Texo nº 4 Cineáica de la Parícula - CONCEPTOS BÁSICOS - EJERCICIOS RESUELTOS - EJERCICIOS PROPUESTOS Auor: Edica Arriagada D. Vícor Perala A. Periodo: ooño 8 Conducida Moriz
Inroducción Ee aerial ha ido conruido penando en el eudiane de niel écnico de la carrera de INACAP. El objeio principal de ee rabajo e que el aluno adquiera y dearrolle la écnica para reoler problea diero de la unidad de Cineáica de parícula. En lo paricular preende que el aluno logre el aprendizaje indicado en lo crierio de ealuación (referido al cálculo de ariable) del prograa de la aignaura Fíica Mecánica. El dearrollo de lo conenido ha ido elaborado uilizando un lenguaje iple que peria la coprenión de lo concepo inolucrado en la reolución de problea. Se preena una ínei inediaa de lo concepo fundaenale de Cineáica de parícula, eguida de ejeplo y problea reuelo que preenan un procediieno de olución ieáico que a dede un niel eleenal haa iuacione á copleja, eo, in alar lo pao algebraico que ano coplican al aluno, e finaliza con problea propueo incluyendo u repecia olucione.
Concepo fundaenale Cineáica Raa de la fíica ecánica que eudia el oiieno de lo cuerpo in iporar la caua que lo producen, correponde a un eudio de la geoería del oiieno donde olo inerea el epacio recorrido y el iepo epleado en recorrer dicho epacio. Siea de referencia Cuerpo (puno o lugar fíico) fijo o óil neceario para realizar una edición, en ee cao neceario para decribir el oiieno de un cuerpo. Todo iea coordenado coniuye un iea de referencia. Siea unidienional Siea bidienional Siea ridienional 3
Parícula Cuerpo en fora de puno que en la realidad no exie, e raa de una idealización aeáica para iplificar el eudio de un fenóeno, en ee cao para iplificar el eudio del oiieno de un cuerpo. En general e dice que un cuerpo e coniderado coo parícula cuando u dienione on depreciable con repeco al epacio que ocupa, ee concepo e de carácer relaio ya que depende del iea de referencia del cual e le copare. Poición Puno del epacio referido a un iea de referencia (er figura) y x, y, z z x Moiieno Concepo de carácer relaio que cieníficaene e define coo el cabio uceio de poición que experiena un cuerpo repeco a oro coniderado coo referencia. Vecor poición r Vecor que une el origen del iea coordenado con el puno del epacio donde e encuenra la parícula y r r x, y, z z x 4
Trayecoria E la cura decria durane el oiieno. Diancia o caino recorrido d o Correponde a la longiud de la cura decria. Deplazaieno r Diferencia enre do ecore de poición, e independiene del origen del iea coordenado. r r r y x, y, z r r r Trayecori a r x, y, z r z x E iporane diinguir enre Deplazaieno lineal y diancia o caino recorrido a lo largo de una rayecoria no neceariaene reca. El deplazaieno lineal y diancia recorrida, coinciden únicaene cuando la rayecoria e una línea reca. Velocidad edia Se define coo el cuociene enre el deplazaieno dicho deplazaieno e decir: r r r r y el iepo epleado en 5
Velocidad inanánea E el alor líie de la elocidad edia cuando el iepo r li iende a cero, e anoa: La expreión anerior en cálculo aeáico, correponde a la definición de deriada, en ee cao, la deriada de la poición con repeco al iepo, e anoa: dr Se lee de r a de d La cineáica que conepla ee niel no conidera el rabajar con deriada ni con inegrale, por razone clara de deconociieno de ea herraiena aeáica. La elocidad inanánea queda repreenada gráficaene por la reca angene a la cura decria en el inane que e indique. (Velocidad inanánea) Trayecoria Rapidez La expreión rapidez e refiere únicaene a la agniud de elocidad. Aí, e poible para un puno iajar con rapidez conane a lo largo de una rayecoria cura, ienra que obiaene, u elocidad eá cabiando de dirección conaneene. De aquí en adelane, el io íbolo iende a uare para abo, rapidez y elocidad, aí que en cualquier inane paricular el ignificado del íbolo debe er cuidadoaene raado. En lo que igue en ez de hablar de elocidad inanánea, e hablará ipleene de elocidad. 6
Unidade de elocidad c ; ; pie ; ; in k i ; ; rp, h h ec Aceleración edia ( a ) Se define coo el cuociene enre la ariación de la elocidad inanánea y el iepo epleado en dicha ariación, e decir: a Aceleración Inanánea ( a ) Se define coo el alor liie de la aceleración edia cuando el iepo e ecribe: a li iende a cero, La expreión anerior correponde a la definición de deriada, en ee cao, la deriada de la elocidad con repeco al iepo. Debe dejare en claro que ea expreione de elocidad inanánea, y aceleración inanánea, no erán rabajada dede el puno de ia del cálculo aeáico, debido al deconociieno de la aeria. Unidade de aceleración c ; pie ; in k i re. ; ; ;, h h ; ec 7
Claificación de lo oiieno Según rayecoria reco : circulare : curo parabólico : elípico : oiieno de un pion, caida de un cuerpo, ec. oiieno del diene de un engrane, oiieno del apa oiieno de un proyecil oiieno de lo elecroneen orno al nucleo del áoo de una helice, ec. Según iinerario unifore conane ariado conane A coninuación eudiareo lo iguiene ipo de oiieno: - Moiieno Recilíneo Unifore (M.R.U.) - Moiieno Recilíneo Unifore Acelerado (M.R.U.A.) - Moiieno de un Proyecil - Moiieno Circular Unifore (M.C.U.) - Moiieno Circular Unifore Acelerado (M.C.U.A.) Moiieno recilíneo unifore (MRU) E un oiieno de rayecoria recilínea y el ódulo de la elocidad (rapidez) e aniene conane en el iepo. En ee oiieno e recorren diancia iguale en iepo iguale, e decir, i en una hora e recorren K., enonce en edia hora e recorrerá 6 K. En lo que igue, upondreo que: - El oiieno recilíneo de un cuerpo e produce obre el eje x - El deplazaieno r repeco al cero correponde a la coordenada x. - Se conidera olo el ódulo de la elocidad y e hablará de rapidez o ipleene de elocidad. 8
La ecuación fundaenal del MRU e: x x Ec. de poición d x x Diancia o caino recorrido Donde: x Poición inicial x Poición final Módulo de la elocidad Tiepo Repreenación gráfica del MRU Gráfica diancia eru iepo (línea reca) d Reca acendene Cuerpo pare del origen Cuerpo e aleja del origen d Reca acendene Cuerpo no pare del origen Cuerpo e aleja del origen x x 9
d x Reca decendene Cuerpo e dirige hacia el origen dede x d Reca coincidene con el eje del iepo indica que el cuerpo e encuenra en repoo en el origen d x Reca paralela al eje del iepo ignifica que cuerpo e encuenra en repoo fuera del origen x Oberación: La inclinación de la línea reca en un gráfico diancia iepo, repreena el ódulo de la elocidad (rapidez), e decir, a ayor inclinación de la línea reca, ayor e el ódulo de la elocidad d A B ayor que A B ya que A iene ayor inclinación que B
Grafica rapidez eru iepo Reca paralela al eje del iepo debido a que u rapidez e conane Ejeplo de MRU Ejeplo Un cuerpo e encuenra en la poición de 4 repeco del origen de un iea de referencia y iaja a razón de 6 /. Deerinar: a) Poición del cuerpo al iepo de 5 egundo. b) Diancia recorrida por el cuerpo al iepo de 5 egundo. Solución: Una fora ordenada de reoler un problea de cineáica e acar lo dao y preguna del problea, eo e: Dao: Poición inicial x 4 Valor de la elocidad Poición final x? Diancia recorrida d? 6 (a) Cálculo de poición x al iepo de 5 egundo. Coo e raa de un oiieno unifore, la ecuación correpondiene e: x x La poición x e encuenra lia para er ealuada, olo hay que reeplazar lo alore conocido, eo e:
x 4 6 5 Muliplicando, cancelando la unidad de egundo y uando e obiene la poición que e pide, e decir: x 4 6 5 x 53 Por lo ano, al iepo de 5 egundo el cuerpo e encuenra en la poición de 53 ero. 5 egundo á arde x 4 4 53 x (b) Cálculo de diancia d recorrida al iepo de 5 egundo En ee cao, la diancia correponde al alor aboluo de la diferencia de la poicione final e inicial, e decir: d x x Coo e conoce aba poicione, olo hay que reeplazar lo alore correpondiene, eo e: d 534 Reando y recordando que el alor aboluo de un núero iepre e poiio, reula la diancia que e pide, e decir: d 39 5 egundo á arde x 4 4 53 x 39
Ejeplo Deerinar la elocidad de un óil que recorre 473 k en 6 hora Solución: En ee cao e iene que en 6 hora el cuerpo recorre una diancia de 473 k, e decir, la poición final e de 473 k repeco del origen de un iea coordenado (eje x). Claraene el oiieno e unifore, donde e conoce el iepo (6 hora) en que alcanza la poición de 473 k. La ecuación del M.R.U. e: Depejando elocidad e iene: x x x x Reeplazando alore reula: x x 473k 6h Diidiendo: k 78, 833 h 3
Ejeplo 3 Cuáno iepo neceia un corredor para recorrer un rayeco de,4 k cuando corre con una elocidad de 5 / Solución: La ecuación a uilizar e la ia que en el cao anerior, olo que ahora e debe calcular el iepo epleado en recorrer,4 k. Depejando iepo e iene: x x x x Reeplazando alore reula: x x Recordar que,4 k = 4 4 5 Diidiendo e iene el iepo que e buca. 48 8in 4
Ejeplo 4 Un auoóil aniene una rapidez de 9 k/h qué diancia recorrerá en 3 hora con 5 inuo? Solución: En ee ejeplo, e debe coniderar la poición inicial x dede que e coienza a edir el iepo, por lo ano e iene: x x x Reeplazando alore para elocidad y iepo (en hora), e iene: 5 3h5in 3h h 3, 5h 6 Muliplicando: k x 9 3, 5 h h x = 9,5 k E decir, durane 3 hora con 5 in e recorren 9,5 k con una rapidez de 9 k/h. Ejeplo 5 Un óil e encuenra en la poición de 4, k repeco a un iea coordenado y iaja a razón de 3 /, en el io inane, dede el origen le igue en la ia dirección y enido un egundo óil que iaja a razón de 3 k/h. Calcular el iepo rancurrido en que el egundo óil alcanza al priero y cuano recorre cada uno al oeno del encuenro. 3k / h 3/ 4, x (k) 5
Solución: El enunciado indica que e raa de un problea de encuenro y por lo ano juo en ee inane, la poicione de abo cuerpo on la ia, e decir, e cuple que: x x Siendo: x Poición al oeno del encuenro para óil x Poición al oeno del encuenro para el óil E fácil noar que abo óile ienen un oiieno recilíneo unifore, por lo ano e puede ecribir: x x El iepo e el io para abo cuerpo, ya que el eudio del oiieno e realiza a parir de un io inane. Ane de coninuar, e realizara la conerión de unidade de 3 / a k/h. k 3 3 h 36 k 8 h En ee cao e conocen la poicione y la elocidade de lo cuerpo, por lo ano la ecuación anerior periirá calcular el iepo rancurrido en que el egundo cuerpo alcanza al priero. Al reeplazar lo alore correpondiene de poicione y elocidade, e iene: Al depejar iepo reula: 4, 4, k h k h k8 3 k h k h k 3 8 4, k h k 6
4, k k h Diidiendo reula el iepo que e pide, e decir: h,455 in 687,,9 3 Cálculo de diancia recorrida por cada cuerpo, al oeno del encuenro. Conocido el iepo de encuenro, e poible calcular la diancia recorrida por cada óil al oeno en que el egundo alcanza al priero. Móil : La ecuación de poición coincide con la diancia recorrida ya que el óil pare dede el origen del iea coordenado. d x x k d x 3, 9h h d x 4, 83 k d x 4, 83 k Móil : Coo la poición e la ia, ignifica que el óil recorrido: k 4, k d 4,83 d, 63 k E decir, el óil deoro un iepo de,9 hora en alcanzar al óil y al oeno del encuenro, el óil recorre una diancia de,63 k ienra que el óil recorre una diancia de 4,83 k. 7
Moiieno recilíneo uniforeene acelerado (MRUA) E un oiieno de rayecoria recilínea y experiena una ariación conane en el ódulo de la elocidad durane el iepo, en ee cao, e dice que el oiieno e realiza con una aceleración conane. Cuando la ariación en el ódulo de la elocidad a en aueno, e dice que el oiieno e acelerado y e habla de aceleración. Cuando la ariación en el ódulo de la elocidad a en diinución, e dice que el oiieno e deacelerado y e habla de reardación o deaceleración, en ee cao la aceleración reula negaia. La ecuacione fundaenale del MRUA correponden a la regla de oro de la cineáica o ecuacione cineáica: x x a Vecor de poición o Ec. iinerario( Ec.que enrega la poición x en el iepo ) a Ecuación de elocidad en el iepo ( Ec.que enrega la elocidad en el iepo ) x x a Ecuación de poición que no depende del iepo d x x Diancia o caino recorrido 8
Significado de la ibología uilizada x Poición en eliepo x Poición inicial x Poición final Módulo de la elocidad inicial Módulo de la elocidad final a Módulo de la aceleración Tiepo rancurrido Si a ignifica que el cuerpo auena u rapidez en Si a ignifica que el cuerpo diinuye u rapidez en Repreenación grafica del MRUA cada egundo cada egundo Grafica diancia eru iepo d Raa de parábola Cuerpo pare del origen Cuerpo e aleja del origen d Raa de parábola Cuerpo no pare del origen Cuerpo e aleja del origen x x 9
d x Raa de parábola Cuerpo e dirige hacia el origen dede x Gráfica rapidez eru iepo Reca acendene Cuerpo pare del repoo Cuerpo acelerando Reca acendene Cuerpo no pare del repoo Cuerpo acelerando Reca decendene Cuerpo iende a deenere (Frenado), en el inane en que la reca oca el eje del iepo, ignifica que el cuerpo e encuenra en repoo
Gráfica aceleración eru iepo a Reca paralela al eje del iepo debido a que la aceleración e conane Oberación La inclinación de la línea reca en un gráfico rapidez iepo, repreena el ódulo de la aceleración, e decir, a ayor inclinación de la línea reca, ayor e el ódulo de la aceleración. A B a A ayor que a B ya que A iene ayor inclinación que B Oberación El área que queda coprendida bajo la cura en un grafico rapidez iepo, repreena el caino recorrido por el cuerpo. Diancia o caino recorrido
Ejeplo Un cuerpo pare dede el repoo y acelera a razón de, /, deerinar: a) El alor de la elocidad al iepo de 5 egundo. b) La poición alcanzada por el cuerpo al iepo de 5 egundo. Solución (a) El problea indica claraene que e raa de un MRUA en donde e conoce la elocidad inicial, la aceleración a, / y el iepo racurrido 5. La ecuacione que rigen ee oiieno correponden a la regla de oro de la cineáica, e decir: ) x x a ) a 3) x x a La ecuación nº perie calcular en fora inediaa la elocidad del cuerpo al iepo de 5 egundo, ya que e conocen odo lo dao de la ecuación, eo e: Reeplazando alore correpondiene: a, 5 Muliplicando y cancelando por reula el alor pedido, e decir: 8 Eligiendo el origen del iea coordenado en donde pare el cuerpo, e iene que la poición inicial del cuerpo x y coo e conocen odo lo alore, e puede uilizar la ecuación () para deerinar la poición al iepo de 5 egundo, eo e:
x x a Reeplazando alore correpondiene e iene: x 5 5, x 5, Muliplicando y cancelando lo egundo al cuadrado, e obiene la poición que e buca, e decir: x 35 Ejeplo Deerinar la aceleración de un cuerpo que pare del repoo y luego de egundo iene una elocidad de 8 k/h. Solución: En ee cao e conoce la elocidad inicial, el iepo rancurrido y la elocidad final, por lo ano la ecuación nº perie depejar la aceleración, eo e: Depejando: a a k k h 8 8 3 h h k 36 a Reeplazando alore nuérico: Reando y diidiendo: 3 a,5 El reulado anerior ignifica que por cada egundo, el ódulo de la elocidad auena u alor en,5 /. a 3
Ejeplo 3: Una parícula aría u elocidad de 3 / a 6 / en un iepo de 48. Calcular: a) La aceleración de la parícula b) La diancia que recorre la parícula en ee iepo c) Suponiendo deaceleración conane, deerinar el iepo que arde la parícula en deenere d) el iepo que arda en deenere a) Aceleración de la parícula Solución: a Depejando aceleración: a Reeplazando alore nuérico y realizando la operaoria indicada: 6 / 3 / a 48 4 / a 48 a,9 / El alor negaio ignifica que el cuerpo deacelera a razón de,9 /. b) Diancia recorrida por la parícula d d d d x x a x 3 / 48,9 x 44 335,3 x 4,768 (48) c) Tiepo que arda la parícula en deenere a 3 /,9 / 3 4
Ejeplo 4: Un caión e encuenra en la poición de 44 ero repeco al origen de un iea de referencia y iene elocidad de 93,6 k/h, juo en ee inane el conducor aplica lo freno proocando una deaceleración de,4 /. Deerinar: a) La poición, repeco al origen del iea de referencia, alcanzada por el caión al oeno de deenere. b) La diancia recorrida por el caión al oeno de deenere. c) El iepo rancurrido dede que el conducor aplica lo freno haa el oeno en que el caión e deiene: Solución (a): Poición alcanzada por el caión al oeno de deenere El enunciado indica claraene que e raa de un problea de oiieno deacelerado (aceleración negaia) y en el e conoce la poición inicial x 44, la elocidad inicial 93,6k/ h, la deaceleración a,4 y la elocidad final (el caión e deiene). Según la inforación enregada e poible aplicar la ecuación 3 para obener la poición en la que e deiene el caión, eo e: Reeplazando alore e iene: x x a k k h 93,6 93,6 6 h h k 36 Reoliendo la fracción reula: 6 x 44,4 x 44 4, 49 Suando e obiene la poición en la que el caión e deiene, e decir: x 68, 49 5
Solución (b): diancia recorrida por el caión haa el oeno de deenere Coo e conoce la poición inicial y la poición final, la diancia recorrida e obiene ediane el alor aboluo de la diferencia enre ea do poicione, e decir: d x Reeplazando lo alore correpondiene, e iene: x d 68,49 44 Reando e iene que: d 4, 49 Solución (c): iepo rancurrido dede el frenado haa que el caión e deiene. Coo e conoce la elocidad inicial, la aceleración y la elocidad final, el iepo rancurrido al oeno en que el caión quede en repoo, e calcula con la ecuación, eo e: Depejando el iepo: a Reeplazando alore reula: a 6,4 Diidiendo y cancelando unidade e iene el iepo que e buca, e decir: 8,57 6
Ejeplo 5: En una carreera recilínea, un caión iaja a razón de 7 k/h, en ee io inane, 5 k á ará le igue en la ia dirección y enido, una caionea que llea la elocidad de / y que acelera a razón de, /, deerinar: a) Tiepo en que la caionea alcanza al caión. b) Poición de encuenro. c) Diancia recorrida por cada cuerpo al oeno del encuenro. d) Velocidad que alcanzada por la caionea al oeno de alcanzar al caión. Solución (a): Tiepo de encuenro El problea correponde a un encuenro de oiieno, por lo ano, al oeno del encuenro e cuple que: x (Caión) x (Caionea) En ee cao, el caión iene un oiieno recilíneo unifore ienra que la caionea iene un oiieno recilíneo uniforeene acelerado, el iepo e el io para abo ya que el eudio del oiieno coienza dede un io inane para abo cuerpo, por lo ano: (Caión) x x a (Caionea) Eligiendo el origen del iea coordenado donde pare la caionea, e iene que la poición inicial para ella e cero y la ecuación anerior queda: (Caión) x a (Caionea) Ane de reeplazar dao e hoogenizará la unidade de edida, eo e: k 7 7 9,444 y h 3,6 5k 5 5 Coo ya e ha hoogenizado la unidade de edida, no la ecribireo en el procediieno aeáico, eo e: 5 9,444, Expreión que correponde a una ecuación de egundo grado, ordenando ea ecuación, reula: 7
,5 9,444 5,5 9,444 5 Reoliendo la ecuación cuadráica e iene: 9,444 9,444 4,5 5,5 9,444 33,3, 9,444 33,3, 9,444 33,3, 44,47 no xie, por er alor negaio E decir, el iepo rancurrido en que la caionea alcanza al caión e 44,47 egundo repeco de la condición dada. Solución (b): poición de encuenro. Coo ya e conoce el iepo, e fácil calcular la poición de encuenro de lo do cuerpo. Coo la poición e coún, da lo io calcularla uilizado cualquiera de lo do cuerpo, caionea o caión. Poición Caionea: x caiona x a x caiona 44,47 44, 47 Cancelando la unidad de egundo, uliplicando y uando e obiene la poición coún, eo e: x 353, caiona 439 E decir, la poición donde la caionea alcanza al caión e 353,439 ero repeco del origen del iea coordenado. 8
Solución (c): diancia recorrida por cada cuerpo al oeno del encuenro. Cuando un cuerpo pare del origen, la diancia recorrida coincide con la poición final, en ee cao, la caionea pare del origen, por lo ano u diancia recorrida coincide con u poición final (poición de encuenro), e decir: d x 353, 439 caionea caionea La diancia recorrida por el caión correponde a la diancia recorrida por la caionea eno u poición inicial de 5 ero, e decir: d d 5 353,439 5 853, 439 caión caionea Por lo ano, la diancia recorrida por el caión e 853,439 ero ienra que la caionea recorre una diancia de 353,439 ero. Solución (d): elocidad de la caionea al oeno de alcanzar al caión. Coo e conoce la elocidad inicial, la aceleración y el iepo rancurrido en que la caionea alcanza al caión, e fácil conocer u elocidad en ee inane, olo hay que aplicar la ecuación elocidad dependiene del iepo (Ec. ), e decir: Reeplazando alore: a, 44, 47 Cancelando la unidad de egundo, uliplicando y uando, e iene el alor pedido, e decir: 5, 447 9
Ejeplo 6 Un cuerpo e eá oiendo con una rapidez de /, luego de 6 egundo e le iprie un aceleración de, / durane 6 egundo a, coninúa oiéndoe con oiieno recilíneo unifore durane oro 4 egundo y finalene e le aplican lo freno haa que e deiene con una reardación de,6 /. Dibujar gráfico rapidez iepo para el oiieno de ee cuerpo y deerinar el caino oal recorrido. a) Repreenación grafica de inforación enregada. / III? I a, / II IV a,6 / 6 6 =? Cálculo de dao falane del grafico. Trao II. a, 6 9, Trao IV a a a a 9,,6 3 3
Grafica con odo lo dao correpondiene: (/) III V=9, I a, / II IV a,6 / 6 6 48 =3 () b) Cálculo de la diancia oal recorrida: Para el cálculo de la diancia oal recorrida e debe acar el área que exie bajo de la línea del gráfico (área bajo la cura), para ello ee úlio e ubdiide en diferene pare, a odo que queden olaene figura geoérica conocida para nooro y, por coniguiene, fácil de calcular. Por al razón, eparando la diferene área e iene: (/) 9, A A A 3 6 6 48 3
La diancia oal correponde a: d Toal A A A 3 d Toal ( A recangulo ) ( A rapecio ) ( A rapecio ) 3 d Toal a b a b h a b h 3 d d d Toal Toal Toal 9, 36 4 (6) 6 9, 7 93,6 384 549,6 E decir, dede que e coienza el eudio del oiieno, la diancia oal recorrida por el cuerpo e de 549,6 ero. 3
Cao paricular del MRUA (Caída libre y lanzaieno ericale) La caída libre al igual que lo lanzaieno ericale on un cao paricular del MRUA ya que en ello la aceleración conane correponde a la aceleración de graedad g que e un ecor dirigido ericalene hacia el cenro de la ierra y cuyo alor (ódulo) proedio aproxiadaene e c 98 o 9,8 o pie 3, y g z x Coo e raa de un cao paricular del MRUA, la ecuacione a uilizar on la ia regla de oro de la cineáica ia aneriorene, pero en ee cao e reeplazará la ariable x por la ariable y y la aceleración conane a e reeplazará por la aceleración de graedad g, reulando: y y g Vecor de poición o Ec. iinerario( Ec. que enrega la poición y en el iepo ) g Ecuación de elocidad en eliepo ( Ec.que enrega la elocidad en eliepo ) y y g y g Ecuación de poición independiene del iepo 33
Ejeplo Dede lo alo de un edificio de 3 ero, e uela un cuerpo, deerinar: a) Tiepo que deora el cuerpo en llegar al uelo b) Velocidad con que el cuerpo llega al uelo y g 9,8 3 x Solución (a): Tiepo que el cuerpo deora en llegar al uelo. Eligiendo el origen del iea de referencia en el uelo, e iene que y 3, g 9,8 y adeá coo el cuerpo e uela, ignifica que, de acuerdo a ea inforación e poible uilizar la ecuación de poición dependiene del iepo, eo e: y y g La poición final e alcanza cuando el cuerpo llega al uelo, por lo ano y. Reeplazando lo alore nuérico, reula: Depejando e iene: 3 9,8 3 4,9 4,9 3 34
3 4,9 6, Aplicando raíz cuadrada reula:, 474 E decir, le iepo que deora el cuerpo en llegar al uelo e de,474 egundo. Solución (b): elocidad con que el cuerpo llega al uelo. En ee cao, para calcular la elocidad con que el cuerpo llega al uelo (elocidad final), e puede uilizar la ecuacione: a o y y g Claraene no quedareo con la priera ecuación ya que e direca y á iple, por lo ano: g Reeplazando lo alore correpondiene reula: 9,8, 474 Cancelando por egundo y uliplicando e obiene la elocidad que e buca, e decir: 4, 45 El igno negaio de la elocidad ignifica que el cuerpo e dirige hacia abajo. Ob. Se quiere dejar en claro que la elección del origen del iea de referencia e oalene arbirario y por lo ano e obendrá el io reulado i el origen del iea e hubiee oado de lo alo del edificio. 35
Ejeplo Un cuerpo deora 3,5 egundo en caer al uelo, dede ciera alura, deerinar: a) alura de donde cae el cuerpo. b) elocidad con que llega al uelo y g 9,8 h=? Solución (a): alura dede donde cae el cuerpo. x Eligiendo nueaene el uelo coo el origen del iea de referencia, e iene que y h, y,, 3,5 y g 9,8, con eo dao, para calcular la alura de donde cae el cuerpo, e debe uilizar la ecuación de poición dependiene del iepo, eo e: y y g Reeplazando lo alore ane indicado, e iene: h 3,5 9,8 3,5 h 9,8 3,5 Depejando reula: h 6, 5 h 6, 5 El reulado anerior ignifica que la alura de donde cae el cuerpo e de 6,5 ero. 36
Solución (b): elocidad con que el cuerpo llega al uelo Coo e conoce la elocidad inicial, la aceleración de graedad g 9,8 y el iepo de caída decir: 3, 5, e puede uilizar la ecuación elocidad en función del iepo, e g Reeplazando lo alore ane indicado e iene: 9,8 3, 5 34, 3 Por lo ano el alor de la elocidad del cuerpo, al llegar al uelo e de 34 /, el igno negaio indica que el cuerpo e dirige hacia la uperficie de la ierra. 37
Ejeplo 3 Dede lo alo de una orre de 5 ero e lanza un proyecil, ericalene hacia arriba con una elocidad de 6 /, deerinar: a) Poición del proyecil al iepo de 4 egundo, repeco al uelo. b) Velocidad del proyecil al iepo de 4 egundo. c) Alura áxia alcanzada por el proyecil repeco al uelo. d) Tiepo que deora el proyecil en alcanzar la alura áxia. e) Tiepo oal de uelo. f) Velocidad con que el proyecil llega al uelo. g 9,8 5 Solución (a): Poición del proyecil al iepo de 4 egundo Ecuación poición dependiene del iepo: y y g Reeplazando alore correpondiene: y 5 6 4 9,8 6 Cancelando unidade de egundo y uliplicando: Suando y reando: y 5 4 78, 4 y, 6 E decir, la poición del proyecil al iepo de 4 egundo, repeco al uelo e de,6 ero. 38
Solución (b): elocidad del proyecil al iepo de 4 egundo Coo e conoce la elocidad inicial y el iepo de 4 egundo, e debe aplicar la ecuación de elocidad dependiene del iepo (Ec. ), e decir: g Reeplazando alore correpondiene: 6 9,8 4 Cancelando la unidad de egundo, uliplicando y reando e obiene el alor de la elocidad al iepo de 4 egundo, e decir: E decir la elocidad del proyecil al iepo de 4 egundo e de,8 / dirigida hacia arriba ya que e obuo un alor poiio. Solución (c): Alura áxia del proyecil repeco al uelo En la alura áxia alcanzada por un cuerpo, la elocidad e cero, por lo ano uilizando la ecuación de poición independiene del iepo (Ec. 3), e obiene el alor de la alura áxia, eo e: y y g Reeplazando alore nuérico e obiene: 6 y 5 9,8 Cancelando unidade de ero, egundo y diidiendo: Suando e iene el alor pedido:, 8 y 5 83, 673 E decir, la alura áxia alcanzada por el proyecil, que e diparado de una alura de 5 ero, e 33, 673 ero. y 33, 673 39
Solución (d): Tiepo en que el proyecil alcanza la alura áxia Coo e conoce: elocidad inicial, elocidad final y aceleración de graedad, e uiliza la ecuación de elocidad dependiene del iepo (Ec. ), eo e: g Coo la elocidad final, reula: Depejando iepo: g g g Reeplazando alore nuérico e iene el iepo epleado en la alura áxia: 6 9,8 Cancelando unidade de edida y diidiendo e obiene: E decir el iepo que arda el proyecil en alcanzar la alura áxia e de 6, egundo. Solución (e): Tiepo oal de uelo 6, El iepo oal de uelo e pude obener de diferene anera y una de ella e aplicando la ecuación de poición dependiene del iepo debido a que e conoce la poición inicial, la poición final ( y ), la elocidad inicial y la aceleración de graedad. y y g Reeplazando alore nuérico reula: 5 6 9,8 4
Obiando la unidade de edida debido a que on hoogénea, e iene: 5 6 4,9 Ordenando la ecuación de egundo grado reula: 4,9 6 5 Aplicando la forula de olución a la ecuación cuadráica e iene: 6 6 4 4,9 5 4,9 6 6 4 4,9 5 9,8 Reoliendo la operaoria al inerior de la raíz e iene: 6 458 9,8 Reoliendo la raíz cuadrada reula: 6 67,676 9,8 Reulan do alore para el iepo, pero un de ello e negaio por lo ano no exie, el alor poiio del iepo reula uando en el nuerador, eo e: 6 67,676 7,676 3,8 9,8 9,8 E decir, le iepo que deora el proyecil, dede que e diparado haa que llega al uelo e de 3,8 egundo. 4
Solución (f): Velocidad con que el proyecil llega al uelo. Coo ya e conoce el iepo que arda el proyecil en llegar al uelo, la elocidad de llegada e fácil deerinarla aplicando la ecuación de elocidad dependiene del iepo, eo e: Reeplazando lo alore nuérico reula: 6 9,8 3, 8 Cancelando unidad de egundo, uliplicando y reando e obiene la elocidad pedida. g 67, 674 El igno negaio ignifica que el proyecil iene hacia abajo con un alor de elocidad de 67,674 /. 4
Lanzaieno de proyecile El lanzaieno de proyecile correponde a una uperpoición de do oiieno recilíneo en fora iulánea, u rayecoria e una cura parabólica., El cao á iple e aquel en que uno de lo oiieno e realiza horizonalene a lo largo del eje X con elocidad conane, y el oro oiieno e realiza ericalene a lo largo del eje Y con la aceleración de graedad g. Para iplificar el eudio, e debe eparar lo oiieno dede u inicio en do oiieno coponene, uno para el eje X (oiieno recilíneo unifore) y oro para el eje Y (oiieno recilíneo uniforeene acelerado). y a g y x co y h Max. Max. y en x co x La ecuacione que rigen ee oiieno correponden a la regla de oro de la cineáica. Moiieno para eje X: Moiieno para eje Y: x x co y y en g g y y en g 43
Coo el oiieno iene do coponene, e debe ener cuidado al oeno de calcular le elocidad del proyecil ya que por er ea una agniud ecorial queda deerinada por: x y Y por lo ano el alor o agniud de la elocidad del proyecil queda deerinada por Piágora, e decir: x y Y u dirección queda deerinada por: an y x Ejeplo: Dede lo alo de una orre de 5 ero, e dipara un proyecil con una elocidad de a un ángulo de 6º por encia de la horizonal, deerinar: a) Alura áxia alcanzada por el proyecil, repeco al uelo b) Tiepo que el proyecil alcanza la alura áxia c) Tiepo oal de uelo del proyecil d) Alcance horizonal áxio del proyecil e) El alor de la elocidad con que el proyecil llega al uelo 6º 44 g 9,8 5
Solución (a): Alura áxia repeco al uelo: Coo una alura eá aociada al eje Y, e debe rabajar con la ecuacione de dicho eje, ahora coo en la alura áxia, la elocidad del eje Y e hace cero, la ecuación nº 3 aiface la condicione conocida, e decir: y y en g Eligiendo un iea coordenado a parir del uelo y adeá coo en alura áxia, reula: y y en g Reeplazando lo alore correpondiene para poición inicial, elocidad de diparo, ángulo de diparo y aceleración de graedad reula: y y ax. Realizando operaoria báica e iene: 5 en6º 9,8 y y 53, ax. E decir la alura áxia alcanzada por el proyecil repeco al uelo e de 53, ero. Solución (b): Tiepo en que el proyecil alcanza la alura áxia. Para calcular el iepo en que el proyecil alcanza la alura áxia e poible uilizar la ecuación de poición dependiene del iepo coo abién la ecuación de elocidad 45
dependiene del iepo ya que aba ienen oda la condicione que e neceia, obiaene e preferible rabajar con la ecuación de elocidad dependiene del iepo debido a que e á iple u raaieno. en g Coo e indico aneriorene, en la alura áxia, la elocidad del eje Y e igual a cero, por lo ano: en g Depejando el iepo reula: g en en g Reeplazando alore nuérico reula: en6º 9,8 Realizando la operaoria báica reula el iepo que e deea: 9,7 E decir el iepo en que el proyecil alcanza la alura áxia e de 9,7 egundo. Solución : Tiepo oal de uelo del proyecil. La ecuación que perie rabajar de inediao el iepo oal de uelo e la ecuación de poición dependiene del iepo, e decir: y y en g Para ee cao la poición final del eje Y e igual a cero, ya que el proyecil llega al uelo y coo oda la unidade de edida on hoogénea, e poible obiar u ecriura y ólo rabajar con lo alore nuérico, eo e: 5en6 9,8 46
Ordenando para que el érino que acopaña al iepo al cuadrado reule poiio e iene: 4,9 95,63 5 Reoliendo la ecuación cuadráica reula: 95,63 95,63 4,9 4 4,9 5 Reoliendo la raíz cuadrada e iene: 95,63,75 4,9 Realizando la operaoria reula: 95,63,75 78,69 9, 953 9,8 9,8 E decir, el iepo en que el proyecil arda en llegar al uelo e de 9,953 egundo. El iepo no exie por er negaio. Solución (d): Alcance horizonal áxio del proyecil. Coo e conoce: la poición inicial, la elocidad inicial, el ángulo de lanzaieno y el iepo oal de uelo, e poible uilizar la ecuación del eje X para obener el alcance horizonal áxio logrado por el proyecil. Al reeplazar lo dao e iene: Realizando la operaoria e iene: x x co x co6º 9, 953 47
x 97, 45 E decir el alcance áxio logrado por el proyecil repeco al puno de lanzaieno e de 97,45 ero. Solución (e): Velocidad con que el proyecil llega al uelo La elocidad con que el proyecil llega al uelo correponde a: x y Coponene horizonal de la elocidad del proyecil al llegar al uelo: Reeplazando alore nuérico reula: x co x co6º Muliplicando e iene la coponene horizonal de la elocidad, e decir: x 55 Coponene erical de la elocidad del proyecil al llegar al uelo: y en g Reeplazando alore nuérico reula: y en6º 9,8 9, 953 Muliplicando y diidiendo e iene la coponene erical de la elocidad, e decir: y,77 Por lo ano la elocidad del proyecil al oeno de llegar al uelo e de: 55,77 48
4, 37 Moiieno circular Un oiieno e circular cuando u rayecoria e una circunferencia. En ea rayecoria circular el cuerpo decribe al io iepo arco de circunferencia (arco) y ángulo cenral (ángulo). ángulo r arco b 49
b = Longiud de arco de circunferencia = arco edido en unidade de longiud. = Ángulo cenral edido en radiane r = Radio de la circunferencia El arco, ángulo y el radio cuplen con la relación: Ejeplo : b r Deerinar el ángulo cenral correpondiene a un arco de circunferencia de 8 c iendo el radio de la circunferencia igual a 8 c. Solución: La relación enre arco, radio y ángulo cenral e b r, coo en ee ejeplo e conoce arco y radio de la circunferencia, e debe depejar el ángulo, e decir: Reeplazando alore correpondiene: b r b r 8c 8c Al reoler la diiión e cancelan la unidade de longiud y e dice que el reulado obenido queda expreado en radiane, e decir: 3,5 rad Ejeplo Deerinar el radio de una circunferencia abiendo que un ángulo cenral de 5, rad inereca a un arco de 4 c de longiud. Solución: 5
En ee cao e conoce el ángulo y el arco b, por lo ano, de la expreión debe depejar el radio, eo e: b r, e b r Reeplazando lo alore correpondiene reula: 4c r 5,rad Diidiendo: 4,65c r E decir, el radio de la circunferencia e de 4,65 c. A diferencia del oiieno reco en el oiieno circular e preenan do elocidade, ea on: - Velocidad lineal o angencial que en la induria ealúrgica e conoce con el nobre de elocidad circunferencial o elocidad periférica o elocidad de core.(elocidad referida a la línea decria cuando el cuerpo cabia de poición) - Velocidad angular Velocidad referida al ángulo decrio por el radio ecor. Rapidez lineal o circunferencial edia (ódulo de la elocidad lineal edia) Se define coo el cuociene enre en arco decrio y el iepo epleado en decribirlo, e decir: arco iepo b O ipleene b b Ejeplo Un cuerpo recorre un arco de circunferencia de 6c epleando un iepo de egundo Con qué rapidez lineal e recorrió el arco?, exprear el reulado en c/ y /. Solución: Se pide deerinar la rapidez lineal con que e recorrió un arco, por lo ano e debe aplicar la definición ane indicada, e decir: 5
b Reeplazando lo alore de arco, iepo y diidiendo e obiene la elocidad lineal que e pide, e decir: 6c c 5, 5 Rapidez angular edia (ódulo de la elocidad angular edia) Se define coo el cuociene enre en ángulo decrio y el iepo epleado en decribirlo, e decir: angulo iepo O ipleene La rapidez angular e ide en: rad rad rad,,, ec. in h Línea de referencia 5
Ejeplo Un deporia, en una pia circular decribe un ángulo de 4º en un iepo de 5 egundo. Con qué rapidez angular e oió el deporia? Solución: La definición indica que la rapidez angular queda deerinada por: El ángulo debe expreare en radiane, por lo ano e ranforará lo 4º en radiane. Para ranforar grado exageiale en radiane, e debe diidir por 57,3 (ya que radian correponde aproxiadaene a 57,3º). 4 4º,698rad 57,3 Enonce la rapidez angular e:,698rad rad, 8 5 Velocidad angencial y angular La elocidad angencial queda expreada por un ecor angene a la circunferencia en un puno cualquiera de ea. 53
La elocidad angular queda deerinada por un ecor perpendicular al plano de la circunferencia, juo en u cenro. El enido de queda deerinado por la regla del ornillo de roca derecha, que debe penerar en el plano de la circunferencia al hacerlo girar en el enido del oiieno (o regla de la ano derecha). De aquí en adelane, e uilizará el concepo de elocidad coo inónio de rapidez a no er que ea ericaene neceario hacer la diferencia 54
Moiieno circular unifore (MCU) Un cuerpo iene oiieno circular unifore cuando decribe arco iguale en iepo iguale, e decir, cuando el ódulo (rapidez) de la elocidad lineal peranece conae en el iepo. Lo anerior e equialene a decir que un cuerpo iene oiieno circular unifore cuando decribe ángulo iguale en iepo iguale, e decir cuando el ódulo de la elocidad angular peranece conane en el iepo. En ee oiieno, el radio ecor, la elocidad lineal y la aceleración lineal cabian de dirección en cada inane. En ee oiieno abién e iporane definir lo concepo de periodo y frecuencia: Período (T): E el iepo en que el cuerpo arda en coplear una uela o reolución. Frecuencia (f): E el núero de uela o reolucione que el cuerpo alcanza a dar en una unidad de iepo (egundo, inuo, hora, ec.), La unidade de edida á coune on: uela egundo reolucione egundo re rp uela inuo reolucione inuo re in rp in Frecuencia y periodo on el alor reciproco uno del oro, aeáicaene cuplen con la iguiene relación: T f Ejeplo Deerinar el período y frecuencia de un cuerpo que iene oiieno circunferencial unifore y da 4 uela en 6 egundo. Solución 55
El concepo de período ignifica que e el iepo que el cuerpo deora en dar una uela, coo e un oiieno circular unifore (cíclico), ignifica que hay una proporcionalidad direca enre nº de uela y iepo epleado, por lo ano e puede anoar: Nº de uela Tiepo epleado () 4 6 T Coo e raa de una proporción direca, e uliplica cruzado y e depeja el periodo, eo e: Muliplicando y diidiendo: T 6 4 T,5 E decir, el cuerpo deora,5 egundo en dar una uela. Coo la frecuencia e el alor reciproco del periodo, ignifica que: f T Por lo ano: f,5 4 Ee reulado quiere decir que el cuerpo da 4 uela en cada egundo, e lo io que anoar f 4rp (4 reolucione por egundo), i e quiere er cuana reolucione por inuo (rp) baa uliplicar por 6, e decir f 4rp 4rp Ejeplo Exprear la frecuencia de 54 rp, rp y rad/. Solución: conerión de rp a rp 56
uela uela 54 uela uela 54rp 54 54 9 9rp in. 6 6 Conerión de rp a rad/ Recordar que uela equiale a un ángulo de radiane. (Uar 3, 4) uela uela rad rad rad 54rp 54 9 9 8 56, 556 in. Coniderando lo concepo de período y frecuencia, e iene que para una uela coplea e cuple que: Arco decrio (b) = r = (períero de la circunferencia), = diáero Angulo decrio () = Tiepo epleado () = T Reeplazando ea inforación en la forula de rapidez angencial y angular reula: arco iepo r T f f y ángulo iepo T f f Ejeplo La polea de un oor elécrico de 8 c de radio gira a 3 rp, calcular: a) Período 57
b) Velocidad lineal en / c) Velocidad angular en rad/ Solución (a): Cálculo de Período En prier lugar e ranforará de rp a rp. 3 3rp rp,5 rp 6,5 El alor de 3 rp =,5 rp correponde a la frecuencia, y coo el período e alor reciproco de la frecuencia, e iene que: T f,5 E decir el período del oiieno circular unifore e de egundo. Solución (b): Velocidad lineal en / (uar 3, 4) La elocidad lineal queda deerinada por: f El diáero correponde al doble del radio, e decir: r 8 c 6c,6 Reeplazando alore correpondiene e iene: f 3,4,6,5 Muliplicando e obiene el alor de la elocidad lineal e decir: E decir el alor de la elocidad lineal del M.C.U. e de,5 /. Solución (c): Velocidad angular en rad/ (uar 3,4 rad ) La elocidad angular queda deerinada por:,5 f 58
Reeplazando alore para y f reula: 3,4 rad,5 Muliplicando e obiene el alor de la elocidad angular, e decir: rad 3,4 Relación enre y Coo = r T T = r y = T T = Igualando eo do reulado e iene: Muliplicando cruzado: r = r Cancelando por, e iene: r 59
Ejeplo Un cuerpo e uee en una rayecoria circular de c de radio y con una elocidad angular de 4 rad/. Cuál e el alor de la elocidad lineal?? r c rad 4 Solución: Uilizando la relación enre elocidad lineal y elocidad angular, e iene: r En ee cao olo e debe reeplazar alore ya que e conoce la elocidad angular y el radio de l a circunferencia, por lo ano: rad 4 c Muliplicando: c 48 4, 8 Recuerde para paar de c a e debe diidir por. Ejeplo Si la elocidad lineal y angular de un cuerpo, en oiieno circular unifore on,8 / y 5 rad/ repeciaene, deerinar el radio de la circunferencia decria. 6
, 8 r rad 5 Solución: Coo en ee cao e conocen aba elocidade, e debe depejar el radio a parir de la ecuación que relaciona la elocidad lineal con la elocidad angular, eo e: Depejando el radio r : r Reeplazando lo alore de elocidad lineal y elocidad angular, e iene el radio que e pide:,8 r rad 5 Diidiendo e obiene el alor del radio, e decir: r,46 4,6c r Ejeplo Con qué elocidad de core, rabaja una broca epiral de 5 de diáero, que ejecua 8? in 6
Solución En prier lugar idenificareo la ariable, anoando lo dao enregado Dao Velocidad de core = elocidad circunferencial = odulo de elocidad lineal =? Diáero = = 5 =,5 Frecuencia (reolucione) f = 8 in = 8 r.p.. De acuerdo a lo dao enregado la forula a uilizar e: f Reeplazando lo dao y uliplicando obeneo la elocidad que e pide, e decir: = 3,4,5 8 in =,5 in E decir, la elocidad de core de la broca e de,5 /in. Ejeplo 6
Un cuerpo que gira en una circunferencia de 5 c de radio, iene una elocidad de /, Cuál e el alor de la elocidad angular? Solución: En ee cao e conoce el radio de la circunferencia decria y la elocidad lineal del cuerpo que la decribe, por lo ano, de la relación enre elocidad lineal y elocidad angular e debe depejar ea úlia, eo e: r r Reeplazando alore correpondiene reula:,5 Al cancelare lo ero, la unidad que queda correponde a radian. Diidiendo y cancelando la unidad de ero, e obiene el alor de la elocidad angular, e decir: rad 4 63
Ecuación de raniión del oiieno Cuando e ienen do rueda o polea, de diino diáero, unida por una correa o por una cadena, e produce una raniión de oiieno, la polea en donde e origina el oiieno, e llaa oriz (generadora), ienra que la ora e llaa conducida (arrarada). En ea raniión de oiieno e cuple que la frecuencia e ayor en la polea de enor diáero (en un io iepo la polea pequeña da un ayor núero de uela), lo que quiere decir que la rapidez angular e ayor en la polea de enor diáero, en cabio la rapidez circunferencial, (angencial) e la ia para aba polea debido a que en un inane deerinado, el deplazaieno de la correa e el io en la polea grande coo en la polea pequeña. f Moríz i Conducida f Coo la rapidez lineal e la ia en aba polea, e puede anoar: Pero: f Enonce f f Diidiendo por, e obiene: f f Expreión denoinada Ecuación de raniión del oiieno 64
Coniderando la ecuación de raniión: Se puede ecribir: f f f f Expreión conocida con el nobre de relación de raniión que e deigna por i, e decir: i = f f Expreión que indica que la frecuencia e ineraene proporcional al diáero de la polea, e decir, a ayor diáero de la polea, enor e el núero de uela. Oberacione: - Polea concénrica o olidaria ignifican que giran en un io eje, con la ia frecuencia - Lo ubíndice ipare repreenan polea o rueda orice, ienra que lo ubíndice pare, repreenan polea conducida o arrarada. 3- En cao que la raniión ea por engrane, la ecuación de raniión e ranfora en: Donde Z e el núero de diene. Z f Z f 4- La relación de raniión oal ( i Toal ) e obiene por la uliplicación de la relacione de raniione parciale, e decir: i Toal i i...... i n 65
Ejeplo La rueda oríz de de diáero de un oor elécrico, gira con 4 [/in], qué diáero endría que ener la rueda accionada al girar con 3 [/in]? Moríz Conducida Solución Ee problea correponde a una raniión de oiieno, por lo ano e debe uilizar dicha ecuación, e decir: f oriz oriz conducida f conducida Coo e conoce el diáero y frecuencia de la rueda oriz, adeá de la frecuencia de la rueda conducida, la olución conie ipleene en depejar el diáero de la rueda conducida: oriz f oriz conducida f conducida Reeplazando alore y realizando la operaoria, reula: conducida 4 / in 3 / in conducoda 55 E decir, el diáero de la rueda conducida debe er de 55. 66
Aceleración Cenrípea ( a N ) En el M.C.U. exie una aceleración lineal, debida a que la elocidad lineal del cuerpo cabia de dirección en cada inane, iendo u agniud o ódulo conane en el iepo. A B A Aceleración noral o cenrípea a N B La aceleración noral e un ecor dirigido hacia el cenro de curaura y queda definida ecorialene coo el produco cruz enre la elocidad angular y la elocidad lineal, e decir: a N iˆ x x ˆj y y kˆ z z Ecalarene la aceleración noral o cenrípea queda definida por: Donde: Módulo de la elocidad angular Módulo de la elocidad lineal r Radio de la circunferencia. r r a N 67
Ejeplo La polea de un oor elécrico iene un radio de,5 c y gira a 3 rp. Calcular la aceleración noral en un puno iuado en la periferia de la polea. Solución: Coo e pide calcular la aceleración noral en un puno de la periferia de la polea, e neceia conocer la elocidad angular o la elocidad lineal. En ee cao e conoce la frecuencia y el radio de la polea por lo ano e poible calcular aba elocidade, en ea ocaión e calculará la elocidad angular. f Ane de reeplazar alore e ranforara lo 3 rp a rp para rabajar en la rad unidade de : 3 3rp rp,5rp,5 6 Hora e poible deerinar la elocidad angular, eo e: Muliplicando: 3,4 rad,5 rad 3,4 Coo ya e conoce la elocidad angular, enonce e calcula la aceleración cenrípea por edio de la forula: a N r Reeplazando lo alore de la elocidad angular y el radio de la polea, e iene: rad a N 3,4, 5c Eleando al cuadrado y uliplicando e obiene el alor de la aceleración cenrípea, e decir: c a N 4,68, 47 68
Recordar que la uliplicación enre una unidad angular y una de longiud arroja unidad de longiud. Ejeplo Para la raniión indicada en la figura, e pide deerinar: elocidad lineal en la polea, aceleración cenrípea en polea 3, elocidad angular en polea 4, y relación oal de raniión. 4 6 c i Solución: 4 c c 3 i 8 c f 7 rp Cálculo de elocidad lineal. Para acar la elocidad lineal en e neceia aber u frecuencia, por lo cuál priero e calculará la frecuencia de ea polea, para eo e aplica la ecuación de raniión del oiieno, eo e: f f f f f f Enonce la elocidad lineal en polea e:,4 8c 4c f 3,4,4 3,4,4 69
Cálculo de aceleración cenrípea en polea 3. Aplicando la definición de aceleración cenrípea, e iene: a a a N 3 N 3 N 3 V r 3 3 r 3 3 f 6,8,4 rad /,5,358 / 3 r 3 Noar que polea y 3 on olidaria, luego ienen la ia frecuencia, e decir f f3 Cálculo de elocidad angular en polea 4. La elocidad angular e obiene aplicando: 4 f 4 Se neceia aber la frecuencia, para eo e aplica la ecuación de raniión del oiieno enre la polea 3 y polea 4, eo e: f f f f 3 4 4 4 3 f 3 f 4 4 3,5 4 c,4/ 6c Con ee reulado e regrea a la ecuación anerior y e obiene el alor de la elocidad angular de la polea 4: f 4 6,8 4,94 4 4 rad,5/ rad / Cálculo de la relación oal de raniión. Aplicando la forula que define la relación oal de raniión, e iene: i Toal i 4c 6c 8c c 4 i 3 8 7
Moiieno circular uniforeene acelerado MCUA E un oiieno de rayecoria circunferencial que experiena una ariación en el ódulo de la elocidad angular que e aniene conane en el iepo, e decir, e produce una aceleración angular conane. La ecuacione que rigen ee oiieno correponden a la regla de oro de la cineáica, pero en ella e debe cabiar la ariable lineale por ariable angulare, e decir: Ecuación de poición angular (Enrega la poición angular en el iepo ) Ecuación de elocidad angular en el iepo Ecuación de poición angular independiene del iepo Adeá de lo anerior exie una aceleración lineal que iene do coponene, una coponene angencial y ora coponene noral y e cuple que: a a N a T (Aceleración lineal) a a N a T (Módulo de la aceleración lineal) a N r (Aceleración cenrípea o noral) a T r (Aceleración angencial) a T a N a 7
Sibología uilizada Poición angular en eliepo Poición angular independiene del iepo Poición angular inicial Módulo de elocidad angular inicial Módulo de elocidad angular final Módulo de aceleración angular a Módulo de aceleración lineal a c Módulo de aceleración noral o cenrípea a T Módulo de aceleración angencial r Radio de la circunferencia Ejeplo Cuando e arranca un oor elécrico, ee alcanza u elocidad noinal a 33 rp en 6, y cuando e apaga el oor, ee deora 8 en deenere. Suponiendo un oiieno unifore acelerado. Hallar el núero de uela que da el oor: a) Haa alcanzar u elocidad noinal b) Dede que e apaga haa que e deiene Solución Arranque del oor re rad = 33 rp = 55 = 345,5 = 6 7
Cálculo de aceleración angular dede que e enciende el oor haa que e alcanza la elocidad noinal. Según lo dao enregado, para calcular la aceleración angulare, e poible aplicar la ecuación de elocidad angular dependiene del iepo (Ec. ), eo e: Depejando e obiene: Reeplazando alore correpondiene e iene: re 55 6 Diidiendo e obiene el alor de la aceleración angular en re/. rad re 57,567 = 9,67 = Cálculo del nº de reolucione en alcanzar elocidad noinal El núero de reolucione eá aociado a la ariable, luego e poible uilizar la ecuación o ecuación 3, en ea oporunidad e uilizará la ecuación de poición angular dependiene del iepo (Ec. ), eo e: En el encendido ano la poición angular inicial coo la elocidad angular inicial on iguale a cero, por lo ano reula: Reeplazando alore correpondiene e iene: re 9,67 6 Muliplicando reula el núero de reolucione que e pide: 65 re 73
Apagado del oor re rad = 33 rp = 55 = 345,5 8 Cálculo de la aceleración angular en la deención. Coo e conoce aba elocidade angulare y el iepo rancurrido, e debe uilizar la ecuación de elocidad angular dependiene del iepo, e decir: Coo, e iene: Depejando Ealuando: Diidiendo: re 55 8 re,6875 Cálculo de nº de reolucione del oor, dede que e apaga haa que la polea e deiene. En ea oporunidad e uilizará la ecuación 3(poición angular independiene del iepo) Reeplazando alore nuérico y diidiendo e obiene el nº de reolucione: re 55 re,6875 re 74
Problea reuelo cineáica de la parícula Problea n Una parícula que e uee a lo largo del eje X e localiza en x = en = y en x = 4 en =3. Encuenre el deplazaieno, elocidad proedio y rapidez proedio durane ee ineralo de iepo. Solución problea n Dao: x en x 4 en 3 x? en?en? en O 4 X () Calculo del deplazaieno: Para deerinar el deplazaieno e neceia conocer la poicione final e inicial para luego aplicar direcaene la definición, e decir: x x x x 4 x reeplazando lo alore correpondienee eine : e decir : 8 o d 8ˆ i eligno negaio ignifica que el cuerpo e dirige hacia la izquierda Calculo de elocidad proedio: Para deerinar la elocidad proedio e debe aplicar direcaene el concepo que la define ya que e conocen lo dao uficiene, e decir: x Por definición e iene que: reeplazando lo alore correpondiene e iene que: 8iˆ () 8ˆ i (/) 3 () () 4iˆ (/) 75
Calculo de rapidez proedio: La rapidez proedio e define coo el cuociene enre el caino recorrido(o diancia) y el iepo epleado en recorrer dicho caino, en érino aeáico e exprea por: d 8 4 la diancia d, e decir : correponde a lo8 eroy eliepo a lo egundo, por lo ano : 76
Problea n Un aión, para depegar, realiza un recorrido de 6. (a) Cuál e u aceleración, upuea conane, i abandona el erreno 5 egundo depué de u alida?, (b) Con qué elocidad en k/h depegará? Solución problea n Dao: x x 6 5 a?? a =? = 5 () 6 () =? X () Cálculo de aceleración: Oberando lo dao enregado e fácil dare cuena que la aceleración e puede deerinar aplicando la priera regla de oro de la cineáica, que correponde al ecor de poición o ecuación iinerario, e decir: x x 5 a coox a 5,33 en la dirección del deplazaieno x y, e iene : x a depejando a, e iene : x a reeplazando lo alore nuerico reula que : 6 a edecir : 5 77
Cálculo de Velocidad de depegue: Conocida la aceleración e poible deerinar la elocidad de depegue uilizando la egunda regla de oro de la cineáica (ecor elocidad), e decir: 5,33(/ ) 5() uliplicando reula: a a pero enonce: reeplazando alore nuericoe iene : 79,995(/) en la dirección del deplazaieno x 87,98(k/h) Problea n 3 Un elecrón incide obre una panalla de eleiión con una elocidad de 3 6 /. Suponiendo que ha ido Acelerado dede el repoo a raé de una diancia de,4. Enconrar la aceleración proedio. Solución problea n 3 Oberando lo dao e incógnia no dao cuena que uilizando la ercera regla de oro (ecor poición independiene del iepo ) e poible deerinar la aceleración proedio, eo e: x x x a a x a 9 a 8 a depejandola aceleración reeplazando lo alore nuericoe iene: 6 3 ( / ) 3 4 () 3 (/ coo, x ) y reula: e obiene: realizando la operaoriae obiene la aceleracion a,5 5 (/ ) 78
Problea n 4 Un fabricane de ciero auoóil afira que u auo deporio acelera dede el repoo haa una rapidez de 4, / en 8,. En el probable cao en que la aceleración ea conane: (a) deerine la aceleración del auoóil en /, (b) Encuenre la diancia que el auoóil recorre lo priero 8,, (c) Cuál e la rapidez del auoóil depué de que inicia u oiieno? Suponga que coninúa con la ia aceleración. Solución problea n 4 Dao: = x = = 4, (/) = 8, () a =? d =? () en 8, () =? en () = = = 8 = 4 / X () Cálculo de aceleración: Oberando lo dao enregado e fácil dare cuena que el alor de la aceleración e puede deerinar uilizando la egunda regla de oro, eo e: a a a a reeplazando lo alore nuerico queda : 4, (/) 8 () a 5,5(/ pero depejando la aceleración e iene : ) por lo ano reula: 79
Cálculo de diancia a lo 8 (): Coo ahora, adeá e conoce la aceleración e poible uilizar la ercera regla de oro para deerinar la diancia recorrida por el auo, e decir: x x pero x por lo ano : a x reeplazando lo alore nuericoe iene : a x d 4, ( / ) 5,5(/ ) x 68() 68() - d 68( ) realizando la operaoriareula: coo la diancia queda deerinada por d x - x e iene : Por lo ano y finalenee iene que ladiancia pedida e:, d 68() Cálculo de Rapidez a lo (): La rapidez a lo egundo queda deerinada uilizando egunda regla de oro de la cineáica, e decir: a a porque 5,5 / 5,5(/) () 8
Problea n 5 Un auoóil iaja a una elocidad conane de 3, / y paa por un anuncio derá del cual e ocula un policía. Un egundo depué de que el auo paa, el policía inicia la perecución con una aceleración conane de 3, /. Cuáno arda el policía en alcanzar al auoóil? Solución problea n 5 En ee cao e raa de un problea de encuenro ya que en el inane en que el policía alcanza al auoóil, neceariaene e encuenran en la ia poición, e decir, e cuple que: Dao: Policía: = = a = 3, / Auoóil: = 3, / = + x( ) x( ) = = 3 / X Claraene e raa de un problea de encuenro, por lo ano la poicione de lo do cuerpo e la ia, por ora pare, el oiieno del policía e acelerado y el oiieno del auooilia e unifore, lo que perie ecribir: x( x ) policia x( a a a ( ) ) auoóil x reeplazando pero x Reeplazando lo dao y reoliendo e iene: y x reula: por loano reula: 8
3,5 3( ) 3 3,98 4,98 4 ( ),95( ) Problea n 6 Una peloa de golf e deja caer a parir del repoo dede la azoea de un edificio uy alo. Deprecie la reiencia del aire y calcule la poición y elocidad de la peloa depué de, y 3. Solución problea n 6 Dao: = y = En =, y 3 () y =? =? g= 9,8 (/ ) o Y y= = X En ee problea e ha elegido el origen del iea coordenado en aquel puno donde e deja caer la peloa e decir dede lo á alo del edificio. = 8 = 8
Cálculo de poición en lo inane indicado: Coo el problea pide calcular la poición en un iepo deerinado, obiaene e debe uilizar la ecuación de poición dependiene del iepo, e decir: y( ) y y( ) g g pero y, enonce: Para (): y() 9,8 () y -4.9 ĵ () Para (): Para 3(): y( ) g y() 9,8 () y -9,6 ĵ () y( ) g y() 9,8 3 () y -44, ĵ () Lo igno negaio indican que el cuerpo e encuenra por debajo de la poición de caída Cálculo de Velocidad en lo inane indicado: De acuerdo a lo dao obenido, la ecuación apropiada e: g g Para (): 9,8 (/ ) () - 9,8 ĵ (/) 83
El igno negaio en la elocidad indica que el cuerpo e uee hacia abajo. Para y 3 (): 9,8 (/ ) () -9,6 ĵ (/) 9,8 (/ ) 3 () - 9,4 ĵ (/) Problea n 7 Un proyecil e diparado con una elocidad de 6 / haciendo un ángulo de 6 con la horizonal. Calcular: (a) el alcance horizonal áxio, (b) La alura áxia, (c) la elocidad erical y alura depué de 3, (d) El alor de la elocidad y el iepo cuando el proyecil e encuenra a k de alura, (er figura). Solución problea n 7 Ee problea correponde a lanzaieno de proyecile y e debe de uilizar iuláneaene la ecuacione de la cineáica para oiieno unifore y oiieno uniforeene acelerado. Realizando un equea para la inforación dada, e iene: Y =6 (/) Hax 6 X= alcance horizonal X Ane de coenzar la olución a ee problea e debe ener uy preene que la aceleración de graedad g acúa olo en el oiieno erical, por lo ano el oiieno en el eje horizonal e unifore y el oiieno en el eje erical e unifore acelerado con la aceleración de graedad g 84
Cálculo de alcance horizonal: El alcance horizonal e obiene aplicando la ecuación de poición en el eje horizonal (eje x), e decir: x x co, pero x =, por lo ano x co Por inforación e iene y, luego hay que conocer el iepo de uelo o iepo en que el cuerpo peranece en el aire, para eo aplicao la ecuación de poición en el eje y ya que e cuena con odo lo dao, eo e: y y en g, y y en g Cuando el cuerpo llega a ierra e iene que y =, luego: en g 6en6 9,8 59,65 4,9 4,9 59,65 4,9 59,65 4,9 59,65 59,65 6,44( ) 4,9 E decir el iepo que deora el proyecil en llegar al uelo e de 6,44 egundo, ahora, conocido el ée iepo, e poible calcular definiiaene el alcance horizonal, e decir: x co x x 383,( ) x 3,83( k) 6( / ) co6 6,44( ) E decir, el alcance horizonal del proyecil e de 3,83 K. 85
Cálculo de alura áxia: Para calcular la alura áxia e neceia conocer el iepo que deora el proyecil en al poición, para eo uareo la ecuación y en g, pero en la alura áxia e iene que, por lo ano la ecuación anerior reula: y en g g en en g 6( / ) en6 9,8( / ) 53,( ) Conocido el iepo en alcanzar la alura áxia, e poible calcular la alura áxia aplicando la ecuación de poición, eo e: h Max. h h h y y Max. Max. Max. en en g, y 6( / ) en6 53,( ) 755,39( ) 3775,59( ) g 9,8( / ) 53,( ) h Max. 3775,5( ) Cálculo de elocidad erical a lo 3 (): Para ee cao, e aplica direcaene la ecuación de elocidad, e decir: en g y y 6( / ) en6 9,8( / ) 3( ) y 5,65( / ) 86
Cálculo de alura a lo 3 (): En ee cao e debe de uilizar nueaene la ecuación de poición en el eje erical y uilizar el iepo de 3 egundo, e decir: y y en g y en g, y y 6( / ) en6 3( ) 9,8( / ) 3( ) y 78,457( ) Cálculo de Velocidad del proyecil a lo k de alura: Coo e pide la elocidad del proyecil, e debe calcular la elocidad en abo eje coordenado, eo e x y y. El alor (agniud) de la elocidad del proyecil queda deerinada por: x y Cálculo de coponene horizonal de la elocidad del proyecil a K. de alura. La coponene horizonal e conane y correponde a: x co Reeplazando alore correpondiene reula: x 6 co6º x 3 Hacia la derecha 87
Cálculo de coponene erical de la elocidad del proyecil a lo k de alura. Para ee cao e uilizará la ecuación de poición independiene del iepo (eje y), ya que e conocen odo lo dao y olo baa con depejar la elocidad y, e decir: y y y gy gy en g en y y g y en en y pero y gy 9,8( / en ) ( ) y 6( / ) en6 y y 7,9( / ) El igno poiio de la elocidad correponde cuando el cuerpo a en ubida y el igno negaio cuando el cuerpo iene en bajada y en abo cao u alor e de 7,9 (/). Por lo ano el alor de la elocidad del proyecil a K de alura e: 3 7,9 Realizando la operaoria reula aproxiadaene: 44, 969 88
Cálculo del Tiepo epleado por el proyecil en lo k de alura: En ee cao, e uilizará el ecor de poición dependiene del iepo y en él e depejará la ariable iepo, e decir: y y en g, y y en g 6en6 9,8 59,65 4,9 4,9 59,65 59,65 59,65 4,9 4 4,9 8,78( ) 5,6( ) Eo ignifica que hay do inane en que el proyecil e encuenra a k de alura, eo e a lo 5,6 (ubida) y a lo 8,78 (bajada). 89
Problea n 8 Una aeralladora dipara una bala con una elocidad de 65 pie/. Deerine lo ángulo bajo lo cuale la bala alcanzara un blanco iuado 45 pie de diancia y 8 pie de alura. Solución problea n 8 Realizando un equea para la iuación dada, e iene: Y (pie) 8 pie X = 45 pie X (pie) Para deerinar el ángulo, e neceario uilizar iuláneaene la ecuacione del oiieno horizonal y erical, eo e: ) ) x x y y ( co en ) Cuando el cuerpo ha recorrido una diancia horizonal de 45 pie y una alura de 8 pie, e iene que el iepo rancurrido e uno olo, por lo ano e el io en cada una de la ecuacione aneriore. Si e conidera que x y e puede anoar que: g ) x ) y co en g ) x co Reeplazando Ec. () en Ec. () e iene: 9
y en en g y que co g x y x g g x y x g x co g x y x g co g ec, x co e iene que : cancelando por ec pero,ec g,por lo ano reula: g g x g y coniderando que Reeplazando lo alore nuérico reula: 3,6( pie/ ) 45pie 8( pie) 45( pie) g 65pie/ 8( pie) 45( pie) g 7,77( pie) g 7,77( pie) Ordenando para forar una ecuación de egundo grado, e iene: g 3,6( pie/ ) 45pie 65pie/ 7,77( pie) g 45( pie) g 7,77( pie) 8( pie) 7,77( pie) g 45( pie) g 5,77( pie) aplicando la olucion a la Ec.de grado reula: g 45 45 4 7,77 5,77 7,77 g 45 449,9 5,44 eparando lo do alore,e iene : g 58,33 89,8 y g,57 3,73 9
Problea n 9 Un olane cuyo diáero e de 8 pie iene una elocidad angular que diinuye uniforeene de rp en = (), haa deenere cuando = 4 (). Calcular la aceleracione angencial y noral de un puno iuado obre el borde cuando = (). Solución problea n 9 Dao: = 8 pie = rp = = = 4 a =? a N =? pie Para calcular la aceleración angencial hay que deerinar priero la aceleración angular, que de acuerdo a lo dao enregado e puede obener aplicando la ecuación de la elocidad angular en el iepo, e decir: depejando reula: pero por lo ano : reeplazando lo alore nuerico y recordando la equialencia de unidade reula: ( rp) ( rad / re) (in/ ) 6 lo que da finalene: 4( ),678( rad / ) eligno negaio ignifica que el oiieno e deacelerado 9
Cálculo de aceleración angencial: La aceleración angencial e deerina aplicando u definición, e decir: a a T T r reeplazando lo alore nuerico reula:,67( rad / ) 4( pie) lo que da un reulado de : a T,467( pie/ ) Cálculo de aceleración noral o cenrípea: Al igual que la aceleración angencial, la aceleración cenrípea e calcula por la aplicación direca de la fórula, e decir: a N r Para eo neceiao conocer la elocidad angular a lo (), éa la calculao aplicando la ecuación de elocidad angular en el iepo, e decir: = rp =,467 (rad/), e decir:,467( rad / ),67( rad / ) ( ) realizando la operaoriae obiene : 5,33( rad / ) Ahora conocida la elocidad angular en el iepo de egundo e poible deerinar la aceleración noral, e decir: a N 5,33( rad / ) 4( pie) lo que da un reulado de : a N 9,537( pie/ ) 93
Problea n Un olane cuyo diáero e de 3 eá girando a rp. Calcular: (a) el período, (b) La elocidad angular, (c) La elocidad lineal de un puno P obre el borde. Solución problea n Dao: = 3 f = rp = ( rp) ( rp) (/ ) 6 T =? =? =? Ø 3 rp P Cálculo del período: Coo e conoce la frecuencia f del oiieno circular, el periodo e obiene por aplicación direca de u forula, e decir: T f T (/ ) T,5( ) Cálculo de la elocidad angular: Conocida la frecuencia, la elocidad angular queda deerinada por aplicación direca de la forula: f reeplazando lo alore correpondienee iene : 3,4( rad) (/ ),56( rad / ) 94
Cálculo de la elocidad lineal: Al igual que en lo cao aneriore la elocidad lineal e deerina por aplicación direca de la fórula: f reeplazando lo alore correpondienee iene : 3,4( rad) 3( ) (/ ) 8,84( / ) Problea n La ierra da una uela coplea alrededor de u eje en 3 hora y 56 in. Sabiendo que el radio edio de la ierra e 637 K. Hallar la elocidad lineal y la aceleración de un puno de la uperficie errere. a) En el ecuador b) En 4º de laiud nore c) En el polo nore Solución problea n Dao T= 3 hora, 56 in = 866 [] R= 637 K = 637[] Velocidad lineal en el Ecuador. Ecalarene: r r Coo la Tierra iene un oiieno circular unifore, enonce: T 6,8 rad 866 7,89 5 rad En el ecuador la ierra iene u radio ayor, Enonce: 5 rad r 7,89 637 464, 94 E decir el alor de la elocidad lineal de la ierra en el ecuador e de 464, 94 /. 95
96 F Í S I C A M E C Á N I C A Cálculo de la aceleración en el Ecuador Por er un M.C.U. el oiieno no poee aceleración angencial, por lo ano: 5,338 : 464,39 7,89 : a Finalene rad a a Ecalarene a a a a a N N N T Ora fora Por er un M. C. U. 3,338 637 464,94 464,94 866 74 3,4 a a r a T
Velocidad en 4º Laiud Nore La expreione para el calculo de la elocidad y aceleración on la ia que en el cao anerior, pero en ee el radio e enor que en el Ecuador. Ecalarene: r Coo la Tierra iene un oiieno circular unifore, enonce: T 6,8 rad 866 7,89 5 rad En 4º laiud nore, la ierra iene un radio igual a: R r co4º 637 co4º 487973, 3 R r co 4º r 4º Por lo ano: r 7,89 355,68 5 rad 487973,3 97
98 F Í S I C A M E C Á N I C A Cálculo de la aceleración en 4º laiud nore Por er un M.C.U. el oiieno no poee aceleración angencial, por lo ano: 5,59 : 355,68 7,89 : a Finalene rad a Ecalarene a a a a a N N T Velocidad y aceleración en el Polo Nore En el polo Nore ano la elocidad lineal coo la aceleración cenrípea on iguale acero ya que en ee puno el radio e igual a cero.
Problea n La ierra ejecua una reolución coplea alrededor del ol en 365,4 día. Suponiendo que la órbia de la ierra ea una circunferencia de 5 illone de kilóero, hallar la elocidad y la aceleración de la ierra. Solución problea n : Dao re = T = 365,4 día = 3556736 [] = 5 [k] = r =75 Cálculo de elocidade Ecalarene e iene: r T 3556736 rad,99 7 rad Velocidad angular de la ierra Enonce : r 7 8 rad,99 75 495,5 Velocidad lineal en la uperficie de la ierra 99
Cálculo de la aceleración a a T a a r N Peroa o T, enonce a r a 7 rad 8,99 75 a,97,97x -3 dirigida hacia elcenrode la ierra
Problea n 3 Para la raniión úliple indicada en la figura, deerinar el Nº de reolucione de la rueda 4 Solución problea nº 3: Para calcular la frecuencia en la polea 4 e neceario conocer la frecuencia en la polea 3, para luego aplicar una ecuación de raniión de oiieno. La frecuencia en la polea 3, e puede calcular aplicando la relación de raniión i, e decir: i = f f = 3 Depejando f, reula: f f, e decir: 3 Reeplazando el alor de f reula: f 7 3 r. p.. f = 48 r.p.. Coo la rueda y 3 on concénrica (olidaria), ignifican que ienen igual frecuencia, e decir: f 3 = f = 48 r.p..
Ahora, aplicando una ecuación de raniión, enre polea 3 y polea 4, e iene: Depejando f 4 e obiene: f 3 3 = f 4 4 f 4 f 3 4 3 Reeplazando lo alore e obiene: f 4 48 r. p.. 98 f 4 9,9 r. p..
Problea n 4 Dada la raniión repreenada por la figura y dao adjuno. Deerinar: (a) Frecuencia en la polea, (b) rapidez lineal en / en la polea 3, (c) arco decrio en por la polea 3 en 9, (d) rapidez angular en rad/ en la polea 4, (e) ángulo en radian decrio en polea 4 en 9, (f) la aceleración cenrípea en / en la polea 4 y (g) raniión oal. Dao: =8 f = 9 rp =36 3 = =4 i i 3 4 it Solución problea n 4 Dao: =8 f = 9 rp =36 3 = =4 Cálculo de frecuencia f en la polea : Para calcular la frecuencia en la polea aplicao la ecuación de raniión enre polea y polea ya que e ienen odo lo dao para eo, e decir: f Depejando f, e iene: f f f f reeplazando alore nuericoe iene : 8( ) 9( rp) 36( ) f 4,5( rp) 3
Cálculo de rapidez lineal en polea 3: Para ello e neceario conocer diáero y frecuencia, ya que: 3 3 f3, coo la polea y 3 on olidaria, ignifica que ienen la ia frecuencia, e decir, f = f 3 = 4,5 (rp), luego: 3 3,4( rad),( ) 4,5( rp) edecir : 3,86( / ) Cálculo del arco decrio en polea 3 en un iepo de 9 (): La ecuación que perie calcular el arco decrio en un iepo queda deerinado por, coo e conoce la rapidez lineal y el iepo para la polea 3, e iene que:,86( / ) 9( ) edecir : 54.34( ) Cálculo de rapidez angular para la polea 4: Para el cálculo de la rapidez angular e pueden uilizar la ecuacione f o, eligiendo la egunda ecuación ya que e conoce la elocidad lineal y el radio de R la polea 4 e iene: 4 4, pero 4 3, 86 R4 4 4 R 3 4,86( / ),( ) (/) por lo ano: 4 3,457( rad / ) 4
Cálculo de ángulo decrio por la polea 4 en un iepo de 9 (): Para un oiieno circular el ángulo decrio en un iepo deerinado, queda deerinado por la ecuación, coo e conoce la rapidez angular 4 y el iepo, e iene que: 3,457( rad / ) 9( ),3( rad) Cálculo de aceleración cenrípea en la polea 4: La aceleración cenrípea (o noral) queda deerinada por la ecuación an o an r, eligiendo arbirariaene la egunda ecuación, e iene: r a a N 4 N 4 4 r 4 3,457( rad / ) al reeplazar lo alore correpondiene reula:,( ) lo que da un reulado de : a N 4 38,9( / ) Cálculo de raniión oal: El alor de la raniión oal o relación de raniión, queda deerinado por el produco de la relacione de raniione parciale, e decir: i T i i f oriz Pero: i conducido f conducido oriz Eligiendo rabajar con lo diáero e iene: conducido i i i T T oriz 4 3 36( ) 4( ) 8( ) ( ) al reeplazar lo alore correpondiene iplificando reula que : e iene : i T 5 Eo ignifica que por cada uela da le polea oriz, la polea conducida 4 da 5 uela. 5
Problea n 5 La placa circular de la figura eá inicialene en repoo. Sabiendo que r = y que rad la placa poee una aceleración angular conane de,3. Hallar el ódulo de la aceleración oal del puno B cuando: a) = b) = () Solución problea n 5: Dao r. rad,3 Aceleración para = En =,, por lo ano: a a T a N ecalarene : a r r r a a a B B B r rad,3,,6 6
7 F Í S I C A M E C Á N I C A Aceleración para = egundo La aceleración angencial peranece conane debido a que la aceleración angular e conane. Se debe calcular la elocidad angular para el iepo de egundo rad rad.6.3 por lo ano : pero Enonce reeplazando alore y calculando e iene:,937,7,6,7,6,,6,6 a e e a rad a r r a B N T B B B
Ejercicio Propueo Cineáica de la Parícula Un auoóil e encuenra en la poición de y iaja a razón de 95 k/h, una hora á arde, dede el origen le igue en la ia dirección y enido un egundo auoóil que pare repoo y acelera a razón de,6 /. (Preguna, y 3) Cuerpo Cuerpo X (). El iepo rancurrido al oeno en que el egundo cuerpo alcanza al priero e: a) 5,884 h b) 7,4 c) 354.887 d) 68,74. La diancia en k, recorrida por el cuerpo al oeno del encuenro e: a) 3,7 k b),64 k c),539 k d) 537,5 k 3. La diancia en k, recorrida por el cuerpo al oeno del encuenro e: a) 3,7 k b),64 k c),539 k d) 537,5 k El oiieno de un cuerpo eá dado por la iguiene grafica: ( / ) 3 Fig.,8 / 6 6 () 8
La preguna 4, 5, 6 y 7 correponden a la grafica de la figura. 4. La aceleración del cuerpo al ineralo de iepo coprendido enre a 6 egundo e: a) 3,333 / b) 3,8 / c) 4,4 / d) 4,86 / 5. El iepo oal rancurrido en que el cuerpo queda en repoo e: a) 6 b) 3 c) 4 d) 56 6. La diancia recorrida por el cuerpo, dede que coienza a frenar haa que queda en repoo e: a) 64 b) 86 c) 9 d) 97 7. La elocidad del cuerpo al egundo e: a) 5,6 / b) 6,48 / c) 8,8 / d) 9,5 / La preguna 8, 9,,,, 3 y 4 e refieren al iguiene enunciado: Dede lo alo de una orre de, e lanzado un proyecil con una elocidad de / a un ángulo de 4º repeco de la horizonal (figura 3) 8. El iepo oal de uelo e: V a) 7,87 b) 4,776 c) 7,68 d) 6,567 9. El alcance horizonal áxio e: Fig.3 4 a) 683,558 b) 3,9 c) 37,485 d) 96,47 9
. El iepo que el proyecil deora en alcanzar la alura áxia e: a) 6,6 b) 9,8 c),7 d) 4,. La alura áxia repeco al uelo e: a) 4,3 b) 8,5 c) 3,4 d) 33,84. La coponene erical de la elocidad del proyecil al oeno de llegar al uelo e: a) 56,68 / b) 67,66 / c) 8,56 / d) 5,749 / 3. La coponene horizonal de la elocidad del proyecil al oeno de llegar al uelo e: a) 76,64 / b) 87,8 / c) 95,867 / d) 5,749 / 4. La agniud de la elocidad del proyecil al llegar al uelo e: a) 5,95 / b) 67,8 / c) 98,756 / d),4 /
La preguna 5, 6, 7, 8, 9 y correponden a la raniión indicada en la figura 4. 5. La elocidad lineal en / de la polea e aproxiadaene: a) 8,75 b) 3,4 c) 3,54 d) 5,7 6. La frecuencia en rp de la polea 3 e aproxiadaene: a),5 rp b), rp c), rp d) rp 7. La elocidad angular en rad/ de la polea 3 e aproxiadaene: a) 6,8 rad/ b) 3,4 rad/ c) 6,4 rad/ d),56 rad/ 8. La elocidad lineal en / de la polea 4 e aproxiadaene: 6c f 96rp Figura 4 48c c 3 a),68 b),56 c) 45,34 d) 3,663 4 3c 9. La aceleración cenrípea de la polea 4 e aproxiadaene: a),63 / b) 4, / c),3 / d) 3,44 /
. La relación oal de raniión e: a) 5 e a b) 4 e a c) 8 e a d) 5 e a Una pequeña rueda de afilar eá unida al eje o árbol de un oor elécrico cuya elocidad noinal e de 36 rp. Cuando e enciende alcanza u elocidad noinal en 5 egundo y, al corare la energía, la rueda llega al repoo en 7 egundo. Suponer el oiieno uniforeene acelerado. (Preguna,, 3 y 4). La aceleración angular en rad/ de la rueda ienra alcanza la elocidad noinal e: a) 75,36 b) 45,7 c) 47,5 d) 8,5. El núero de uela que la polea alcanza a realizar haa alcanzar la elocidad noinal e: a) 4 b) c) 5 d) 57 3. La aceleración angular en rad/ de la polea, dede que e cora la energía haa que e deiene e: a) 6,69 rad/ b), 56 rad/ c),54 rad/ d) 5,383 rad/ 4) El núero de uela que la polea alcanza a realizar, dede que e cora la energía haa que la polea e deiene e aproxiadaene: a) 59,9 b) 9 c) d) 4
La preguna 5 y 6 correponden al iguiene enunciado: La placa circular de la figura eá inicialene en repoo. Sabiendo que r = 3 y que rad la placa poee una aceleración angular conane de,4. 5) El ódulo de la aceleración oal en / del puno B en el iepo = e: a),6 b), c), d), 6) El ódulo de la aceleración oal en / del puno B en el iepo = 4 e: a),64 b),777 c),867 d), Preguna a b c d x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x Preguna a b c d x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x Preguna a b c d 9 x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 3
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