UPV 0789P03 Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica

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1 ISBN Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica Luis Manuel Sánchez Ruiz Sergio Blanes Zamora Esta publicación muestra cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias por desarrollos en series de potencias y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, principalmente relacionadas con problemas clásicos como son la ecuación de ondas y la del calor o difusión. Está enfocada a alumnos que ya hayan adquirido las competencias referentes a temas básicos de cálculo o análisis matemático como son el desarrollo de funciones en series de potencias, de funciones periódicas en series de Fourier, la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y las transformadas de Laplace. De cada tema tratado se dedica otro para su realización con el programa Mathematica que facilita su resolución y visualización de problemas matemáticos que aparecen en cursos intermedios de ingeniería. Los temas son expuestos de forma eminentemente práctica y hacen que, de modo natural, el lector asimile los métodos empleados y las posibilidades del programa. EDITORIAL Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica UPV 0789P03 Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica Luis Manuel Sánchez Ruiz Sergio Blanes Zamora EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA Luis Manuel Sánchez Ruiz Es Catedrático de Universidad de Matemática Aplicada y comenzó a dar clases en la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) en Desde entonces ha impartido docencia en prácticamente todas las titulaciones de la actual Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño (ETSID) -Ingeniería Electrónica, del Diseño, y desde 2005 en las de Ingeniería Aeronáutica e Ingeniería Aeroespacial incluyendo los contenidos teórico/prácticos y Prácticas de Laboratorio con software matemático (DERIVE, DPGRAPH y MATHEMATICA). Imparte clase en grupos de Alto Rendimiento Académico desde su implantación en Ingeniería Aeroespacial y ha sido Profesor Visitante en la Universidad de Florida, Gainesville, FL, USA repetidamente durante , además de haber impartido clases en programas de movilidad en numerosas universidades extranjeras. Ha publicado más de 150 trabajos en revistas y actas de congresos así como varios textos sobre Matemáticas en Ingeniería. Su interés investigador abarca el Análisis Funcional en su vertiente teórica y aplicada, y la Formación de Ingenieros. Ha sido Coordinador Académico de la Mediterranean University of Science and Technology, Director de Programas en la UPV con EEUU/Canadá y Asia/ Pacífico y Subdirector de Relaciones Internacionales en la ETSID. Editor de Scientae Matematicae Japonicae, miembro de varios Comités de programa de conferencias internacionales WSEAS e ICEE y actualmente miembro del Comité Administrativo de SEFI. Sergio Blanes Zamora Es Profesor Titular de Universidad de Matemática Aplicada y comenzó a dar clases en la Universidad Politécnica de Valencia (UPV) en Desde entonces ha impartido docencia en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería del Diseño (ETSID) mayoritariamente en Ingeniería Aeronáutica e Ingeniería Aeroespacial incluyendo los contenidos teórico/prácticos y Prácticas de Laboratorio con software matemático (MATHEMATICA y MATLAB). Ha realizado estancias por un total de cuatro años en las universidades de Cambridge (Reino Unido), Bath (Reino Unido), Maryland (USA) y Ginebra (Suiza). Ha sido investigador Ramón y Cajal durante Ha publicado más de 40 artículos de investigación en revistas internacionales y ha impartido charlas en más de 25 conferencias internacionales. Su interés investigador abarca el estudio y desarrollo de métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales que preserven las propiedades más relevantes de las soluciones exactas, con aplicaciones que abarcan desde la Mecánica Cuántica hasta la Mecánica Celeste, pasando por numerosos problemas de ingeniería

2 Luis Manuel Sánchez Ruiz Sergio Blanes Zamora Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA

3 Los contenidos de esta publicación han sido revisados por el Departamento de Matemática Aplicada de la Universitat Politécnica de València Colección Académica Para referenciar esta publicación utilice la siguiente cita: SÁNCHEZ RUIZ, L. M. y BLANES ZAMORA, S. (2012).Complementos de ecuaciones diferenciales: resolución analítica, EDPs y Mathematica. Valencia: Universitat Politècnica de València Luis Manuel Sánchez Ruiz Sergio Blanes Zamora 2012, de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf.: / / Ref.: 0789_03_01_12 Imprime: Byprint Percom, sl ISBN: Impreso bajo demanda Queda prohibida la reproducción, distribución, comercialización, transformación y, en general, cualquier otra forma de explotación, por cualquier procedimiento, de la totalidad o de cualquier parte de esta obra sin autorización expresa y por escrito de los autores. Impreso en España

4 Índice general 1. Resolución analítica de EDOs Ecuación lineal de segundo orden Resolución en series de potencias Resultados generales Series de potencias alrededor del origen Series de potencias alrededor de x Resolución alrededor de un punto singular Aplicaciones: Funciones especiales Ecuación de Legendre Ecuación de Hermite Ecuación de Laguerre Ecuación de Bessel Ejercicios propuestos Primeras EDPs Introducción EDP cuasilineal de primer orden EDP lineal reducible Caso general Caso homogéneo Caso no homogéneo Problema de la cuerda ilimitada i

5 ii 2.5. Transformadas de Laplace Ejercicios propuestos EDPs de segundo orden sin función fuente Introducción y clasificación Ecuación de ondas 1D con extremos fijos Ecuación del calor con condiciones de frontera nulas Fronteras aisladas Ecuación de Laplace en un rectángulo Caso 2D con simetría circular Ecuación de ondas Ecuación del calor Ejercicios propuestos EDPs de segundo orden con función fuente Introducción Ecuación de ondas 1D: Vibración forzada de una cuerda finita Extremos fijos y condiciones iniciales nulas Extremos fijos y condiciones iniciales no nulas Extremos móviles Ecuación del calor con fuente y condiciones de contorno variables Fuente de calor y condiciones de contorno no homogéneas Otras situaciones Ecuación de Poisson en un rectángulo Ejercicios propuestos Mathematica: Resolución analítica de EDOs Resolución en series de potencias Punto ordinario Punto singular regular

6 iii 5.2. Aplicaciones: Funciones Especiales Ecuación de Legendre Ecuación de Hermite Ecuación de Laguerre Ecuación de Bessel Ejercicios propuestos Mathematica: Primeras EDPs Método genérico EDP lineal de primer orden EDP lineal reducible Problema de la cuerda ilimitada Problema de la cuerda semiinfinita Ejercicios propuestos Mathematica: EDPs de segundo orden sin fuente Ecuación de ondas 1D con extremos fijos Solución analítica de la ecuación Algoritmo de cálculo con Mathematica Ecuación del calor con condiciones de frontera nulas Solución analítica de la ecuación Algoritmo de cálculo con Mathematica Fronteras aisladas Ecuación de Laplace en un rectángulo Solución analítica de la ecuación Algoritmo de cálculo con Mathematica Caso 2D con simetría circular Solución analítica de la ecuación Algoritmo de cálculo con Mathematica Ejercicios propuestos

7 iv 8. Mathematica: EDPs de segundo orden con fuente Vibración forzada de una cuerda finita con extremos móviles Solución analítica de la ecuación Algoritmo de cálculo con Mathematica Varilla finita con condiciones de contorno variables Solución analítica de la ecuación Algoritmo de cálculo con Mathematica Ecuación de Poisson en un rectángulo Intercambio de calor en la frontera Ejercicios propuestos

8 v Prólogo Esta publicación muestra como resolver ecuaciones diferenciales ordinarias por desarrollos en series de potencias y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, principalmente relacionadas con problemas clásicos como son la ecuación de ondas y la del calor o difusión. Está enfocada a alumnos que ya hayan adquirido las competencias referentes a temas básicos de cálculo o análisis matemático como son el desarrollo de funciones en series de potencias, de funciones periódicas en series de Fourier, la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y las transformadas de Laplace. De cada tema tratado se dedica otro para su realización con el programa Mathematica que facilita su resolución y visualización de problemas matemáticos que aparecen en cursos intermedios de ingeniería. Los temas son expuestos de forma eminentemente práctica que hacen que, de modo natural, el lector asimile los métodos empleados y las posibilidades del programa. Las ecuaciones diferenciales modelan casi todos los procesos que aparecen en la técnica en los cuales hay una relación de cambio entre las variables involucradas. Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) estudian el caso en que solo haya una variable independiente y las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) cuando haya varias. A diferencia de las EDOs, donde es posible clasificar y resolver un gran número de ecuaciones, en general cada EDP requiere sus propias técnicas. Además, necesitaremos poseer un amplio bagaje de conocimientos matemáticos sobre series de Fourier, transformadas de Laplace y, especialmente, EDOs pues a menudo las técnicas de resolución de EDPs consisten en descomponer éstas en un conjunto de EDOs a resolver. Esto se pondrá claramente de manifiesto al resolver ciertas EDPs por separación de variables. Por otra parte al trabajar en EDPs en varias dimensiones espaciales en las que hay ciertas simetrías (cilíndrica, esférica, etc.) frecuentemente aparecen EDOs lineales con coeficientes variables que no pueden ser resueltas por técnicas tradicionales. Las soluciones de estas ecuaciones dan lugar a funciones especiales como las funciones de Bessel, o los polinomios de Laguerre, de Legendre, de Hermite, etc. que aparecen también en muchos otros campos de la ingeniería. Abordaremos estos problemas utilizando series de potencias y, como dicho método no siempre es estudiado de forma sistemática junto con la teoría de EDOs, dedicamos un primer capítulo a su resolución sin plantearnos desarrollar un tratado completo sobre resolución de ecuaciones diferenciales por series de potencias.

9 vi Con esta publicación pretendemos satisfacer las necesidades básicas que puedan tener los alumnos de ingeniería en la obtención de soluciones analíticas (en series de potencias) de EDOs, poder abordar las EDPs mas habituales y, asimismo, utilizar un programa matemático como es Mathematica en todos estos temas. A lo largo de todo el texto hay una amplia exposición de ejemplos que facilitan la comprensión de los diferentes temas presentados, finalizando cada capítulo con una selección de ejercicios cuya resolución se recomienda para verificar que se ha entendido la materia desarrollada. Los autores

10 Capítulo 1 Resolución analítica de EDOs 1.1. Ecuación lineal de segundo orden En este capítulo consideraremos la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) que sean de segundo orden y lineales con coeficientes variables p(x)y + q(x)y + r(x)y = f(x). (1.1) Este tipo de ecuaciones aparece en gran variedad de problemas de la ingeniería, existiendo funciones específicas como los polinomios de Legendre, de Hermite, de Laguerre o las diferentes familias de funciones de Bessel, por citar unos pocas, que son soluciones de ecuaciones diferenciales de la forma (1.1) en el caso homogéneo, es decir con f(x) = 0, dependiendo de la elección de las funciones p(x),q(x) yr(x). Ejemplo 1.1 Considera la siguiente ecuación en derivadas parciales u t = 2 u x + 1 u 2 x x con u(x, t) la función dependiente de las variables independientes x y t. Esta ecuación modeliza, por ejemplo, la distribución de temperaturas en un disco o cilindro con simetría circular en función del tiempo, t, y la distancia al centro o eje, x. Suponiendo que la solución se puede factorizar en la forma u(x, t) =e t y(x), hallar la ED que debe satisfacer y(x). Sol.: Calculamos u t = e t y, u x = e t y, 1 2 u x 2 = e t y.

11 Resolución analítica de EDOs 2 Sustituyendo en la EDP y simplificando tenemos que y(x) debería de ser solución de la siguiente EDO y + 1 x y + y =0. Vemos que se trata de una EDO lineal de segundo orden con coeficientes variables de la forma (1.1). Recordemos que por el método de reducción del orden de una EDO lineal, si sabemos resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, entonces para hallar la solución general de la EDO de segundo orden (1.1), basta con buscar una solución particular de la ecuación homogénea asociada a (1.1). Recordemos por qué. Si y 0 (x) es una solución de la homogénea asociada, entonces el cambio y(x) =z(x)y 0 (x) (1.2) transforma (1.1) en la siguiente EDO con función incógnita z(x), ( z y 0 (x)+ 2 y 0(x)+ q(x) ) p(x) y 0(x) z = f(x) p(x), que podemos escribir como donde u(x) =z (x) u + P (x)u = Q(x) cuya solución viene dada por la expresión ( u(x, C 1 )=e P (x) dx C 1 + P (x) =2 y 0(x) y 0 (x) + q(x) p(x), Q(x) = 1 f(x) y 0 (x) p(x), ) e P (x) dx Q(x) dx, luego la solución de (1.1) es ( y = u(x, C 1 )dx + C 2 ) y 0 (x). Ejercicio 1.1 Comprobar que y 0 (x) = sen x es una solución de la ecuación x 2 diferencial x 2 y +4xy +(x 2 +2)y =0, y hallar la solución general de la misma.

12 Resolución analítica de EDOs 3 Sol.: Siguiendo el proceso descrito es fácil obtener que P (x) =2 cos(x), Q(x) =0 sen(x) luego u(x, C 1 )=C 1 1 sen 2 (x) yportanto ( y = ) 1 sen x C 1 sen 2 (x) dx + C 2 x 2 = C 1 cos x x 2 + C 2 sen x x 2. Por tanto, nuestro problema puede quedar reducido a la búsqueda de una solución particular de la ecuación homogénea o equivalentemente p(x)y + q(x)y + r(x)y =0 (1.3) y + q(x) p(x) y + r(x) p(x) y =0. Diremos que x = x 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial si q(x) p(x) y r(x) p(x) son funciones analíticas en x = x 0, es decir si pueden expresarse mediante series de Taylor centradas en x 0. En caso contrario diremos que x 0 es un punto singular. Un punto singular x 0 se denomina punto singular regular si (x x 0 ) q(x) p(x) y (x x 0 ) 2 r(x) p(x) son analíticas en x = x 0. Un punto singular no regular se denomina irregular. Nota 1.1 A veces interesa conocer el comportamiento de la solución en el punto del infinito. Para estudiar este límite haremos el cambio x =1/t y estudiaremos como es el punto t =0en la ecuación transformada.

13 Resolución analítica de EDOs Resolución en series de potencias Resultados generales La búsqueda de soluciones de una EDO por su desarrollo en serie de potencias puede emplearse bajo las condiciones del Teorema de Fuchs que enunciaremos luego. Así, cuando busquemos una solución en serie de potencias alrededor de un punto ordinario, x = x 0,delaforma y = a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) (1.4) determinaremos la expresión de los coeficientes a n sustituyendo y en la ecuación diferencial. Para esto necesitamos calcular las dos primeras derivadas y = na n (x x 0 ) n 1 = a 1 +2a 2 (x x 0 )+3a 3 (x x 0 ) y = n=1 n(n 1) a n (x x 0 ) n 2 =2a 2 +6a 3 (x x 0 )+12a 4 (x x 0 ) n=2 sustituir en la EDO y, según sean las expresiones de las funciones p(x), q(x), r(x), encontrar una ecuación de recurrencia para los coeficientes a n, donde todos se pueden escribir en términos de a 0 y a 1,enlaforma a n = c n a 0 + d n a 1 con c n,d n expresiones que dependen solo de n, por lo que la solución de la EDO se puede escribir en la forma ( ) ( ) y = a 0 c n (x x 0 ) n + a 1 d n (x x 0 ) n. (1.5) Con esto podemos escribir la solución en la siguiente forma y = a 0 y 1 (x)+a 1 y 2 (x) (1.6) donde y 1 (x),y 2 (x) serán dos soluciones particulares (en general independientes) de la ecuación diferencial homogénea mientras que a 0 y a 1 se pueden ver como las constantes arbitrarias, y estarán determinadas si existen condiciones iniciales y(x 0 )=a 0,y (x 0 )=a 1. La solución (1.4) obtenida analíticamente tendrá un radio de convergencia, R (que puede ser infinito), en el que una cota inferior al mismo se obtiene a partir del siguiente teorema.

14 Resolución analítica de EDOs 5 Teorema 1.1 (Teorema de Fuchs) Sea la ecuación diferencial (1.3) con x = x 0 un punto ordinario. Si R es la distancia desde x 0 al punto singular (real o complejo) más cercano de q(x)/p(x) o r(x)/p(x), entonces la solución de (1.3) admite un desarrollo de Taylor alrededor del punto x = x 0 que converge dentro del intervalo ]x 0 R, x 0 + R[. Por Teoría de Series Potenciales, la serie de potencias mencionada en el Teorema de Fuchs converge absolutamente en ]x 0 R, x 0 + R[ porloquees incondicionalmente convergente y puede ser reordenada en dicho intervalo Series de potencias alrededor del origen Empezaremos buscando soluciones en series de potencias alrededor del origen (x 0 = 0) y luego adaptaremos el procedimiento a series de potencias alrededor de otro punto. Lo ilustraremos básicamente a través de ejemplos. Ejemplo 1.2 Obtener la solución en serie de potencias alrededor del origen de la ecuación diferencial y +4y =0. Sol.: En este ejemplo de coeficientes constantes conocemos que la solución viene dada por y = C 1 cos(2x)+c 2 sen(2x) (1.7) o equivalentemente, teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor alrededor del origen de las funciones seno y coseno, y = C 1 ( 1) n 2 2n (2n)! x 2n + C 2 ( 1) n 2 2n+1 (2n +1)! x 2n+1. (1.8) Si ignorando lo anterior buscamos la solución a la ecuación diferencial original como la serie y = a n x n, (1.9) que por el Teorema 1.1 es convergente para todo x, calculamos y = na n x n 1, y = n(n 1) a n x n 2 n=1 n=2

15 Resolución analítica de EDOs 6 y sustituimos en la ED n(n 1) a n x n 2 +4 a n x n =0. n=2 Con el objetivo de que todas las series estén escritas en potencias de x n, tendremos en cuenta que M A n = n=m M+k n=m+k A n k = M k n=m k A n+k y desplazaremos dos unidades el sumatorio de la primera serie, quedando (n +2)(n +1)a n+2 x n +4 a n x n =0. Ahora ambas series empiezan en n = 0. Esto normalmente no ocurrirá. En el siguiente ejemplo indicaremos como proceder cuando esto no ocurra. Ahora podemos agrupar ambas series en una sola [ ] (n +2)(n +1)an+2 +4a n x n =0. Teniendo en cuenta que una serie de potencias es idénticamente nula si y solo si cada uno de los coeficientes vale 0, esto es A n x n =0 x A n =0, se tiene que los coeficientes a n deben satisfacer la relación (n +2)(n +1)a n+2 +4a n =0 que es llamada la ecuación de recurrencia para los coeficientes de la serie. Si despejamos a n+2, 4 a n+2 = (n +2)(n +1) a n, n =0, 1, 2,...

16 Resolución analítica de EDOs 7 Dando valores a n obtenemos n =0 a 2 = 22 a n =1 a 3 = 22 a n =2 a 4 = 22 a = 4 a n =3 a 5 = 22 a = 4 a n =4 a 6 = 22 a = 6 a n =5 a 7 = 22 a = 6 a Podemos deducir la expresión general para los términos pares e impares a 2n = ( 1)n 2 2n (2n)! a 0, a 2n+1 = 1 ( 1) n 2 2n+1 a 1 (1.10) 2 (2n +1)! y sustituyendo obtenemos que (1.9) se puede escribir como es decir y = y = a 0 a n x n = a 2n x 2n + a 2n+1 x 2n+1 ( 1) n (2n)! (2x)2n + a 1 2 ( 1) n (2n +1)! (2x)2n+1 que se corresponde con la solución buscada (1.8) donde identificamos C 1 = a 0, C 2 = a 1 /2. En los casos en que la función f(x) en la ecuación (1.1) se puede desarrollar fácilmente en serie de potencias puede ser más expeditivo buscar una solución general evitando buscar una particular de la homogénea para despues obtener la solución de la general por el método de reducción. Ejemplo 1.3 Obtener la solución en serie de potencias alrededor del origen hasta x 5 de la ecuación diferencial y +4y = sen(x).

17 Resolución analítica de EDOs 8 Sol.: En este caso tenemos que sen(x) = y sutituyendo llegamos a la ecuación ( 1) n (2n +1)! (x)2n+1, [ ] (n +2)(n +1)an+2 +4a n x n = k=0 ( 1) k (2k +1)! (x)2k+1. Igualando coeficientes con la misma potencia en x obtenemos n =0 a 2 = 22 a n =1 a 3 = 22 a n =2 a 4 = 22 a = 4 a n =3 a 5 = 22 a = 2 4 a luego la solución viene dada por y = a 0 ( 1 2x x4 ) + a 1 ( x 2 3 x x5 ) x x5 + O[x 6 ], donde O[x 6 ] indica que se han suprimido los términos con potencias de orden mayor o igual que 6. Vemos que se trata de una ecuación lineal con coeficientes constantes por lo que la solución de la homogénea se obtiene inmediatamente y una solución particular se obtiene de manera inmediata por coeficientes indeterminados obteniendo como solución general: y = C 1 cos(2x)+c 2 sen(2x)+ 1 sen(x). Si 3 tomamos a 0 = C 1 y a 1 =2C y desarrollamos en serie de potencias las 3 funciones seno y coseno podemos comprobar que ambas coinciden. Ejemplo 1.4 Hallar la solución en serie de potencias de x de la ecuación diferencial (de Airy) y xy =0. Sol.: En este caso p(x) = 1 y por el Teorema 1.1 se tiene que el desarrollo en serie de su solución y = a n x n

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