PROCESO POISSON Poisson Exponencial Gamma Bea Auor Dr. Hernán Rey Ulima acualización: Mayo 2
DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL A LA POISSON En deerminadas circunsancias, nos enfrenamos a problemas donde la canidad de experiencias Bernoulli, n, es muy grande, la probabilidad de éxio, p, es pequeña y su produco np=m es moderado. Si X es una VA con disribución Bi(n,p), el objeivo es enconrar la disribución límie (n iende a infinio, p iende a, pero m=np es moderado) k n m m lim p X k lim n n k n n k n k m n! m m lim k! n n k! n n n k n n nk 2 k lim lim n k n n n n n k k,,2, lim n m m p k e X k! Poisson (m) n k n n e m En la prácica se usa esa aproximación cuando n > y m=np
La Poisson saisface MAS SOBRE POISSON m p k e p k p k X X X k Esa recursión permie evaluar rápidamene la Poisson incluso con la calculadora más sencilla. Además nos permie predecir la forma que endrá la curva de la función de probabilidad. m.5.45.4.35.3 Poisson(m=.75) Poisson(m=2) Poisson(m=3.2) Poisson(m=5.3) Si m, la función será decreciene y su moda esará en k= (si m=, ambién iene moda en k=). PDF.25.2.5..5 2 3 4 5 6 7 8 9 x Si m>, la función crecerá hasa que k exceda a m y luego decrecerá monoónicamene (si m es enero, endrá moda en k=m y k=m-).
MAS SOBRE POISSON Sea X una VA con disribución Poisson, enonces m k m k m m m m E X k e m e m e e m k! k! k k k k2 2 m m 2 m m 2 E X E X E X X k k e m e m k! k 2! TEOREMAS k k2 2 2 2 X m m m m ) Adiividad. Si X es una VA Poisson(m x ) e Y es una VA Poisson(m y ) y son independienes, luego, X+Y es una VA Poisson(m x +m y ). Se prueba fácil resolviendo la suma de convolución (versión discrea de la inegral de convolución visa al raar la suma de variables aleaorias independienes) de las funciones de probabilidad. Puede luego exenderse a la suma de N por inducción.
2) Compeencia. Sean X i VAs independienes Poisson(m i ), X=X + +X n, y m=m + +m n. Luego, para cada k vale: X,X 2,,X n X=k sigue una disribución mulinomial(k,m /m, m 2 /m,, m n /m) Se prueba fácil desarrollando la probabilidad condicional por definición y eniendo en cuena que X será Poisson de parámero m. En paricular, para cada j de a n se cumple que la disribución marginal de X j X=k será Bino(k,m j /m), y enonces, P(X j = X=) =m j /m 3) Adelgazamieno. Sea N una VA Poisson(m) y X una VA al que al condicionarla a N=n, su disribución es Bino(n,p). Luego, X y N-X son VAs independienes con disribución Poisson(mp) y Poisson(m(-p)), respecivamene. Se prueba fácil planeando la función de probabilidad conjuna de X y N-X. Al hacerlo noar que si dicha conjuna se evalúa en X=a y N-X=b, es necesario que N=a+b para que el resulado no sea nulo. Noar que enonces la disribución de N X=x será Poisson(m(-p)) pero desplazada x unidades hacia la derecha.
DISTRIBUCION EXPONENCIAL Esa disribución la hemos esudiado anes cuando vimos fiabilidad. Si T iene disribución exponencial de parámero, enonces vale: P T e l, l F e l T f T e l Exp() E T 2 2 e d T e d 2 2 Del mismo modo que vimos a la disribución Poisson como el límie de la Binomial, podemos obener la disribución Exp() como el límie de una Geo(p= ) cuando iende a. Análogamene a la geomérica en el caso discreo, la exponencial es la única disribución coninua que iene la propiedad de fala de memoria: PT l e P T l e P T l T l e P T l
2.8.6 EN(=.) EN(=.5) EN(=) EN(=2).4.2 PDF.8.6.4.2.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x
DISTRIBUCION GAMMA Teorema: Sea {T i } una secuencia de VAs Exp() iid. Si T r es la suma de r de esas VAs, su disribución es Gamma de parámeros r y r r f T e l r r! Gamma(r,) Si hago la ransformación S=*T r, S iene una r disribución Gamma(r,=). A ésa se la conoce como Gamma esándar (sólo requiere el parámero r) y hay ablas para su función de disribución. T Como r i con T i Exp() iid r T i E T r r 2 T r r 2
En realidad, la disribución Gamma puede generalizarse para que el parámero r sea real posiivo, en cuyo caso. donde la función gamma se define como: D D x x f X x e x l. D Considerando que. ()=, y dada la recursión si Des enero mayor que, D u. D u e du que converge para odo D>. D D. D, D l. D D. D D D 2. D 2 D D 2. D!, D,2,
.5 Gama(r=2,=.5) Gama(r=2,=) Gama(r=2,=2) Gama(r=2,=4) PDF.5.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x
.5 Gama(r=,=.5) Gama(r=2,=.5) Gama(r=3,=.5) Gama(r=4,=.5) Gama(r=5,=.5) PDF.5.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x
EJERCICIO Cieras parículas se encuenran sujeas a choques, que generan que cada una se para en dos. Sea X i la fracción de la parícula (respeco de la anerior al choque) luego de la i-esima colisión. Se asume que las X i son i.i.d. con disribución común U(,). Hallar la densidad de Z n : la fracción luego de n colisiones (respeco de la original). Z n Zn n i X i Y i ln X i Xi e Y i dy dx i i x f y e y l Y Exp Y e dz i ds S n n n y y i n S n Yi S n Gamma r n, i e S n S n ln Z n n ln z f Z z n z n n n! i
EJERCICIO En un depósio hay dos ipos de componenes. El 8% son de ipo A y el 2% de ipo B. Cada ipo presena una duración con disribución Exp( i ), i=a,b. Los iempos son independienes enre sí. Se oman dos componenes al azar y se ponen en serie en una máquina, cuyo iempo de vida es T. a) Hallar la densidad de la duración de un componene cualquiera y con eso calcular P(T>). f.8 e.2 e l m A B T A B Enonces T es el mínimo enre dos iempos T m y T m2, que son i.i.d. 2 P T l F F T T m A.8e.2 e B 2 2 A 2 B.64 e.4 e.32 e A B
b) Sea W la canidad de componenes de ipo A usados en la máquina (W=, ó 2). Hallar P(T> W=w) para cada w y con eso hallar P(T>). Dado W=, enonces T es el mínimo enre dos iempos T B y T B2, que son i.i.d. P T l W e e B B 2 2 Dado W=, enonces T es el mínimo enre dos iempos T A y T B, que son indep. P T l W e e e A B AB Dado W=2, enonces T es el mínimo enre dos iempos T A y T A2, que son i.i.d. P T l W e e 2 A A 2 2 2 P T l P T l W i P W i i W Bi n 2, p.8 Reemplazando se obiene el mismo resulado que en a)
c) Hallar E(T) en función de A y B. Cuano vale si A = B =. Una opción sería usar el resulado de P(T>) para hallar la función de disribución, luego la de densidad y finalmene compuar la esperanza con ella. Sin embargo, un camino más sencillo es: E T E G E T W Las densidades condicionales T W=w son Exp con diferenes. Luego: E T P W P W P W 2 2B A B 2A 2 E T.2 2.8.2.8 2 2 2 B A B A Si los lambdas son iguales E(T)=(2) -, que no depende de las proporciones de cada ipo (lo que es obvio ya que los dos ipos quedan idénicamene disribuidos)
PROCESO POISSON El proceso Bernoulli iene un índice emporal discreo que represena el número de experimeno realizado. El proceso Poisson que veremos ahora iene asociado un dominio emporal coninuo. A lo largo de ese coninuo se producirán evenos, que serán observados en diferenes iempos. Sea = el insane en que empieza a observarse el proceso. x x x x Las ocurrencias no pueden = = = 2 = 3 = 4 ser simuláneas El proceso puede quedar descripo a ravés de la secuencia de VAs T i, que mide el iempo hasa la ocurrencia del i-esimo eveno, o de las VAs D i =T i T i- (con T =), que miden el iempo de espera enre evenos consecuivos. El índice de esas secuencias es numerable (al igual que lo era en el proceso Bernoulli). Sin embargo, el proceso punual admie definir un conjuno de variables conadoras, de modo que para cada insane (no negaivo) se define N como la canidad de evenos observados en el inervalo (,]. El número de evenos en el inervalo (s,] será N (s,] =N N s. Es claro que a parir de la secuencia {T i }, la VA N incremena la cuena en cada vez que ocurre T i. Surge enonces la equivalencia El proceso de coneo iene la misma información k que el proceso de llegada de los evenos N k T
En paricular, se dice que un proceso punual es un proceso de Poisson de inensidad > si saisface: Los incremenos en el proceso de coneo son independienes. (por ej., si < 2 < 3, N (, 2 ] es independiene de N (2, 3 ]) Los incremenos son emporalmene homogéneos, es decir que la disribución de los incremenos depende de la longiud del inervalo de iempo observado pero no de su posición absolua en la reca Las VAs asociadas a cada incremeno en un inervalo de longiud (b-a) siguen una disribución Poisson de parámero m=(b-a). k ba k,, ba pn k P N ( a, b] ( a, b] k e n k! a b El coninuo asociado al proceso no queda limiado sólo al iempo, sino que ambién puede ser un área, volumen o incluso longiud y iempo a la vez. El parámero represena el número medio de evenos que ocurren por unidad de coninuo.
La independencia de lo incremenos y su homogeneidad emporal proveen al proceso de la cualidad de fala de memoria, ya que si se lo reinicia en cualquier momeno, la disribución de aparición de evenos será idénica a la original Es enonces razonable pensar que los iempos de espera enre evenos, D i, deben ser independienes y con disribución común exponencial. De hecho, vimos anes que: N k T k T l N n PT l P N Pero como N debe seguir una disribución Poisson (), enonces P T l e l Exp() De hecho, con k> la equivalencia resula en: i k P Tk l P N k e i i! F F k, Gamma k Poisson
T r T Ti Ti r x x x x = = = 2 = 3 = 4 i2 r T D =T D 2 =T 2 -T D 3 =T 3 -T 2 D 4 =T 4 -T r Di 3 i Para simular un proceso Poisson, es de hecho suficiene con generar valores exponenciales de parámero independienes enre sí y asociarlos a los iempos enre evenos del proceso. Supongamos ahora que enramos en un iempo = al proceso Poisson x x = = = = 2 En ese caso, sabemos que el iempo T es Exp(), pero qué sucede con el iempo T -? Si conamos un iempo desde, podemos decir que la canidad de evenos en ese lapso de iempo es una VA Poisson()? Sea T new = T -. Esa VA cuena el iempo ranscurrido desde hasa la aparición del primer eveno. Dada la resricción <T, calculemos: new l l l l l l l P T T P T T P T T P T Si derivamos las expresiones aneriores a ambos miembros: f f e new T l T l T
Vemos enonces que la densidad del iempo desde hasa el primer éxio (si el se define anes de la ocurrencia del primer éxio) es Exp(). Como el reso de los diferenes inervalos enre éxios no cambió, puedo enonces definir un proceso Poisson de inensidad que comienza desde =. Que pasaría si se encuenra en oro puno de la reca? Cieramene, esará anes de un T r+ (para algún r) y después de un T r. Queremos analizar enonces la disribución del iempo T new = T r+. X r T T X r r r suma de una Gamma y Exp indep. P T l, T n T l r new r r d r+ que surge de una Exp() x x = r = r+ = s new r r s e P T l r! s e x dxds T T X r r r new T r new n n e n P T l r /!
Por lo ano: P Tr l new, Tr n Tr l PTr l new Tr l, Tr n P T n T l P T l, T n T l r r new new new, r r r P T T l T l T n e P T T P N r r, r r r r r l n r e r r! new new l new new new P T e e Eso implica que la disribución del iempo enre y el primer eveno es una Exp()!!! r! e Por lo ano, el de un proceso Poisson puede ubicarse en cualquier puno de la reca. Eso es consecuencia de la pérdida de memoria de la disribución exponencial.
Ora manera de decir que el iempo D 2 =T 2 -T de un proceso Poisson es una VA Exp() independiene de T es a ravés de la densidad condicional de T 2 T =, es decir: 2 f T2 T 2 e 2 l l l 2 2 2 ft, T e e e 2, 2 2 Siguiendo el mismo razonamieno con el reso de los incremenos, surge f e n n n n 2,,, r r, T, T,, T 2 r 2 r r r! f T, T2,, T, 2,,, r Tr a r r 2 r a n n nn n a Quiando la resricción de que las T i esén ordenadas en forma creciene, o sea, los X i regisran los iempos de los evenos en cualquier orden, f X, X2,, X, 2,,,,,2,, r Tr a x x xr x r i a i r n n a
Eso indica que dado el iempo de aparición del r-esimo eveno, los iempos de los r- evenos previos esán disribuidos uniformemene a lo largo del coninuo de a T r =a (y de hecho son independienes). Más aun, en virud de que el del proceso Poisson lo podemos mover a lo largo de la reca, si una VA Poisson N arroja un valor k, enonces los k evenos aparecen disribuidos uniformemene en el inervalo y en forma independiene (la probabilidad de que un eveno aparezca en un inervalo de ancho, conenido en, es igual a /)
OTRA FORMA DE VERLO Si en un inervalo de longiud ocurrió un eveno, que probabilidad hay de que haya ocurrido en un inervalo de longiud incluido en? P X P X X P X X X P X P X P X e P X P X e!!! e
TEOREMAS Superposición. Si un proceso Poisson de asa se superpone con oro proceso Poisson de asa 2, independienes enre sí, surge enonces un nuevo proceso Poisson de asa + 2 Compeencia. Sean dos procesos independienes Poisson de asas y 2 que son superpuesos. Si T es el iempo hasa el primer eveno y J indica de qué proceso proviene el eveno, luego T es Exp( + 2) y J es una VA discrea al que P(J=i)= i/( + 2). Noar que T=min(T,T 2 ), siendo Ti el iempo hasa el primer eveno de cada proceso por separado. Adelgazamieno. Si un proceso Poisson de asa es marcado con probabilidad p (es decir, cada eveno recibe la marca con probabilidad p) en forma independiene, los punos marcados forman un Proceso Poisson de inensidad p, mienras que los no marcados forman un Proceso Poisson de inensidad (-p). Esos dos procesos son independienes.
VARIABLE ALEATORIA BETA Tomemos nuevamene la conjuna de los iempos en orden creciene condicionada a T r =. f,,,!, n n n n r T, T2,, Tr Tr 2 r 2 r Se quiere ahora la disribución de T k T r =, para algún valor de k enre y r-. Para ello debe enonces inegrarse la función anerior respeco a las oras variables donde los limies son: n, n,, n n, n n,, n n 2 2 3 k k k k k2 k r r! r k f n n T T k r k r k k! r k! Bea (k,r-k) Si bien en esa derivación k y r son eneros posiivos, puede probarse que esa condición puede liberarse dando así lugar a la densidad más general:. f T n n.. 2 m ET T o 2 Bea (,) >,> 2
4 3.5 3 Bea( =,=) Bea( =,=2) Bea( =2,=) Bea( =.5,=.5) Bea( =5,=5) Bea( =3,=) Bea( =,=3) 2.5 PDF 2.5.5..2.3.4.5.6.7.8.9 x
BONUS TRACKS
EJERCICIO SOBRE TEORIA DE COLAS El iempo enre llegadas de clienes (o llamadas a un cenro de aención) a una cola es Exp() ( se denomina asa de arribo). El iempo que demora el cliene que esa primero en la cola hasa que sale de ella se denomina iempo de servicio, cuya disribución es Exp(m) (m se denomina asa de servicio). Se define como inensidad de rafico al cociene: m Si <, la cola se compora bien, pero si es mayor, crece indefinidamene. En el caso =, la cola puede llegar a ser muy larga pero siempre habrá momenos en que ese vacía. Si <, sea Z la longiud de la cola y T el iempo que un cliene espera en la cola hasa ser aendido. Elija un valor de y oro de m>. Simule valores (clienes) Exp para los iempos enre llegadas y los de servicio. A parir de ellos compue valores para Z y T. Realice hisogramas para Z y T y verificar que: Z Geo T EN m E Z E T Ley de Lile