Matemática Unidad 4 - UNIDD N 4: TRIGONOMETRÍ ÍNDICE GENERL DE L UNIDD Trigonometría....... 3 Sistema de medición angular... 3 Sistema seagesimal...... 3 Sistema Radial....... 3 Tabla de conversión entre los sistemas de medidas angulares........ 4 ctividades... 4 Razones trigonométricas.......... 5 ctividad...... 5 Circunferencia trigonométrica......... 6 ctividad...... 7 Relaciones entre las razones trigonométricas...... 7 Teorema fundamental 7 Ángulos opuestos... 8 Inversas de relaciones trigonométricas.... 8 ctividades... 0 Resolución de triángulos oblicuángulos...... 0 Teorema del seno...... 0 Teorema del coseno...... 0 ctividades... Ejercicios prácticos..
Matemática Unidad 4 - ÍNDICE REDUCIDO DE TEMS DE L UNIDD EST UNIDD CONTIENE LOS SIGUIENTES TEMS: TRIGONOMETRÍ SISTEMS DE MEDICIÓN NGULR RZONES TRIGONOMÉTRICS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS CONSEJOS TENER EN CUENT NTES DE EMPEZR: LEER CON MUCH TENCIÓN LOS CONTENIDOS. PONER ÉNFSIS EN LOS EJEMPLOS. RESOLVER MINUCIOSMENTE LOS EJERCICIOS. CONSULTR LS DUDS QUE PUEDN SURGIR.
Matemática Unidad 4-3 TRIGONOMETRÍ Es la rama de la matemática que estudia las relaciones entre los lados los ángulos de triángulos, las propiedades aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos líneas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. SISTEM DE MEDICIÓN NGULR Para epresar la medida de un ángulo, se pueden utilizar los siguientes sistemas: Sistema seagesimal: su unidad de medida es el grado seagesimal ; donde un grado seagesimal (simbólicamente º) representa la noventa-ava parte de un ángulo recto. ángulo recto º 90º ángulo recto 90 Sistema Radial: Para definir la unidad de medida de este sistema, analicemos previamente: Sea un ángulo cualquiera, con centro en el vértice del ángulo radios r r, si se trazan arcos de circunferencias de longitudes S, S ; se obtiene la siguiente figura: r Se verifica que: r S S S S a ; con a cte r r Para cualquier radio r, la correspondiente longitud de arco S, se verifica: S a S a r La constante a es característica del ángulo en cuestión determina el valor del ángulo. Se dirá que el ángulo se mide en radianes. Un radián es la medida del ángulo cuo arco es igual al radio de la circunferencia, en la que está centrado. Nota: Sabiendo que el ángulo central positivo de un giro es = 360º recordando que la longitud de la circunferencia es..r, un ángulo central verifica: Por lo tanto: S r 360 º r r 360º = radianes r
Matemática Unidad 4-4 Ejemplos: a) Determinar los radianes que representan 35º. 360º 35º rad 35º rad rad 360º 7 rad 36 b) Determinar los grados seagesimales que representan 3 rad. rad 3 rad 360º 3 rad 360º ; luego = 540 º rad TBL DE CONVERSIÓN ENTRE LOS SISTEMS DE MEDIDS NGULRES Ángulo en Grados Ángulo en Radianes 0 0 30 45 60 90 6 4 3 80 70 3 360 CTIVIDDES. Calcular la medida de los siguientes ángulos en radianes: a) â = 8º b) α = 78º. Calcular la medida de los siguientes ángulos en grados: a) ê = 7 3 b) α = 3 rad
Matemática Unidad 4-5 RZONES TRIGONOMÉTRICS Se llaman razones trigonométricas a las relaciones entre los lados ángulos de un triángulo rectángulo. Son seis reciben el nombre de seno, coseno, tangente, cotangente, secante cosecante. Considerando el ángulo se pueden definir las seis razones de la siguiente forma: b C a B c sen cos cat op hip cat ad hip cat op tg cat ad C B C B De las definiciones anteriores se deduce que sec cosec cotg hip cat ad hip cat op cat ad cat op B C B C sen tg cos ; cotg ; tg sec ; cos cosec sen CIRCUNFERENCI TRIGONOMÉTRIC Recibe el nombre de circunferencia trigonométrica la circunferencia de centro en el origen de coordenadas cartesianas (0,0) de radio r =. P (,) O l considerar un punto P(,) perteneciente a la circunferencia trigonométrica unir el punto P con el origen de coordenadas se obtiene el segmento OP = r = (radio de la circunferencia), que coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo OPX.
Matemática Unidad 4-6 Observando el gráfico es claro que: OP= r = hipotenusa OX = (abscisa del punto P) = cateto adacente del ángulo (en el triángulo OPX) PX= (ordenada del punto P) = cateto opuesto del ángulo (en el triángulo OPX) Las razones trigonométricas tienen una representación segmentaria en la circunferencia trigonométrica, que para ángulos del primer cuadrante es: P OB = : representa el cos O B Q PB = : representa el sen Q : representa la tg Nota: Las razones presentan los siguientes signos de acuerdo a cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas ordenadas:
Matemática Unidad 4-7 CTIVIDD Completar el siguiente cuadro con el signo correspondiente. sen cos tg cotg cosec sec º Cuadrante º Cuadrante 3º Cuadrante 4º Cuadrante RELCIONES ENTRE LS RZONES TRIGONOMÉTRICS Teorema fundamental. sen = cos = r r de donde = r sen de donde = r cos demás, según Pitágoras: + = r luego tenemos que: r cos + r sen = r de donde resulta la epresión: sen + cos = Dividiendo en la epresión del recuadro por sen α: cos sen sen + cotg = cosec Dividiendo en la epresión del recuadro por cos : tg cos tg + = sec
Matemática Unidad 4-8 Ángulos opuestos: Si = α sen = r sen = cos = r ' sen = - sen r r cos = r cos = cos CTIVIDD. Completar el cuadro conociendo los valores de algunas relaciones trigonométricas. 0º 30º 45º 60º 90º sen 0 3 cos 3 0 tg cotg sec cosec 3. Calcular sen α tg α, usando la Relación Fundamental, sabiendo que cos α = - α es 5 un ángulo del segundo cuadrante. 3. Calcular cos α cotg α, usando la Relación Fundamental, sabiendo que sen α = α es un ángulo del segundo cuadrante. INVERSS DE RELCIONES TRIGONOMÉTRICS Puede observarse la siguiente situación: Para el ángulo de 30º; o sea para el arco 6, le corresponde el valor de la función seno igual a 0,5; es decir: 0,5 = sen 6.
Matemática Unidad 4-9 Esta relación implica que 6 es el arco cuo seno es 0,5. Simbólicamente, se puede epresar lo siguiente: Si es el seno de, esto implica que es el arco cuo seno es. sen arco sen La relación arco seno es la inversa del seno. nálogamente: cos arco coseno tg arco tg Tener en cuenta el siguiente cuadro, que audará para ubicar el ángulo en el cuadrante correspondiente, conociendo la relación trigonométrica. Valor de la Relación Trigonométrica Ángulo agudo dado por la calculadora Seno Positivo, (80º ) Seno Negativo ( + 360º), ( + 80º) Coseno Positivo, (360º ) Coseno Negativo, ( 360º ) Tangente Positivo, ( + 80º) Tangente Negativa ( + 360º), (80º + ) Ejemplos: a) sen = 0,5 = 30º (valor de calculadora) 80º - = 50º b) sen = -0,5 = -30º (valor de calculadora) Rtas: -30º + 360º = 330º 30º + 80º = 0º c) cos = 0,5 = 60º (valor de calculadora) 360º - = 300º
Matemática Unidad 4-0 d) tg = = 45º (valor de calculadora) + 80º = 45º + 80º = 5º e) tg = - = -45º (valor de calculadora) 360º + = 35º 80º + = 35º CTIVIDDES. Haciendo uso de la calculadora, obtener el valor de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 00º = e) cotg,6 = b) cos 0,5 = f) sec 0, = c) tg 0º 0 3 = g) cosec 4º 5 = d) cotg,6º =. Si tg α =,5 α está en el primer cuadrante. Cuánto mide α en radianes? 3. Si sen â = 0,5 â pertenece al II cuadrante; Cuánto mide â en seagesimal? 4. Calcular las demás razones trigonométricas de α sabiendo que sen α = 5 4 α es un ángulo del segundo cuadrante. 5. Calcular las demás razones trigonométricas de α sabiendo que cos α = tercer cuadrante. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto. 3 α está en el Teorema del seno En todo triángulo oblicuángulo sus lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. c C B sen c sen b sen a b B C a
Matemática Unidad 4 - Teorema del coseno El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman. Según los datos del problema, el teorema se puede aplicar de las formas siguientes: = B + C B. C. cos â a B = + C. C. cos bˆ B C C = B + B.. cos ĉ c b CTIVIDDES. Sea abc un triángulo rectángulo en â, el segmento ab mide 0 cm. el ángulo ĉ, opuesto a ese lado, mide 4º. Calcular: a) el lado ac b) el lado bc c) el ángulo bˆ. Sea abc un triángulo rectángulo en â, los segmentos ab ac miden m 4 m, respectivamente. Calcular: a) el lado bc b) el ángulo bˆ c) el ángulo ĉ 3. Dos lados adacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º tienen longitudes de 3 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor. 4. Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida m, otro,5 m el ángulo opuesto al primer lado debe ser 40º. Lo conseguirá? 5. Un edificio proecta una sombra de 50m cuando el rao solar forma un ángulo de 0º 30' sobre el suelo, calcular la altura del edificio. EJERCICIOS PRÁCTICOS Ejercicio : Transformar el ángulo de grados a radianes: a) 5º b) 35º c) 80º d) 50º e) 00º f) 9º g) 64º h) 58º i) 35º
Matemática Unidad 4 - Ejercicio : Transformar el ángulo de radianes a grados: a) rad 5 b) rad 0 7 c) 3 rad d) rad 4 Ejercicio 3: Dos de los ángulos interiores de un triángulo miden 60º /4 radianes. Calcular la medida del tercer ángulo interior en grados seagesimales en radianes. Ejercicio 4: Utilizar una calculadora encontrar las relaciones trigonométricas de los ángulos: 0º, 5º,45º,70º 85º. Entre qué valores varía el seno el coseno? Ejercicio 5: lgunos valores de las relaciones trigonométricas pueden calcularse directamente sin usar calculadora. Calcular según la figura luego comprobar con la calculadora. a) sen 30º b) cos 30º c) sen 60º d) cos 60º e) Es necesario conocer las medidas del triángulo? a h a a sen Ejercicio 6: Si se sabe que tg. Obtener, sin usar calculadora, los valores de la cos tangente para los ángulos dados en el ejercicio anterior. Ejercicio 7: Qué signo tienen sen cos en los siguientes ángulos? a) = 00º b) = 98º c) = 75º d) = 300º e) = 85º. Ejercicio 8: Determinar, en cada caso, el cuadrante en que se encuentra el ángulo a) sen < 0 cos > 0 c) sen < 0 cos < 0 b) sen > 0 cos < 0 d) sen > 0 cos > 0 Ejercicio 9: a) Sea un ángulo del cuarto cuadrante tal que cos = 4/5. Hallar sen tan b) Sea un ángulo del segundo cuadrante tal que sen = 3/4. Hallar cos tan c) Sea un ángulo del tercer cuadrante tal que cos = 4/5. Hallar sen tan Ejercicio 0: Calcular sen cos en los siguientes casos:
Matemática Unidad 4-3 a) tan = está en el segundo cuadrante b) tan = 4 está en el tercer cuadrante c) tan = está en el cuarto cuadrante Ejercicio : Determinar sabiendo que: a) sen = 0,69465 está en el segundo cuadrante b) tan =,484 está en el segundo cuadrante c) cos = 0,65606 está en el tercer cuadrante d) tan = está en el cuarto cuadrante e) sen = /3 está en el tercer cuadrante f) cos = 0,65987 está en el cuarto cuadrante Ejercicio : En los siguientes triángulos rectángulos, calcular: seno, coseno tangente de. a) 0 cm cm 3 6 cm b) cm 8 cm,5cm Ejercicio 3: a) Encontrar los ángulos de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 0cm 35 cm. b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0cm uno de los catetos 5cm. Hallar los ángulos. Ejercicio 4: En la siguiente figura v 40 m/ s = 30 º. Calcular v v v v v
Matemática Unidad 4-4 Ejercicio 5: En la siguiente figura a a 0 m/ s = 40 º. Calcular a a a a Ejercicio 6: En la siguiente figura F 50 N = 35 º. Calcular F F F F F Ejercicio 7: En la siguiente figura 0 N = 335 º. Calcular Ejercicio 8: Utilizando los elementos del siguiente triángulo, calcular lo que se pide en cada ítem: a) a = 7 cm ; b = 9 cm ; = 60 ; c =? b) c =, cm ; a =,7 cm ; = 0 ; b =? c) a = 8 cm ; b = 57 cm ; c = 6 cm ; =? b a d) c = 6 cm ; = 5 ; = 35 ; b =? c
Matemática Unidad 4-5 Ejercicio 9: Plantear resolver las siguientes situaciones problemáticas. a) Desde un avión que vuela a 500m de altura se divisa una boa. La visual dirigida desde el avión a la boa forma con la vertical un ángulo de 45º. Determinar a qué distancia de la boa se encuentra el avión. b) Se apoa una escalera en la pared a una distancia de metros formando esta un ángulo de 60º con el piso, Cuál es la longitud de la escalera? c) Calcular la altura de una antena, sabiendo que su sombra mide 0 m cuando los raos del sol forman un ángulo de 75º con el suelo. d) Qué altura debe tener un poste que sostendrá una antena si unos de los cables que la sujeta tiene de longitud 9 m. forma un ángulo de 65º con el piso? d) Un árbol se quebró su etremo superior forma con el piso un ángulo de 48º, si éste quedó a una distancia de 7m. de la base del árbol Cuánto mide el árbol?