Newton Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 1 / 53
Tema 1: Dinámica básica de la partícula aislada y de los sistemas de partículas Contenido 1 Introducción. Mecánica de Newton Partícula aislada Sistemas de partículas 2 Sistemas 1D 3 Ligaduras Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 2 / 53
1. Introducción. Mecánica de Newton Repaso breve de conceptos fundamentales de la Mecánica de Newton Discusión del movimiento de una sola partícula Definición y uso de la notación Cantidad de movimiento (momento lineal), leyes de conservación, energías cinética y potencial Conceptos ya estudiados (Mecánica y Ondas) Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 3 / 53
Partícula aislada Partícula = Objeto de tamaño insignificante Electrón en un tubo de vacío o en los cinturones de radiación de Van Allen Balón de fútbol La Tierra orbitando alrededor del Sol Tiene masa m y localización r (definimos la velocidad v = r y la cantidad de movimiento (momento lineal) p = m v) Segunda ley del movimiento de Newton, calculamos la fuerza F = m a = p = m r Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 4 / 53
Sistema inercial (SI) El origen O del SI es arbitrario La elección del origen implica escoger un sistema de referencia Sistema inercial = sistema donde se cumple la 2 a ley de Newton, F = m a = p La 2 o Ley de Newton se enuncia con más precisión: EXISTEN SISTEMAS DE REFERENCIA DONDE LA DERIVADA EN EL TIEMPO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ES IGUAL A LA FUERZA Hay un número infinito de tales sistemas. 1 a ley de Newton Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 5 / 53
Sistemas inerciales 1 Consideramos dos sistemas inerciales A y B 2 Una partícula está en r A en A y en r B en B 3 El origen de A es, r B r A en B 4 F = m ra = m r B, luego r B r A = 0 y 5 rb r A = constante Figura: Los sistemas inerciales se mueven uno respecto a otro a velocidad constante. Galileo analizó la equivalencia de estos sistemas (Sistemas Galileanos) Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 6 / 53
Momento angular Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 7 / 53
Conservación de momentos Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 8 / 53
Trabajo realizado por una fuerza externa Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 9 / 53
Fuerza conservativa Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 10 / 53
Energía potencial Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 11 / 53
Sistemas de partículas Pasamos de partícula aislada a un sistema compuesto por muchas partículas Para tener en cuenta las fuerzas entre las partículas usamos las fuerzas de acción y reacción 3 a ley de Newton Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 12 / 53
Fuerza sobre una partícula i Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 13 / 53
Suma sobre todas las partículas Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 14 / 53
Centro de masas Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 15 / 53
Cantidad de movimiento (momento lineal) total Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 16 / 53
Momento angular total Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 17 / 53
Ley fuerte de acción y reacción Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 18 / 53
Leyes de acción y reacción Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 19 / 53
Leyes de conservación Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 20 / 53
Momento angular total Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 21 / 53
Energía cinética Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 22 / 53
Energía potencial Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 23 / 53
Conservación de la energía Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 24 / 53
Sistemas en 1D En 1D todas las fuerzas que dependen solo de x son conservativas. mẍ = F (x) F = dv dv Podemos escribir: 1 2 mẋ 2 + V (x) = E. Esta ecuación se obtiene al integral una vez la ley de Newton (E es la constante de integración) Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 25 / 53
Sistemas en 1D Resolvemos poniendo 1 ẋ = dt dx e integramosr: t t 0 = m 2 x x 0 dx. E V (x) x 0 es la posición de la partícula en el tiempo t 0, x la posición en t. Si esta ecuación se invierte queda x = x(t t 0, E) Si E y x 0 se conocen, el problema queda, en principio, resuelto. t 0 puede tomarse como cero. Solo aparecen en la expresión final x 0 y E. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 26 / 53
Sistemas en 1D Muchas de las integrales t t 0 = m x dx 2 x 0 no pueden E V (x) expresarse en términos de funciones elementales Volvemos a la ecuación 1 2 mẋ 2 + V (x) = E y vemos que información podemos sacar antes de integrar Podemos deducir los tipos de movimientos relacionados con diferentes valores de E. Por ejemplo, como la energía cinética es siempre positiva, la partícula no puede entrar en una región donde E V (x) es negativa. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 27 / 53
Sistemas en 1D Si comenzamos en una región donde E V (x) es positiva, la partícula se moverá a valores mayores del potencial V (x) hasta llegar al punto en que V (x) = E, donde ya no puede avanzar mas. Este es un punto de rebote para el movimiento, E determina los puntos de rebote. Analizamos el movimiento de la partícula en el potencial de la figura siguiente para diferentes valores de E. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 28 / 53
Sistema en 1D Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 29 / 53
Sistemas en 1D Para un movimiento acotado, por ejemplo, con energía E 1, el tiempo para completar una órbita desde x 4 a x 6 y volver de nueva se denomina periodo, P. Usando la ecuación t t 0 = m x dx 2 x 0, E V (x) se tiene P = 2m x 6 x 4 dx E V (x) Hemos usado que el tiempo para ir de x 4 a x 6 es el mismo que para regresar. Esta ec. da una fórmula general para el periodo de movimientos acotados entre dos puntos de rebote, con los ĺımites de la integral siendo las dos raíces del radical en el denominador. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 30 / 53
Sistemas en 1D: Potencial coseno Analizamos un caso particular relacionado con el péndulo simple, sea el potencial V (x) = Acosx, < x <, A > 0 La energía total está dada por: E = 1 2 mẋ 2 Acosx 1 2 mv 2 Acosx. Consiste en una serie de pozos de potencial idénticos separados por barreras de potencial idénticas. Analizamos primero la figura a), para diferentes valores de energía. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 31 / 53
Sistema en 1D Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 32 / 53
Sistemas en 1D Empezamos considerando E < A, Nos quedamos en π x π. Tenemos P = 2m x 2 x 1 dx E+Acosx. Tenemos x 1 < 0 y x 2 > 0 (como sigue de la condición E < A) las raices del radical del denominador en el integrando, es decir x 1,2 = ± arc cos E A La integral no puede ser evaluada, en general, en términos de funciones elementales. Los casos E = A, E = A y E > A. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 33 / 53
Sistema 1D: Diagrama de fase Un sistema dinámico puede caracterizarse por su velocidad y posición Analizamos la figura b) Cada valor de E produce un conjunto diferente de curvas Figura: Diagrama de fase Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 34 / 53
Sistema 1D: Diagrama de fase Movimientos acotados: A E A Las curvas tienen de ecuación: v = ± (E + Acosx) 2 m Curvas cerradas que cruzan el eje x en los puntos de retorno Figura: Diagrama de fase Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 35 / 53
Sistema 1D: Diagrama de fase Valores pequeños de E, próximos a A Podemos aproximar el potencial en serie de Taylor: V (x) = V (0) + xv (0) + 1 2 x 2 V (0) +... A( 1 + 1 2 x 2 ), nos queda la relación v x mv 2 2(E+A) + Ax2 2(E+A) = 1 Otros valores de E... Figura: Diagrama de fase Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 36 / 53
Ligaduras La ecuación de movimiento m i ri = F i = F (e) i + j F ij asume que las partículas pueden moverse en cualquier lugar del espacio Esto no es verdad generalmente, de hecho casi nunca es verdad el concepto de espacio libre es una idealización ejemplo: coche sobre el asfalto, bolas de billas sobre la superficie de la mesa, etc las partículas están sometidas a ligaduras Debemos ajustar las ligaduras a las ecuaciones de movimiento, y la forma de hacerlo depende del tipo de ligadura Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 37 / 53
Ligaduras A veces el movimiento de los objetos está condicionado a ciertas restricciones las cuentas de un collar están obligadas a moverse en un hilo las moléculas están obligadas a moverse en un recinto Esto introduce: una dependencia en las ecuaciones del movimiento la necesidad de tener en cuenta la presencia de las fuerzas de ligadura Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 38 / 53
Clasificación de las ligaduras Si las ligaduras pueden expresarse como ecuaciones de las coordenadas, y del tiempo, en la forma f ( r 1, r 2, r 3,..., t) = 0 decimos que las ligaduras son holónomas Si no podemos obtener esa expresión matemática, las ligaduras se llaman no holónomas Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 39 / 53
Clasificación de las ligaduras Si las ligaduras son independientes (expĺıcitamente) del tiempo decimos que las ligaduras son esclerónomas algunos libros las denominan fijas Si dependen del tiempo se denominan reónomas también se denominan móviles Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 40 / 53
Clasificación de las ligaduras Gran parte del formalismo de la Mecánica Anaĺıtica es sólo aplicable al caso en que los sistemas sean holónomos No está garantizado, en muchos casos, el procedimiento para la resolución de problemas con ligaduras no holónomas Ejercicio: recopilar ejemplos de ligaduras holónomas y no holónomas Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 41 / 53
Ligaduras holónomas Las ligaduras pueden expresarse como ecuaciones de las coordenadas, y del tiempo, en la forma f ( r 1, r 2, r 3,..., t) = 0 partículas en el plano XY: z = 0 sólido rígido: ( r i r j ) 2 c 2 ij = 0 Si no podemos obtener esa expresión matemática, las ligaduras se llaman no holónomas significa: no sabemos como tratarlas matemáticamente pueden ser desigualdades: z 0 pueden depender de derivadas tales como r i Trataremos solo con ligaduras holónomas Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 42 / 53
Variables independientes Una ligadura holónoma reduce el número de variables independientes en uno Si z = 0, nos quedamos solo con las variables x e y Podemos ser capaces de resolver la ligadura para una variable f ( r 1, r 2, r 3,..., t) = 0, es decir x 1 = g(y 1, z 1, r 2, r 3,..., t) nos olvidamos entonces de esa variable podemos usar ahora, por ejemplo, un conjunto diferente de variables para una partícula que se mueve sobre una esfera, x 2 + y 2 + z 2 = c 2, una buena elección serán las variables: (θ, φ) Tenemos un conjunto nuevo de variables, las denominamos coordenadas generalizadas Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 43 / 53
Grados de libertad Una partícula libre en el espacio de tres dimensiones (3D) tiene 3 grados de libertad. Un sistema de N partículas tendrá 3N grados de libertad (esta partícula no está sometida a ninguna ligadura) Cada ligadura resta un grado de libertad. Si tenemos k ligaduras, nos quedarán 3N k grados de libertad Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 44 / 53
Coordenadas generalizadas: q j con j = 3n k Tomamos un conjunto de variables que pueden corresponder con cualquier magnitud, no necesariamente longitudes, pudiendo ser incluso adimensionales, y que cumplen los siguientes dos requisitos: deben ser independientes entre sí el número de variables elegido debe ser igual al número de grados de libertad del sistema Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 45 / 53
Ecuaciones de transformación N partículas tienen 3N grados de libertad (esta partícula no está sometida a ninguna ligadura) Cada ligadura resta un grado de libertad. Si tenemos k ligaduras, nos quedarán 3N k grados de libertad Usando coordenadas generalizadas q 1, q 2,..., q 3N k tendremos r i = r i (q 1, q 2, q 3,..., t) Estas son las ecuaciones de transformación desde el conjunto ( r i ) al conjunto (q i ) Ejemplo: el paso de coordenadas (x, y, z) a coordenadas (θ, φ): x = c sen θ cos φ, y = c sen θ sen φ, z = c cos θ Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 46 / 53
Espacio de configuración El espacio construido con las coordenadas generalizadas recibe el nombre de espacio de configuración La elección de las coordenadas generalizadas no es única La elección de unas coordenadas generalizadas frente a otras pueden tener ventajas La posible simetría del problema puede dar indicios sobre la elección más adecuada Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 47 / 53
Coordenadas generalizadas En ciertos casos las ligaduras pueden darse también en forma diferencial. Las ligaduras tienen entonces la forma: N k a k(x 1, x 2,..., x n )dx k = 0, x k representa las distintas coordenadas, y las a k son funciones de estas coordenadas. Distinguimos dos casos: Que la expresión anterior represente la diferencial total de una función U, la podemos integrar y obtener una ecuación de la forma: f k ( r 1, r 2,..., t) = 0, k = 1, 2,..., s. En este caso las ligaduras son holónomas. Si la expresión anterior no es una diferencial total, podemos integrar solo después de resolver el problema completo. En este caso no podremos eliminar coordenadas dependientes, ligadura no holónoma. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 48 / 53
Coordenadas generalizadas Si la expresión N k a k(x 1, x 2,..., x n )dx k = 0, es una diferencial total, podemos obtener un criterio para que las ligaduras diferenciales sean holónomas. Debemos tener: Esto nos lleva a k a kdx k = du con a k = U x k. a k x i = 2 U x i x k = a i x k Así, la expresión diferencial representa una ligadura holónoma si los coeficientes obedecen las condiciones de integrabilidad: a k x i = a i x k. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 49 / 53
Ligaduras Una esfera en un campo gravitacional que rueda sin fricción desde el polo superior de una esfera grande. Sistema conservativo Las ligaduras cambian completamente después de que haya abandonado la esfera grande y no pueden presentarse en la forma f k ( r 1, r 2,..., t) = 0, k = 1, 2,..., s. Sistema no holónomo. No depende del tiempo expĺıcitamente, sistema esclerónomo. Figura: Una pequeña esfera rodando sobre una esfera grande Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 50 / 53
Ligaduras Un cuerpo desliza con fricción hacia abajo en un plano inclinado. La inclinación del plano varía con el tiempo. Las coordenadas y el ángulo de inclinación están relacionados por: tg ωt = 0. y x Sistema: holónomo, reónomo. Como hay fricción, es no conservativo. Figura: Cuerpo deslizando en un plano inclinado. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 51 / 53
Ligaduras Rueda rodando sobre un plano sin deslizar. Ejemplo de sistema con ligaduras diferenciales. Usamos las coordenadas x M, y M del centro, el ángulo ϕ que describe la rotación, y el ángulo ψ que caracteriza la orientación del plano de la rueda relativo al eje y. Figura: Rueda rodando sobre un plano. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 52 / 53
Ligaduras La velocidad v del centro de la rueda y la velocidad de rotación están relacionadas por: v = a ϕ. Las componentes de la velocidad son: ẋ M = vsenψ, ẏ M = vcosψ. Con el valor de v, dx M + asenψ.dϕ = 0, dy M acosψ.dϕ = 0. Ligaduras diferenciales. Como el ángulo ψ se conoce solo después de resolver el problema, las ecuaciones no son integrables. Sistema: no holónomo, esclerónomo y conservativo. Figura: Rueda rodando sobre un plano. Tema 1B (Grupo 2) Mecánica Teórica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 53 / 53