Capítulo 5 Nos dedicaremos ahora a desarrollar métodos específicos para encontrar la solución general de la ecuación lineal de segundo orden: y + p(x)y + q(x)y = g(x) (5.1) Sabemos que la solución general tiene la forma y(x) =c 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+y p (x), c 1,c 2 son dos constantes arbitrarias que deben determinarse con las condiciones auxiliares, típicamente condiciones iniciales de la forma y(x 0 )=y 0,y (x 0 )=y 0. Ya sabemos que si conocemos y 1,y 2 podemos usar el método de variación de los parámetros para encontrar la solución particular y p. De manera que nos centraremos en la manera de encontrar dos soluciones linelamente independientes y 1,y 2 de la ecuación diferencial homogénea y + p(x)y + q(x)y =0. Una de las técnicas más útiles es la de desarrollo en serie de potencias y comenzaremos por repasar las propiedades principales de dicchas series. 5.1. Series de potencias Una serie de potencias es una expresión del tipo: a n (x x 0 ) n (5.2) dados x 0 y la sucesión de números a 0,a 1,a 2,.... Recordemos algunos resultados de estas series 1 : 1) La serie converge en el punto x si converge la sucesión 2 de sumas parciales b m = m a n(x x 0 ) n, es decir si existe lím m b m. Cuando una serie no converge en un punto se dice que diverge en ese punto. 2) Una serie converge absolutamente en el punto x si a n (x x 0 ) n converge en ese punto. 3) Cómo se sabe si una serie converge o no en un punto x? El criterio del cociente puede ayudar. Definamos l(x) como l(x) = lím a n (x x 0 ) n n a n 1 (x x 0 ) n 1 = x x 0 lím a n n, a n 1 1 Todos los enunciados siguientes son válidos también para números complejos. 2 Una sucesión b m converge si ɛ > 0, M such that b m < ɛ, m > M
36 entonces, si l(x) > 1, la serie no converge; si l(x) < 1, la serie converge absolutamente; si l(x) = 1, el criterio no decide. 4) Si la serie a n(x x 0 ) n converge en x = x 1 entonces converge absolutamente x tal que x x 0 < x 1 x 0 ; si diverge para x = x 1 entonces diverge x tal que x x 0 > x 1 x 0. a 5) Definimos el radio de convergencia ρ = lím n 1. n a n Es tal que si x x0 <ρ la serie (5.2) converge absolutamente en x; si x x 0 >ρ la serie diverge en x. Si ρ> 0, la serie (5.2) converge a una función f(x) = a n (x x 0 ) n (5.3) válida en el intervalo de convergencia x (x 0 ρ, x 0 + ρ). 6a) Si la serie a n(x x 0 ) n converge a f(x) con radio de convergencia ρ 1 y la serie b n(x x 0 ) n converge a g(x) con radio de convergencia ρ 2, entonces la serie (a n + b n )(x x 0 ) n converge a f(x) +g(x) con un radio de convergencia ρ mín(ρ 1,ρ 2 ). 6b) En las condiciones anteriores, f(x)g(x) viene definido por la serie c n(x x 0 ) n 5.1.1. con c n = n m=0 a mb n m. El radio de convergencia de esta última serie es ρ mín(ρ 1,ρ 2 ). 7) Si ρ> 0, la función definida por (5.3) es continua y tiene derivadas de cualquier orden también continuas válidas dentro del intervalo de convergencia x x 0 <ρ, o x (x 0 ρ, x 0 + ρ) para números reales. Las derivadas se calculan como: 5.1.2. f (x) = f (x) = f (k) (x) = na n (x x 0 ) n 1 = (n + 1)a n+1 (x x 0 ) n, (5.4) n(n 1)a n (x x 0 ) n 2 = (n + 2)(n + 1)a n+2 (x x 0 ) n, (5.5) (n + k)! a n+k (x x 0 ) n. (5.6) n! Los coeficientes de la serie son:
5.1 Series de potencias 37 5.1.3. a n = f (n) (x 0 ) n! 8) Si a n(x x 0 ) n = b n(x x 0 ) n, entonces a n = b n, n 0. En particular si a n(x x 0 ) n =0, entonces a n =0, n 0. 9) Una función f(x) que tiene un desarrollo en serie (serie de Taylor): f(x) = a n (x x 0 ) n válido para x x 0 <ρ, ox (x 0 ρ, x 0 + ρ) para números reales con ρ> 0 (esta condición es esencial), se llama una función anaĺıtica en el punto x = x 0. Una función que no es anaĺıtica no es una función rara. Por ejemplo, la función f(x) = x no es anaĺıtica en x =0porque no tiene derivadas de ningún orden en el punto x =0. Tampoco lo es f(x) = x aunque es continua en x =0. Otro caso clásico es el de la función { e 1/x2, si x 0, f(x) = 0, si x =0. que es continua y tiene todas las derivadas continuas en x =0, pero al ser f (n) (x = 0) = 0, n 0, la serie resultante es f (n) (0) x n =0que sólo converge a la función n! f(x) en x =0y tiene, por tanto, radio de convergencia nulo. Visualmente, ninguna de las funciones anteriores tiene ningún aspecto raro. 10) Un punto donde una función f(x) no es anaĺıtica, se llama un punto singular o singularidad de f(x). 11) Los polinomios son funciones anaĺıticas para todo x.
38 Se trata de encontrar dos soluciones linealmente independientes, y 1 (x),y 2 (x), de la ecuación lineal de segundo orden homogénea: o escrita en la forma R(x)y + P (x)y + Q(x)y =0 y + p(x)y + q(x)y =0 (5.7) con p(x) =P (x)/r(x), q(x) =Q(x)/R(x). Recordemos que el teorema de existencia y unicidad de la solución nos dice que si p(x) y q(x) son funciones continuas en un intervalo (α, β) entonces existe una solución única y(x) válida en todo ese intervalo y satisfaciendo condiciones inciales y(x 0 )=y 0,y (x 0 )=y 0 con x 0 (α, β). Esta solución se encuentra escribiendo la solución general y(x) =c 1 y 1 (x) +c 2 y 2 (x) y eligiendo las constantes c 1,c 2 de manera que se satisfagan las condiciones iniciales anteriores. El método de solución para encontrar y 1 (x),y 2 (x) consiste en buscar soluciones en forma de serie de potencias y(x) = a n(x x 0 ) n. Para que este desarrollo en serie pueda conducir a encontrar y 1 (x),y 2 (x) es necesario imponer la condición de que p(x) y q(x) sean anaĺıticas en x 0, es decir que se pueda escribir p(x) = p n(x x 0 ) n, radio de convergencia ρ 1 > 0, q(x) = q n(x x 0 ) n, radio de convergencia ρ 2 > 0. Si se da esta condición se dice que x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial. Un punto que no es ordinario se llama un punto singular. Lo usual es que el punto x 0 coincida con el punto donde se fija la condición inicial, pero esto no es necesario y podemos buscar las soluciones y 1 (x),y 2 (x) sin hacer, de momento, ninguna referencia a la condición inicial. 5.1.4. La ecuación de Bessel x 2 y + xy +(x 2 ν 2 )=0tiene un punto de singularidad en x =0, todos los demás son puntos ordinarios. La ecuación de Legendre (1 x 2 )y 2xy + α(α + 1)y =0tiene como puntos singulares x = 1, +1. Teorema.- Si x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5.7), entonces es posible encontrar dos soluciones y 1 (x), y 2 (x) de la forma y(x) = a n(x x 0 ) n con un radio de convergencia ρ mín(ρ 1,ρ 2 ). El teorema tiene dos partes: (1) demostrar que es posible encontrar dos conjuntos de coeficientes a n de manera que en cada caso y(x) = a n(x x 0 ) n sea efectivamente una solución de la ecuación diferencial y (2) demostrar que el radio de convergencia de esta serie satisface ρ mín(ρ 1,ρ 2 ). Demostraremos aquí sólo la primera parte de este teorema. La demostración es constructiva, es decir, vamos a encontrar expresiones expĺıcitas para los coeficientes a n. Lo mejor es empezar con un ejemplo. Sea la ecuación y + y =0. Tomamos x 0 =0(es lo más sencillo) y nos preguntamos si es posible encontrar una solución de la forma y(x) = a nx n.
5.1 Series de potencias 39 5.1.5. Sustitución en la ecuación diferencial lleva a: [(n + 2)(n + 1)a n+2 + a n ] x n =0 De donde deducimos que (n + 2)(n + 1)a n+2 + a n =0,n =0, 1, 2,.... De aquí se deduce la relación de recurrencia: a n+2 = a n, n =0, 1, 2,... (n + 2)(n + 1) 5.1.6. De donde se obtiene a 2k = ( 1)k (2k)! 0, k =0, 1, 2, 3,... a 2k+1 = ( 1)k (2k+1)! 1, k =0, 1, 2, 3,... O sea, que a 0 y a 1 no se determinan por el método, pero dados a 0 y a 1 se conocen todos los coeficientes a n,n 2. Veremos que esto está relacionado con las constantes de integración de la solución general. 5.1.7. Reordenando los términos de la serie, podemos escribir: y(x) = a n x n = a 0 ( 1) k (2k)! x2k + a 1 ( 1) k (2k + 1)! x2k+1 Lo bueno es que ya hemos acabado. Ésta fórmula da la solución. Para entenderla un poco más, definamos las siguientes funciones que llamaremos seno y coseno cos(x) = ( 1) k sin(x) = (2k)! x2k, ( 1) k (2k+1)! x2k+1. De manera que la solución se escribe y(x) =a 0 cos(x)+a 1 sin(x), siendo a 0 y a 1 constantes arbitrarias. 5.1.8. Esta solución se obtiene fácilmente si vemos que y + y =0es una ecuación diferencial de coeficientes constantes probando y(x) =e rx. Pero son estas funciones las que hemos llamado seno y coseno toda la vida?
40 5.1.9. Las dos series que definen a sin(x) y cos(x) tienen radio de convergencia infinito. Esta definición de las funciones sin x y cos x es consistente con todas las propiedades conocidas de dichas funciones definidas de otra manera. 5.1.10. Derivando las series, se puede ver que: d cos(x) dx d sin(x) dx = sin x, = cos x. También se puede ver que cos(0) = 1, sin(0) = 0. Quizá la propiedad más típica sea cos(x) 2 + sin(x) 2 =1. 5.1.11. Lo podemos demostrar si verificamos que f(x) = cos(x) 2 + sin(x) 2 satisface df (x) dx =0, por lo que f(x) es constante igual a f(0) = 1. 5.1.12. También podemos demostrar que sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x).