posición del blanco y del interceptor para t=t 0.
Posición del blanco y del interceptor para t=t f. 8. (0.75 puntos) El 15 de Abril de 2009 a las 7:23 UT el satélite sufre un choque fortuito con un fragmento de chatarra espacial que casualmente orbitaba en el mismo plano. El satélite no es destruido pero sus propulsores son inutilizados y se ve desplazado en su órbita como si hubiera recibido un que formase un ángulo de 30º (hacia fuera de la órbita original) con respecto a la velocidad que llevaba en dicho momento. Recalcular la órbita del satélite. Existe la posibilidad de un choque con la Tierra o una reentrada (altitud del orden de 100 kilómetros)?. En caso negativo, podrá seguir cumpliendo su misión y fotografiar la Feria de Abril? Composición de velocidades.
Como la altura mínima es la que está arriba indicada, pues no existe ni impacto con la Tierra, ni reentrada. Órbitas antes y después del impacto., el periodo de la nueva órbita es mayor. La órbita sigue en el mismo plano orbital, pero ahora podríamos decir que no hay una sincronización entre el movimiento orbital del satélite y el movimiento de rotación de la tierra, por lo que como la feria dura una semana, el satélite seguro que pasará por Sevilla en alguna ocasión, pero puede que pase a una hora local en Sevilla en la cuál la feria no se encuentre en su máximo esplendor.